Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm LYAPUNOV

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - - PHẠM THANH HUẾ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM -  - PHẠM THANH HUẾ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH : VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên – 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu trích dẫn có nguồn gốc rõ ràng, kết luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Phạm Thanh Huế ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Mục lục ii Một số kí hiệu tốn học dùng luận văn iii LỜI MỞ ĐẦU Chƣơng 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân tổng quát 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm 1.1.4 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân thường 1.2.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 11 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov 12 1.4 Một số định lí, bổ đề bổ trợ 17 Chƣơng 2: TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO PHƢƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 19 2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 19 2.1.1 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm 19 2.1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơtơnơm 30 2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 34 2.2.1 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ dạng 34 2.2.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 iii MỘT SỐ KÍ HIỆU TỐN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN  : Tập số thực không âm  n : Khơng gian vecto n - chiều với tích vô hướng , chuẩn vecto n m : Không gian ma trận n m chiều D : Lân cận mở  n C a, b ,  n : Tập hàm liên tục a, b nhận giá trị  n L2 a, b ,  m : Tập hàm khả tích bậc hai a, b lấy giá trị  m AT : Ma trận chuyển vị ma trận A I : Là ma trận đơn vị A : Tất giá trị riêng ma trận A max A : max Re : A A : Re : A A : Ma trận A xác định dương Ax, x 0, x A : Ma trận A xác định không âm Ax, x A max 0, x  n AT A : Chuẩn phổ ma trận A Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI MỞ ĐẦU Trong thực tế khảo sát hệ động lực học, biến đổi hệ sinh thái học hay khảo sát ổn định mật độ dân cư….các nhà khoa học thường quan tâm đên tác động yếu tố bên tác động vào hệ có ảnh hưởng đến trình vận động hệ hay khơng Trong q trình nghiên cứu cho thấy có tác động làm thay đổi q trình vận động có trường hợp tác động không làm thay đổi trình vận động hệ Để khảo sát ổn định q trình người ta thường mơ hình hóa tốn học hệ Do lý thuyết ổn định hình thành quan tâm nghiên cứu cách sâu rộng, mạnh mẽ ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh học… Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Hiện nay, lý thuyết ổn định phát triển theo hai hướng ứng dụng lý thuyết, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu như: Yoshizawa, S.M V.Kharitonnov, Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Nguyễn Hữu Dư, Vũ Ngọc Phát, Lê Thanh Sơn….Họ thu kết quả, tính chất quan trọng có tính ứng dụng cao Chúng ta biết có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định phải nói đến hai phương pháp nhà toán học người Nga Lyapunov : Phương pháp thứ Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp thứ hai Lyapunov – phương pháp hàm Lyapunov Trong phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định hệ phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp hệ phi tuyến, hệ có trễ… Trên sở tài liệu, kiến thức phương trình vi phân lý thuyết ổn định chúng tơi nghiên cứu đề tài “ Bài tốn ổn định hệ phƣơng trình vi phân Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ theo phƣơng pháp hàm Lyapunov” Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân truyến tính có trễ phương pháp hàm Lyapunov Nội dung trình bày luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận chương Chƣơng 1: Cơ sở toán học Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm hệ phương trình vi phân, số định lí tính ổn định lý thuyết ổn định phương trình vi phân, số định lí bổ đề bổ trợ Chƣơng 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov Chương chúng tơi trình bày tốn ổn định số dạng hệ phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm, hệ tuyến tính khơng ơtơnơm hệ phương trình vi phân có trễ với số ví dụ minh họa Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy tận tình bảo hướng dẫn suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dạy dỗ, động viên, tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân bên cạnh ủng hộ cổ vũ tinh thần cho học tập nghiên cứu Mặc dù thân cố gắng nhiều thời gian thực khơng nhiều, kiến thức trình độ cịn hạn chế nên luận văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo, góp ý ý kiến phản biện q thầy bạn đọc Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tôi xin chân thành cảm ơn! Chƣơng CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, tính ổn định hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1 Hệ phƣơng trình vi phân tổng quát Xét hệ phương trình vi phân: x t x t0 f t , x :  f t , x t , t t0 , x0 , t0 0, n  n , với t t0 , x t (1.1.1) n Hàm x t khả vi liên tục  thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) gọi nghiệm hệ phương trình vi phân ký hiệu x t , x0 Cơng thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1) là: x t , x0 Số hóa trung tâm học liệu x0 t t0 f s, x s ds http://lrc.tnu.edu.vn/ Từ định lí sau ta khẳng định hệ (1.1.1) ln có nghiệm x t , x0 0; Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lí 1.1.1 (Định lí Picard - Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử f (t , x) : I D I t0 , x  n , x x0 D  n với ( a ) hàm liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x : K : f t , x1 Khi với t0 , x0 f t , x2 K x1 x2 , I D tìm số d phương trình (1.1.1) có nghiệm khoảng t0 điểm t0 , x0 t 0 cho hệ d , t0 d Vậy qua I D có đường cong tích phân qua Trường hợp hệ tuyến tính: x t A t x t x t0 g t , t  x0 , A t , g t hàm liên tục  hệ ln có nghiệm  Định lí 1.1.2 (Định lí Caratheodory) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử hàm f (t , x) : I D hàm đo theo t I t0 ,  n I liên tục theo x D Nếu tồn hàm khả tích m t cho: f (t , x) m t , t, x Khi hệ (1.1.1) có nghiệm khoảng t0 , t0 Số hóa trung tâm học liệu I D http://lrc.tnu.edu.vn/ 27 Xx, x 0, x Suy X ma trận xác định dương Định lí chứng minh Ví dụ 2.1.4: Xét tính ổn định hệ phương trình (2.1.1) với: A Ta thấy ma trận A có hai giá trị riêng là: Vì Re A i 2 i nên hệ cho ổn định mũ Ngoài với ma trận đối xứng xác định dương: 2 Y ta tìm nghiệm phương trình (LE) ma trận đối xứng xác định dương: X 23 10 20 20 20 Vậy hệ phương trình ổn định tiệm cận Định lí 2.1.4 Cho hệ phương trình vi phân phi tuyến dạng: x t f t , x :  n Ax t f t, x (2.1.3)  n cho: 0: f x , f x x , x  n Giả sử tồn P, Q hai ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn: AT P Số hóa trung tâm học liệu AP Q http://lrc.tnu.edu.vn/ 28 Khi đó: Hệ (2.1.3) ổn định tiệm cận Chứng minh: Lấy hàm V t , x Q P2 max x, Px Khi ta có: AT P PA x, x D f V t , x : P x, x Qx, x Pf x , x Pf x , x Theo bất đẳng thức ma trận Cauchy ta có đánh giá sau: Pf x , x f x , Px V t, x Suy : P x, x f x ,f x Q x P x, x I AT P PA P x, x I Để hệ (2.1.3) ổn định mũ điều kiện là: Q I P x, x Q V t, x I P2 x Q I P2 Q min 0 max Q max P2 P2 Ví dụ 2.1.5 Xét hệ phương trình vi phân: x1 t x1 x2 x2 t x1 x2 2 x1 sin x2 2 x2 cos x1 (2.1.4) đó: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ P x, x 29 A 2 x1 sin x2 2 x2 cos x1 f t, x Với ma trận đối xứng xác định dương: Q Khi tồn ma trận đối xứng xác định dương P là: P thỏa mãn: AT P PA Q Xét: det Q det P I I det det 0 Mặt khác: Q max f (t , x) Ta có: P2 x1 25 Số hóa trung tâm học liệu 4, , 4 Q ,4 P2 1 , 4 x 34 x 225 12 x2 x 25 http://lrc.tnu.edu.vn/ 30 34 x 15 f (t , x) 34 15 Ta thấy: Q 12 P2 max nên theo định lí (2.1.4) hệ cho ổn định tiệm cận 2.1.2 Bài tốn ổn định hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính khơng tơtơnơm Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm: x t A t x t , t  x x0 (2.1.5) A t n n ma trận hàm số liên tục  Từ trạng thái ban đầu x x0 , nghiệm hệ (2.1.12) cho bởi: x t t ,0 x0 t ,0 ma trận nghiệm hệ (2.1.5) Nếu A số hiển nhiên ta có: t ,0 e At s Khi nghiên cứu phổ A để tìm điều kiện ổn định Định nghĩa 2.1.3 Ma trận P t cho: P t x, x n n x , xác định dương tồn t 0, x  n Định lí 2.1.5 Nếu tồn ma trận hàm số P t đối xứng, xác định dương đều, bị chặn 0, tồn số Số hóa trung tâm học liệu thỏa mãn phương trình Lyapunov: http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 AT t P t P t A t P t I (2.1.6) hệ (2.1.5) ổn định tiệm cận Ví dụ 2.1.5 Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân x t x với A t Giải: Lấy a t A t x t , t  x0 e e a t b t b t cos 2t sin t sin 2t sin 2t ta có ma trận hàm số : P t ecos t 0 esin t đối xứng, xác định dương bị chặn 0, đồng thời nghiệm phương trình (2.1.5) Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Định lí 2.1.6 Xét hệ (2.1.5) A t A C t Giả sử A ma trận ổn định C t khả tích  C t Khi hệ ổn định tiệm cận với a Chứng minh: Với A t a, a 0 đủ nhỏ A C t phương trình (2.1.5) viết dạng: x t Số hóa trung tâm học liệu Ax t C t x t , t http://lrc.tnu.edu.vn/ 32 Khi nghiệm hệ với điều kiện ban đầu x t e At x t Vì A ma trận ổn định nên hệ x 0, Ta có : e t, x t Đặt u t e e t At s C s x s ds Ax ổn định mũ Do tồn số e At cho: e x0 cho : t t t x0 e x t , C s a x s ds x0 , a t a áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân ta có: e Do đó: Chọn a t x0 e at , x t x t x0 e a t , t t hệ ổn định tiệm cận Định lí chứng minh Ví dụ 2.1.6 Xét ổn định hệ phương trình vi phân: x1 x2 Giải: Ta có : A 1 x1 cos 2t 1 x1 x2 sin t , C t cos 2t sin t Dễ dàng kiểm tra ma trận A có giá trị riêng là: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 , nên Re A Vậy A ma trận ổn định 0, Khi ta chọn Suy để : 1, Mặt khác: e At C t e t, t nên hệ ổn định tiệm cận Định lí 2.1.7 Nếu hệ (2.1.5) với A t ma trận liên tục theo t Giả sử tồn số M 0, i) e ii) sup A t 0, K Ast cho: t s Ke , t , s M t  Khi hệ ổn định tiệm cận M 2K Chứng minh: Ta có hệ (2.1.5) tương đương với hệ: x A x t A t Ngiệm x t với điều kiện ban đầu x A0t x t e x t Ke x0 t e A0t A x t , t x0 cho bởi: A s A x s ds Khi ta có: t Số hóa trung tâm học liệu x0 t KMe t s x s x s ds http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall lý luận tương tự chứng minh định lí (2.1.6) ta nhận kết quả: x t Nếu chọn M 2K Ke x0 e KM t , t ta có: x t : t K x0 e t , t 0 Do hệ ổn định tiệm cận 2KM 2.2 Tính ổn định hệ phƣơng trình vi phân có trễ 2.2.1 Bài tốn ổn định hệ phƣơng trình vi phân có trễ dạng Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có trễ dạng : x t Ax t x t A1x t h t , t (2.2.1) h,0 A, A1 hai ma trận số n n - chiều, x t  n, C, h Khi ta có định lí điều kiện đủ để hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận Định lí 2.2.1 Giả sử tồn hai ma trận đối xứng, xác định dương P, Q thỏa mãn: AT P PA Q A1T P PA1 Q (LMI) hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận Chứng minh: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 Lấy hàm V t , x t Px, x t h Qx s , x s ds Ta có đạo hàm V t , x là: V t, x Px t ,x t Qx t , x t AT P PA x t , x t Qx t h , x t h PA1x t h , x t Qx t , x t Qx t h , x t h Áp dụng Bất đẳng thức ma trận Cauchy ta có: PA1 x t h , x t V t, x PAQ A1T Px t , x t Qx t h , x t h AT P PA x t , x t PA1Q A1T Px t , x t Qx t , x t AT P PA Q PA1Q A1T P x t , x t AT P PA Q PA1Q A1T P x t Để hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận điều kiện đủ V t , x AT P PA Q PAQ A1T P x t AT P PA Q PAQ A1T P Theo Bổ đề Schur suy : AT P PA Q A P T PA1 Q (LMI) Ví dụ 2.2.1 Xét hệ phương trình vi phân x t Ax t x t đó: A t , t 1 Số hóa trung tâm học liệu A1x t h h,0 A1 2 http://lrc.tnu.edu.vn/ 36 Xét hai ma trận đối xứng, xác định dương sau: 0 P 1 AT P PA Q Ta có: PA1 1 Q Q 1 A1T P , 0 0 Vậy hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q thỏa mãn: AT P PA Q A1T P PA1 Q (LMI) Theo định lí 2.2.1 hệ cho ổn định tiệm cận 2.2.2 Bài tốn ổn định hệ phƣơng trình vi phân có trễ biến thiên Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm có trễ dạng biến thiên: x t x t h t :  Ax t A1x t h t t , t (2.2.2) h,0 , h  hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: h t h, h t Định lí 2.2.2 Giả sử tồn hai ma trận đối xứng xác định dương P Q thỏa mãn: Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 37 AT P PA Q A1P PA1 Q (LMI) Khi hệ (2.2.2) ổn định tiệm cận Chứng minh: V t , xt Xét hàm: V t , xt Px t , x t t t ht Qx s , x s ds Px t ,x t Qx t , x t AT P PA x t , x t h t Qx t h t , x t h t PA1 x t h t , x t Qx t , x t h t Mà theo giả thiết h t V t , xt Qx t h t , x t h t nên : AT P PA Q x t , x t PA1 x t h t , x t h t Qx t h t , x t h t AT P PA Q x t , x t PA1 x t h t , x t Qx t h t , x t h t Áp dụng BĐT ma trận Cauchy ta có: PA1x t h t , x t Qx t h t , x t h t 1 PAQ A1T Px t , x t Suy : V t , xt AT P PA Q AT P PA Q Số hóa trung tâm học liệu 1 1 PA1Q A1T P x t , x t PA1Q A1T P x t http://lrc.tnu.edu.vn/ 38 Vậy để hệ (2.2.2) ổn định tiệm cận điều kiện là: V t , xt AT P PA Q AT P 1 PA Q A1T P PAQ A1T P PA1 Q 0 (Theo bổ đề Schur) Định lí chứng minh Ví dụ 2.2.2 Xét hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên: x1 t x1 t x2 t x1 t x t t , t Giải: Chọn h t x1 t sin t x2 t 1 x1 t sin t x2 t 1 x2 t sin t 2 h,0 , h , ta xét hàm thời gian h t 1 sin t 2 x2 t sin t cos t sin t với đạo hàm: 1 2.sin t.cos t 2 sin t 2 Mặt khác với hai ma trận: A 1 1 ta xét hai ma trận đối xứng, xác định dương: Số hóa trung tâm học liệu A1 P 1 0 http://lrc.tnu.edu.vn/ Q 0 39 AT P PA Q Có: PA1 thoả mãn hệ (LMI): 2 1 AT P T A P 1 PA Q A P T PA1 Q Vậy hệ cho ổn định tiệm cận KẾT LUẬN Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov hướng nghiên cứu nhiều người quan tâm có nhiều ứng dụng thực tế lĩnh vực khoa học khác Trong Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 40 luận văn này, chúng tơi trình bày khái niệm hệ phương trình vi phân, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để xét ổn định số dạng hệ phương trình vi phân như: + Hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm + Hệ phương trình vi phân phi tuyến + Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm + Hệ phương trình vi phân có trễ + Hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên Tuy nhiên hạn chế tồn là: - Các tiêu chuẩn ổn định nhận hạn chế chặt - Các giả thiết đặt nên chế độ trễ chặt như: Trễ hằng, trễ biến thiên đòi hỏi độ trễ hàm khả vi, liên tục bị chặn - Các hàm xét chủ yếu dạng tuyến tính Do việc nghiên cứu mở rộng để đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định lớp hệ phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp vấn đề thu hút nhiều người quan tâm Chúng tơi hi vọng nghiên cứu tiếp, tìm kết cho lĩnh vực thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 41 Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Lương Thanh Nga, (2010), Tính ổn định hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ, Luận án Thạc sĩ Tốn học, Đại học Sư phạm – Trường Đại học Thái Nguyên Vũ Ngọc Phát, (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Dương Thành, (2012), Bài toán ổn định hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ, Luận án Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm – Trường Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh Hale J.K, Verduyn Lunel S.M, (1993), Introduction to Functional Differential Equation, Springer – Verlag K Gu, VL Kharitonov and J Chen, Stability of Time-Delay Systems, Birkhauser, Boston, 2003 AN Michel, L Hou and D Liu, Stability of Dynamical systems, Birkhauser, Boston, 2008 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... 1.1.4 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân thường 1.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân. .. niệm hệ phương trình vi phân, số định lí tính ổn định lý thuyết ổn định phương trình vi phân, số định lí bổ đề bổ trợ Chƣơng 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov. .. chúng tơi trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, tính ổn định hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để