Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm LYAPUNOV

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------ PHẠM THANH HUẾ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP HÀM

Trang 1

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - -

PHẠM THANH HUẾ

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP

HÀM LYAPUNOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2013

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -  -

PHẠM THANH HUẾ

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP

Thái Nguyên – 2013

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Phạm Thanh Huế

Trang 4

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Mục lục ii

Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn iii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 3

1.1 Hệ phương trình vi phân 3

1.1.1 Hệ phương trình vi phân tổng quát 3

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 6

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 6

1.1.4 Hệ phương trình vi phân có trễ 8

1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 8

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân thường 8

1.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 11

1.3 Phương pháp hàm Lyapunov 12

1.4 Một số định lí, bổ đề bổ trợ 17

Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP HÀM LYAPUNOV 19

2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 19

2.1.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 19

2.1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính không tôtônôm 30

2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 34

2.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ dạng hằng 34

2.2.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên 36

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

Trang 5

MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

 : Không gian các ma trận n m chiều

D : Lân cận mở của 0 trong  n

Trang 6

LỜI MỞ ĐẦU

Trong thực tế khi khảo sát các hệ động lực học, sự biến đổi của hệ sinh thái học hay khảo sát sự ổn định của mật độ dân cư….các nhà khoa học thường quan tâm đên sự tác động của các yếu tố bên ngoài tác động vào hệ có ảnh hưởng như thế nào đến quá trình vận động tiếp theo của hệ hay không Trong quá trình nghiên cứu đó cho thấy có tác động làm thay đổi cả quá trình vận động nhưng có trường hợp sự tác động không làm thay đổi quá trình vận động tiếp theo của hệ Để khảo sát sự ổn định của quá trình đó người ta thường mô hình hóa toán học các hệ đó Do đó lý thuyết ổn định được hình thành và đang được quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh học…

Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân Hiện nay, lý thuyết ổn định đang phát triển theo hai hướng ứng dụng và lý thuyết, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Yoshizawa, S.M V.Kharitonnov, Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Nguyễn Hữu Dư, Vũ Ngọc Phát, Lê Thanh Sơn….Họ đã thu được những kết quả, tính chất quan trọng và có tính ứng dụng cao

Chúng ta đã biết có nhiều phương pháp để nghiên cứu lý thuyết ổn định nhưng phải nói đến hai phương pháp của nhà toán học người Nga Lyapunov : Phương pháp thứ nhất Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng, phương pháp thứ hai Lyapunov – phương pháp hàm Lyapunov Trong đó phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định của các

hệ phương trình vi phân có cấu trúc phức tạp như hệ phi tuyến, hệ có trễ…

Trên cơ sở các tài liệu, kiến thức về phương trình vi phân và lý thuyết ổn

định chúng tôi nghiên cứu đề tài “ Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

Trang 7

theo phương pháp hàm Lyapunov” Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu

tính ổn định hệ phương trình vi phân truyến tính có trễ bằng phương pháp hàm

Lyapunov

Nội dung trình bày luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương

Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày về các khái niệm cơ bản về hệ

phương trình vi phân, một số định lí về tính ổn định của lý thuyết ổn định

phương trình vi phân, một số định lí và bổ đề bổ trợ

Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm

Lyapunov

Chương này chúng tôi trình bày về bài toán ổn định của một số dạng hệ

phương trình vi phân: hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân

tuyến tính ôtônôm, hệ tuyến tính không ôtônôm và hệ phương trình vi phân có

trễ cùng với một số ví dụ minh họa

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất tới GS

TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời

gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại

học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, động viên, tạo

điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận

văn Cuối cùng, tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân luôn bên

cạnh ủng hộ và cổ vũ tinh thần cho tôi học tập và nghiên cứu

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiện không

nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi

những thiếu sót Tôi mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản

biện của quý thầy cô và bạn đọc

Trang 8

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tính ổn định của hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trang 9

Từ định lí sau ta khẳng định được hệ (1.1.1) luôn có nghiệm duy nhất

0

,

x t x trên 0;

Trang 10

Định lí 1.1.1 (Định lí Picard - Lindeloff)

Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử f t x( , ) :I D  n với ( trong

đó I t0, và D x  n, x x0 a ) là hàm liên tục theo t và thỏa mãn

điều kiện Lipschitz theo x :

Trường hợp đối với hệ tuyến tính:

Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1), giả sử hàm f t x( , ) :I D n là

hàm đo được theo t I và liên tục theo x D Nếu tồn tại hàm khả tích m t

trên I t0, sao cho:

f t x m t t x I D

Khi đó hệ (1.1.1) có nghiệm trên khoảng t t0, 0 nào đó

Trang 11

Định lí Caratheodory với giả thiết nhẹ hơn so với Định lí Picard – Linderloff, chỉ ra sự tồn tại nghiệm của một lớp hệ phương trình vi phân tương đối phổ biến và có nhiều áp dụng trong lí thuyết điều khiển

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng:

Trang 12

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng :

Hệ phương trình (1.1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên 

và nghiệm này được biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản t s, của hệ thuần nhất: x t. A t x t t 0

và được cho bởi công thức tích phân:

t 

Ma trận

112

t A

t và

sincos

t

g t

t

Trang 13

1.1.4 Hệ phương trình vi phân có trễ

Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t ,

trạng thái của hệ thống x t ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi của trạng thái x t có liên quan và bị ảnh hưởng từ quá khứ

Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h , (0 h ) Với x t là một hàm có trễ liên tục trên  nhận giá trị trên n

Kí hiệu C C h,0 , n là không gian các hàm liên tục từ h,0 vào

trong đó: f : C  n là hàm cho trước

1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân thường

Xét một hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân dạng tổng quát:

Trang 14

0

,

y t x t t t

Nói cách khác, nghiệm ( )x t là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá

trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của ( )x t thì vẫn đủ gẫn nó trong suốt thời

gian t t0

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm ( )x t của hệ (1.2.1) là ổn định tiệm cận nếu nghiệm

đó là ổn định và tồn tại số 0 sao cho y0 x0 thì lim 0

t y t x t Vậy nghiệm ( )x t là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm ( ) y t khác

có giá trị ban đầu y0 đủ gần với giá trị ban đầu x0 thì sẽ tiến gần ( )x t khi t Giả sử x t0( ) là một nghiệm ổn định của hệ (1.2.1), xét phương trình:

Trang 15

trong đó g t z t, f t z t, x t0 f t x t, 0

Khi đó z 0 là một nghiệm của hệ (1.2.2) với z t0 z0 Vậy việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x t0 của hệ (1.2.1) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2.2)

Bây giờ ta xét hệ (1.2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f t,0 0, t 

Định nghĩa 1.2.3 Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định nếu với 0, t0 0 tồn tại số 0 sao cho bất kỳ nghiệm x t với điều kiện ban đầu x t0 x0 thỏa mãn x0 thì x t( ) với t t0

Định nghĩa 1.2.4 Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và

tồn tại số 0 sao cho nếu x0 thì lim 0

t x t Nếu số 0 không phụ thuộc vào t0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều)

Định nghĩa 1.2.5 Hệ (1.2.1) được gọi là ổn định mũ nếu N 0 và 0 sao cho mọi nghiệm x t của hệ với điều kiện ban đầu x t0 x0 thỏa mãn:

0

x t Ne x t t Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, gọi là số mũ ổn định, N, là chỉ số ổn định Lyapunov

Vậy nghiệm 0 của hệ là ổn định mũ thì nó là ổn định tiệm cận và mọi nghiệm ổn định tiệm cận của nó tiền tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

Ví dụ 1.2.1 : Xét phương trình vi phân trong 

, 0

x ax t (1.2.3)

Trang 16

Nghiệm x t với điều kiện ban đầu x t0 x0 cho bởi công thức:

Nghiệm x t , với điều kiện ban đầu x t0 x0 cho bởi công thức:

0 0

Trang 17

với giả thiết f t,0 0 tức là hệ (1.2.2) có nghiệm 0

Định nghĩa 1.2.6

Nghiệm x 0 của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định nếu với 0 , t0 0

tồn tại số ,t0 0 sao cho bất kỳ nghiệm x t0, t của hệ thỏa mãn

thì x t0, t , t t 0

Nghiệm x 0 của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và với mỗi t0 0 tồn tại số t0 0 sao cho với C thỏa mãn

ta có : lim 0, 0

t x t t Nghiệm x 0 của hệ (1.2.5) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số

Trang 18

1 Nếu hệ (1.3.1) tồn tại hàm Lyapunov thì nó ổn định

2 Nếu hệ (1.3.1) tồn tại hàm Lyapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận Đối với hệ phi tuyến không ôtônôm :

thì hàm Lyapunov được định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V t x,

Trước hết ta xét K là tập các hàm liên tục tăng chặt: : a   , a 0 0Với mỗi hàm V t x t, ( ) :  n  , ta ký hiệu:

Trang 19

Định nghĩa 1.3.2 Hàm V t x t, ( ) :  n  , V t,0 0, t 0 khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.3.2) nếu:

i V t x t, là hàm xác định dương theo nghĩa:

Trang 20

với ,x y đủ bé Vậy nghiệm tầm thường x t 0 của hệ đã cho là ổn định

Ví dụ 1.3.2: Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ sau:

Trang 21

V t x V t x V

Trang 22

0

n

k k k

j k

Z

A I

Trang 23

Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Schur)Cho các ma trận hằng số, đối xứng X Y, trong đó

Trang 24

vi phân có trễ theo phương pháp hàm Lyapunov cùng với một số ví dụ minh họa

2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính

2.1.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm

Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm:

0

, 0

Trang 25

Định lí dưới đây cho ta một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính ôtônôm (2.1.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

Định lí 2.1.1 : Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1.1) là ổn định mũ khi và

chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A có phần thực âm, tức là Re 0, ( )A

Chứng minh: Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp dụng cho

k k k

q At k

Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x t của hệ (2.1.1)

Trang 26

Vậy hệ phương trình vi phân trên là ổn định mũ

Như vậy muốn chứng minh tính ổn định mũ của hệ tuyến tính dạng (2.1.1) chúng ta phải khẳng định tất cả các nghiệm 1, 2, , n của phương trình det A I 0 có phần thực âm

Trong nhiều trường hợp, việc tìm các giá trị riêng của ma trận A sẽ gặp khó khăn nếu A có số chiều lớn Dưới đây chúng tôi trình bày phương pháp khác của Routh – Hurwitz để xác định tính ổn định của hệ trong nhiều trường hợp thuận tiện hơn

Định nghĩa 2.1.1 : Đa thức của biến phức z

Trang 27

Đa thức f n z được gọi là đa thức chuẩn bậc n nếu tất cả các hệ số của

det , det det

1

a a

k k

được gọi là ma trận Hurwitz của đa thức f n z

Định lí 2.1.2 : (Tiêu chuẩn Hurwitz): Giả sử hệ (2.1.1) có đa thức đặc trưng của

ma trận A là: f z z n a z1 n 1 a n 1z a n

Khi đó điều kiện cần và đủ để f n z là đa thức Hurwitz (hay phần thực của tất cả các nghiệm của f z là âm) là tất cả các định thức của ma trận Hurwitz D k k, 1,2, ,n là dương

Ví dụ 2.1.2 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trang 28

Trong số các định thức con của ma trận H có detD1 2 0, do đó f3

không phải là đa thức Hurwitz Vậy hệ đã cho không ổn định tiệm cận

Trang 29

Ta thấy định thức tất cả các ma trận con D k k, 1,2,3,4 đều dương nên f là

đa thức Hurwitz có phần thực của các nghiệm đều âm

Vậy phương trình vi phân đã cho là ổn định tiệm cận

Tính ổn định hệ tuyến tính ôtônôm (2.1.1) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệm của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov dạng:

T

A X XA Y (LE) trong đó X Y, là các ma trận n n - chiều và được gọi là cặp nghiệm của (LE)

Xét hệ (2.1.1), bây giờ ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực của tất

cả các giá trị riêng của A là âm Điều này tương đương với hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận

Định lí 2.1.3 Ma trận A ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng, xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương X

Chứng minh:

(+) Giả sử với ma trận đối xứng, xác định dương tùy ý Y, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương X Ta chứng minh ma trận A là ổn định Thật vậy:

Với x t là một nghiệm tùy ý của hệ (2.1.1) với điều kiện ban đâu x 0 x0

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	1,02 MB