Bài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. VŨ NGỌC PHÁT THÁI NGUN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Ngun, tháng 5 năm 2013 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Để hồn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Tốn học Việt Nam). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều thầy đã dành cho tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, q thầy cơ giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Ngun đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu cũng như tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Ngun, tháng 5 năm 2014 Người viết Luận văn Lê Cao Kiên ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kí hiệu tốn học 1 1 Cơ sở tốn học 2 1.1 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân . . . . . 4 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. . . . . . . 7 2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. 9 2.1 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính . . 9 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu 12 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ . . . 18 2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận chung 25 Tài liệu tham khảo 26 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Lý thuyết ổn định hữu hạn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Bài tốn ổn định hữu hạn được khởi xướng từ những năm 1970 nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động, của một hệ thống mơ tả bởi hệ phương trình vi phân. Một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định hữu hạn nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu của hệ là bị chặn thì tồn bộ hệ bị chặn. Do đó, lý thuyết ổn định hữu hạn được nghiên cứu xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu phát triển của một số ngành khoa học thực tế: tốn kinh tế, tốn thống kê, vật lý tốn, Đã hơn một nửa thế kỷ trơi qua lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực tốn học được nghiên cứu sơi nổi nhất và đạt được nhiều kết quả sâu sắc phong phú và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý tốn, kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và mơi trường, Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, khái niệm về tính ổn định hữu hạn nghiệm của hệ phương trình vi phân. Chương 2 giới thiệu các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tình chỉ bảo cho tơi trong q trình làm luận văn và các thày cơ trong trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN cũng như các thầy cơ đã giảng dậy lớp cao học khóa 2012-2014. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thày cơ và các ban. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu tốn học R Tập số thực. R + Tập số thực khơng âm. R n Khơng gian véctơ Euclide n chiều. R n×n Khơng gian các ma trận thực. I Ma trận đơn vị. A T Ma trận chuyển vị của ma trận A. P > 0 Ma trận xác định dương. λ(P ) Các giá trị riêng thực của ma trận P . λ(Q) Các giá trị riêng của ma trận Q. λ max (P ) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận P . λ min (P ) Giá trị riêng thực nhỏ nhất của ma trận Q. C([a; b], R n ) Khơng gian các hàm liên tục đi từ [a; b] vào R n . 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Cơ sở tốn học Trong chương này chúng tơi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân nhằm mục đích sử dụng cho chương sau. Nội dung của chương này bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lý cơ bản về hệ phương trình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov và tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân. Những nội dung chương này được trình bày từ [1] − [3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân dạng tổng qt có dạng  ˙x(t) = f (t, x), t ≥ 0 x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0 (1.1) trong đó f : R + ×R n −→ R n . Nếu vế phải của (1.1) khơng phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là hệ ơtơnơm, ngược lại ta nói hệ là khơng ơtơnơm. Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ R + × R n . ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1). Khi hàm f(t,x) liên tục trên I × D thì nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân sau: x(t) = x 0 +  t t 0 f(s, x(s))ds. Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1). Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff ). Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó D là tập tất cả những x ∈ R n sao cho ||x − x 0 || < a với a > 0 , 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ f : R + × D −→ R n liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > 0 : ||f(t, x 1 ) − f(t, x 2 )|| ≤ K||x 1 − x 2 ||, ∀t ≥ 0. Khi đó, với mỗi (t 0 , x 0 ) ∈ I ×D sẽ tìm được một số d > 0 sao cho hệ phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng [x 0 − d, x 0 + d]. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm dạng  ˙x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0, x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0. (1.2) trong đó A ∈ R n×n và g : [0; +∞) −→ R n là hàm liên tục. Hệ phương trình (1.2) ln có nghiệm (duy nhất) xác định trên [0, +∞) cho bởi cơng thức Cauchy x(t) = x 0 e A(t−t 0 ) +  t t 0 e A(t−s) g(s)ds. Đối với hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm tuyến tính dạng  ˙x(t) = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0 x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0. trong đó A(t) ∈ R n×n các hàm số liên tục trên R + và g : R + −→ R n là hàm liên tục. Khi A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| ≤ m(t) trong đó g(t) và m(t) là các hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm (duy nhất) trên [0; ∞). Nghiệm của hệ này biểu diễn thơng qua ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ thuần nhất ˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0, và được cho bởi cơng thức : x(t) = φ(t, t 0 )x 0 +  t t 0 φ(t, s)g(s)ds. Trong đó ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ tuyến tính trên thỏa mãn hệ phương trình  d dt φ(t, s) = A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0 φ(t, t) = I. Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân  ˙x 1 = 1, ˙x 2 = 2tx 1 + e t , t ≥ 0 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta có A(t) =  0 0 2t 0  , g(t) =  1 e t  ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) =  1 0 t 2 − s 2 1  khi đó nghiệm tổng qt của hệ có dạng x(t) =  1 0 t 2 − t 2 0 1  x 0 +  t t 0  1 0 t 2 − s 2 1  1 e t  ds, với x(0) =  2 1  . Vậy nghiệm tổng qt của hệ đã cho được biểu diễn dưới dạng x(t) =  t + 2 2 3 t 3 + 2t 2 + e t  1.2 Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân : ˙x(t) = f (t, x), t ≥ 0, (1.3) trong đó f : R + × R n −→ R n thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ (1.3) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0 ln có nghiệm trên [0; ∞). Điều kiện ban đầu này thường có được bằng cách đo lường nên khơng thể tránh khỏi việc phạm một sai số nào đó. Một câu hỏi đặt ra là sai số đó sẽ ảnh hưởng ít hay nhiều đến nghiệm phải tìm ?. Nếu ảnh hưởng đó là nhiều tức một sự thay đổi khá bé của điều kiện ban đầu lại gây nên một sự thay đổi lớn đối với nghiệm tìm được thì nghiệm này nói chung ít có giá trị về phương diện ứng dụng và khơng thể dùng để mơ tả gần đúng hiện tượng đang xét. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... được trình bày trong luận văn này Những vấn đề chính của luận văn • Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của hệ phương trình vi phân như nghiệm của hệ , sự ổn định theo Lyapunov, ổn định hữu hạn, , đồng thời trình bày một số kiến thức về xét sự ổn định hữu hạn của hệ • Trình bày một số kết quả cơ bản giải bài tốn ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính: Hệ phương trình vi phân tuyến... luận chung Tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân là một vấn đề được nhiều nhà tốn học quan tâm đặc biệt quan tâm tới tính ứng dụng thực tế và vai trò của nó với nhiều ngành khoa học Tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân, cụ thể là lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ là một bài tốn khó và... số kết quả cơ bản về điều kiện đủ tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Nội dung chương này được trình bày trong các kết quả của [3], [6] 2.1 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: x(t) = Ax(t), ˙ x(0) = x0 t ≥ 0, (2.1) trong đó A ∈ Rn×n , x(t) ∈ Rn , x0 ∈ Rn Định lý 2.1 Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại... ổn định hữu hạn nhưng khơng ổn định Lyapunov và ngược lại Ví dụ 1.5 Xét hệ phương trình vi phân sau: x(t) = cost, nghiệm của hệ là ˙ x(t) = sint + x0 Rõ ràng hệ trên khơng ổn định tiệm cận nhưng ổn định hữu hạn đối với ( 1 , 3 , π, I) 2 2 Ví dụ 1.6 Xét hệ phương trình sau: x(t) = −ax(t), a > 0 Nghiệm của hệ ˙ là x(t) = e−at x0 Hệ là ổn định Lyapunov và cũng ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, I),... , T > 0 Ví dụ 1.7 Xét hệ phương trình vi phân mà nghiệm x(t) liên tục tuyệt đối được xác định bởi x(t) = sint + 1 0 ≤ t ≤ π, e−(t−π) t > π Ta thấy x(t) → 0, khi t → +∞ như vậy hệ ổn định Lyapunov nhưng hệ khơng ổn định hữu hạn đối với ( 3 , 2, π, I) 2 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Nội dung của chương... lấy τ = 0, 2 khi đó ta chọn được c1 = e−6 , c2 = 6 Như vậy hệ x1 (t) = 2x1 (t) + x2 (t) − 3x1 (t − 0, 2) ˙ x2 (t) = 3x1 (t) + x2 (t) − 4x1 (t − 0, 2) − x2 (t − 0, 2) ˙ là ổn định hữu hạn đối với (e−6 , 6, 1, I) 2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và có trễ Sau đây ta xét tính ổn định hữu hạn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu dạng x(t) = Ax(t) + A1 x(t − τ )... hạn hệ phương trình vi phân Trong thực tế người ta thường gặp bài tốn xét dáng điệu nghiệm cân bằng hệ phương trình vi phân khơng trên tồn bộ [0; +∞] mà chỉ trên đoạn hữu hạn [0; T ] Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi nhiễu các giá trị ban đầu cũng bị chặn bởi một số cho trước Đây cũng là nội dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn [3] Xét hệ phương trình vi phân dạng: x... thì hệ là ổn định tiệm cận Ví dụ 1.4 Xét tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân x1 = −x2 − x3 , t ≥ 0 ˙ 1 x2 = x1 − x3 ˙ 2 Lấy hàm Lyapunov V (x) = x2 + x2 ta có 1 2 Df V (x) = 2x1 x1 + 2x2 x2 ˙ ˙ suy ra = 2x1 (−x2 − x3 ) + 2x2 (x1 − x3 ) 1 2 Df V (x) = −2(x4 + x4 ) 1 2 do đó Df V (x) < −2||x|| < 0, ∀x ∈ R+ \{0} khi đó ta có tính ổn định tiệm cận của hệ đã cho 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.33) Định nghĩa 2.3 Hệ (2.32) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu với mọi nhiễu thỏa mãn (2.33) và từ max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 −τ ≤t≤0 suy ra xT (t)Rx(t) < c2 ∀t ∈ [0; T ] Ta có định lý sau cho điều kiện đủ về tính ổn định hữu hạn của hệ (2.32) Định lý 2.4 .Hệ (2.32) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại số α > 0, các ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q... của định lý ta có  a1 < 0, 5 (10a3 − 5)(4a1 − 2) − 10a2 > 0 2  1 a1 = 4  a1 = 1 4 a2 = 2  a3 = 5  a1 < 0, 5 ⇔ 5a2 > 1 − 5a3  2 1 a1 = 4 lấy 1 4 0 2 5 A= Khi đó λmax (Q) = 5, λmin (Q) = 2 và c2 = 6, c1 = 2e−1 Khi đó hệ x1 (t) = 1 x1 (t) ˙ 4 x2 (t) = 2x1 (t) + 5x2 (t) ˙ ổn định hữu hạn đối với (2e−1 , 6, 1, I) 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu Xét hệ phương trình . . . . 4 1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. . . . . . . 7 2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. 9 2.1 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính. tính . . 9 2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu 12 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ . . . 18 2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có. phương trình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov và tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân. Những nội dung chương này được trình bày từ [1] − [3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương