Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM  PHẠM NGỌC HẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM  PHẠM NGỌC HẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Phạm Ngọc Hải Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Mục lục ii Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn iii LỜI MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC 3 1.1. Hệ phƣơng trình vi phân 3 1.1.1. Hệ phương trình vi phân 3 1.1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 4 1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 4 1.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân 7 1.2.1. Bài toán điều khiển được đối với hệ liên tục 7 1.2.2. Bài toán điều khiển được đối với hệ rời rạc 9 Chƣơng 2. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12 2.1. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 12 2.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính có hạn chế biến điều khiển 25 KẾT LUẬN… 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN R : Tập các số thực không âm. n R : Không gian véc tơ n- chiều với kí hiệu tích vô hướng là .,. nr R : Không gian các ma trận ()nr - chiều. ([ , ], ) n C a b R : Tập các hàm liên tục trên [ , ]ab và nhận giá trị trên n R . 2 ([ , ], ) m L a b R : Tập các hàm khả tích bậc hai trên [ , ]ab và lấy giá trị trong m R . A : Ma trận chuyển vị của ma trận A . I : Ma trận đơn vị. 1 A : Ma trận nghịch đảo của ma trận A . rank A : Hạng của ma trận A . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Lý thuyết điều khiển được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của nhà toán học R. Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản. Trải qua hơn một thế kỷ, lý thuyết điều khiển ngày càng phát triển mạnh mẽ như một chuyên ngành độc lập của toán học ứng dụng với sự kết hợp của toán học và điều khiển kỹ thuật. Hiện nay lý thuyết này được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu như: R. Kalman, RP Agarwal, V. Korobov, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Khoa Sơn,…và thu được nhiều kết quả, tính chất quan trọng. Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong các bài toán điều khiển hệ thống là tính điều khiển được, tức là xác định điều khiển chấp nhận được sao cho hệ thống chuyển từ vị trí này tới vị trí khác trong một thời gian hữu hạn nào đó. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được,… Như chúng ta biết công cụ chính để nghiên cứu những vấn đề trong lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển. Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các mô hình động lực mô tả bằng các hệ phương trình tuyến tính có cấu trúc đơn giản. Luận văn giới thiệu một cách tổng quan các bài toán điều khiển được các hệ động lực mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian liên tục và rời rạc khác nhau. Nội dung luận văn gồm 36 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chương 1: Cơ sở toán học. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển tuyến tính liên tục. Cuối chương, chúng tôi trình bày các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển với thời gian rời rạc. Chương 2: Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính. Trong chương này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ về tính điều khiển được các hệ phương trình vi phân tuyến tính và một số ví dụ minh họa. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô ở khoa Toán, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm – Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường. Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người luôn ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập, làm việc, nghiên cứu cũng như trong cuộc sống. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 Chƣơng 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm toán học cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính. 1.1. Hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1. Hệ phƣơng trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng: 0 0 0 0 ( ) ( , ( )), , (1.1.1) ( ) , 0, x t f t x t t t x t x t  trong đó () n xt R , : nn f    , với mỗi 0 tt . Hàm khả vi liên tục ()xt thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) được gọi là nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được ký hiệu là 0 ( , )x t x . Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1.1) là 0 00 ( , ) ( , ( )) . t t x t x x f s x s ds Các định lý sau đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1.1) (xem [2]). Định lý 1.1.1. (Định lý Picard – Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1.1) trong đó giả sử : n f I D R 00 ,I t t b liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: 1 2 1 2 0: ( , ) ( , ) , 0.K f t x f t x K x x t Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Khi đó, với mỗi 00 ( , )t x DR sẽ tìm được một số 0d sao cho hệ phương trình (1.1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng 00 ,x d x d . Hay nói cách khác, qua mỗi điểm 00 ( , )t x I D có một và chỉ một đường cong tích phân chạy qua. Định lý 1.1.2. (Định lý Caratheodory) Giả sử ( , )f t x là hàm đo được theo tI và liên tục theo xD . Nếu tồn tại hàm khả tích ()mt trên 00 ,t t b sao cho ( , ) ( ), ( , ) ,f t x m t t x I D thì hệ (1.1.1) có nghiệm trên khoảng 00 ,tt nào đó. Với một số giả thiết thêm trên của hàm ( , )f t x thì nghiệm 0 ( , )x t x được xác định trên 0, (xem [2]) . Đặc biệt, đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính ( ) ( ) ( ) ( ), 0,x t A t x t g t t  trong đó ( ) , , ( ): n n n A t t g tR R R là các hàm liên tục thì luôn luôn tồn tại nghiệm 0 ( , )x t x xác định trên toàn khoảng 0, . 1.1.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính ôtônôm Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng : 0 0 0 ( ) ( ) ( ), , (1.1.2) ( ) , 0, x t Ax t g t t x t x t  R trong đó A là nn - ma trận hằng số, : n g RR là hàm liên tục. Nghiệm của hệ phương trình được biểu diễn bởi công thức CauChy 0 0 () () 00 ( , ) ( ) , 0. t A t t A t s t x t x e x e g s ds t 1.1.3. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ôtônôm Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 5 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), , (1.1.3) ( ) , 0, x t A t x t g t t x t x t  R trong đó ()At là nn - ma trận các hàm số liên tục trên R , : n g RR là hàm liên tục. Nghiệm của hệ phương trình (1.1.3) được biểu diễn ma trận nghiệm cơ bản ( , )ts của hệ thuần nhất ( ) ( ) ( ), 0, (1.1.4)x t A t x t t  và được cho bởi công thức tích phân 0 00 ( ) ( , ) ( , ) ( ) , 0, t t x t t t x t s g s ds t trong đó ( , )ts là ma trận nghiệm cơ bản thỏa mãn: ( , ) ( ) ( , ), , ( , ) . d t s A t t s t s dt s s I Định lý 1.1.3.[1]. Cho ( , )ts là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất (1.1.4). Khi đó i) Mọi nghiệm của hệ (1.1.2) với 00 ()x t x là 00 ( ) ( , ) .x t t t x ii) Nếu 0 ( , )tt là ma trận nghiệm cơ bản khác của hệ (1.1.2) thì 0 1 0 0 ( , ) ( , ) , ,t t t t C t t trong đó C là ma trận hằng số nào đó. iii) Nếu C là ma trận nghiệm cơ bản thì 0 ( , )t t C cũng là ma trận nghiệm cơ bản. Chứng minh: i) Suy ra ngay từ công thức nghiệm Cauchy. Để chứng minh ii) ta ký hiệu 0 ( , ) ( )t t t . Ta đặt 1 1 ( ) ( ) ( )t t t . [...]... TON IU KHIN C H PHNG TRèNH VI PHN TUYN TNH Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu c s v tớnh iu khin c ca h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh thụng qua cỏc nh lý chn lc i vi cỏc h ng lc mụ t bi phng trỡnh iu khin vi thi gian liờn tc Ni dung chng ny l kt qu t cụng trỡnh [3,4] 2.1 Bi toỏn iu khin c cho cỏc h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh Xột mt h iu khin mụ t bi h phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh ụtụnụm dng... A , ng vi giỏ tr riờng thc, nm trong nún i cc dng ( B ) x R n , x, u (B ) 0 u (B ) Chng minh: iu kin cn: Gi s h l P Khi ú h (2.2.9) vi R m l HT Do nh lý (2.1.1) , h khụng cú hn ch iu khin l HT s tng ng vi iu kin hng Kalman i) ch ra iu kin ii), gi s phn chng rng tn ti vộc t x ( B ) sao cho x0 A x0 0 v R x0 , Vỡ h l P, s tn ti lõn cn V (0) R , trong ú R l tp t c ca h (2.2.9) T ú suy ra rng vi mi x... ta c p( A) An an 1 An An an 1 An 1 a0 I 0, cho nờn 1 a0 I Nhõn t bờn trỏi vi B ta cú An B an 1 An 1B a0 B Nhõn vụ hng hai v phng trỡnh ma trn trờn vi vộc t v R n , v 0 ta cú v ' An B 0 Lý lun tng t, ta cú v ' An k B 0, S húa bi trung tõm hc liu k 0,1,2 (2.1.4) http://lrc.tnu.edu.vn/ 14 Mt khỏc theo khai trin hm s e At , vi mi t 0 , ta cú t2 v ' e B v ' B tv ' AB v ' A2 B 2! tn v ' An B n! At T... (2.1.8) l KHT, nhng LT l ma trn suy bin vi T > 0 Trc ht vi vộc t x ẻ Rn v vỡ ma trn LT l i xng nờn ta cú th xột dng ton phng sau T x Lt x (T , s) B B (T , s) x, x ds 0 T B (T , s) x 2ds (2.1.9) 0 Vỡ theo gi thit phn chng LT l ma trn suy bin nờn cú mt vộc t x Rn , x 0 sao cho LT x = 0 T (2.1.9) ta cú T x Lt x B (T , s ) x 2 ds 0 0 T ú suy ra B Â ÂT , s )x = 0 vi mi s ẻ [0,T ] f ( S húa bi trung tõm... tn ti mt iu khin chp nhn c u (t ) ẻ U sao cho T x = ũ f (T , s )Bu(s )ds 0 Nhõn c hai v ng thc trờn vi x T x 0 , ta cú T 2 (T , s ) Bu ( s ), x ds 0 u ( s ), B (T , s ) x ds 0 0 iu ny dn ti mõu thun vỡ x 0 iu kin : Gi s ma trn LT khụng suy bin vi T > 0 no ú Nh -1 vy ma trn LT cú ma trn nghch o LT Vi hai trng thỏi tựy ý x0, x1 Rn ta xỏc nh c iu khin chp nhn c u (t ) ẻ U nh sau B (T , t ) LT 1 ( (T... F (t ) dt t0 2 0, a F (t ) dt t0 suy ra a F (t ) 0 vi mi t [t0 , t1] iu ny mõu thun vi tớnh c lp tuyn tớnh ca h fi (t ) Ngc li, gi s ma trn (t0 , t1) l khụng suy bin nhng h fi (t ) l ph thuc tuyn tớnh Khi ú tn ti vộc t a R n , a 0 sao cho a F (t ) 0, t [t0 , t1] Vy t1 a (t0 , t1) a F (t ) F (t )dt 0, t0 suy ra (t0 , t1) l suy bin, iu ny li mõu thun vi gi thit S húa bi trung tõm hc liu http://lrc.tnu.edu.vn/... 0, T , I n Vi tựy ý v u (t ) R:t 1 n 1 I n t xỏc nh iu khin chp nhn c u u * (t ), t I \ In , v, t U bi In Khi ú d thy rng u* ( s),( B (s) (T , s) y) ds In Gi v,( B (s) (T , s) y ) ds In ( I n ) l o Lebeagues ca I n , ta cú 1 u* ( s),( B ( s) (T , s) y) ds (In ) I 1 v,( B ( s) (T , s) y) ds (In ) I n n , vi mi t [0,T ] : Cho n u* (t ),( B (t ) (T , t ) y ) v,( B (t ) Vỡ bt ng thc trờn ỳng vi mi v u*... 1.1.1 Xột h phng trỡnh vi phõn (1.1.4) trong ú A(t ) 0 0 2t 0 Ta cú nghim c bn f (t , s ) S húa bi trung tõm hc liu http://lrc.tnu.edu.vn/ 7 (t , s ) 1 t2 0 s2 1 Vy nghim ca h (1.1.4) xut phỏt x(0) x(t , x0 ) x0 l (t ,0) x0 1 0 x01 t2 1 x02 x01 x1 (t , x0 ) t 2 x01 x2 (t , x0 ) x02 1.2 Bi toỏn iu khin c h phng trỡnh vi phõn 1.2.1 Bi toỏn iu khin c cho h liờn tc Xột h phng trỡnh vi phõn iu khin: x(t... trỡnh tng t n bc n ,ta cú v ' An 1B 0 , hay l v ' B, AB, , An 1B 0 ng thc trờn cho ta iu kin rank B, AB, , An 1B n, vỡ v ' 0 , iu mõu thun vi iu kin (2.1.3) cho ta khng nh (2.1.6) Bõy gi vic chng minh c hon thnh nh sau: Vi bt k hai trng thỏi x0 , x1 R n , t vộc t a x1 at1x0 , trong ú t1 0 c xỏc nh t iu kin (2.1.5) Vỡ h l HT sau thi gian t1 nờn s tỡm c mt iu khin u(t ) Ut sao cho 1 t1 a e A( t 1 s) B u... ( x0 ) R n + HT nu R (0) R n + KHT 0 nu R n , 0 R ( x0 ) ,trong ú ký hiu x0 Rt ( x0 ) R ( x0 ) t 0 1.2.2 Bi toỏn iu khin c cho h ri rc Xột h iu khin vi thi gian ri rc x(k 1) x(0) f k , x(k ), u (k ) , k 0,1,2 x0 , trong ú x(k ) R n , u (k ) R m Vi dóy iu khin (u (0), u (1), , u (k 1), ) nghim ca h phng trỡnh ó cho c xỏc nh: x(1) f (0, x0 , u (0)) x(2) f (1, f (0, x0 , u (0)), u (1)) x(3) f (2, . 1.1.3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 4 1.2. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân 7 1.2.1. Bài toán điều khiển được đối với hệ liên tục 7 1.2.2. Bài toán điều khiển. khiển được đối với hệ rời rạc 9 Chƣơng 2. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12 2.1. Bài toán điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính 12 2.2. Bài toán điều. toán học. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển tuyến