Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .... Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính .... LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học là một trong n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - -

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - -

Thái Nguyên – 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Phạm Ngọc Hải

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Mục lục ii

Một số kí hiệu toán học dùng trong luận văn iii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 3

1.1 Hệ phương trình vi phân 3

1.1.1 Hệ phương trình vi phân 3

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 4

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 4

1.2 Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân 7

1.2.1 Bài toán điều khiển được đối với hệ liên tục 7

1.2.2 Bài toán điều khiển được đối với hệ rời rạc 9

Chương 2 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12

2.1 Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính 12

2.2 Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính có hạn chế biến điều khiển 25

KẾT LUẬN… 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

MỘT SỐ KÍ HIỆU TOÁN HỌC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết điều khiển được khởi xướng bởi những ý tưởng và kết quả quan trọng của nhà toán học R Kalman từ những năm 60, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại

số về tính điều khiển được hệ tuyến tính đơn giản

Trải qua hơn một thế kỷ, lý thuyết điều khiển ngày càng phát triển mạnh

mẽ như một chuyên ngành độc lập của toán học ứng dụng với sự kết hợp của toán học và điều khiển kỹ thuật Hiện nay lý thuyết này được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm nghiên cứu như: R Kalman, RP Agarwal, V Korobov, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Khoa Sơn,…và thu được nhiều kết quả, tính chất quan trọng

Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong các bài toán điều khiển hệ thống là tính điều khiển được, tức là xác định điều khiển chấp nhận được sao cho hệ thống chuyển từ vị trí này tới vị trí khác trong một thời gian hữu hạn nào đó Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác như bài toán điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn định hóa, bài toán quan sát được,…

Như chúng ta biết công cụ chính để nghiên cứu những vấn đề trong lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các mô hình động lực mô tả bằng các hệ phương trình tuyến tính có cấu trúc đơn giản Luận văn giới thiệu một cách tổng quan các bài toán điều khiển được các hệ động lực

mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian liên tục và rời rạc khác nhau Nội dung luận văn gồm 36 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển tuyến tính liên tục Cuối chương, chúng tôi trình bày các bài toán điều khiển được đối với hệ điều khiển với thời gian rời rạc

Chương 2: Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trong chương này, chúng tôi trình bày các điều kiện đủ về tính điều khiển được các hệ phương trình vi phân tuyến tính và một số ví dụ minh họa Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn chân thành nhất đến GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô ở khoa Toán, khoa Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm – Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trường Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người luôn ủng hộ, động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt quá trình học tập, làm việc, nghiên cứu cũng như trong cuộc sống

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều, nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm toán học cơ sở

về hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của

hệ phương trình vi phân tuyến tính, lý thuyết điều khiển được hệ phương trình

Hàm khả vi liên tục ( )x t thỏa mãn hệ phương trình (1.1.1) được gọi là

nghiệm của hệ phương trình vi phân đó và được ký hiệu là x t x( , 0)

Công thức nghiệm dạng tích phân của hệ (1.1.1) là

Khi đó, với mỗi ( ,t x0 0) R D sẽ tìm được một số d 0 sao cho hệ

phân chạy qua

Định lý 1.1.2 (Định lý Caratheodory)

hàm khả tích ( ) m t trên t t0, 0 b sao cho

f t x( , ) m t( ), ( , )t x I D,

Với một số giả thiết thêm trên của hàm f t x thì nghiệm ( , ) x t x( , 0) được

Đặc biệt, đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính

( )x t A t x t( ) ( ) g t t( ), 0,

trong đó ( )A t Rn n, t g t, ( ) :R R là các hàm liên tục thì luôn luôn tồn n

tại nghiệm x t x( , 0) xác định trên toàn khoảng 0,

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm

Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng :

1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng:

Khi đó ( )t là ma trận không suy biến và

1.2 Bài toán điều khiển được hệ phương trình vi phân

1.2.1 Bài toán điều khiển được cho hệ liên tục

Xét hệ phương trình vi phân điều khiển:

0

( ) ( , ( ) ( )), 0

(1.2.1)(0) ,

Như vậy ứng với điều khiển chấp nhận được ( )u t hệ (1.2.2) luôn có nghiệm x t x u( , 0, ) tại thời điểm t được cho bởi

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai trạng thái x x0, 1 Rn , cặp ( , )x x0 1 được gọi là

được ( ) u t sao cho nghiệm x t x u( , 0, ) của hệ (1.2.2) thỏa mãn điều kiện

x(0,x u0, ) x0, x t x u( ,1 0, ) x1

Định nghĩa 1.2.2 Hệ (1.2.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn

Trong trường hợp tồn tại một lân cận gốc V(0) Rnsao cho hệ (1.2.2) là điều khiển được hoàn toàn trong (0)V , thì hệ được gọi là điều khiển được địa phương (ĐKĐĐP)

Định nghĩa 1.2.3 Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là đạt được hoàn toàn

cho (0, )x1 là điều khiển được sau thời gian t1

Định nghĩa 1.2.4 Hệ điều khiển (1.2.2) được gọi là điều khiển được hoàn

1.2.2 Bài toán điều khiển đƣợc cho hệ rời rạc

Xét hệ điều khiển với thời gian rời rạc

trong đó ( )x k Rn, ( )u k R , ( )m A k Rn n, ( )B k Rn m.Với dãy điều khiển cho trước ( (0), (1), , (u u u k 1)), ( )u k Rn, nghiệm của hệ phương trình (1.2.3) được xác định bởi

1 0 0

( ) ( ,0) ( , 1) ( ) ( )

k i

( , 1) ( ) ( ) : ( )

k

km k



R R

+ Điều khiển được về 0 địa phương (ĐKĐĐP 0), nếu 0 int C

+ Đạt được địa phương (ĐĐĐP), nếu 0 int R

Ví dụ 1.2.2 Xét hệ rời rạc

.1

…

Chương 2

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả cơ sở về tính điều

khiển được của hệ phương trình vi phân tuyến tính thông qua các định lý chọn

lọc đối với các hệ động lực mô tả bởi phương trình điều khiển với thời gian

liên tục Nội dung chương này là kết quả từ công trình [3,4]

2.1 Bài toán điều khiển được cho các hệ phương trình vi phân

Đối với hệ (2.1.1), theo công thức nghiệm ta có ma trận nghiệm cơ bản là

( ,0)t e Atcho nên nghiệm x t x u( , 0, ) của hệ (2.1.1) sẽ được cho bởi

Khi đó tập đạt được từ 0 sau thời gian t và tập các trạng thái điều khiển

được về 0 sau thời gian t được mô tả

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một kết quả cơ sở đầu tiên về tính điều khiển

được cho hệ điều khiển tuyến tính dừng

Định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện cần và đủ để hệ (2.1.1) là điều khiển được hoàn toàn

Định lý 2.1.1 (Tiêu chuẩn hạng Kalman): Hệ tuyến tính (2.1.1) là điều khiển

được hoàn toàn (ĐKĐHT) khi và chỉ khi

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử phản chứng rằng hệ (2.1.1) là ĐKĐHT

nhưng điều kiện hạng (2.1.3) không thỏa mãn, tức là

Mặt khác theo khai triển hàm số e At, với mọi t 0, ta có

2 2

Từ điều kiện (2.1.4) suy ra v e B' At 0 t 0 Theo giả thiết hệ là

ĐKĐHT, và từ nhận xét hệ là ĐKĐHT 0, tức là tồn tại thời gian t1 0 và điều khiển chấp nhận được

Điều kiện đủ: Bây giờ ta giả sử điều kiện hạng (2.1.3) thỏa mãn Trước

tiên ta chứng minh hệ (2.1.1) đạt được hoàn toàn sau thời gian t1 0 nào đó, tức là

( ) 0

( )

t

A t s t

Theo định nghĩa về tập đạt được của hệ sau thời gian t1, ta có

Trong (2.1.7) đặt s t1ta được 'v B 0 Đạo hàm hai vế theo s [0, ]t1 sau

đó lại cho s t1 ta được 'v AB 0 Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức

Như vậy để xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính dừng (2.1.1) ta chỉ cần xác lập ma trận [B,AB, ,An-1B]- (n´ nm), sau đó kiểm tra hạng của nó là đủ Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển được và ký hiệu tắt

Bây giờ ta xét tính điều khiển được cho hệ phương trình vi phân tuyến

L = ò f t s BB ¢ ¢ f t s ds

Định lý sau đây cho ta cách xác định cụ thể điều khiển chấp nhận được

( )

u t mà nhờ đó hệ thống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác

Định lý 2.1.2 Hệ (2.1.8) là điều khiển được hoàn toàn sau thời gian T > 0

khi và chỉ khi ma trận L là không suy biến T

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.1.8) là ĐKĐHT, nhưng L là T

ma trận suy biến với T > 0 Trước hết với véc tơ n

Từ đó suy ra

B¢ ¢f ( , )T s x = 0 với mọi s Î [0, ]T

Mặt khác vì hệ (2.1.8) là ĐKĐHT nên hệ là ĐĐHT sau thời gian T > 0, cho nên sẽ tồn tại một điều khiển chấp nhận được u t Î U( ) sao cho

Điều này dẫn tới mâu thuẫn vì x 0

Điều kiện đủ: Giả sử ma trận L không suy biến với T T > 0 nào đó Như

vậy ma trận L có ma trận nghịch đảo T L T-1 Với hai trạng thái tùy ý

0, 1

n

x x R ta xác định được điều khiển chấp nhận được u t Î U( ) như sau

u t( ) B ( , )T t L T1( ( ,0)T x0 x1) (2.1.10)trong trường hợp u t( ) xác định theo (2.1.10) thì dễ kiểm tra được nó là điều khiển chấp nhận được chuyển từ trạng thái x0 tới x1

0

Tìm ma trận nghiệm cơ bản f ( , )t s của hệ

L là ma trận không suy biến

Hệ đã cho là ĐKĐHT theo định lý 2.1.2 Với các trạng thái x0 (0,1),

1 (0,0)

x thì điều khiển chấp nhận được ( )u t được xác định

L là ma trận không suy biến

Hệ đã cho là ĐKĐHT theo định lý 2.1.2 Với các trạng thái

Bây giờ xét tính ĐKĐHT cho hệ không ôtônôm (2.1.8) theo tiêu chuẩn hạng Kalman Để chứng minh ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 2.1.1 Cho các hàm f i(.) :[ , ]t t0 1 Rm,i 1, 2, ,n Hệ hàm f t i( ) là độc lập tuyến tính trên [ , ]t t0 1 khi và chỉ khi ma trận

là không suy biến, trong đó F t( ) f t1( ), f t2( ), , f t n( )

Chứng minh: Giả sử hệ f t i( ) , i 1,2, ,n là độc lập tuyến tính nhưng

Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hệ f t i( )

Ngược lại, giả sử ma trận ( , )t t0 1 là không suy biến nhưng hệ f t i( ) là phụ thuộc tuyến tính Khi đó tồn tại véc tơ a Rn,a 0 sao cho

Bổ đề 2.1.2 Cho f i(.) :[ , ]t t0 1 Rm,i 1, 2, ,n là các hàm véc tơ khả vi liên

tục theo t tới bậc ( n 1) Khi đó hệ f t i( ) là độc lập tuyến tính nếu có một

Từ đây suy ra mâu thuẫn với điều kiện (2.1.12)

Như vậy Bổ đề 2.1.1, 2.1.2 cho ta điều kiện kiểm tra hệ f t i( ) là độc lập tuyến tính hay không, và với giả thiết thêm tính trơn của các hàm

Định lý 2.1.2 cho chúng ta một tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn của

hệ không ôtônôm (2.1.8) dưới dạng ma trận điều khiển tích phân không suy biến Một câu hỏi đặt ra là đối với hệ không ôtônôm (2.1.8) thì liệu có tiêu chuẩn hạng Kalman hay không? Dựa vào các bổ đề trên chúng ta sẽ chứng

minh định lý sau đây về tính điều khiển được hoàn toàn cho hệ (2.1.8) dưới dạng tiêu chuẩn hạng Kalman

Định lý 2.1.3 Giả sử các ma trận ( ), ( )A t B t là các hàm giải tích trên [ , ]t0

Hệ (2.1.8) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi

Gọi các hàng của ma trận F t là các hàm ( ) f t i( ) ,i 1,2, ,n Bây giờ

nếu ta giả sử hệ (2.1.8) là GC ,thì khi đó theo định lý 2.1.2 ma trận ( , )t t0 1

là không suy biến với t1 t0 nào đó Từ bổ đề 2.1.1 suy ra hệ f t i( ) là độc lập tuyến tính trên [ , ]t t0 1 Mặt khác, vì ( ), ( )A t B t là các hàm giải tích nên các hàm f t i( ) sẽ khả vi liên tục cấp vô hạn lần, áp dụng bổ đề 2.1.2, có

2 [ , ]0 1

t t t sao cho (2.1.14) thỏa mãn Theo đẳng thức (2.1.14) ta có

rank t t( , )[0 2 M t0( ),2 M t1 2( ), ,M n 1 2( )]t n.

Vì ma trận ( , )t t0 2 không suy biến nên (2.1.13) thỏa mãn, điều kiện cần của định lý được chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả thiết có điều kiện (2.1.13) Từ đẳng thức (2.1.14) suy ra

cho các hệ có hạn chế điều khiển dạng

Chứng minh: Theo định nghĩa của tính ĐKĐHT 0, trạng thái x0 điều

khiển được về 0 sau thời gian T khi và chỉ khi

là toán tử tuyến tính liên tục, cho nên tập RT(x0) là tập lồi, đóng giới nội nên compact trong Rn Theo định lý tách các tập lồi trong n

R , điều kiện (2.2.3) tương đương với điều kiện

compact yếu trong L2 [0, ],T R m nên nó sẽ đạt cực đại tại tại một điểm

Bây giờ lấy tích phân hai vế từ 0 đến T ta nhận được điều kiện (2.2.4) Định lý trên cho ta tiêu chuẩn để một trạng thái cho điều khiển về 0 sau một thời gian cố định cho trước Vấn đề cần nghiên cứu là tìm điều kiện để một hệ là điều khiển về 0 hoàn toàn Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cần tìm

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử hệ là ĐKĐHT 0 nhưng điều kiện

(2.2.5) không thỏa mãn, tức là tồn tại số 0, một nghiệm của (2.2.6)

(0)

x

ta sẽ chứng tỏ rằng trạng thái x0 sẽ không điều khiển được về 0 sau bất cứ thời gian t 0, và từ đó mâu thuẫn với tính ĐKĐHT 0 của hệ, suy ra điều kiện cần Do đó ta chỉ cần chỉ ra

t, y0 Rn,y0 0 : J t x y( , 0, 0) 0 (2.2.7) Thật vậy, với t 0 tùy ý lấy y0 1( )t Ta có

Suy ra (2.2.7) Điều kiện cần được chứng minh

Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện (2.2.5), nhưng hệ không là ĐKĐHT 0

Theo định lý (2.2.1), sẽ tìm được một trạng thái x0 Rnvà một dãy số