Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ————————- Đồn Ngọc Hiển BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ CHUN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT Hà Nội - 2018 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tòi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà nội, ngày 12 tháng 09 năm 2018 Người cam đoan Đoàn Ngọc Hiển Lời cảm ơn Luận văn thạc sĩ thực Học Viện khoa học công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người thầy tận tình hướng dẫn để tơi hoàn thành luận văn thạc sĩ Trong ngày tháng học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn thạc sĩ hướng dẫn thầy, nhận niềm đam mê nghiên cứu khoa học thầy, quan tâm, bảo tận tình thầy thúc cần cố gắng nhiều để hồn thiện thân Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, phòng Tối ưu Điều khiển ân cần bảo, dạy dỗ từ tơi học Cao học tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ thầy cô giảng dạy năm học cao học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Học Viện Khoa học Cơng nghệ Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn, quan tâm, trao đổi, góp ý cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn thạc sĩ Đặc biệt, thực thấy hạnh phúc tự hào họ bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để tơi cố gắng hồn thành luận án bố, mẹ em trai MỤC LỤC Lời nói đầu Giới thiệu sở toán học 1.1 1.2 Hệ phương trình vi phân hàm 1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Các bổ đề hỗ trợ Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 2.1 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 2.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ với tham số khơng 9 chắn 14 2.2.1 20 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên 21 2.3.1 34 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 37 2.3 Ví dụ Ví dụ Kí hiệu tốn học R, C Tập số thực phức tương ứng Rn Không gian thực n-chiều với tích vơ hướng xT y Rn×r Khơng gian ma trận thực cỡ n × r A−1 Nghịch đảo ma trận vuông A AT Ma trận chuyển vị ma trận A diag(A1 , A2 , , Ar ) Ma trận chéo với khối A1 , A2 , , Ar nằm đường chéo Ir Ma trận đơn vị cỡ (r × r) λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} λmin (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} C ([0, h] , Rn ) Tập hợp hàm liên tục [0, h] giá trị Rn C ([a, b] , Rn ) Tập hàm khả vi liên tục [a, b] giá trị Rn ∗ Phần tử đối xứng ma trận A 0, A > Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương A B A − B ma trận nửa xác định không âm A>B x A − B ma trận xác định dương Chuẩn Euclide véc tơ x ∈ Rn xác định n xi x = i=1 xt Chuẩn không gian C ([−h, 0] , Rn ) cho xt = sup−h≤t≤0 x(t) LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế kĩ thuật Các cơng trình nghiên cứu năm cuối kỉ XIX nhà toán học người Nga A M Lyapunov ơng nghiên cứu tính ổn định chuyển động Do lý thuyết ổn định nghiên cứu xuất phát từ đòi hỏi thực tiễn nhu cầu phát triển số ngành khoa học nên kỷ trôi qua lý thuyết ổn định lĩnh vực toán học quan tâm có nhiều kết ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực học, vật lý tốn, khoa học kỹ thuật cơng nghệ, sinh thái học Hầu hết trình vật lý, sinh học, hóa học, kinh tế liên quan đến độ trễ thời gian Không thế, độ trễ thời gian nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính khơng ổn định hiệu suất hệ động lực Do lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Mặt khác, tốn xuất phát từ thực tế thường mơ tả hệ phương trình vi phân suy biến Vì thế, giải tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ góp phần giải hàng loạt tốn thực tiễn có tính ứng dụng cao Trong luận văn sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii cách tiếp cận để đưa điều kiện đủ đảm bảo ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Các điều kiện đưa dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Ngồi chúng tơi trình bày vấn đề tính ổn định vững hệ suy biến không chắc với trễ Chúng sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov để giải tốn ổn định vững cho hệ suy biến khơng chắn có trễ Luận văn gồm hai chương Chương Giới thiệu sở tốn học trình bày số khái niệm kết sở hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới thiệu tốn ổn định hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suy biến có trễ Đồng thời trình bày mệnh đề bổ trợ dùng để chứng minh tiêu chuẩn ổn định chương hai Chương Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bày định lý ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên ví dụ minh họa cho định lý Chương Giới thiệu sở toán học Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, tốn ổn định hệ phương trình vi phân có trễ tốn ổn đinh hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Chúng tơi trình bày số bổ đề kỹ thuật cần thiết cho việc chứng minh định lý chương Nơi dung chương trình bày từ tài liệu [1],[2],[3] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân hàm Hệ phương trình vi phân có trễ Như biết, phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)) mô tả mối quan hệ biến thời gian t, trạng thái x(t) hệ thống tốc độ thay đổi trạng thái x(t) thời điểm t Tuy nhiên, thực tế, q trình xảy tự nhiên thường có liên quan với khứ nhiều mang tính di truyền Vì lớp hệ phương trình vi thường khơng miêu tả hết q trình Do đó, để mơ tả cách xác trình này, người ta thường miêu tả chúng phương trình vi phân hàm - phương trình vi phân có trễ Giả sử h số thực không âm Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−h, 0], nhận giá trị không gian Rn chuẩn phần tử ϕ ∈ C cho ϕ = sup −h θ ϕ(θ) Với t0 ∈ R, σ ≥ x ∈ ([t0 −h, t0 +σ] , Rn ), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0 −h, t0 +σ] xác định xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0] Như vậy, xt quỹ đạo đoạn [t − h, t] hàm x(.) với chuẩn C xác định xt = sup x(t + s)) Cho −h θ D ∈ Rn × C tập mở hàm f : D → Rn Một phương trình vi phân có trễ D phương trình dạng   x(t) ˙ = f (t, xt ), t 0, (1.1)  x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) nghiệm phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = φ(t0 ), t0 ∈ [−h, 0] phương trình (1.1) Giả sử f (t, 0) = 0, với t ∈ R+ nghĩa ta giả thiết hệ có nghiệm cân x = Khi ta có định nghĩa tính ổn định nghiệm sau Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (t, 0) = với t ∈ R, (i) Nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi ổn định với t0 ∈ R, > 0, tồn δ = δ(t0 , ) cho φ c ≤ δ x(t, t0 , φ) c ≤ với t ≥ t0 (ii) Nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn b0 = b0 (t0 ) > cho φ b0 limt→∞ x(t, t0 , φ) = c (iii) Giả sử f (t, 0) = 0, t ∈ R α > cho trước Khi đó, nghiệm x(t) = phương trình (1.1) gọi α - ổn định mũ tồn số M > cho nghiệm x(t, t0 , φ) hệ (1.1) thỏa mãn x(t, t0 , φ) M e−α(t−t0 ) φ c , ∀t ≥ t0 , số M gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định α, M gọi chung số ổn định Lyapunov Định lý 1.1.1 (Định lý tồn nghiệm địa phương) Giả sử Ω tập mở R × C, f (t, ) : Ω → Rn liên tục theo t f (t, φ) Lipschitz theo φ tập compact Ω Nếu (t0 , φ) ∈ Ω tồn nghiệm qua điểm (t0 , φ) phương trình (1.1) Định lý 1.1.2 (Định lý tồn nghiệm toàn cục) Cho f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn , thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với H > 0, tồn M (H) > cho f (t, φ) (t, φ) ∈ [0, ∞) × P C([−h, 0], Rn ), φ M (H), H; C (ii) Hàm f (t, φ) hàm liên tục theo hai biến; (iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức tồn số Lipschitz L(H) > cho f (t, φ1 ) − f (t, φ2 ) với t (iv) f (t, φ) 0,φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), φi η( φ C ), t L(H) φ1 − φ2 C C, H, i = 1, 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ) η(r), r ∈ [0, +∞) hàm liên tục, không giảm cho với r0 điều kiện sau thỏa mãn R dr = +∞ η(r) lim R→∞ r0 Khi đó, với t0 φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.1) có nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định [t0 −h, +∞) với điều kiện ban đầu xt0 = φ 1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ sau:   E x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − h(t)), t ≥ 0,  x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (1.2) 23 τα,d R2 − Q < 0, τα,h Q − Q2 < 0, (2.44)       Z E −Y1 E PG Φ11 Φ12  , Ξ12 =   , Ξ13 =  , Ξ11 =  Z2 E −Y2 E 0 ∗ Φ22   γ21 X1 γ22 Y1 γ22 Z1 Φ110 , Ξ14 =  γ21 X2 γ22 Y2 γ22 Z2 Φ210 Ξ22 = diag Φ44 },  {Φ33 ,    Φ55 Φ56 Φ510 , , Ξ33 =  Ξ34 =  0 ∗ Φ66 Ξ44 = diag {−γ21 W1 , Φ88 , −γ22 W2 , Φ1010 }, Φ11 = AT P T + P A + Q + Q1 + Q2 + d21 R1 + (d2 − d1 )2 R2 + 2αP E + X1 E + E T X1T , Φ12 = P D − X1 E + E T X2T + Y1 E − Z1 E, Φ110 = AT [h2 W1 + (h2 − h1 )W2 ], Φ22 = −(1 − µ)e−2αh2 Q + Y2 E + E T Y2T − X2 E − E T X2T − Z2 E − E T Z2T , Φ210 = DT [h2 W1 + (h2 − h1 )W2 ], Φ33 = −e2αh1 Q1 Φ44 = −e2αh2 Q2 , Φ55 = −e2αd2 R2 , Φ56 = e2αd2 R2 , Φ510 = GT [h2 W1 + (h2 − h1 )W2 ], Φ66 = −e2αd2 R2 − e2αd1 R1 , Φ88 = −γ22 (W1 + W2 ), Φ1010 = − [h2 W + (h2 − h1 )W2 ], e2αh2 −1 2α , d2 2α(τ −d2 ) e , τα,d = 1−µ γ21 = γ22 = e2αh2 −e2αh1 , 2α τα,h = (1 − µ) e2α(τ −h2 ) + Chứng minh Bước 1: Chứng minh tính qui impulse-free hệ (2.41) Từ rank(E) = r n tồn hai ma trận M, N cho   Ir  E¯ = M EN =  0 24 Đặt   A11 A12 , A¯ = M AN =  A21 A22  P¯ = N T P M −1 =  P11 P12 P21 P22   Từ (2.42) ta suy P¯ E¯ = E¯ T P¯ T ≥ 0, T P21 = 0, P11 = P11 ≥ Ký hiệu:     D D12 G G12 ¯ = M DN =  11 ¯ = M GN =  11 , , D G D21 D22 G21 G22     Q Q12 R Ri12 ¯ = N T QN =  11 ¯i = N T R ¯ i N =  i11 , , Q R T T Q Q22 Ri21 Ri22  21  Qi11 Qi12 ¯ i = N T Xi M −1 , Y¯i = N T Yi M −1 , , X Q¯i = N T Qi N =  T Qi21 Qi22 Z¯i = N T Zi M −1 , i = 1, Từ Ξ11 < cách nhân vào bên trái nhận vào bên phải với diag(N T )2 diag(N )2 , từ suy rằng: ¯ 11 Ξ  ¯ 11 Φ  = ∗  ¯ Φ11  < 0, ¯ Φ22 (2.45) đó, 2¯ ¯ 11 = A¯T P¯ T + P¯ A¯ + Q ¯+Q ¯1 + Q ¯ + d2 R ¯ Φ 1 + (d2 − d1 ) R2 ¯ E¯ + E¯ T X ¯T, +2αP¯ E¯ + X ¯ 12 = P¯ D ¯ −X ¯ E¯ + E¯ T X ¯ T + Y¯1 E¯ − Z¯1 E, ¯ Φ ¯ 22 = −(1 − µ)e−2αh2 Q ¯ + Y¯2 E¯ + E¯ T Y¯ T − X ¯ E¯ − E¯ T X ¯ T − Z¯2 E¯ − E¯ T Z¯ T Φ 2 ¯ 22 = (E¯ T X T )22 = Áp dụng Chú ý rằng, với X ∈ M r (Rn×n ), (X E) block 25 bổ đề (1.2.5), từ (2.45) ta có  T +Γ P A + AT22 P22  22 22 P22 D22 −(1 − µ)e−2αh2 Q22   < 0, đó, Γ = Q22 + Q122 + Q222 + d21 R122 + (d2 − d1 )2 R222 > T < suy A22 , P22 không suy biến (do bổ đề Do đó, P22 A22 + AT22 P22 (1.2.4)) Ta ký hiệu  ¯ = M I  −1 −A12 A22   M, I  I ¯ =N  N −1 −1 −A22 A21 A22 Khi đó, dễ dàng xác định  được:   ˆ I A ¯ EN ¯ =  r , ¯ AN ¯ =  11 , Eˆ := M Aˆ := M 0 In−r Aˆ11 = A11 − A12 A−1 22 A21 Do ¯ −1 )det(sEˆ − A)det( ˆ ¯ −1 ) det(sE − A) = det(M N ¯ −1 )(−1)(n−r) det(sIˆr − Aˆ11 )det(N ¯ −1 ), = det(M suy det(sE − A) không đồng không deg(det(sE − A)) = rank(E), điều suy hệ (2.41) qui impulse-free Nhận xét 2.3.1 Tính xác định dương ma trận P11 đóng vai trò quan trọng việc chứng minh hội tụ mũ biến slow bước Và sau chứng minh P > suy từ (2.42) (2.43) sau Từ (2.43) ta có   Ξ Ξ  11 12  < ∗ Ξ22 Bằng cách nhân bên trái bên phải (2.46) với Ψ = In In In In ΨT , ta có: (A + D)T P T + P (A + D) + 2αP E + (1 − e−2αh1 )Q1 +(1 − e−2αh2 ) [(1 − µ)Q + Q2 ] + d21 R1 + (d2 − d1 )2 R2 < (2.46) 26 (A + D)T P T + P (A + D) < Áp dụng bổ đề (1.2.4), P, ta suy P¯ khơng qui Kết hợp với P21 = chứng tỏ P11 > Bước 2: Phân tách hệ thành hệ vi phân (slow) đại số (fast) Giống bước chứng minh bước đầu tiên, ta giả sử có hai ma trận thỏa mãn     A11 Ir  , A¯ = M AN =  E¯ = M EN =  In−r 0 ¯,N ¯ , hay diễn đạt Cần lưu ý rằng, ma trận P11 bất biến nhân với M, N M cách xác ¯TPM ¯ −1 )11 P11 = (N T P M −1 )11 = (N Do đó, giả sử P¯ = N T P M −1 có dạng sau   P P  11 12  , P22 đó, P11 ∈ Rr×r , P11 > Đặt   y1 (t) , y(t) = N −1 x(t) =  y2 (t) y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈ Rn−r Hệ (2.41) biến đổi thành: t ¯ ¯ E¯ y(t) ˙ = Ay(t) + Dy(t − h(t)) + ¯ Gy(s)ds, t 0, t−d(t) y(t) = N −1 ϕ(t) := Ψ(t), t ∈ [−τ, 0] (2.47) Nghĩa là, qua việc đổi biến y(t) = N −1 x(t) hệ (2.41) phân tích thành hệ slow hệ fast với tương ứng biến slow biến fast sau y˙ (t) = A11 y1 (t) + D11 y1 (t − h(t)) + D12 y2 (t − h(t)) t + t−d(t) t G11 y1 (s)ds + t−d(t) G12 y2 (s)ds, t 0, (2.48) 27 = y2 (t) + D21 y1 (t − h(t)) + D22 y2 (t − h(t)) t G21 y1 (s)ds + + t−d(t) G22 y2 (s)ds, t (2.49) t−d(t) Hệ (2.48) (2.49) tương ứng gọi hệ slow hệ fast y1 (t) ∈ Rr , y2 (t) ∈ Rn−r tương ứng gọi biến slow biến fast Bước 3: Chứng minh tính ổn định mũ hệ slow (2.48) Để làm việc đó, xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii sau: V (yt ) = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 , (2.50) đó, ¯ V1 = y T (t)P¯ Ey(t), t V2 = t−h1 t V3 = ¯ y(s)ds, e2α(s−t) y T (s) Q ¯ y(s)ds, e2α(s−t) y T (s) Q t−h2 t V4 = t−h(t) ¯ e2α(s−t) y T (s)Qy(s)ds, t V5 = d1 ¯ y(u)duds, e2α(µ−t) y T (u) R − d1 t+s −d1 t V6 = (d2 − d1 ) V7 = V8 = ¯ y(u)duds, e2α(u−t) y T (u) R −d2 t+s t 2α(u−t) T ¯ E¯ y(u)duds, y˙ (u)E¯ T W ˙ −h2 t+s e −h1 t 2α(u−t) T ¯ E¯ y(u)duds y˙ (u)E¯ T W ˙ −h2 t+s e Dễ dàng thấy λ1 y1 (t) V (t, yt ) λ2 y t , đó, yt ký hiệu {y(t + s) : s ∈ [−τ, 0]}, λ1 = λmin (P11 ) ¯ ) + h2 λmax (Q ¯ ) + h2 λmax (Q) ¯ λ2 = λmax (P11 ) + h1 λmax (Q ¯ ) + (d2 − d1 )2 (d2 + d1 )λmax (R ¯2) + d3 λmax (R 2 (2.51) 28 ¯ 2) ¯ ) + (h2 − h2 )λmax (W + 12 h22 λmax (W Lấy đạo hàm V1 theo biến biến t ta có: ¯ ¯ ¯ V˙1 = 2y T (t)P¯ E¯ y(t) ˙ = 2y T (t)P¯ × Ay(t) + Dy(t − h(t)) + G t y(s)ds t−d(t) ¯ = y T (t) P¯ A¯ + A¯T P¯ T + 2αP¯ E¯ y(t) + 2y T (t)P¯ Dy(t − h(t)) t ¯ +2y T (t)P¯ G y(s)ds − 2α V1 (2.52) t−d(t) Sử dụng công thức đạo hàm sau [12]:   0 t d   dt  f (z)dzds = hf (t) − u(t ˙ + s)f (u(t + s))ds, −h −h u(t+s) để đạo hàm theo biến t Vk , k = 2, 3, 4, , sau đánh giá xấp xỉ chúng ta kết sau: ¯ y(t) − e−2α h1 y T (t − h1 ) Q ¯ y(t − h1 ) − 2α V2 ; V˙ = y T (t) Q ¯ y(t) − e−2α h2 y T (t − h2 ) Q ¯ y(t − h2 ) − 2α V3 ; V˙ = y T (t) Q ˙ ¯ ¯ e−2αh(t) × y T (t − h(t))Qy(t V˙ = y T (t)Qy(t) − (1 − h(t)) − h(t)) − 2α V4 ¯ ¯ y T (t)Qy(t) − (1 − µ) e−2α h2 × y T (t − h(t))Qy(t − h(t)) − 2α V4 ; ¯ y(t) − d1 × V˙ = d21 y T (t) R (2.53) ¯ y(t + s)ds − 2α V5 e2αs y T (t + s) R − d1 t ¯ y(t) − d1 e−2α d1 × d21 y T (t) R ¯ y(s)ds − 2α V5 y T (s) R t−d1  T t T ¯ y(t) − e−2α d1  d1 y (t) R  t ¯1  y(s)ds × R t−d1 ¯ y(t) − (d2 − d1 ) V˙ = (d2 − d1 ) y T (t) R  y(s)ds − 2α V5 ; (2.54) t−d1 − d1 ¯ y(t + s)ds − 2α V6 e2αs y T (t + s) R − d2 ¯ y(t) − (d2 − d1 )e−2αd2 (d2 − d1 ) y T (t) R t−d1 t−d(t) ¯ y(s)ds − 2α V6 y T (s) R 29 ¯ y(t) − e−2α d2 (d2 − d1 ) y T (t) R T t−d1 t ¯ y(t) − 2α V6 − e−2α d2 (d2 − d1 ) y T (t) R y(s)ds − t t y(s)ds t−d1  t y(s)ds −  y(s)ds ; (2.55) t−d1 t−d(t) T ¯ ¯ V˙ = h2 y˙ T (t) E¯ W ˙ − E y(t) − 2α V6 T t t−d(t) ¯2  ×R  y(s)ds t−d(t) t−d(t)  t−d1 ¯2 ×R y(s)ds T ¯ ¯ e2α(s−t) y˙ T (s) E¯ W ˙ − 2α V7 ; E y(s)ds t−h2 t−h1 T ¯ ¯ V˙ = (h2 − h1 ) y˙ T (t) E¯ W ˙ − E y(t) T ¯ ¯ e2α(s−t) y˙ T (s) E¯ W ˙ − 2α V8 E y(s)ds t−h2 (2.56) Sử dụng đẳng thức sau ¯ + y T (t − h(t)) X ¯ × Ey(t) ¯ ¯ y T (t) X − Ey(t − h(t)) − t E¯ y(s)ds ˙ = 0; t−h(t) y T (t) Y¯ + y T (t − h(t)) Y¯  t−h(t) ¯ ¯ × Ey(t − h(t)) − Ey(t − h2 ) −   E¯ y(s)ds ˙  = 0; t−h2 y T (t) Z¯ + y T (t − h(t)) Z¯  t−h1 ¯ ¯ × Ey(t − h1 ) − Ey(t − h(t)) −   E¯ y(s)ds ˙  = t−h(t) Từ (2.52) đến (2.56), ta có: ˆ + η T (t) ΩT U¯ Ωη(t) V˙ (yt ) + 2αV (yt ) η T (t)Ξη(t) 2α h2 − e2α h1 η T ¯ W ¯1 + W ¯ −1 Y¯ T η(t) + e2α h2 − e2α h1 η T (t)Z¯ W ¯ −1 Z¯ T η(t) +e (t) Y 2α 2α 2α h2 −1 η T ¯W ¯ −1 X ¯ T η(t) +e (t)X 2α ˆ γ21 X ¯W ¯ −1 X ¯ T + γ22 Z¯ W ¯ −1 Z¯ T + γ22 Y¯ W ¯1 + W ¯2 η T (t)[ Ξ+ −1 T Y¯ + ΩT U¯ Ω]η(t), (2.57) 30 t t η(t) = y(t) y(t − h(t)) y(t − h1 ) y(t − h2 ) y(s)ds y(s)ds t−d(t) T ¯= X ¯ T 0n×4n ¯T X X Z¯ = Z¯1T Z¯2T 0n×4n Y¯ = Y¯1T Y¯2T 0n×4n , t−d1 T , T , ¯ + (h2 − h1 )W ¯ 2, U¯ = h2 W   ¯ 11 Ξ ¯ 12 Ξ ¯ 13 Ξ   ˆ= ∗ Ξ ¯ 22  Ξ   ¯ ∗ ∗ Ξ33 ¯ 0n×2n G ¯ , Ω = A¯ D ˆ với diag{(N T ) , (I) } diag{(N ) , (I) } Nhân bên trái nhân bên phải Ξ 6 Và áp dụng bổ đề (1.2.2), từ (2.43) suy ˆ + γ21 X ¯W ¯1 −1 X ¯ T + γ22 Z¯ W ¯2 −1 Z¯ T + γ22 Y¯ (W ¯1 + W ¯2 )−1 Y¯ T + ΩT U¯ Ω < Ξ Như vậy, có V˙ (yt ) + 2αV (yt ) ≤ 0, t ≤ V ( yt ) V (ψ) e−2αt −2αt ,t τ e λ2 ψ Từ thay vào (2.51) ta có được: λ2 ψ λ1 y1 (t) τ e−αt =: υ1 ψ τ e−αt , t Điều chứng tỏ biến slow y1 (t) α-ổn định mũ Bước 4: Chứng minh ổn định hệ đại số (fast) Đặt t p(t) = D21 y1 (t − h(t)) + G21 y1 (s)ds t−d(t) Ta có, với t ≤ 0, t − h(t) ≤ đó: y1 (t − h(t)) λ2 ψ λ1 −2α(t−h(t)) τ e λ2 ψ λ1 2α h2 −2αt e τ e 31 Nói cách khác, y1 (t − h(t)) τ ψ −2α(t−h(t)) τ e ψ ψ 2α h2 −2αt e τ e Từ suy υ e α h2 ψ y1 (t − h(t)) τ e −2αt , ∀t Tương tự cần chứng minh y1 (t) υ1 ψ τ e −αs , ∀t Thật vậy, cách bất đẳng thức vào p(t), ta có: t p(t) D21 y1 (s) ds y1 (t − h(t)) + G21 t−d(t) σ1 eα h2 e−αt + σ2 t e−αs ds υ1 ψ τ t−d(t) σ e α h2 + σ α d2 e −1 α υ1 ψ τ e−αt = γp ψ τ e−αt , t 0, (2.58) đó, σ1 = D21 , σ2 = G21 γp = υ1 σ1 eα h2 + σα2 (eα d2 −1) Từ (2.49), ta có t y2 (s)ds + p(t) = y2 (t) + D22 y2 (t − h(t)) + G22 t−d(t) Do đó, t y2T (t) P22 [y2 (t) + D22 y2 (t − h(t)) + G22 y2 (s)ds + p(t)] = (2.59) t−d(t) Xét hàm số sau J(t) := (1 − µ) y2T (t) Q22 y2 (t) (1 à) e2 h2 ì y2T (t − h(t)) Q22 y2 (t − h(t)) t −2α d2 −e d(t) y2T (s) R222 y2 (s)ds t−d(t) Cộng thêm (2.59) vào (2.60) xếp lại ta t T J(t) = y2T (t) P22 + P22 +(1 − µ) Q22 y2 (t) + [2 y2T (t) P22 G22 y2 (s) t−d(t) (2.60) 32 −d(t) e−2α d2 y2T (s) R222 y2 (s)]ds − (1 − µ) e−2α h2 y2T (t − h(t)) Q22 y2 (t − h(t)) +2 y2T (t) P22 D22 y2 (t − h(t)) + y2T (t) P22 p(t) Áp dụng bổ đề (1.2.1) ý Q122 > 0, ta có t −1 T y e2α d2 y2T (t) P22 G22 R222 GT22 P22 (t) y2T (t) P22 G22 y2 (s)ds t−d(t) t +e−2α d2 d(t) y2T (s) R222 y2 (s)ds t−d(t) T y2 (t) P22 p(t) y2T (t) Q122 y2 (t) Do  J(t) ≤ χT (t)  J1 T Q−1 + pT (t) P22 122 P22 p(t)  P22 D22 ∗ −(1 − µ)e −2αh2 Q22  χ(t) T −1 +y2T (t)Q122 y2 (t) + pT (t)P22 Q122 P22 p(t), (2.61) đó, χ(t) = y2T (t) y2T (t − h(t)) −1 T T T J1 = P22 + P22 + (1 − µ)Q22 + e2αh2 P22 G22 R222 G22 P22 ˆ < suy Mặt khác, từ Ξ   ¯ 11 Φ ¯ 12 P¯ G ¯ Φ    ∗ Φ ¯ 22  <   ¯ ∗ ∗ Φ55 Áp dụng bổ đề (1.2.5) ta có   J2 P22 D22 P22 G22    ∗ −(1 − µ)e−2αh2 Q22  < 0,   ∗ ∗ −e−2αh2 R222 T đó, J2 = P22 + P22 + (1 − µ)Q22 + Q122 + Q222 + d21 R122 + (d2 − d1 )2 R222 Như   2αd2 J2 + e −1 T T P22 G22 R222 G22 P22 ∗ P22 D22 −(1 − µ)e−2αh2 Q22   < 33 Chúng ta đặt: ∆(d1 , d2 ) = d21 R122 + (d2 − d1 )2 R222 Khi từ (2.61) ta có T −1 J(t) ≤ −y2T (t)[Q222 + ∆(d1 , d2 )]y2 (t) + pT (t)P22 Q122 P22 p(t) (2.62) Từ (2.60) (2.62) ta có y2T (t)[(1 − µ)Q22 + Q222 + ∆(d1 , d2 )]y2 (t) ≤ (1 − µ)e−2αh2 y2T (t − h(t))Q22 y2 (t − h(t)) t +d2 e−2αd2 T −1 y2T (s) R222 y2 (s)ds + pT (t)P22 Q122 P22 p(t) (2.63) t−d(t) Bằng cách nhân bên trái bên phải với N T , N , từ (2.44) suy d22 e−2αh2 R222 < (1 − µ)e−2ατ Q22 , τα,h Q22 < Q222 Do đó, (1 − µ + τα,h )y2T (t)Q22 y2 (t) ≤ (1 − µ)(e−2αh2 + e−2ατ ) sup y2T (t + s) Q22 y2 (t + s) −τ s T Q−1 + pT (t) P22 122 P22 p(t) Đặt f (t) = y2T (t)Q22 y2 (t), t ≥ −τ f¯τ (t) = sup f (t + s) Khi −τ s f (t) δ1 f¯τ (t) + δ2 e−2αt , t 0, (2.64) đó, δ1 = δ2 = (1 − µ)(e−2αh2 + e−2ατ ) , − µ − τα,h T λmax (P22 P22 )γp2 ψ λmin (Q122 )(1 − µ + τα,h ) τ Chú ý rằng, − µ + τα,h = (1 − µ)[2 + e2α(τ −h2 ) ], 2ατ δ1 e + e2α(τ −h2 ) = =1− < 2α(τ −h ) 2α(τ 2+e + e −h2 ) Áp dụng bổ đề (1.2.7), từ (2.64) ta suy f (t) ≤ δ1 e2ατ f¯τ (0) + δ2 e−2αt , t 2ατ − δ1 e Hơn nữa, kiểm tra rằng: T λmax (P22 P22 )γp2 f¯τ (0) ≤ λmax (Q22 ) ψ τ ; 1−δδ12e2ατ = (1−µ)λ ψ (Q122 ) τ 34 λmin (Q22 ) y2 (t) (1+e2α(τ −h2 ) ) λmax (Q22 ) 2+e2α(τ −h2 ) υ2 ψ τ e−αt , t T λmax (P22 P22 ) γp (1−µ) λmin (Q122 ) −2ατ ,t τ e × ψ Như y2 (t) + 0, υ2 = T P22 ) γp2 λmax (P22 e2α(t−h2 ) (1 + ) λmax (Q22 ) + (1 − µ) λmin (Q122 ) λmin (Q22 ) (2 + e2α(t−h2 ) ) λmin (Q22 ) Điều chứng tỏ biến fast y2 (t) giảm dần theo cấp số mũ α x(t) = N y(t) dễ dàng ta có: x(t, ϕ) đó, υ = N N −1 √ υ ϕ τ e−αt , t 0, υ1 + υ2 Vậy ta suy điều cần phải chứng minh 2.3.1 Ví dụ Xét trình  hệ phương   vi phân  suy biến  có trễ  biến thiên  cho sau −1 −4 −1 −1 ,A =  ,D =  ,G =  , E= −2 −2 −1 −1 hàm trễ cho công thức h(t) = 0.3 + 0.2sin(2.5t), d(t) = 0.425 + 0.325C(t), C(t) hàm Cellérier, C(t) = ∞ k k=1 2k sin(2 t) Khi ta có h1 = 0.1, h2 = 0.5, d1 = 0.1, d2 = 0.75, µ = 0.5 τ = max {h2 , d2 } = 0.75 Đặt α = 1, sử dụng phần mềm Matlab’s LMIs để tìm ma trận P, Q, Q1 , Q2 , R1 , R2 , W1 , W2 thỏa mãn  Bất đẳng thứctuyến tính  ma 1.5197 −0.8329 2.1100 ,Q =  P = 0.8583 −0.2831 0.3373    3.6567 0.0152 6.5677  , R1 =  Q2 =  0.0152 3.4802 2.1182 trận của định lý(2.3.1)  0.3373 1.5322 −0.1665  , Q1 =  , 1.5839 −0.1665 1.6227    2.1182 1.1922 0.4093  , R2 =  , 4.7878 0.4093 0.8011 35     0.6159 0, 4791 0.5965 0.2427  , W2 =   W1 =  0.4791 1.3009 0.2427 0.9386 Khi đó, theo định lý (2.3.1) hệ cho ổn định mũ chấp nhận với α = Dễ dàng xác định được:   11 22    M = −2  ,N = −2  11 22  11  , 22 ma trận không suy biến E¯ = M EN =  0   , A¯ = M AN = 77  242   Thực số tính tốn ta có λ1 = 0.1461, λ2 = 2.3001, ν1 = 3.9678, N −1 γp = 2.5996, ν2 = 13.9467 Do đó, ν = N ν12 + ν22 = 63.93944 Theo định lý (2.3.1) ta có nghiệm x(t, ϕ) hệ cho thỏa mãn điều kiện x(t, ϕ) ≤ 63.94 ϕ τ e−t , t ≥ Kết luận Trong chương chúng tơi trình bày số kết ổn định mũ cho hệ suy biến có trễ biến thiên dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Những điều kiện đảm bảo tính qui, impulse-free tính ổn định mũ hệ 36 Kết luận chung Luận văn đạt kết sau: Hệ thống số kiến thức sở kết hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến có trễ, tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Trình bày tiêu chuẩn ổn định cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trễ biến thiên từ báo [4, 5] 37 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, 2001, Nhập Môn Lý Thuyết điều Khiển Toán Học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, [2] J Hale, S.M Lunel, 2003 Introduction To Functional Differential Equations, Springer, New York, [3] Dai, L 1989, Singular control systems, Springer, Berlin, [4] S Xu, P Van Dooren, R Stefan, J Lam, 2002, Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty IEEE Trans Autro Control, Vol 47, pp 1122-1128 [5] L.V Hien, L.H Vu, V.N Phat, 2015, Improved delay-dependent exponential stability of singular systems with mixed interval time-varying delays, IET Control Theory & Appllications, Vol 9,pp 1364-1375 ... chuẩn ổn định chương hai Chương Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bày định lý ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên... hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới thiệu tốn ổn định hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suy biến có trễ Đồng thời trình bày mệnh đề bổ trợ... 1.1.1 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.1.2 Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ Các bổ đề hỗ trợ Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân suy