BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN DUY KHÁNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

HÀ NỘI- 2015

Mục lục

Các kí hiệu dùng trong luận văn 4

1.1 Hệ phương trình vi phân 6

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 8

1.2.1 Các khái niệm về ổn định 8

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 9

1.2.3 Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định 10

1.3 Bài toán ổn định hóa 12

2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 15 2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến 16

2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến 21

Lời mở đầu

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiểnthường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán họcvới thời gian liên tục dạng

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,

trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điềukhiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống Những dữ liệu đầu vào cótác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệthống Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hìnhtoán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống làtìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mongmuốn Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọngcủa lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong cáclĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế Nói một cách hình tượng,một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếucác nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệthống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó Sự nghiên cứu bàitoán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học

V Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trình

vi phân và ứng dụng Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổnđịnh, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định củacác hệ phương trình vi phân thường Đó là phương pháp số mũ Lyapunov

và phương pháp hàm Lyapunov Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụngphương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động

lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứngdụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ màkhông thể giải quyết được bằng các phương pháp khác Từ đó đến nay lýthuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi độngcủa Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong

lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùngvới sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiêncứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóacác hệ điều khiển Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn địnhhóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phươngpháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã vàđang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm củanhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế

Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một

số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gianliên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứngdụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.Luận văn gồm hai chương:

 Chương 1: Cơ sở toán học

Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phươngtrình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyếnbằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơbản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên vềbài toán ổn định hóa

 Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụngTrong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổnđịnh của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một sốứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phituyến

Các kí hiệu dùng trong luận văn

- λmin(A): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A

- λ(A): Tập các giá trị riêng của A

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảotrong suốt thời gian qua Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các côkhoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tựnhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn này

Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiệnkhông nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôikhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý

và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015

Học viênNguyễn Duy Khánh

b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1).

Giả sử hàmf (t, x(t)) liên tục trên I × D, khi đó nghiệmx(t) cho bởi dạngtích phân:

x(t) = x0 +

Z t

t 0

f (s, x(s))ds

Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương) Xét hệ phương trình vi phân(1.1) trong đó giả sử hàm f (t, x) : I × D 7→ Rn là liên tục theo t và thỏamãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là

∃K > 0 : ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ K||x1 − x2||, ∀t ≥ 0

Khi đó với mỗi (t0, x0) ∈ I × D ta luôn tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [t0 − d, t0 + d]

Định lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục) Giả sử f (t, x) : R+×Rn → Rn

là hàm liên tục theo t và thỏa mãn các điều kiện sau:

∃M0, M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1||x| |, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn,

∃M2 sao cho kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ M2kx1 − x2k, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn

Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; +∞)

Đối với hệ tuyến tính

nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi

Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệmcận nếu nó là ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho ||x0|| < δ thì

lim

x→∞||x(t)|| = 0

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mũnếu tồn tại các hằng số α > 0, K > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.7)với x(t0) = x0 thỏa mãn

||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 )||x0||, ∀t ≥ t0

Để ngắn gọn thay vì nói hệ (1.7) là ổn định ta nói nghiệm 0 của hệ là

Định nghĩa 1.2.4 Hàm V (x) : D ⊆Rn → R, D là lân cận mở tùy ý của

0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu

a) V (x) là hàm khả vi liên tục trên D

b) V (x) là hàm xác định dương

c) DfV (x) : = ∂V

∂xf (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.

vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (c) là thực sự âm với mọi x nằmngoài lân cận 0 nào đó, chính xác hơn:

d) ∃c > 0 : DfV (x) ≤ −c||x|| < 0, x ∈ D \ {0}

Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý saụ

Định lý 1.2.1 Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa, nếuhàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được địnhnghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x) Trước hết ta xét lớp hàm K làtập các hàm tăng chặt ặ) : R+ →R+ với ă0) = 0

Hàm V (t, x) : R+× D → R gọi là hàm Lyapunov nếu:

a) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ

(1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

Định lý 1.2.4 Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực củatất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

Reλ < 0, với mọi λ ∈ λ(A)

= 0,

f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = 0

Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàmf (λ) liên tục trên [0; 1] nên có

ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Như vậy phương trình đặc trưng

có ít nhất một nghiệm với phần thức lớn hơn 0 nên hệ đã cho không ổnđịnh

Tính ổn định của hệ (1.9) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệmcủa một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov dạng

Định nghĩa 1.2.5 Ma trận A được gọi là xác định dương (A ≥ 0; A > 0)

nếu:

i) hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn,

Định lý 1.2.6 Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi phương trình (1.11)

có cặp nghiệm X, Y là ma trận đối xứng, xác định dương

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán

ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụngtrong thực tiễn Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov người

ta tìm lời giải, cũng như các ứng dụng cho bài toán ổn định hóa của hệphi tuyến với thời gian liên tục Phần này sẽ trình bày các vấn đề cơ sởcủa bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc về tính ổn định hóa.Xét hệ điều khiển phi tuyến

trong đó, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, f (t, x(t), u(t)) : R+ ×Rn × Rm → Rn,

f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0

Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.12) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàmđiều khiển ngược u(t) = h(t, x(t)), h(.) : Rn → Rm, h(0) = 0 sao chonghiệm không của hệ đóng

sao cho hệ ˙x(t) = (A + BK)x(t) là ổn định tiệm cận

Như vậy, bài toán ổn định hóa hệ tuyến tính (1.14) được đưa thành bàitoán tìm ma trận K ∈ Rn×m sao cho ma trận (A + BK) là ổn định, tức

là phần thực của tất cả các giá trị riêng của (A + BK) là âm

Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.14) là ổn định hóa được như sau

Định lý 1.3.1 Hệ (1.14) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đốixứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn

Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.

Sau đây là một bổ đề được áp dụng trong chương 2

Bổ đề 1.3.1 (Schur) Cho ma trận P, Q, M ∈Rn×n, trong đó Q = QT >

Chương 2

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng

Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn được mô tả bằng các phươngtrình toán học phi tuyến Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến,Lyapunov đưa ra hai phương pháp:

Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũLyapunov hoặc dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt, ví dụ làhàm khả vi liên tục, để có thể xấp xỉ hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tươngứng, thì tính ổn định khi đó sẽ được rút ra từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyếntính

Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớphàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu củađạo hàm theo vế phải của hệ đã cho

Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứnhất đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải, phương pháp thứ hai lạirất khó khăn trong việc tìm hàm Lyapunov Cho đến này chưa có phươngpháp nào hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặcthù vế phải

Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệphương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng các kết quả ổn định chocác hàm tựa Lyapunov Từ đó vận dụng các kết quả vào giải quyết các bàitoán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến

Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([1], [3], [4])

2.1 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến

Xét hệ phương trình vi phân

trong đóf (t, x(t)) : R+×Rn → Rn là hàm phi tuyến cho trước,f (t, 0) = 0

với mọi t ∈ R+ Như đã nói ở trên, ta luôn giả thiết các điều kiện trên

f (.) sao cho hệ (2.1) có nghiệm x(t) với

x(t0) = x0, t0 ≥ 0

Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi hàm

vế phải được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễuphi tuyến đủ nhỏ

Nếu hàm f (t, x(t)) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylorbậc một tại x = 0 ta có

= 0

suy ra (λ + 2)(λ + 5) + 2 = 0 hay λ1 = −3; λ2 = −4

Giả sử tồn tại α > 0 sao cho fT(x(t))f (x(t)) ≤ αkx(t)k2, ∀x ∈ Rn Khi

đó hệ (2.2) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ma trận đối xứng xác địnhdương P > 0 sao cho

Theo bổ đề Schur bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức matrận đại số sau ATP + P A + P2 + I < 0 ta tìm được nghiệm

Khi đó hệ đã cho là ổn định tiệm cận

Sau đây, luận văn xét bài toán ổn định bằng cách sử dụng phương pháphàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm 0 của hệ (2.1) được gọi là ổn định mũ nếutồn tại δ > 0 nghiệm x(t) thỏa mãn

kx(t)k ≤ β(kx0k, t0)e−δ(t−t0 ), ∀t ≥ t0, (2.5)trong đó β(h, t) : R+ ×R+ →R+ là hàm tăng không âm

Nếu β(.) trong định nghĩa trên không phụ vào t0 thì nghiệm 0 của hệ

(2.1) được gọi là ổn định mũ đều

với g(t, u) là hàm liên tục theo t và u

Mệnh đề 2.1.1 Cho u(t) là nghiệm cực đại của hệ (2.6) với u(t0) = u0.Nếu tồn tại hàm liên tục v(t) với v(t0) = u0 thỏa mãn

λ1kxkp ≤ V (t, x) ≤ λ2kxkq, ∀(t, x) ∈ W, (2.7a)

DfV (t, x) ≤ −λ3kxkr+ Ke−δt, ∀t ≥ 0, x ∈Rn\ {0} (2.7b)

Định nghĩa 2.1.4 Hàm V (t, x) : W → R gọi là hàm tựa Lyapunov suyrộng của (2.1) nếu V (t, x) liên tục theo t, Lipschitz theo x, tồn tại cáchàm dương λ1(t), λ2(t), λ3(t), với λ1(t) là hàm không giảm và tồn tại các

số dương K, p, q, r, δ sao cho

λ1(t)kxkp ≤ V (t, x) ≤ λ2(t)kxkq, ∀(t, x) ∈ W, (2.8a)

Df+V (t, x) ≤ −λ3(t)kxkr + Ke−δt, ∀t ≥ 0, x ∈Rn \ {0} (2.8b)Định lý 2.1.4 Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại hàm tựa Lyapunov vàhai điều kiện sau thỏa mãn với mọi (t, x) ∈ W

δ > λ3[λ2]r/q, (2.9a)

∃γ > 0 sao cho V (t, x) − V (t, x)r/q ≤ γe−δt (2.9b)

Ví dụ 2.1.3 Xét tính ổn định của phương trình vi phân phi tuyến

(2.11a)

∃γ > 0 sao cho V (t, x) − [V (t, x)]r/q ≤ γe−δt (2.11b)Chú ý 2.1.1 Trong định lý 2.1.5 ta giả thiết λ1(t) là hàm không giảm.Nếu λ1(t) thỏa mãn điều kiện

∃a > 0 : a < M, λ1(t) ≥ e−αt, t ≥ 0, (2.12)khi đó, ta có thể thay giả thiết không giảm bởi điều kiện (2.12) với

M = inf

t∈R +

λ(t)[λ(t)]r/q

2.2 Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến

Xét hệ phương trình phi tuyến

trong đó A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, f : Rn×Rm → Rn là hàm phi tuyến liêntục thỏa mãn điều kiện

trong đó x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, f (t, x(t)u(t)) : R+×Rn×Rm → Rn

Dựa trên các kết quả về tính ổn định từ định lý 2.1.4 ta thu được điềukiện đủ cho tính ổn định mũ của hệ điều khiển phi tuyến (2.19) sau

Định lý 2.2.2 Giả sử tồn tại hàm h(x) : Rn → Rm, h(0) = 0 với h(x)

liên tục theo biến x sao cho với hệ (2.19) ta có thể chọn được hàm tựaLyapunov thỏa mãn (2.9a) và (2.9b), khi đó hệ đóng điều khiển phi tuyến

Áp dụng kết quả thu được từ định lý 2.1.5 ta có định lý sau:

Định lý 2.2.3 Giả sử tồn tại hàm h(x) : Rn →Rm với h(0) = 0 và h(x)

liên tục theo x sao cho hệ (2.19) ta có thể chọn được hàm tựa Lyapunovsuy rộng thỏa mãn (2.11a) và (2.11b), khi đó hệ điều khiển đóng

˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0,

trong đó h(x) : Rn →Rm là ổn định mũ với hàm điều khiển ngược u(t) =h(x(t))

Kết Luận

Trong luận văn này tôi đã trình bày lại một cách có hệ thống về việcnghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phi tuyếnvới thời gian liên tục bằng phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov chomột số dạng phương trình đặc biệt và phương pháp hàm Lyapunov, mởrộng đối với các hàm tựa Lyapunov, tựa Lyapunov suy rộng và vận dụngcác kết quả đó giải bài toán ổn định hóa

Ngoài phần đọc hiểu, tôi có đóng góp trong việc chứng minh chi tiếtcác định lý về tính ổn định của hệ phương trình vi phân phi tuyến và xâydựng một số ví dụ mới minh họa

Tài liệu tham khảo

[1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học Nhà xuất bảnĐại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2001

[2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết

ổn định Nhà xuất bản giáo dục, 2003

[3] N M Linh, V N Phát, Exponential stability of nonlinear time- ing differential equations and applications Electronic Journal of Dif-ferential Equations, 2001(2001), No 34, pp 1-13

vary-[4] N P Bhatia, G P Szeg˝o, Stability Theory of Dynamical Systems.Springer, Boston, 2002

[5] N Rouche, P Habets, M Laloy, Stability Theory by Lyapunov’s DirectMethod Springer, New York, 1977

[6] L Boyd, El Ghaaui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix equalities in Systems and Control Theory SIAM, Philadelphia, 1994

In-[7] Lien C H., Global exponential stabilization for Several classes of certain nonlinear systems with time - varying delay Nonlinear Dy-namics and Systems Theory, 4(1)(2004) 15-30

un-[8] Lee E and Markus L., Foundation of Optimal Control Theory JohnWiley, New York, 1967