Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách

Để tính được thể tích của một khối đa diện hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nói chung là không dễ đối với học sinh.. Đa phần các em rất “ngán” học hình học không gian lớp 1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

******

- Giáo viên thực hiện: TRẦN CHÍ PHONG

- Tên sáng kiến: ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ

THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH.

- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ tháng 8/2011 đến tháng 3/ 2013

I SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

Như chúng ta đã biết, hình học không gian là môn học rất khó vì nó đòi hỏi người học phải biết tư duy một cách trừu tượng và phải biết tổng hợp kiến thức để vận dụng vào giải được bài tập Một trong những dạng toán khó của hình học không gian mà luôn có mặt trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học là tính thể tích của khối đa diện và tính khoảng cách Để tính được thể tích của một khối đa diện hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nói chung là không dễ đối với học sinh Đa phần các em rất “ngán” học hình học không gian lớp 11 nên khi lên lớp 12 gặp bài toán tính thể tích thì các em rất khó khăn để tính được đường cao và diện tích mặt đáy của khối đa diện hay khi gặp bài toán tính khoảng cách thì các

em không biết phải xác định khoảng cách đó như thế nào

Trong quá trình giảng dạy, tôi rút ra kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt hơn dạng toán này, đó là dùng tỉ số thể tích để tính thể tích và dùng thể tích để tính khoảng cách Và rõ ràng với phương pháp này thì học sinh rất dễ để giải được các dạng toán đã nêu trên mà không cần phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp về hình học không gian Do đó tôi chọn đề tài “ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH” với mong muốn góp một phần nhỏ giúp giáo viên phát huy vai trò định hướng của mình và cũng như giúp học sinh tránh được những khó khăn khi giải các dạng toán có liên quan

II PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN

Trong nội dung chuyên đề này, tôi xin trình bày ba bài toán cơ bản có mặt trong chương trình lớp 11, 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi Đại học - cao đẳng

- Một là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện;

- Hai là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện;

- Ba là: Áp dụng thể tích khối đa diện để tính khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng

III MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

1.1 Các công thức tính thể tích

 Thể tích khối chóp: V = 1

3Bh B: diện tích đáy;

h: đường cao của hình chóp

 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh

B: diện tích đáy;

h: đường cao của lăng trụ

1.2 Công thức tính tỉ số thể tích

 Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳn SA, SB, SC

lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S

Khi đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V SA SB SC (1)

 Trong công thức (1), đặc biệt hoá khi B’B và C’C ta được

' ' '

'

S A B C

S ABC

'

S ABC S A BC A ABC S ABC S ABC A ABC

SA

SA

'.

.

' ' 1

A ABC

S ABC

.

'

A ABC

S ABC

 Tổng quát: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An (n 3), trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1 Khi đó ta có

1 1 2

1 2

' . 1 1 1

'

n

n

A A A A

S A A A

1.3 Một số công thức khác

a. Diện tích tam giác và công thức hình chiếu

.sin 2

ABC

2

ABC

S  BC AH

 Công thức hình chiếu:

BC BC CH AC (*).

b. Diện tích tứ giác

 Hình vuông

+ Diện tích hình vuông :S ABCD (AB)2

(Diện tích bằng cạnh bình phương)

S

A’

B’

C’ C

B A

h

H

A

O

B A

h B

B h

+ Đường chéo hình vuơng: AC BD AB  2

(đường chéo hình vuơng bằng cạnh x 2)

+ OA = OB = OC = OD

 Hình chữ nhật

+ Diện tích hình chữ nhật: S ABCD AB AD

(Diện tích bằng dài nhân rộng).

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau: AC = BD

c Gĩc giữa đường thẳng d và mp(P):

+ Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)

+ Gĩc giữa d và d’ chính là gĩc giữa d và mp(P)

d Gĩc giữa 2 mặt phẳng: (P) và (Q):

+ Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)





OH d, với OH (P) Từ O d ta kẻ

OK d, với OK (Q) + Khi đĩ: ( ),( )P Q  (HO OK, )

2 Thực trạng về việc giải các bài tốn tính liên quan đến thể tích khối đa diện trong dạy và học ở trường THPT Đầm Dơi

2.1 Thuận lợi

 Ban giám hiệu nhà trường luơn quan tâm và tạo điều kiện tốt cho GV trong việc giảng dạy;

 Thầy cơ dạy nhiệt tình và tận tâm với nghề;

 Đa phần các thầy cơ giải bài tốn tính thể tích khối đa diện theo phương pháp xác định đường cao và diện tích mặt đáy;

 Đa phần học sinh của trường là ngoan và cĩ ý thức tốt trong việc học;

 Chất lượng đại trà bộ mơn tốn ngày được nâng cao

2.2 Khĩ khăn

 Học sinh hiểu cách làm nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, chưa áp dụng vào giải được các bài tốn tương tự;

 Nhiều học sinh cịn giải tốn theo khuơn mẫu, chưa cĩ nhiều sáng tạo;

 Học sinh cĩ tâm lý chung là “ngán” và “sợ” tốn về hình học khơng gian

2.3 Kết quả khảo sát thực nghiệm

 Đề khảo sát: Trong năm học 2010 – 2011, khi dạy chương I của hình học lớp 12, tơi đã tiến hành kiểm tra học sinh với nội dung như sau:

O

d

d'

Q P

O

H

K

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam giác vuông tại B Biết SA = AB = a, BC = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AHK theo a.

 Kết quả khảo sát

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Tỉ lệ khảo sát (%)Trung bình Yếu Kém

 Nhận xét về bài giải của học sinh:

- Đa phần các em lớp 12T1 biết cách làm và làm khá tốt;

- Một số em lớp 12C10 giải được ý đầu nhưng không giải được ý 2 và nhiều em không biết phải làm ý 2 như thế nào;

- Một số bài giải của học sinh lớp 12T1 thiếu tính lôgic, rất ít em đạt điểm tối đa

2.4 Nguyên nhân dẫn đến kết quả thấp

 Lỗi chủ yếu là do các em không xác định được đường cao của hình chóp

và không vận dụng được công thức tỉ số thể tích;

 Rất nhiều em trình bày lời giải bài toán còn lủng củng, lập luận chưa tốt;

 Tâm lý chung các em là “sợ” bài toán về hình học không gian

2.5 Định hướng khắc phục

Cần tìm hướng giúp học sinh tiếp cận dạng toán trên một cách đơn giản hơn

và đặc biệt là giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này Từ đó tôi triển khai sáng kiến dùng công thức tỉ số thể tích để làm đơn giản dạng toán này

3 Nội dung sáng kiến

3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB,

SC Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNP và S.ABC.

* Phân tích:

Dựa vào giả thiết, ta có diện tích tam giác ABC bằng 4 lần diện tích tam giác

MNP và đường cao của hình chóp S.ABC bằng 2 lần đường cao của hình chóp

S.MNP Do đó suy ra .

.

1 8

S MNP

S ABC V

Tuy nhiên bài toán trên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích thì cách giải sẽ hay hơn nhiều và học sinh cũng dễ hiểu hơn.

* Giải:

Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có:

.

.

1 1 1 1

2 2 2 8

S MNP

S ABC

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là

trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD.

* Phân tích:

Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của hai khối sau

đó suy ra tỉ số thể tích của chúng Tuy nhiên cách giải này phải đưa ra thêm một số giả thiết khác về độ dài cạnh và rất khó để giải

Còn nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thì cách giải sẽ hay hơn, dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm được

* Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD Suy ra BI = 3IM

Do đó theo công thức (2), ta có: 1 .

3

ISCM B SCM

B SCM D SBC D SBC S ABCD

Suy ra . 1 . 1 1 . 1 1 1 .

I SCM B SCM D SBC S ABCD

Vậy .

.

1 12

I SCM

S ABCD

V

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và mặt đáy là tam giác

vuông tại A Biết SA = AB = a, BC = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABC

* Phân tích:

Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó vì chưa có đường cao và cũng chưa có diện tích đáy) rồi sau đó suy ra tỉ số thể tích của chúng

Tuy nhiên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải

sẽ dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm tốt hơn

S P C B

M

S

A

B

C

D

M

I O

* Giải:

Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có:

.

.

S AHK

S ABC

V SA SB SC SB SC .

Do tam giác SAB cân tại A nên SB = 2SH.

Do tam giác SAC vuông tại A và có K là hình chiếu

của A lên SC nên

2 2

SC SC .

Từ giả thiết, ta có:

2 2 2 3 ;2 2 2 2 4a2

AC BC  AB  a SC SA  AC  .

Vì vậy

2

2

2 4a 8

S AHK

S ABC

* Nhận xét chung: Nếu cả ba ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông

thường” thì mất rất nhiều thời gian và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày lời giải Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải

* Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và

M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối

chóp H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP theo a.

ĐS: .

.

1 32

H MNP

S ABC

V

Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’).

ĐS: ' ' ' '

.

1 6

S A B C D

S ABCD

V

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt

phẳng () qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính SM

SC để mặt phẳng ( ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

2

SM

SC



A

S

K

C

B H

3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam

giác vuông tại A Biết SA = AB = a, BC = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC Tính thể tích của khối chóp A.BCKH theo a.

* Phân tích:

Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó chưa có đường cao

và cũng chưa có diện tích đáy) sau đó thể tích của của khối chóp A.BCKH

Tuy nhiên cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ

số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh

* Giải:

Theo ví dụ 3, ta có . .

S AHK A BCKH

S ABC S ABC

8

A BCKH S ABC

Mà

3

S ABC ABC

a

Suy ra

.

A BCKH

Ví dụ 5: (CĐ khối B – 2008)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BAD ABC  900, AB BC a  ,

AD a SA ABCD và SA = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và

SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.

* Phân tích:

Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp

S.BCNM (rất khó khi chưa có đường cao và chưa có diện tích đáy) Tuy nhiên cũng

giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh

* Giải:

Theo giả thiết, ta có

3

S ABCD ABCD

Áp dụng công thức (1) ta có

S

M

B

N

D

C A

A

S

K

C

B H

Suy ra . . . 1 . 1 .

S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD

2V S BCA 4 V S ABCD V S BCA

3

1

4 S ABCD S BCA 3

a

Ví dụ 6: (ĐH khối B – 2012)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)

và tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

* Phân tích:

Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) thì đã rõ ràng Vấn đề là để tính thể tích của khối chóp S.ABH thì làm sao xác định được đường cao và diện

tích đáy Cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn

* Giải:

 Chứng minh: SC (ABH)

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, D là trung điểm của AB

Do S.ABC là hình chóp đều nên

SO ABC  SOAB Mà CDAB

Mặt khác AH SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra SC (ABH)(đpcm)

 Tính V S ABH. .

Ta có

SD  a      a    SD  S  a 

 

SAB SAC

a

Mà

2

.

;

S ABH

S ABC

Vậy

.

S ABH

(đvtt)

Ví dụ 7: (ĐH khối D – 2010)

O

S

A

D

C

B H

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng

AC sao cho 4AH = AC Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh rằng

M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

* Phân tích:

Để chứng minh M là trung điểm của SA ta chỉ cần chứng minh SAC cân tại C

(không khó) Còn muốn tính thể tích khối tứ diện SMBC thì cũng giống như các ví

dụ trên, nếu chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó Tuy nhiên nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ hơn nhiều

* Giải:

 Chứng minh M là trung điểm của SA.

Từ giả thiết ta tính được

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm

của SA (đpcm)

 Tính V SMBC.

Ta có .

.

S MBC

S ABC

Vậy

Ví dụ 8: (ĐH khối B – 2006)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2

SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao

điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.

* Phân tích:

Muốn tính thể tích khối tứ diện ANIM thì cũng giống như các ví dụ trên, nếu

chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó Tuy nhiên nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều

* Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC

AO   AC 

Suy ra AIMN . 1 13 2. 16

ACDN

H O

S

A

B

C

D

M

Mặt khác 1

2

ACDN ACDS

Từ (1) và (2) suy ra AIMN 121

ACDS

V

Mà

3

Vậy

3

AIMN SACD

a

* Nhận xét chung: Nếu cả năm ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông

thường” thì phải đi xác định đường cao và diện tích mặt đáy (mất rất nhiều thời gian) và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày lời giải Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải

* Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có  ABC BAD 90 ,0 CAD 120 ,0 AB a AC , 2 ,a

3

AD a Tính thể tích tứ diện ABCD theo a.

2

ABCD

a

Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và

SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a.

ĐS:

3 ' ' ' '

16 45

S A B C D

a

Bài 3: (ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và SBC= 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

. 2a 3

S ABC

V  (đvtt); d(B,(SAC)) = 6

7

a

3.3 Áp dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Ví dụ 9: (ĐH khối D – 2002)

Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,

AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).

I O

S

A

B

C

D

M

N

* Phân tích:

Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) thì ta phải dựng được đường vuông góc từ A xuống mp(BCD) Rõ ràng đây là một công việc không dễ Tuy nhiên nếu dùng thể tích để tính khoảng cách thì bài toán sẽ đơn giản hơn

* Giải:

Ta có AB2 + AC2 = 25cm2 = BC2  ABAC

Theo giả thiết, ta có CD = 4 2cm, BD = BC = 5cm

nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD

BCD

Mặt khác 1 ( ,( D))

3

ABCD

( ,( ))

17

2 34

ABCD BCD

V

d A BCD

S

Ví dụ 10: (ĐH khối D – 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC BAD 900,

AD=2a,BA =BC=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo

a khoảng cách từ H đến mp(SCD).

* Phân tích:

Để chứng minh tam giác SCD vuông ta chỉ cần chứng minh CD vuông góc với

mp(SAC) (không khó) rồi từ đó suy ra Còn muốn tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) thì ta dùng thể tích để tính cho nhẹ nhàng hơn

* Giải:

 Chứng minh tam giác SCD vuông.

Từ giả thiết, ta tính được AC = CD = a 2

Suy ra C D AC Mà CDSA

Do đó CDSAC  CDSC

Suy ra tam giác SCD vuông tại C (đpcm).

 Tính d(H, (SCD)).

Dựa vào công thức tỉ số thể tích, ta có .

.

S HCD

S BCD

V SB .

Do SAB vuông tại A và AH là đường cao nên ta có 22 2 2

3

HB AB   SB 

A

B

C

D

I

2a a

S

C B

D A

H