toàn văn Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——oo—— LÊ XUÂN TRƯỜNG KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHOA HỌC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG 2. GS. TS. ALAIN PHẠM NGỌC ĐỊNH TP. Hồ Chí Minh- 2009 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Tác giả luận án Lê Xuân Trường i LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thành Long và GS. TS. Alain Phạm Ngọc Định. Các Thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã đọc và góp một số ý kiến hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án này. Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là các thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh giá và bình luận quí báu cùng với những đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận án. Tôi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận án. Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy Trần Minh Thuyết và thầy Lê Khánh Luận đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc xin hoạt học thuật của nhóm chúng tôi. Cuối cùng, tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua. ****************************** ii MỤC LỤC DANH SÁCH KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Sự hội tụ bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính . . . . . . 30 1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2.2 Tính chính quy của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.3 Tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . 42 CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN RIÊNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi η → 0 + . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số K, λ và η . . . . . . . . 71 2.4 Tính chất tắt dần theo hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 CHƯƠNG 3. NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI . . . . . . . . . . 86 3.1 Một số ký hiệu và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 Sự tồn tại nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3 Tính compắc của tập nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 iii iv PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 A Không gian Sobolev một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 B Không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 C Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert . . . . 105 D Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 E Một số kết quả kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 DANH SÁCH KÝ HIỆU Ký hiệu tập hợp N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên R Tập hợp các số thực Z + Tập hợp các số nguyên không âm R + = [0, ∞) Tập hợp các số thực không âm Ω Khoảng (0, 1) Q T Tích Descartes Ω ×(0, T), với T > 0 Ký hiệu về đa chỉ số |α| = α 1 + α 2 + · ··+ α N Bậc của đa chỉ số α = (α 1 , α 2 , , α N ) ∈ Z N + α! = α 1 !α 2 ! α N ! x α = x α 1 1 x α 2 2 x α N N Đơn thức bậc |α| theo N biến, với x = (x 1 , x 2 , , x N ) Ký hiệu đạo hàm u(t) = u(x, t) Hàm số theo hai biến số x và t · u(t) ≡ u t (t) = ∂u ∂t (x, t) Đạo hàm riêng bậc một của u(x, t) theo biến t ·· u(t) ≡ u tt (t) = ∂ 2 u ∂t 2 (x, t) Đạo hàm riêng bậc hai của u(x, t) theo biến t u x (t) ≡ u(t) = ∂u ∂x (x, t) Đạo hàm riêng bậc một của u(x, t) theo biến x u xx (t) ≡ ∆u(t) = ∂ 2 u ∂x 2 (x, t) Đạo hàm riêng bậc hai của u(x, t) theo biến x D k i f Đạo hàm riêng ∂ k f ∂x k i của hàm f D α f Đạo hàm riêng ∂ |α| f ∂x α 1 1 ···∂x α n n , với α = (α 1 , , α n ) ∈ Z n + 1 Danh sách ký hiệu 2 Các không gian hàm X, X  Không gian Banach X và đối ngẫu X  ·  X Chuẩn trên không gian X  ·, ·  Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L 2 (Ω) C 0 (Ω) ≡ C(Ω) Không gian các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω C m (Ω) Không gian các hàm u ∈ C 0 (Ω) sao cho D i u ∈ C 0 (Ω) với mọi i = 1, 2, , m C m (Ω) Không gian các hàm u ∈ C m (Ω) sao cho D i u bị chặn và liên tục đều trên Ω C ∞ ( Ω )  ∞ m=0 C m (Ω) C ∞ 0 ( Ω ) Không gian các hàm u ∈ C ∞ ( Ω ) có giá compắc L p = L p (Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R thỏa u p =   Ω |u(x )| p dx  1/p < ∞, với 1 ≤ p < ∞ L ∞ = L ∞ (Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn cốt yếu u : Ω → R với chuẩn u L ∞ = ess sup x∈Ω |u(x )| < ∞ W m,p = W m,p (Ω) Không gian các hàm u ∈ L p sao cho các đạo hàm suy rộng D i u ∈ L p , 1 ≤ i ≤ m W m,p 0 = W m,p 0 (Ω) Bao đóng của C ∞ 0 (Ω) trong không gian W m,p H m = H m (Ω) W m,2 (Ω) ·  ∗ Chuẩn tương đương trong H 1 (Xem Phụ Lục A.4) a(u, v) Dạng song tuyến tính trên H 1 × H 1 (Xem Phụ Lục A.4) C ( [0, T]; X ) Không gian các hàm liên tục u : [0, T] → X với chuẩn u C ( [0,T];X ) = max 0≤t≤T u(t) X < ∞ L p ( 0, T; X ) Không gian các hàm đo được u : [0, T] → X sao cho u L p ( 0, T;X ) =   T 0 u(t) p X dt  1/p < ∞, khi 1 ≤ p < ∞, và u L ∞ ( 0, T;X ) = ess sup 0≤t≤T u(t) X < ∞ W 1 (T) Không gian Banach các hàm u ∈ L ∞  0, T; H 1  sao cho u t ∈ L ∞  0, T; L 2  với chuẩn xác định bởi u W 1 (T) = u L ∞ ( 0, T;H 1 ) + u t  L ∞ ( 0, T;L 2 ) GIỚI THIỆU Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý t huyết và áp dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, , và đã được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Quá trình tìm kiếm lời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kết quả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Wavelet, ). Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăng trên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J. L. Lions [53, 54], H. Brezis [17, 19], F. E. Browder [20, 21], Số lượng các tạp chí có công bố các kết quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chí chuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhà xuất bản Hindawi. Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước. Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, Tuy nhiên, nói chung, chúng ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phi tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng. Chính vì vậy, vấn đề 3 Giới thiệu 4 khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn. Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứu một số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phương trình vi tích phân. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có trong luận án. Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóng một chiều. Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 - 1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định. Mô hình toán học cho bài toán này, do D’Alembert đề nghị, có dạng ∂ 2 u ∂t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂x 2 , (1) trong đó u(x, t) là độ lệch theo phương thẳng đứng của dây, so với vị trí cân bằng, tại điểm x và thời gian t. Một mô hình khác cho bài toán vật lý tương tự đã được thiết lập bởi Kirchhoff [52] và Carrier [22]. Giả sử h là thiết diện và L là chiều dài sợi dây ở trạng thái cân bằng; E là môđun Young và P 0 là lực căng ban đầu. Khi đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định được xác định bởi phương trình ∂ 2 u ∂t 2 =  P 0 + Eh 2L  L 0  ∂u ∂x  2 dx  ∂ 2 u ∂x 2 . (2) Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được quan tâm rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng đã được công bố liên quan đến các phương trình sóng một chiều cũng như nhiều chiều kết hợp với các điều kiện biên khác nhau [4, 5, 9, 13, 14, 15, 29, 30, 34, 36, 46, 50, 51, 81], Trong chương 1 của luận án này, chúng tôi khảo sát hai bài toán biên cho các phương trình thuộc dạng (1) hoặc (2) với một số điểm khác biệt so với các kết quả trước đó. Bài toán 1. Chúng tôi khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình Giới thiệu 5 Kirchhoff phi tuyến u tt −µ  t, u 2 2 , u x  2 2  u xx = f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω × (0, T), (3) kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất u x (0, t) −h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h 1 u(1, t) = 0, (4) và các điều kiện đầu u(x, 0) = u 0 (x), u t (x, 0) = u 1 (x). (5) Phương trình dạng (3) kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Cousin [30], Frota [38], Miranda [50, 51], Medeiros [74], Yang [102], Các bài báo này chú ý đến những khía cạnh khác nhau như sự tồn tại và duy nhất của nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục; sự ổn định của nghiệm cũng như các phương pháp xấp xỉ nghiệm, Trong [75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quan đến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3). Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hoặc bậc hai về nghiệm địa phương của các mô hình tương ứng, trước hết chúng tôi xây dựng một dãy lặp phi tuyến {u m } m∈Z + xác định bởi u 0 = 0 và với mọi m ∈ N, u m là nghiệm của phương trình ∂ 2 u m ∂t 2 −µ  t, u m  2 2 , u mx  2 2  u mxx = f (x, t, u m−1 ) + N−1 ∑ i=1 1 i! ∂ i f ∂u i (x, t, u m−1 ) ( u m −u m−1 ) i , (6) thỏa các điều kiện (4) − (5). Sự tồn tại của dãy {u m } m∈Z + như thế được chứng minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận compắc. Khi đó, nếu µ ∈ C 1  R 3 +  và f ∈ C N ( [0, 1] ×R + ×R ) , chúng [...]... ở đây cũng được áp dụng thành công cho một số bài toán khác và đã công bố trong [T2, T7-T9] Một phần trong số các kết quả này đã được báo cáo tại "Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VII, Qui Nhơn 04 - 08/08/2008" và một số hội nghị khoa học khác Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau Trong toàn bộ luận án, ta sử dụng các ký hiệu C0 , C1 để chỉ các hằng số phụ thuộc vào h0... việc khảo sát sự tồn tại nghiệm dương của một bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân cấp hai Đây là một lĩnh vực có những ứng dụng rộng rãi trong các ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật, chẳng hạn lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng; lý thuyết truyền nhiệt; lý thuyết điều khiển, Đọc giả quan tâm có thể xem [2] và các tài liệu tham khảo trong đó Việc nghiên cứu các bài toán biên. .. TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU Nội dung chính của chương này là khảo sát hai bài toán biên cho phương trình sóng một chiều Trong mục 1.1 chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán biên cho phương trình Kirchhoff phi tuyến và chỉ ra một dãy lặp hội tụ bậc N về nghiệm đó Mục 1.2 đề cập đến một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại hai điểm Chúng tôi chứng minh sự... đến cấp N của nghiệm bài toán nhiễu theo tham số η Kết quả này phần nào đó tổng quát hóa các kết quả có trong [59, 61, 66, 67, 68] Tiếp theo, cũng đề cập đến việc khai triển tiệm cận, chúng tôi xét bài toán (12) − (14) như bài toán nhiễu theo ba tham số bé K, λ, η và tìm một khai triển tiệm cận cho nghiệm của nó Việc khai triển tiệm cận nghiệm của các bài toán biên theo một tham số đã được nghiên cứu... tồn tại và tính chính quy của nghiệm Ngoài ra, tính chất tắt dần của nghiệm theo hàm mũ cũng được khảo sát với một số dữ kiện thích hợp 1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi tuyến Mục đích của chúng tôi là xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán biên phi tuyến sau utt − µ t, u 2 2, ux 2 2 u xx = f ( x, t, u), ( x, t) ∈ Ω × (0, T ), (1.1.1) u x (0, t)... thức và h là một hàm phi tuyến Với các dữ kiện đầu bé, Berrimi và Messaoudi [11] đã chứng minh sự tồn tại toàn cục và tắt dần theo hàm mũ của nghiệm của phương trình utt − ∆u + t 0 g(t − s)∆u(s) ds = |u|γ u, trong U × (0, +∞), (19) 9 Giới thiệu kết hợp với các điều kiện biên Dirichlet, trong đó hàm g thỏa các điều kiện yếu hơn trong [26] Tiếp thu một số ý tưởng từ các kết quả trên vào bài toán (12) −... sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compắc Trong mục 1.1.2, ta sẽ chứng minh dãy {um }m∈Z+ hội tụ, trong một không gian Banach thích hợp, về nghiệm của bài toán (1.1.1) − (1.1.3) và cho một đánh giá sai số bậc N 1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến Định lý 1.1.2 Tồn tại các hằng số dương M, T, độc lập với m, sao cho nếu um−1 ∈ W1 ( M, T ) thì bài. .. u mạnh trong W1 ( T ) Lập luận tương tự như trong chứng minh của định lý 1.1.2, ta suy ra u ∈ W1 ( M, T ) là nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) − (1.1.3) Hơn nữa, cố định m trong (1.1.68) và qua giới hạn khi p → +∞ ta thu được đánh giá (1.1.55) Cuối cùng, việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm là tầm thường, ta bỏ qua chứng minh này 1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính Trong mục... ∈ W1 ( M, T ) thì bài toán biến phân (1.1.4) có nghiệm um ∈ W1 ( M, T ) Chứng minh Chứng minh gồm một số bước Bước 1 Xấp xỉ Faedo-Galerkin Gọi {w j } j∈N là một cơ sở của H 1 , trực chuẩn trong L2 , được xác định bởi dạng song tuyến tính a(u, v) như trong Bổ đề C.1, Phụ lục C Đặt k (k) um (t) = ∑ cmj (t)w j , (k) j =1 (k) trong đó các hàm cmj thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến    ·· (k) u m... nhiều nhiều tham số, đặc biệt là tìm khai triển bậc cao Để giải quyết những khó khăn gặp phải chúng tôi đã xây dựng một bổ đề liên quan đến việc tìm các hệ số trong lũy thừa bậc cao của một đa thức nhiều biến (xem Phụ lục E, Bổ đề E.2) Cuối cùng, với một số điều kiện bổ sung cho nhân k, tương tự trong [11], chúng tôi chứng minh tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng cách sử dụng một phi m hàm Liapunov . ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——oo—— LÊ XUÂN TRƯỜNG KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHOA HỌC ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62. sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và có ý nghĩa thực tiễn. Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứu một số bài toán trong. nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong