A.1. Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa A.1(Đạo hàm suy rộng). Giả sửu,v ∈ L1loc(Ω)và k ∈ N. Ta nói rằng
vlà đạo hàm yếu cấpkcủa u, ký hiệu Dku := v, nếu
Z ΩuD k φdx = (−1)k Z Ωvφdx, với mọi hàm thửφ ∈ Cc∞(Ω).
Bổ đề A.2 (Tính duy nhất của đạo hàm suy rộng). Đạo hàm suy rộng cấp k của
u ∈ L1loc(Ω)nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất, sai khác trên một tập có độ đo không.
A.2. Không gian Sobolev
Định nghĩa A.3 (Không gian Sobolev). Cho m ∈ N và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian SobolevWm,p(Ω) là tập hợp gồm tất cả các hàm u ∈ Lp(Ω) sao cho các đạo hàm suy rộngDiutồn tại vàDiu ∈ Lp(Ω), với mọii =1, 2, ...,m.
Ta ký hiệu
Hm(Ω) =Wm,2(Ω), m =1, 2, ...
Định lý A.4. Nếu m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ thì Wm,p(Ω) là một không gian Banach với chuẩnk · kWm,p xác định bởi kukWm,p = kukp+∑m i=1kDiukp1/p , 1 ≤ p <+∞,
kukWm,∞ = max1≤i≤mkuk∞,kDiuk∞ .
Hơn nữa, không gianWm,p(Ω)là phản xạ khi1< p <∞và tách được khi1 ≤ p < ∞.
Định lý A.5. Hm(Ω)là không gian Hilbert với tích vô hướng hu,viHm =hu,vi+ m ∑ i=1 D Diu,DivE.
Định nghĩa A.6. Bao đóng của C0∞(Ω) trong không gian Wm,p(Ω) được ký hiệu là
W0m,p(Ω). Đặc biệt, bao đóng của C0∞(Ω) trong không gian Hm(Ω) được ký hiệu là
H0m(Ω).
A.3. Xấp xỉ hàm trong không gian Sobolev bằng các hàm trơn
Định lý A.7. Cho u ∈ Wm,p(Ω), với m ∈ N và 1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn tại dãy các hàmuk ∈ C∞(Ω) ⊂Wm,p(Ω)sao cho
kuk−ukWm,p(Ω) −→0, khi k → +∞.
A.4. Vài bổ đề thông dụng
Choh0 >0,h1 ≥0vàu,v ∈ H1. Ta ký hiệu a(u,v) = Z 1 0 uxvxdx+h0u(0)v(0) +h1u(1)v(1), kvka = q a(v,v) và kvk∗ = v2(0) + Z 1 0 kvx|2dx 1/2 . Khi đó ta có
Bổ đề A.8. k · k∗là một chuẩn tương đương trên H1. Cụ thể hơn, ta có
1 3kvk
2
H1 ≤ kvk2∗ ≤ 3kvk2H1, ∀v∈ H1.
Bổ đề A.9. a(·,·)là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trênH1×H1và cưỡng bức trênH1, i.e.,
(i) |a(u,v)| ≤ C1kuk∗kvk∗, với mọiu,v ∈ H1,
trong đóC0 =min{1,h0}vàC1 =max{1,h0, 2h1}. Do đó, chuẩnk · kasinh bởi a(·,·)
cũng là một chuẩn tương đương trênH1,
C0kvk2∗ ≤ kvk2a ≤ C1kvk2∗, ∀v ∈ H1.
Bổ đề A.10. Phép nhúngH1 ,→ C0(Ω)là compắc và
kvkC0(Ω) ≤√2kvk∗, ∀v∈ H1.