Phương pháp nhánh – cận cho bài toán quy hoạch nguyên

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thìa PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Thìa PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trịnh Công Diệu Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.Trịnh Công Diệu, Trưởng môn Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tâm hướng dẫn, bảo tận tình suốt trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu trường, Phòng sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi việc học tập, trang bị kiến thức để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình người thân động viên giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Lê Văn Thìa Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI MỞ ĐẦU Quy hoạch nguyên (hay quy hoạch rời rạc) hướng quan trọng quy hoạch toán học Nó nghiên cứu lớp toán quy hoạch thêm điều kiện biến nhận giá trị tập số nguyên Lớp toán phổ biến thực tế Nó thu hút quan tâm nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực: kinh tế, điều khiển, thiết kế, sinh học,… Chính lĩnh vực phương pháp liên tục tỏ hiệu nghiên cứu đối tượng chia nhỏ tùy ý, quy hoạch nguyên công cụ chủ yếu nghiên cứu hiệu lĩnh vực Có thể nói quy hoạch nguyên bắt đầu khai sinh lịch sử từ năm 1958, công bố thuật toán tiếng Gomory phương pháp cắt Sau thời gian dài, phương pháp cắt công cụ để giải toán quy hoạch nguyên Nhưng từ phương pháp nhánh – cận xuất [Land – Doig 1960] dạng hoàn thiện [Dakin 1965], trở nên ưu rõ rệt Hiện phương pháp nhánh – cận phương pháp chủ yếu để giải toán quy hoạch nguyên Do đó, việc tìm hiểu phương pháp nhánh – cận cần thiết Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày lại cách chi tiết phương pháp nhánh – cận Các vấn đề đề cập luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt toán học Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương “Một số kết Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi” trình bày lại số khái niệm tính chất Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi Các khái niệm đối ngẫu, định lý đối ngẫu, tập lồi, tập lồi đa diện, điểm cực biên, tia cực biên tập lồi đa diện Đặc biệt tính chất biễu diễn tập Footer Page of 258 Header Page of 258 lồi đa diện hữu tỉ qua tia cực biên điểm cực biên nó, sở để chứng minh số kết chương Chương “Thuật toán nhánh – cận giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận” trình bày cách chặt chẽ chi tiết sở lý luận thuật toán thuật toán minh họa việc giải toán thực tế Chương “Giải toán Quy hoạch nguyên tuyến tính Matlab” trình bày lại việc dùng phương pháp nhánh – cận giải toán Quy hoạch nguyên ngôn ngữ Matlab Giải số toán Quy hoạch nguyên tuyến tính chương trình Matlab R2009a Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu tài liệu xếp trình bày lại kết nghiên cứu theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Footer Page of 258 Header Page of 258 MỤC LỤC MỤC LỤC Chương 1.1 Quy hoạch tuyến tính 1.2 Tập lồi - Tập lồi đa diện 1.3.Điểm cực biên Tia cực biên 15 Chương 22 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận (Mixed Integer Linear Programming) 22 2.2 Thuật toán nhánh – cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận 25 2.2.1 Cơ sở lý luận thuật toán 25 2.2.2 Thuật toán nhánh – cận 31 2.3 Một số kĩ thuật sử dụng thuật toán nhánh- cận 31 2.3.1 Kĩ thuật Hậu tối ưu (Reoptimization) 31 2.3.2 Quy tắc chọn toán phân nhánh quy tắc phân nhánh 34 2.4 Ví Dụ 34 Chương 44 3.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính với Matlab 44 3.2 Lập trình thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab 47 3.3 Giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab 50 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Footer Page of 258 Header Page of 258 Chương Một số kết Quy hoạch tuyến tính Giải tích lồi 1.1 Quy hoạch tuyến tính Ta nhắc lại số kết quy hoạch tuyến tính mà chúng sử dụng để chứng minh kết phía sau Định nghĩa 1.1.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng: f ( x) = n ∑c x j =1 j j → thỏa hệ ràng buộc:  n ∑ aij x j (≤ =≥)bi , i = 1, , m  j =1 x ≥ , j = 1, , n  j đó, c j , = = aij , bi , i 1, , m; j 1, , n số cho trước Định nghĩa 1.1.2 Tập D điểm x = ( x1 , , xn ) thỏa hệ ràng buộc gọi tập phương án chấp nhận toán  Điểm x* ∈ D cho f ( x) ≥ f ( x*) , ∀x ∈ D gọi phương án tối ưu toán Quy hoạch tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Bài toán Quy hoạch tuyến tính phát biểu dạng ma trận sau: f ( x) =< c, x > → thỏa hệ ràng buộc:  Ax (≤ =≥)b  x ≥ đó, A ma trận kích thước m × n Footer Page of 258 Header Page of 258  Phương án x = ( x1 , , xn ) gọi phương án sở hệ vectơ cột { Aj } ma trận A ứng với thành phần x j > ( j = 1, , n) độc lập tuyến tính  Phương pháp đơn hình: Xét toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc sau: = f ( x) n ∑c x j =1 j j → thỏa hệ ràng buộc:  n = aij x j ∑  j =1 x ≥  j = bi , i 1, , m ,j= 1, , n Giả sử biết phương án sở chấp nhận náo đó: = X (= xb1 a1 , x= a2 , , x= am ), b2 bm xác định từ hệ vectơ sở đơn vị m chiều Ab1 , Ab , , Abm - Khai triển vectơ điều kiện Aj ( j = 1, , n) theo hệ vec tơ sở Ab1 , Ab , , Abm có nghĩa tính hệ số x1 j , x2 j , , xmj , j = 1, , n - Tính hiệu Z j − c j , j = 1, , n, = Z j C= b Aj m ∑c i =1 x = , j 1, , n bi ij Để tiện tính toán người ta trình bày theo bảng sau: Footer Page of 258 Header Page of 258 Cơ Cb A0 c1 … cb1 … cb … cbl … ck … cj … cbm … cn sở A1 … Ab1 … Ab … Abl … Ak … Aj … Abm … An Ab1 cb1 xb1 x11 … … … … x1k … x1 j … … x1n Ab cb xb x21 … … … x2k … x2 j … … x2n … … … … … … Abl cbl … Abm Z j − cj - … … … … … … … … … … … … … … … … … … … cbm xbm xbm … … … … xmk … xmj … … xmn … … … … xbl Z0 xb1 … … … … … xlk … xlj … … … … … … … … … xln … … … … … Nếu Z j − c j ≤ , ∀j ∈ {1, 2, , n} phương án sở chấp nhận phương án tối ưu - Nếu có số j mà Z j − c j > hệ số xij ≤ (∀i =1, , m) dạng tuyến tính Z không bị chặn tập phương án chấp nhận - Nếu có số j mà Z j − c j > , Aj có hệ số xij > phương án sở chấp nhận chưa tối ưu cải thiện cách đưa vào sở vectơ có ( Z j − c j ) max > Giả sử ( Z j − c j ) max = Z k − ck > , đưa vectơ Ak vào sở loại khỏi sở vectơ ứng với: t = xik > Footer Page of 258 xbi xik Header Page 10 of 258 xbi xbl Giả= sử t , Abl bị loại khỏi sở Cơ sở gồm m = xik > x xlk ik vectơ: ( Ab1 , , Abl −1 , AK , Abl +1 , , Abm ) Phần tử xlk gọi phần tử giải Bằng phép biến đổi đơn giản biểu thức: xbl  ′  xbi =xbi − x xik , (bi ≠ bl , l =1, , m)  lk   x′ = xbl  k xlk x  xij − lj xik , bi ≠ bl  xij′ = xlk    x′ = xlj  lj xlk Ta biến đổi vectơ Ak vectơ đơn vị với xlk = Khi hoàn thành phép biến đổi ta bảng đơn hình tính theo sở Quá trình tính toán tương tự tiếp tục tìm phương án tối ưu Định nghĩa 1.1.4 Giả sử ma trận A có vectơ hàng vectơ cột Aj Giả sử toán gốc có cấu trúc bên trái bảng sau Khi đó, toán đối ngẫu định nghĩa với cấu trúc tương ứng bên phải Z = < c, x > → , f = < b, y > → max Với ràng buộc Với ràng buộc < , x= > bi , i ∈ M yi tự do, i ∈ M < , x > ≤ bi , i ∈ M yi ≤ 0, i ∈ M < , x > ≥ bi , i ∈ M yi ≥ 0, i ∈ M x j ≥ 0, j ∈ N1 < y, Aj >≤ c j , j ∈ N1 x j ≤ 0, j ∈ N < y, Aj > ≥ c j , j ∈ N x j tự j ∈ N < y, A= c j , j ∈ N3 j > Định nghĩa 1.1.5 Footer Page 10 of 258 Header Page 46 of 258 40 A1 -1 0 0 0 -1 A5 57 0 -2 -1 -1 A6 10 0 0 0 A2 -2 0 0 0 A3 -3 31/4 0 1/2 0 -1/4 ½ A8 ¼ 0 -1/2 0 ¼ -1/2 Z j − cj 0 -3/2 0 -5/4 -1/2 Ta nghiệm tối ưu= x1 2;= x2 5; = x3 31 31 có thành phần x3 = không 4 nguyên Do ta thêm vào toán (LR2) ràng buộc sau:  31  x3 ≤   = 4  31  x3 ≥   + = 4 Ta thêm vào ràng buộc biến phụ x10 từ bảng đơn hình cuối ta thấy 31 1 x3 = − x4 + x7 + x9 Do hai ràng buộc trở thành: 4 1 − x4 + x7 + x9 + x10 = − 4 1 x4 − x7 − x9 + x10 = − 4 Ta toán (LR3) (LR4): Footer Page 46 of 258 Header Page 47 of 258 41 ( LR3) min − x1 − x2 − x3 x − x9 =   57 − x4 + x5 − x7 − x9 =  10 + x6 + x9 =   x2 + x7 =   1 31  x3 + x4 − x7 + x9 = 4   1 1 − x4 + x7 + x8 − x9 =  4   1 − x4 + x7 + x9 + x10 = −  4 ( LR 4) min − x1 − x2 − x3 x − x9 =   57 − x4 + x5 − x7 − x9 =  10 + x6 + x9 =   x2 + x7 =   1 31  x3 + x4 − x7 + x9 = 4   1 1 − x4 + x7 + x8 − x9 =  4   1 x4 − x7 − x9 + x10 = −  4 Giải toán (LR3) Dùng thuật toán đơn hình đối ngẫu ta có bảng đơn hình sau: I Cơ Cb A0 sở -1 -2 -3 0 0 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A1 -1 0 0 0 -1 A5 57 0 -2 -1 -1 A6 10 0 0 0 Footer Page 47 of 258 Header Page 48 of 258 42 A2 -2 0 0 A3 -3 31/4 0 1/2 0 A8 1/4 0 -1/2 A10 -3/4 0 Z j − cj 0 A1 -1 2 A5 60 A6 A2 0 -1/4 1/2 0 1/4 -1/2 -1/2 0 1/4 1/2 -3/2 0 -5/4 -1/2 0 0 0 0 -1 0 0 -2 -3 -4 10 0 0 0 -2 0 0 0 A3 -3 0 0 0 1 A8 0 0 0 -1 -1 A4 3/2 0 0 -1/2 -1 -2 Z j − cj 0 0 0 -2 -2 -3 Nghiệm tối ưu toán= x1 2;= x2 5;= x3 giá trị tối ưu −33 > Z Do đó, toán bị cắt giảm Z0 = Giải toán (LR4): Dùng thuật toán đơn hình đối ngẫu ta có bảng đơn hình sau: I Cơ Cb A0 sở -1 -2 -3 0 0 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A1 -1 0 0 0 -1 A5 57 0 -2 -1 -1 A6 10 0 0 0 A2 -2 0 0 0 A3 -3 31/4 0 1/2 0 -1/4 1/2 A8 1/4 0 -1/2 0 1/4 -1/2 A10 -3/4 0 1/2 -1/4 -1/2 Footer Page 48 of 258 Header Page 49 of 258 43 Z j − cj A1 -1 7/2 A5 0 -3/2 0 -5/4 -1/2 0 -1 0 1/2 0 -2 117/2 0 -3 -1/2 0 -2 A6 17/2 0 1 -1/2 0 A2 -2 0 0 0 A3 -3 0 1 0 -1/2 0 A8 0 -1 0 1/2 -1 A9 3/2 0 -1 0 1/2 -2 Z j − cj 0 -2 0 -1 0 -1 Nghiệm tối ưu toán x1 = = ; x2 5;= x3 giá trị mục tiêu tối ưu 69 Z = − > Z Do đó, toán bị cắt giảm Vậy nghiệm tối ưu toán Quy hoạch nguyên cho = x1 1;= x2 5; = x3 với giá trị mục tiêu tối ưu Z = −35 Footer Page 49 of 258 Header Page 50 of 258 44 Chương Giải toán Quy hoạch nguyên tuyến tính Matlab 3.1 Bài toán Quy hoạch tuyến tính với Matlab Cho toán quy hoạch tuyến tính: < c, x > → Sao cho  A.x ≤ b   Aeq.x = beq lb ≤ x ≤ ub  MATLAB: Sử dụng chương trình linprog m để giải toán Quy hoạch tuyến tính dạng Trước tiên, ta xác định ma trận A, Aeq vectơ b, beq, c, lb, ub Khi dó dạng tổng quát linprog m là: [ x, fval , exitflag , output , lambda ] = linprog ( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0 , options ) INPUT: c Vectơ hệ số hàm mục tiêu A Ma trận ràng buộc bất đẳng thức b Vectơ bên phải ràng buộc bất đẳng thức Aeq Ma trận ràng buộc đẳng thức beq Vectơ bên phải ràng buộc đẳng thức lb , [] Cận x , cận ub,[] Cận x , cận Footer Page 50 of 258 Header Page 51 of 258 x0 options 45 Nghiệm xuất phát, để trống [] Dùng hàm optimset , thuật toán sử dụng,… OUTPUT: x fval Nghiệm tối ưu Giá trị tối ưu hàm mục tiêu exitflag Thuật toán có hội tụ hay không, exitflag > thuật toán hội tụ output Cấu trúc bao gồm: Số bước lập, thuật toán sử dụng lambda Cấu trúc chứa nhân tử lagrange tương ứng với ràng buộc Thiết lập options: Thông thường sử dụng hàm optimset có dạng sau: options = optimset (' parameterName1', value,' parameterName2', value, ) Một số parameter thường sử dụng linprog m : Parameters Value ‘LagreScale’ ‘on’, ‘off’ ‘Simplex’ ‘on’, ‘off’ ‘Display’ ‘iter’, ‘final’, ‘off’ Ví dụ : sử dụng linprog m giải toán quy hoạch tuyến tính sau: 2 x1 + x2 → max x + 2x ≤  2 x1 + x2 ≤ 10  x2 ≤   x1 , x2 ≥ Ta có: = lb [], = ub [], = Aeq [], = beq [] Do đó, ta giải toán sau: Footer Page 51 of 258 Header Page 52 of 258 46 >> f = [−2, −3]'; >> A = [1 2;2 1;0 1]; >> b = [8 ; 10 ; 3]; >> options = optimset (' display ',' off '); >> [ x, fval , exitflag , output , lambda ] = linprog ( f , A, b,[],[],[],[],[], options ); Ví dụ 2: Sử dụng linprog m giải toán quy hoạch tuyến tính sau: Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 → max x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + 3x6 + x7 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = x1 + x2 + x3 + x4 + 0.5 x6 + x6 + x7 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = x j ≥ 0; j = 1, ,7 Chuyển qua ngôn ngữ Matlab ta có: Footer Page 52 of 258 Header Page 53 of 258 47 f =[−1, −2, −3, −1, −2, −3, −1]; Aeq = [11 3 1;2 11 2;1 0.5 2;2 3 2]; beq = [7;8;6;7]; lb = [0 0 0 0]; ub = [inf inf inf inf inf inf inf]; 3.2 Lập trình thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab Thuật toán áp dụng với thuật toán đơn hình gốc (linprog.m) Optimization toolbox Matlab Footer Page 53 of 258 Header Page 54 of 258 48 function[ x, val , status ] = IP ( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub, M , e) options = optimset (' display ',' off '); bound = inf; Khởi tạo kỉ lục giá trị kỉ lục [ x0, val 0] = linprog ( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub,[], options ); [ x, val , status, b] = rec( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub, x 0, val 0, M , e, bound ); Hàm đệ quy truy xuất nhánh cận function[ xx, val , status, bb] = rec( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub, x, v, M , e, bound ) options = optimset (' display ',' off '); x kỉ lục biết, v giá trị kỉ lục tương ứng Giải toán nới lỏng LP sau bỏ ràng buộc nguyên [ x0, val 0, status 0] = linprog ( f , A, b, Aeq, beq, lb, ub,[], options ); Nếu LP phương án tối ưu hay giá trị mục tiêu lớn giá trị kỉ lục, ta trả lại kỉ lục giá trị kỉ lục biết < | | val > bound if status = ; val v; status xx x= bb bound ; = = status 0; = return end Nếu LP có phương án tối ưu thành phần phương án ứng với biến nguyên nguyên ind = find (abs ( x0( M ) − round ( x0( M ))) > e); if isempty (ind ) status = 1; if val < bound Phương án tốt ta thay x0( M ) = round ( x0( M )); xx = x0; val = val 0; bb = val 0; else ,ngược lại ta trả lại kỉ lục giá trị kỉ lục biết Footer Page 54 of 258 Header Page 55 of 258 49 xx = x; val = v; bb = bound ; end return end Nếu toán quy hoạch tuyến tính nới lỏng LP có phương án phương án tối ưu giá trị tối ưu tương ứng nhỏ giá trị kỉ lục thành phần ứng với biến nguyên không nguyên Ta lọc biến nguyên hai toán LP1, LP2 giải chúng đệ quy cách gọi hàm tương tự (hàm đệ quy truy xuất nhánh cận) Bài toán LP1 với ràng= buộc xi < floor = ( xi ), i ind (1) br var = M (ind (1)); brvalue = x(br var); if isempty ( A) [r c] = size( Aeq ); else [r c] = size( A); end A1 = [ A; zeros (1, c)]; A1(end , br var) = 1; b1 = [b; floor (brvalue)]; Bài toán LP2 với ràng buộc = xi > ceil = ( xi ), i ind (1) A2 = [ A; zeros (1, c)]; A2(end , br var) = −1; [b; −ceil (brvalue)]; b= Giải LP1 [ x1, val1, status1, bound1] = rec( f , A1, b1, Aeq, beq, lb, ub, x0, val 0, M , e, bound ); status = status1; if status1 > & & bound1 < bound Nếu phương án tốt ta thay Footer Page 55 of 258 Header Page 56 of 258 50 xx = x1; val = val1; bound = bound1; bb = bound1; else xx = x0; val = val 0; bb = bound ; end Giải LP2 [ x 2, val 2, status 2, bound 2] = rec( f , A2, b 2, Aeq, beq, lb, ub, x0, val 0, M , e, bound ); if status > & & bound < bound Nếu phương án tối ưu tốt ta thay status = status 2; xx = x 2; val = val 2; bb = bound 2; end 3.3 Giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận Matlab Ví dụ 3.3.1: Dùng Matlab giải toán sau: max Z = x1 + x2 + x3 , − x1 + x2 + x3 ≤ 4, x2 − x3 ≤ 2, x1 − x2 + x3 ≤ 3, x1 , x2 , x3 ≥ 0, x1 , x3 ∈  Chuyển qua ngôn ngữ Matlab, ta có: Footer Page 56 of 258 Header Page 57 of 258 51 f =[−3, −1, −3]; A= [−1 1;0 − 3;1 − 2]; b = [4 ; ; 3]; lb = [0 0]; ub = [inf inf inf]; M = [1,3]; Ví dụ 3.3.2 Dùng Matlab giải toán “xếp hàng lên tàu”, ứng với n=20, T=100, K=500 Ta xét số liệu cụ thể sau: Loại 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 15 11 23 29 23 11 16 TL 0.5 0.2 1 1 2 0.5 0.5 1 1 1 TT 3 GT 5 SL Footer Page 57 of 258 Header Page 58 of 258 Footer Page 58 of 258 52 Header Page 59 of 258 53 KẾT LUẬN Luận văn tập trung tìm hiểu thuật toán nhánh – cận lớp toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận ( MIP ) Z (= X ) min{< c, x > + < d , y >: ( x, y ) ∈ X } ( x, y ) với c ∈ n , d ∈  p , X= {( x, y ) ∈  n+ ×  +p : Ax + By ≤ b}, số hạng ma trận A, B thành phần véctơ b số hữu tỉ Khi đó, thuật toán nhánh – cận áp dụng mà không cần quan tâm đến toán Quy hoạch tuyến tính nới lỏng toán Quy hoạch nguyên cần giải có hàm mục tiêu bị chặn tập phương án chấp nhận hay không Tác giả có dùng thuật toán nhánh - cận để giải toán “xếp hàng lên tàu” Luận văn trình bày thuật toán nhánh – cận chạy phần mềm Matlab dùng Matlab giải toán “xếp hàng lên tàu” Tác giả cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng trực quan có thể, đưa hình vẽ để minh họa cho khái niệm kiện đề cặp luận văn Hy vọng tác giả luận văn có dịp nghiên cứu tìm hiểu thêm thuật toán nhánh – cận để ngày hoàn thiện thuật toán Footer Page 59 of 258 Header Page 60 of 258 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [Cảnh 2004](Nguyễn Cảnh), Quy hoạch tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh [Dakin 1965], A Tree Search Algorithm for Mixed-Integer Programming Problems, Computer Journal, 8, 250-255, 1965 [Khánh – Nương 2000](P.Q.Khánh, T.H.Nương),Quy hoạch tuyến tính, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [Khánh 2002](P.Q.Khánh), Vận trù học, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [Krumke](Sven O.Krumke), Integer Programming, Technische Universităt, KAISERSLAUTERN [Land – Doig 1960](A.H.Land, A.G.Doig), An Automatic Method of Solving Discrete Programming Problems, Econometrica, 28, 497-520, 1960 [Pochet - Wolsey](Yves Pochet, Laurence A Wolsey), Production Planning by mixed Integer Programming, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering Footer Page 60 of 258 ... Hiện phương pháp nhánh – cận phương pháp chủ yếu để giải toán quy hoạch nguyên Do đó, việc tìm hiểu phương pháp nhánh – cận cần thiết Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày lại cách chi tiết phương. .. Thuật toán nhánh – cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên phận (Mixed Integer Linear Programming) Định nghĩa 2.1.1 Một toán quy hoạch tuyến tính nguyên. .. “Thuật toán nhánh – cận giải toán Quy hoạch tuyến tính nguyên phận” trình bày cách chặt chẽ chi tiết sở lý luận thuật toán thuật toán minh họa việc giải toán thực tế Chương “Giải toán Quy hoạch nguyên