Phương pháp hàm phạt cho bài toán tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LÊ PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: GS- TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Các kiến thức tập lồi hàm lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa tính chất 1.2.2 Tính liên tục 1.2.3 Dưới vi phân 1.2.4 Tính chất cực trị Phương pháp hàm phạt 2.1 Bài toán tối ưu 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Các điều kiện tối ưu 2.2 Phương pháp hàm phạt 2.2.1 Hàm phạt điểm 2.2.2 Hàm phạt điểm 2.2.3 Hàm phạt kiểu Lagrange Hàm phạt xác áp dụng 3.1 Hàm phạt xác cho toán tối ưu lồi 3.2 Hàm phạt xác cho toán tối ưu tập Pareto 3.2.1 Bài toán tối ưu vecto tuyến tính 3.2.2 Hàm phạt xác cho toán tối ưu tập Pareto Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 11 11 13 14 15 17 17 17 19 23 24 26 31 42 42 49 49 53 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập nghiên cứu để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hoàn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, bạn đồng nghiệp Trường Cao đẳng Công nghệ Kinh tế công nghiệp, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng 07 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Lê Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bài toán tối ưu toán tìm phương án chấp nhận để làm cực trị hàm số hàm vecto Đây toán có nhiều ứng dụng thực tế Khó khăn việc nghiên cứu giải toán phải tìm phương án tối ưu miền chấp nhận Để giải khó khăn này, phương pháp hàm phạt cách tiếp cận để giải toán tối ưu có ràng buộc Ý tưởng phương pháp chuyển toán có ràng buộc dãy toán không ràng buộc có ràng buộc đơn giản Các loại hàm phạt thường dùng hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm hàm phạt kiểu Lagrange (thưởng- phạt) Đối với phương pháp hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt xác định bên miền chấp nhận có tính chất lượng phạt p(x) > x không thuộc miền chấp nhận D, trái lại, x ∈ D p(x) = Một hàm phạt khác hàm phạt kiểu Lagrange, hàm xác định bên miền ràng buộc hàm phạt điểm ngoài, bên miền chấp nhận được, lượng phạt nhận giá trị âm, tức thưởng tùy theo mức độ thỏa mãn miền ràng buộc Phương pháp có hiệu phương pháp hàm phạt điểm trong, khác với hàm phạt điểm hàm phạt kiểu Lagrange, hàm phạt xác định miền tập chấp nhận được, điểm gần biên miền chấp nhận p(x) = +∞ Thông thường, người ta chuyển việc toán có ràng buộc việc giải dãy vô hạn toán ràng buộc có ràng buộc đơn giản Tuy nhiên số trường hợp cụ thể, với điều kiện định ta chuyển việc giải toán không ràng buộc Hàm phạt cho tính chất gọi hàm phạt xác Bản luận văn nhằm mục đích chủ yếu hệ thống kiến thức loại phương pháp hàm phạt kể Cụ thể, luận văn đề Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cập đến vấn đề sau: Giới thiệu kiến thức phương pháp hàm phạt điểm ngoài, phương pháp hàm phạt điểm phương pháp hàm phạt kiểu Lagrange Trình bày kết tương đối hàm phạt xác cho toán tối ưu lồi Ngoài ra, luận văn trình bày phương pháp hàm phạt xác cho toán tối ưu không lồi, toán tối ưu hàm tuyến tính tập nghiệm toán tối ưu vecto affin Luận văn gồm chương: Chương Giới thiệu số khái niệm kiến thức giải tích lồi thường dùng tối ưu hoá (tập afin, tập lồi, nón lồi, hàm lồi tính chất chúng) Chương Trình bày ba phương pháp hàm phạt là: Phương pháp hàm phạt điểm trong, phương pháp hàm phạt điểm hàm phạt kiểu Lagrange (thưởng- phạt) Chương Trình bày khái niệm hàm phạt xác, điều kiện đủ để tồn hàm phạt xác cho toán tối ưu lồi, toán tối ưu tập Pareto toán tối ưu vecto affine áp dụng hàm phạt xác vào toán tối ưu tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức tập lồi hàm lồi Chương nhằm giới thiệu số khái niệm kiến thức giải tích lồi thường dùng tối ưu hoá (tập afin, tập lồi, nón lồi, hàm lồi tính chất chúng) Các khái niệm kết chương hầu hết lấy từ tài liệu: [1],[2], [3] 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (hai vecto) không gian Rn tập hợp tất vecto x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn |x = αa + βb, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm không gian Rn tập hợp tất vecto x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn |x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Một tập M gọi tập affine (đa tạp affine) chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ M Ví dụ 1.1 Các không gian Rn tập affine Nhận xét 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn • Nếu M tập affine a + M = {a + x | x ∈ M } tập affine với ∀a ∈ Rn • M tập affine chứa gốc M không gian Định nghĩa 1.2 Thứ nguyên đa tạp affine cho thứ nguyên không gian song song với Siêu phẳng H Rn tập affine có số chiều (n-1), tập có dạng: H = {x ∈ Rn | aT x =α}, = a ∈ Rn α ∈ R Ví dụ 1.2 Trong không gian hai chiều, siêu phẳng đường thẳng Trong không gian chiều, siêu phẳng mặt phẳng Định nghĩa 1.3 Trong Rn , siêu phẳng H = {x ∈ Rn | aT x =α}, với = a ∈ Rn α ∈ R chia Rn thành hai nửa không gian đóng : H − = {x ∈ Rn | aT x ≤ α} H + = {x ∈ Rn | aT x ≥ α}, nửa không gian nằm phía siêu phẳng phần chung chúng siêu phẳng H Tương tự, H chia Rn thành hai nửa không gian mở: {x ∈ Rn | aT x < α} {x ∈ Rn | aT x > α} Một tập C Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó, tức tập C lồi khi: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Bao lồi tập A tập lồi nhỏ chứa A, ký hiệu CoA, giao tât tập lồi chứa A Cho hai tập A, B Rn , tổ hợp lồi tập A B tập điểm thuộc Rn có dạng: x = λa + (1 − λ)b, a ∈ A, b ∈ B, ≤ λ ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lớp tập lồi đóng phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decartes, cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.1 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau tập lồi: A ∩ B := {x |x ∈ A, x ∈ B }; αA + βB := {x |x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c), a ∈ A, c ∈ C } Định nghĩa 1.4 Cho A tập lồi, tập affine nhỏ chứa A gọi bao affine A, ký hiệu af f A Thứ nguyên tập lồi A ký hiệu dimA cho thứ nguyên bao affin A Một điểm a ∈ A gọi điểm A tồn lân cận mở U a cho U ⊂ A, tập hợp điểm A ký hiệu intA Một tập lồi A Rn điểm (khi xét Rn ), có điểm xét af f A, điểm gọi điểm tương đối Nếu ký hiệu riA tập điểm tương đối A riA := {x ∈ affA |∃ U, U ∩ affA ⊂ A}, U lân cận mở x A tập lồi khác rỗng riA = ∅ Một tập hợp giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện ( khúc lồi) Như dạng tường minh tập lồi đa diện D cho sau: ☞ D = {x ∈ Rn ☞☞< aj , x >≤ bj , j = 1, 2, , m} Một tập A A gọi diện A chứa điểm đoạn thẳng chứa đoạn thẳng đó, tức là: ∀a, b ∈ A, x = λa + (1 − λ)b, < λ < 1, x ∈ A ⇒ a, b ∈ A Một diện có thứ nguyên gọi đỉnh hay điểm cực biên Cạnh diện có thứ nguyên Đối với tập C bất kỳ, điểm x ∈ C gọi điểm biên C không tồn a, b ∈ C, < λ < cho: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x = λa + (1 − λ)b đoạn thẳng [a, b] ⊂ C Với tập lồi đa diện, đỉnh diện đỉnh tập Một tập C gọi nón lồi ∀x, y ∈ C x + y ∈ C tx ∈ C với t ≥ Ví dụ 1.3 Rn+ nón lồi Cho C tập Rn , vecto y = gọi hướng lùi xa C tia xuất phát từ điểm C theo hướng y nằm trọn C , tức y = hướng lùi xa x + λy ∈ C, ∀x ∈ C, ∀λ ≥ Tập tất hướng lùi xa C với điểm gốc gọi nón lùi xa C , ký hiệu reC Cho C tập lồi Rn x ∈ C , tập hợp: NC (x) = {w | w, y − x ≤ 0,∀y ∈ C} gọi nón pháp tuyến C x, tập hợp −NC (x) = {w | w, y − x ≥ 0,∀y ∈ C} gọi nón pháp tuyến C x, tập hợp C ∗ = {w | w, x ≤ 0, ∀x ∈ C} gọi nón đối cực C Cho C tập lồi khác rỗng x thuộc C Ta nói d ∈ Rn hướng chấp nhận C tồn t0 > cho x + td ∈ C với ≤ t ≤ t0 Tập tất hướng chấp nhận C x ký hiệu C(x) gọi nón chấp nhận C x Định lý tách tập lồi định lý giải tích lồi, dùng nhiều lý thuyết tối ưu Cho hai tập C D khác rỗng, ta nói siêu phẳng aT x = α tách C D aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Hàm phạt xác áp dụng 3.1 Hàm phạt xác cho toán tối ưu lồi 3.2 Hàm phạt xác cho toán tối ưu tập Pareto 3.2.1 Bài toán tối ưu vecto tuyến tính 3.2.2 Hàm phạt xác cho toán tối. .. Phương pháp hàm phạt 2.1 Bài toán tối ưu 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Các điều kiện tối ưu 2.2 Phương pháp hàm phạt 2.2.1 Hàm phạt điểm 2.2.2 Hàm phạt điểm 2.2.3 Hàm phạt. .. thức phương pháp hàm phạt điểm ngoài, phương pháp hàm phạt điểm phương pháp hàm phạt kiểu Lagrange Trình bày kết tương đối hàm phạt xác cho toán tối ưu lồi Ngoài ra, luận văn trình bày phương pháp