Nghiên cứu bài toán tối ưu véc tơ toàn phương Điều kiện tối ưu, điều kiện tồn tại nghiệm, vô hướng hoá bài toán tối ưu véc tơ toàn phương và bài toán tối ưu véc tơ toàn ătơng lồi

Header Page of 149 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI INH NGC KHC BI TON TI U VẫC T TON PHNG LUN VN THC S TON HC H NI - 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI INH NGC KHC BI TON TI U VẫC T TON PHNG LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 NGI HNG DN KHOA HC PGS TS NGUYN NNG TM H NI - 2016 Footer Page of 149 Header Page of 149 i LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Nguyn Nng Tõm S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, Phũng sau i hc, Khoa toỏn, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Tỏc gi xin chõn thnh cm n Lónh o, chuyờn viờn Phũng Giỏo dc v o to thnh ph Lo Cai ó quan tõm, ng viờn v to iu kin tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 18 thỏng 10 nm 2016 Tỏc gi inh Ngc Khc Footer Page of 149 Header Page of 149 ii LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Nng Tõm Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 18 thỏng 10 nm 2016 Tỏc gi inh Ngc Khc Footer Page of 149 Header Page of 149 iii DANH MC Kí HIU Rn }.} xx, yy Bpx0 , q tx P Rn : }x x0 } 0u A P Rnn clS S reC intS SpM P q locpM P q solpM P q Footer Page of 149 Khụng gian Euclide n-chiu; Chun Euclide Rn ; Tớch vụ hng ca hai vộc t x;y; Hỡnh cu m Rn cú tõm ti x0 bỏn kớnh ; Ma trn i xng; Bao úng ca hp S; Nún lựi xa ca C; Min ca hp S; Tp cỏc im KKT; Nghim a phng ca pM P q; Nghim (ton cc) ca pM P q; Header Page of 149 iv Mc lc LI CM N i LI CAM OAN ii DANH MC Kí HIU iii MC LC v M U 1 KIN THC CHUN B 1.1 Khụng gian Rn 1.2 Ma trn 1.2.1 Phộp nhõn ma trn 1.2.2 Ma trn i xng 1.2.3 Ma trn xỏc nh dng 1.3 Tp li, affine 1.3.1 Tp li 1.3.2 Tp affine 1.4 Nún li 1.5 Hm li v hm ton phng 1.5.1 Hm li 1.5.2 Hm ton phng BI TON TI U VẫC T V BI TON TI U TON PHNG MT MC TIấU 2.1 Bi toỏn ti u vộc t 2.1.1 Quan h th t theo nún 2.1.2 Quan h th t khụng gian Rn 2.1.3 im Pareto (im hu hiu) khụng gian Rn Footer Page of 149 3 4 5 6 11 11 15 16 16 16 17 17 Header Page of 149 v 2.2 2.1.4 Bi toỏn ti u 2.1.5 Bi toỏn ti u vộc t 2.1.6 Bi toỏn vụ hng húa Bi toỏn ti u ton phng mt 2.2.1 Phỏt biu bi toỏn 2.2.2 S tn ti nghim mc tiờu BI TON TI U VẫC T TON PHNG 3.1 Bi toỏn ti u vộc t ton phng 3.1.1 nh ngha 3.1.2 Cỏc iu kin tớnh li Joint-Range 3.1.3 iu kin ti u 3.1.4 Vụ hng húa bi toỏn ti u vộc t ton phng 3.2 Bi toỏn ti u vộc t ton phng li 3.2.1 Bi toỏn bt ng thc bin phõn 3.2.2 Bi toỏn bt ng thc bin phõn affine n iu 3.2.3 Bi toỏn ti u vộc t ton phng li 18 19 20 22 22 23 25 25 25 26 29 34 35 35 36 41 KT LUN 45 TI LIU THAM KHO 46 Footer Page of 149 Header Page of 149 M U Lý chn ti Lý thuyt ti u cú nhiu ng dng lý thuyt cng nh cỏc bi toỏn thc tin Lý thuyt ti u c s dng nhiu quy hoch ti nguyờn, qun lý kinh t, ch to mỏy, iu khin t ng, cụng ngh thụng tin, giao thụng ti v nhiu ngnh khoa hc khỏc Ti u ton phng l mt nhng lnh vc ca ti u húa ó cú nhiu kt qu nghiờn cu v bi toỏn ti u ton phng, xem [5] v [8] v nhng ti liu trớch dn ú Hin bi toỏn ti u vộc t ton phng ang l lnh vc thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii Do ú cỏc nm gn õy ó cú nhiu bi bỏo cụng b kt qu nghiờn cu v bi toỏn ti u vec t ton phng, xem [7] v [10] Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt ti u v bi toỏn ti u vộc t ton phng tụi xin chn ti nghiờn cu:Bi toỏn ti u vộc t ton phng Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v bi toỏn ti u vộc t ton phng: iu kin ti u, iu kin tn ti nghim, vụ hng húa bi toỏn ti u vộc t ton phng v bi toỏn ti u vộc t ton phng li Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu iu kin ti u, iu kin tn ti nghim, vụ hng húa bi toỏn ti u vộc t ton phng v bi toỏn ti u vộc t ton phng li Footer Page of 149 Header Page of 149 i tng phm vi nghiờn cu iu kin ti u, iu kin tn ti nghim, vụ hng húa bi toỏn ti u vộc t ton phng v bi toỏn ti u vộc t ton phng li Phng phỏp nghiờn cu - Dch, c v nghiờn cu ti liu - Tng hp, phõn tớch, dng kin thc cho mc ớch nghiờn cu úng gúp ca lun Lun l bi tng quan v bi toỏn ti u vộc t ton phng Footer Page of 149 Header Page 10 of 149 Chng KIN THC CHUN B Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by túm tt mt s kin thc c bn v khụng gian Euclide Rn , li, nún li v hm li lm c s nghiờn cu bi toỏn ti u cỏc chng sau Ni dung chng ny ch yu c trớch dn t cỏc ti liu [1] v [9] 1.1 Khụng gian Rn ( Tp hp Rn : x px1 , , xn qT | xi P R, i 1, n , ú ă x1 x2 T x px1 , x2 , , xn q xn vi hai phộp toỏn px1 , x2 , , xn qT ` py1 , y2 , , yn qT px1 ` y1 , x2 ` y2 , , xn ` yn qT px1 , x2 , , xn qT px1 , x2 , , xn qT , P R lp thnh khụng gian vộc t thc n-chiu Nu x px1 , x2 , , xn qT P Rn thỡ xi gi l ta th i ca x Vộc t khụng ca khụng gian gi l gc ca Rn , ký hiu l 0, p0, 0, , 0qT t e1 p1, 0, 0, , 0qT ; Footer Page 10 of 149 e2 p0, 1, 0, , 0qT ; ; Header Page 39 of 149 32 V ú A1 ` A2 ` à1 B1 A1 ` B1 Vỡ th cú th suy t nh lý ú l px1 , x2 q l mt cc tiu yu ca (MP) Tht ra, vỡ pf1 , f2 qpFp q tpx1 , x2 q P R2 : x1 0, x2 x21 u, tt c cỏc cc tiu yu l tp0, x2 q : x2 P Ru Y tpx1 , 0q : x1 0u Bõy gi ta nh ngha im Karush - Kuhn - Tucker (KKT) ca (MP) nh sau nh ngha 3.2 Mt im x P Fp c gi l mt im (KKT) ca (MP) nu tn ti p, àq P p Rm ` cho (3.3)-(3.4) ỳng Tip theo ta trỡnh by mt vớ d ch rng mt im (KKT) ca (MP) khụng l mt cc tiu yu ca (MP) Vớ d 3.1.5 Xột bi toỏn ti u vộc t ton phng sau: minpx1 , x21 x22 q v..k x P R2 : x21 ` x22 t f1 px1 , x2 q x1 , f2 px1 , x2 q x21 x22 v g1 px1 , x2 q x21 ` x22 Khi ú rng buc ca bi toỏn l Fp tpx1 , x2 q P R2 : x21 ` x22 1u Vỡ pf1 , f2 qpFp q tpx1 , x2 q : x2 x21 u, tt c cỏc cc tiu yu l tpx1 , x2 q : x21 ` x22 1u Ly px1 , x2 q p0, 1q v p1 , , à1 q p0, 1, 0q Khi ú ta cú à1 gpx1 , x2 q v f1 px1 , x2 q f2 px1 , x2 q ` à1 g1 px1 , x2 q Nh vy px1 , x2 q l mt im KKT nhng khụng l cc tiu yu ca (MP) Bõy gi chỳng ta xột mt trng hp c bit ca bi toỏn ti u vộc t ton phng ú bt k im KKT khỏc khụng cng l cc im yu Xột bi toỏn ti u vộc t ton phng khụng li vi cỏc hm mc tiờu thun nht bc hai v cỏc hm rng buc l cỏc hm ton phng li " * 1 xx, A1 xy, xx, Ap xy 2 (HMP) v..k x P Rn : xx, Bj xy 1, j 1, , m, ú Ai P S n , i 1, , p, Bj P S`n , j 1, , m Ta kớ hiu rng buc ca (HMP) l FHP Cho A P S n Chỳng ta kớ hiu giỏ tr riờng th i ca A l i pAq Cỏc giỏ tr riờng c sp th t nh sau pAq pAq n pAq Footer Page 39 of 149 Header Page 40 of 149 33 KKTkhỏc khụngca (HMP) nh lý 3.4 Gi s rng x`PFHP l im p p m n vi p, àq P p R` Nu i1 i Ai 0, thỡ i1 i Ai ` j1 àj Bj v ú x l mt im cc tiu yu ca (HMP) Chng minh Vỡ x P FHP l im KKT ca (HMP) ta cú p m i Ai ` àj Bj x i1 j1 Chỳ ý rng x Do ú l mt giỏ tr riờng ca pi1 i Ai ` m j1 àj Bj m Mt khỏc chỳ ý rng, j1 àj Bj (vỡ Bj P S`n v àj 0, j 1, , m) `p `p A A v k i1 i i k 2, , n Nh vy vi mi k i1 i i 2, , n ta cú p p m m k i Ai ` àj Bj k i Ai ` àj Bj i1 j1 i1 p j1 i Ai 0, i1 ú bt ng thc u tiờn trờn c suy t ([10], B 2) v ([2], III.2.2) Do ú, vi tt c k 1, , n ta cú p m k i Ai ` àj Bj i1 j1 Vỡ vy pi1 i Ai ` m j1 àj Bj Do ú t nh lý 3.3(2) ta suy rng x l mt im cc tiu yu ca (HMP) Cui cựng, chỳng tụi trỡnh by vớ d minh Mnh 3.1 v nh lý 3.2 v 3.3 Vớ d 3.1.6 Xột bi toỏn ti u vộc t ton phng sau: minpx1 , x21 x22 q v..k x P R2 : x21 x1 t f1 px1 , x2 q x1 , f2 px1 , x2 q x21 x22 v g1 px1 , x2 q x21 x1 Tp rng buc l Fp tpx1 , x2 q : x21 x1 0u Khi ú fi pxq xx, Ai xy ` xai , xy, i 1, 2 Footer Page 40 of 149 v g1 pxq xx, B1 xy ` xb1 , xy, Header Page 41 of 149 34 ú x px1 , x2 q P R2 , a1 p1, 0q, a2 p0, 0q, b1 p1, 0q v 2 0 , v B1 , A2 A1 0 0 Chỳ ý rng A1 v B1 vỡ : td pd1 , d2 q P R2 : A1 d 0, xa1 , dy 0, B1 d 0, xb1 , dy 0u tp0, d2 q : d2 P Ru, v : p0, 1q P cú th khng nh rng xv, A2 vy Do ú, tt c n cỏc iu kin Mnh 3.1(5) c tha Do ú pf1 , f2 , g1 qpR q` ( int R` l li Cú th ch rng px1 , x2 q P F!p : Dp, àq P R` )sao cho px1 , x2 q l mt im KKT ca (MP) vi i1 i Ai ` à1 B1 tp0, x2 q : x2 P Ru Chỳng ta cú th suy t nh lý 3.2 v 3.3 rng cha tt c cỏc cc im yu l tp0, x2 q : x2 P Ru 3.1.4 Vụ hng húa bi toỏn ti u vộc t ton phng Xột bi toỏn (MP) vi mi vụ hng T p1 , , p q P Rp`` c nh, ta t Spxq x, F pxqy p i p xx, Ai xy ` xai , xyq, x P Rn i1 (3.6) Khi ú bi toỏn M intSpxq : x P Xu (SM P pq) vi X tx P Rx : gj pxq xx, Bj xy ` xbj , xy ` cj 0, j 1, , nu l bi toỏn vụ hng húa ca bi toỏn (MP) Bi toỏn (3.8) l bi toỏn ti u ton phng mt mc tiờu pP q ó c trỡnh by phn 2.2 ca lun ny Vớ d 3.1.7 Xột bi toỏn ti u vộc t ton phng sau: F pxq px21 x22 , x21 ` 2x22 q v..k x P R2 : 2x21 3x1 ` 0, x21 ` x2 t f1 px1 , x2 q x21 x22 , f2 px1 , x2 q x21 ` 2x22 Tp rng buc l Footer Page 41 of 149 Header Page 42 of 149 35 X : tpx1 , x2 q P R2 |2x21 3x1 ` 0, x21 ` x2 0u Vi mi vụ hng T p1 , q P R2`` c nh, ta t Spxq x, F pxqy p1 ` qx21 ` p1 ` 22 qx22 (3.7) Khi ú bi toỏn M intSpxq : x P Xu (3.8) l bi toỏn vụ hng húa ca bi toỏn ti u vec t ban u 3.2 Bi toỏn ti u vộc t ton phng li M u phn ny chỳng tụi gii thiu mt s kt qu nghiờn cu v bt ng thc bin phõn a-phin n iu c s dng xỏc nh iu kin ti u cho bi toỏn ti u vộc t ton phng li 3.2.1 Bi toỏn bt ng thc bin phõn nh ngha 3.3 Cho ỏnh x F : U ẹ Rn Bi toỏn bt ng thc bin phõn tng ng vi U v ỏnh x F c phỏt biu nh sau: Tỡm x P U cho xF px q, y x y vi mi y P U (VIPpU, F q) Mnh 3.2 Xột bi toỏn ti u (2.1) Gi s g l hm li kh vi liờn tc trờn m W cha U Khi ú, bi toỏn ti u (2.1) tng ng vi Bi toỏn bt ng thc bin phõn (VIPpU, F q) vi F pxq : gpxq, x P U Chng minh Theo Mnh 2.2, x l nghim ti u ca bi toỏn (2.1) v ch P gpx q ` NU px q Hay tng ng vi gpx q P NU px q Theo nh ngha ca nún phỏp tuyn ngoi suy xgpx q, x x y xF px q, x x y 0, tng ng vi xF px qx x y 0, @x P U V suy x l nghim ca bi toỏn (VIPpU, F q) Footer Page 42 of 149 Header Page 43 of 149 36 Chỳng ta nhc li mt s kt qu v bi toỏn ti u vộc t Cho K Rn l mt li úng khỏc rng, p1 , , m q : ẹ Rm l hm kh vi liờn tc xỏc nh trờn m Rn cha K Bi toỏn ti u vộc t c cho bi b chn K v hm mc tiờu nh sau: Minimize pxq cho x P K (VP) m m Ta ký hiu Rm ` l gúc phn dng R v int R` l phn ca gúc phn ú im x P K l nghim Pareto (hay nghim hu hiu) ca (VP) nu ppKq pxqq X pRm ` zt0uq H Nu x P K tha iu kin ppKq pxqq X p int Rm `q H thỡ x l nghim Pareto yu (hay nghim hu hiu yu) ca (VP) iu kin cn ti u bc nht v iu kin ti u ca bi toỏn ti u vộc t c trỡnh by nh sau: nh lý 3.5 Cho x P K Khng nh sau l ỳng: (a) Nu x l nghim Pareto yu ca (VP), thỡ tn ti p1 , , m q P Rm ` zt0u cho m A E j i pxq, x x vi mi x P K (3.9) i1 (b) Nu hn ch mi thnh phn ca trờn K l hm li v nu tn ti P Rm ` zt0u cho (3.9) tha món, thỡ x l nghim Pareto yu ca (VP) (c) Nu gii hn ca mi thnh phn ca trờn K l hm li v nu tn ti P int Rm ` zt0u (3.9) tha món, thỡ x l nghim Pareto ca (VP) Ta ký hiu nghim Pareto v nghim Pareto yu ca (VP) ln lt l SolpV P q v Solw pV P q Hin nhiờn SolpV P q Solw pV P q 3.2.2 Bi toỏn bt ng thc bin phõn affine n iu Bi toỏn bt ng thc bin phõn vộc t (vit tt l VVI) c gii thiu nm 1980 bi Giannessi VVI l mt nhng cụng c quan trng nghiờn cu bi toỏn ti u vộc t Footer Page 43 of 149 Header Page 44 of 149 37 Chỳng ta ký hiu tớch vụ hng v chun khụng gian Euclide ln lt l xă, ăy v } ă } Chun ca mt ma trn M Rnr c cho bi cụng thc }M } maxt}M x} : x P Rn , }x} 1u Cho li, úng khỏc rng K Rn hm giỏ tr vộc t Fi : K ẹ Rn pi 1, , mq, chỳng ta t F pF1 , , Fm q v F pxqpuq pxF1 pxq, uy, , xFm pxq, uyq, @x P K, @u P Rn m Cho t p1 , , m q P Rm : ` i1 i 1u Phn tng i ca c biu din bng cụng thc ri X pint Rn` q t P : i @i 1, , mu Bt ng thc bin phõn vộc t c xỏc nh bi F, K v nún Rm ` l bi toỏn: Tỡm x P K cho F pxqpy xq Rm 0, @y P K ` zt0u (VVI) Trong ú du bt ng thc c hiu l F pxqpx yq Rm ` zt0u Nh [3], i vi bi toỏn ny, ta cú bi toỏn di õy: Tỡm x P K cho F pxqpy xq int Rm 0, @y P K ` (VVIw ) vi bt ng thc cho bit F pxqpx yq R int Rm ` Tp nghim ca (VVI) v (VVIw ) c ký hiu ln lt l SolpV V Iq v Solw pV V Iq Cỏc phn t ca th nht (tp th hai) l cỏc nghim Pareto (nghim Pareto yu) ca (VVI) Vi m 1, ta cú F F1 : K ẹ Rn Do ú (VVI) v (VVIw ) trựng vi bi toỏn bt ng thc bin phõn: Tỡm x P K cho xF pxq, y xy 0, @y P K (VI) Ký hiu nghim ca bi toỏn ny l SolpV Iq Nu xF pyq F pxq, y xy vi mi cp px, yq P K K thỡ (VI) c gi l bt ng thc bin phõn n iu Vi mi P xột bt ng thc bin phõn Tỡm x P K m A E i Fi pxq, y x 0, @y P K (VI ) i1 Ký hiu nghim ca bi toỏn ny l SolpV Iq Ly hp ca cỏc SolpV Iq vi P ri chỳng ta cú th thy mt phn ca SolpV V Iq (ton b Solw pV V Iq) Footer Page 44 of 149 Header Page 45 of 149 38 Mnh 3.3 Mnh sau l ỳng SolpV Iq SolpV Iq SolpV V Iq Solw pV V Iq (3.10) P Pri Nu K l li a din, thỡ bao hm thc u tiờn (3.10) l ng thc nh ngha 3.4 Bi toỏn (VI) c gi l bt ng thc bin phõn affine (hoc AVI) nu K l li a din v F pxq M x`q vi mi x P K , ú M P Rnn l mt ma trn vuụng v q P Rn Bi toỏn v nghim ca bi toỏn c ký hiu ln lt l AV IpM, q, Kq v SolpAV IpM, q, Kqq i vi bi toỏn (VI), nu xF pyq F pxq, y xy 0, @x, y P K , thỡ ta núi rng F n iu trờn K v (VI) l bt ng thc bin phõn n iu Chỳ ý rng nu M P Rnn l mt ma trn na xỏc nh dng, ngha l xM v, vy 0, @v P Rn , thỡ toỏn t affine F pxq M x`q (vi mi q P Rn c nh) n iu trờn K o li ỳng nu int K H Lu ý rng nghim ca bi toỏn AVI n iu l li úng nh ngha 3.5 Bi toỏn (VVI) c gi l bt ng thc bin phõn vộc t affine (AVVI) nu K l li a din v tn ti cỏc ma trn Mi P Rnn v cỏc vộc t qi P Rn pi 1, , mq cho Fi pxq Mi x ` q vi i 1, , m v x P K Bi toỏn ny v nghim ca nú ln lt c ký hiu l AV V Ip, Kq, SolpAV V Ip, Kqq v Solw pAV V Ip, Kqq, ú d liu : pM1 , , Mm , q1 , , qm q P Rpnnqm Rnm c hiu l b cỏc tham s tham s Ta núi rng (VVI) l mt bi toỏn bin phõn vộc t n iu nu cỏc bi toỏn V IpFi , Kq pi 1, , mq l n iu nh lý n nh nghim di õy i vi bi toỏn AVI n iu l kt qu c bn Mnh 3.4 Cho K Rn l mt li a din khỏc rng, M P Rnn mt ma trn ca xỏc nh dng, v q P Rn Hai tớnh cht sau tng ng nhau: (a) Tp nghim SolpM, q, Kq l khỏc rng v b chn Footer Page 45 of 149 Header Page 46 of 149 39 P Rnn v mi q P Rn vi (b) Tn ti cho vi mi M M }, } maxt}M q q} u, (3.11) , q, Kqq l khỏc rng SolpAV IpM Khi (a) tha món, tn ti hng s 0, v cho nu , qq P Rnn Rn , M l na xỏc nh dng, v (3.11) tha món, pM , q, Kqq khụng rng, thỡ SolpAV IpM , q, Kqq Bp0, q, SolpAV IpM v , q, Kqq SolpAV IpM, q, Kqq` p}M M }`} SolpAV IpM q q}qBp0, 1q õy Bpà, q l ký hiu qu cu úng cú tõm vi bỏn kớnh Mnh 3.5 Gi s K Rn l mt li a din khỏc rng, M1 , , Mm P Rnn l cỏc ma trn na xỏc nh dng, v q1 , , qm P Rn t : pM1 , , Mm , q1 , , qm q P Rnn Rn Xột cỏc tớnh cht: (a) Tp nghim Solw pAV V Ip, Kqq l khỏc rng v b chn 1, , M m P Rnn v q1 , , qm P Rn (b) Tn ti cho vi mi M vi M }, } max t}M q q}u (3.12) iPt1, ,mu 1, , M m , q1 , , qm q Tp Solw pAV V Ip , Kqq khỏc rng, ú : pM Ta cú (a) ủ (b) Ngc li ỳng nu K compact hoc m 1; trng hp tng quỏt, iu ny khụng ỳng nu K khụng compact v m Khi (a) ỳng, vi bt k, tn ti hng s 0, cho nu i l na xỏc nh dng i vi mi pi 1, , mq pMi , qi q P Rnn Rn , M v (3.12) ỳng, thỡ Solw pAV V Ip , Kqq khỏc rng Solw pAV V Ip , Kqq Bp0, q (3.13) v Solw pAV V Ip , Kqq Solw pAV V Ip, Kqq ` Bp0, 1q (3.14) vi Bp0, 1q l ký hiu qu cu n v m Rn Núi riờng, ỏnh x nghim Solw pAV V Ipă, Kqq na liờn tc trờn ti Footer Page 46 of 149 Header Page 47 of 149 40 B 3.1 Di cỏc gi thit ca nh lý 3.5, nu (a) ỳng thỡ t P : SolpV Iq Hu (3.15) ú cụng thc ca bi toỏn pV Iq ta t m i Fi pxq i1 m i pMi x ` qi q i1 nh x nghim SolpAV V Ipă, Kqq kộm n nh hn Solw pAV V Ipă, Kqq C th, ta cú kt qu sau Mnh 3.6 Cho K, Mj , qj v nh nh lý 3.5, xột cỏc tớnh cht sau: (a) Tp nghim SolpAV V Ip, Kqq khụng rng v b chn 1, , M m P Rnn v q1 , , qm P Rn (b) Tn ti cho vi mi M tha (3.12) nghim SolpAV V Ip , Kqq H ú : pM1 , , Mm , q1 , , qm q Ta cú (a) ủ (b) Ngc li ỳng nu K compact hoc m 1; trng hp tng quỏt iu ny khụng ỳng nu K khụng compact v m Nu nghim Pareto yu Solw pAV V Ip, Kqq khụng rng v b chn, thỡ i vi bt c tn ti hng s 0, cho nu i , qi q P Rnn Rn , M i na xỏc nh dng i vi mi i 1, , m v pM (3.12) l ỳng thỡ Solw AV V Ipp , Kqq khụng rng, SolpAV V Ip , Kqq Bp0, q v SolpAV V Ip , Kqq Solw pAV V Ip, Kqq ` Bp0, 1q B 3.2 Di cỏc gi thit ca nh lý 3.6, nu (a) ỳng thỡ t P ri : SolpV Iq Hu ri , ú cụng thc ca bi toỏn (VI ), t m i1 i Fi pxq m i pMi x ` qi q i1 Ngoi ra, ng thc (3.15) cng cú ỳng Footer Page 47 of 149 Header Page 48 of 149 41 Mnh 3.7 Gi s K Rn l hm li a din khỏc rng, M1 , , Mm P Rnn l cỏc ma trn na xỏc nh dng v q1 , , qm P Rn t pM1 , , Mm , q1 , , qm q Cỏc mnh sau ỳng: (a) Nu Solw pAV V Ip, Kqq b chn thỡ nú liờn thụng (b) Nu Solw pAV V Ip, Kqq khụng liờn thụng thỡ mi thnh phn liờn thụng ca nghim khụng b chn Cỏc nghim Pareto ca cỏc AVVI n iu u cú tớnh cht liờn thụng tng t nh i vi cỏc nghim Pareto yu Mnh 3.8 Di cỏc gi thit ca nh lý 3.7, cỏc mnhd sau õy u ỳng: (a) Nu SolpAV V Ip, Kqq b chn thỡ nú liờn thụng (b) Nu SolpAV V Ip, Kqq khụng liờn thụng thỡ mi thnh phn liờn thụng ca nghim khụng b chn 3.2.3 Bi toỏn ti u vộc t ton phng li Cỏc iu kin cn v i vi bi toỏn ti u vộc t ton phng li cú th c vit nh AVVI n iu thy c iu ny, ta xột bi toỏn Minimize F pxq vi x P K, (VP2 ) ú K Rn l mt li a din, F pxq pf1 pxq, , fm pxqq, fi pxq xT Mi x ` qiT x pi 1, , mq, vi M1 , , Mm l cỏc ma trn i xng, na xỏc nh dng cp n n, q1 , , qm P Rn Tp nghim hu hiu v nghim hu hiu yu ca (VP2 ) c ký hiu tng ng l SolpV P2 q v Solw pV P2 q Vỡ fi pxq Mi x ` qi , t Fi pxq Mi x ` qi ta cú nh lớ di õy nh lý 3.6 Cho x P K Cỏc khng nh sau l ỳng: (a) x P Solw pV P2 q nu v ch nu tn ti P cho x P SolpV Iq (b) Nu tn ti P ri cho x P SolpV Iq , thỡ x P SolpV P2 q Footer Page 48 of 149 Header Page 49 of 149 42 Cn nhn mnh rng tớnh ti u c phỏt biu khng nh (b) ca nh lý 3.6 l khụng nht thit l iu kin cn iu ny c minh vớ d sau: Vớ d 3.2.1 Cho n 1, m v K R, F pxq px2 , px 1q2 q vi mi x P R D dng ch rng SolpV P2 q r0, 1s Cho p1 , q P ri ta thy rng F1 pxq ` F2 pxq 21 x ` 22 px 1q 2px q, Do ú pV Iq cú nghim nht x Kt qu l SolpV P2 q r0, 1s SolpV V Ip, Kqq SolpV Iq p0, 1q Pri T õy ta ký hiu cỏc nghim ca (VP2 ) tng ng vi cỏc b d liu bi Solw p, V P2 q v Solp, V P2 q Kt hp nh lý 3.6 vi nh lý 3.3 ta cú Solp, V P2 q SolpAV V Ip, Kqq v Solw p, V P2 q Solw pAV V Ip, Kqq, (3.16) ú pM1 , , Mm , q1 , , qm q Gi s (VP2 ) c nhiu Tp d liu gc c thay th bi mi 1, , M m , q1 , , qm q pM i pi 1, , mq l i xng cỏc nghim mi ú cỏc ma trn M c ký hiu l Solw p , V P2 q v Solw p , V P2 q p dng nh lý 3.5 v 3.7 vi AVVI n iu liờn kt vi (VP2 ) ta c hai mnh sau õy: nh lý 3.7 Nu Solw p, V P2 q l khỏc rng v b chn, thỡ vi tn ti s 0, cho (3.12) tha thỡ Solw p , V P2 q l khỏc rng Solw p , V P2 q Bp0, q, v Solw p , V P2 q Solw p, V P2 q ` Bp0, 1q Núi riờng, ỏnh x nghim Solw pă, V P2 q l na liờn tc trờn ti nh lý 3.8 Cỏc mnh sau l ỳng: (a) Nu Solw p, V P2 q b chn thỡ nú l liờn thụng Footer Page 49 of 149 Header Page 50 of 149 43 (b) Nu Solw p, V P2 q khụng liờn thụng thỡ mi b phn liờn thụng ca nghim l khụng b chn Nh Vớ d 3.2.1, bao hm thc (3.16) l cht Do ú nh lý 3.6 khụng suy khng nh tip theo nh lý 3.9 Nu Solw p, V P2 q l khỏc rng v b chn, thỡ vi bt k tn ti hng s 0, cho nu (3.12) tha thỡ Solp , V P2 q l khỏc rng Solp , V P2 q Bp0, q, (3.17) Solp , V P2 q Solp, V P2 q ` Bp0, 1q (3.18) v Chng minh Gi s rng Solw p, V P2 q l khỏc rng v b chn T Solw p, V P2 q Solw pAV V Ip, Kqq (3.16) Solw pAV V Ip, Kqq cng khỏc rng v b chn Vỡ vy, vi 0, theo nh lý 3.5 v (3.4) ta cú th tỡm c 0, cho nu (3.12) tha i pi 1, , mq l ma trn i xng na xỏc nh dng, thỡ vi M SolpAV V Ip , Kqq khỏc rng v cỏc bao hm thc (3.13) v (3.14) tha Nhc li rng, Solp , V P2 q Solw p , V P2 q, ta cú th d dng kt hp cỏc tớnh cht ny vi bao hm thc Solp , V P2 q SolpAV V Ip , Kqq v bt ng thc Solw p , V P2 q SolpAV V Ip , Kqq ú l cỏch biu din ca bao hm thc v bt ng thc (3.16) úng vai trũ nh , cú c tớnh khỏc rng ca Solp , V P2 q, v cỏc c lng (3.17), (3.18) Hirschberger ó chng minh c nh ca mt nghim Pareto (gi l ng hu hiu) ca bi toỏn ti u vộc t ton phng ta li xỏc nh trờn li a din l liờn thụng Nu mt cỏc thnh phn ca hm vộc t mc tiờu l ta li mnh nh lý 3.10 Nu K l compact, thỡ Solp, V P2 q l khỏc rng v liờn thụng Footer Page 50 of 149 Header Page 51 of 149 44 nh lý 3.10 l mt h qu rt c bit ca nh lý Benoist nú c trỡnh by nh sau: Tp nghim Pareto ca bi toỏn ti u (cc tiu) vộc t ta li cht liờn tc trờn li compact khỏc rng Rn l khỏc rng v liờn thụng Theo nh ngha hm : D ẹ R, vi D Rn l li, c gi l ta li cht trờn D nu vi mi x, u P D v mi t P p0, 1qthỡ bt ng thc sau l ỳng pp1 tqx ` tuq maxtpxq, puqu, v bt ng thc cht pxq puq T nh ngha dn n nu : D ẹ R l li trờn D thỡ l ta li cht trờn D Kt lun Chng Trong Chng chỳng tụi ó trỡnh by mt s kt qu v iu kin ti u v tớnh cht ca cỏc nghim ca cỏc bi toỏn ti u vộc t ton phng v ti u vộc t ton phng li Cỏc kt qu chớnh chng c trỡnh by cỏc nh lý (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.8), (3.7), (3.8), v (3.9) Footer Page 51 of 149 Header Page 52 of 149 45 Kt lun Lun ó trỡnh by c nhng sau: Chng ca lun trỡnh by nhng kin thc c s cú liờn quan n khụng gian Rn , li, hm li v hm ton phng Chng cp n mt s kt qu chớnh v bi toỏn ti u vộc t v bi toỏn ti u ton phng mt mc tiờu (Cỏc nh lý (2.1), (2.2), (2.4) v (2.5)) Mt s kt qu chớnh v iu kin ti u v tớnh cht ca cỏc nghim ca cỏc bi toỏn ti u vộc t ton phng v ti u vộc t ton phng li (Cỏc nh lý (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.8), (3.7), (3.8), v (3.9)) c gii thiu chng Mt s hng nghiờn cu tip theo: Tỡm cỏc iu kin cn v ti u cho bi toỏn ti u vộc t ton phng Tỡm cõu tr li cho cỏc cõu hi sau: - Cú hay khụng bi toỏn ti u vộc t ton phng li m nghim pareto yu ca nú l khụng liờn thụng? - Nu nghim pareto yu ca bi toỏn ti u vộc t ton phng li l b chn thỡ nú cú liờn thụng hay khụng? Nu nú khụng liờn thụng thỡ mi thnh phn liờn thụng ca nú cú b chn hay khụng? Footer Page 52 of 149 Header Page 53 of 149 A Ti liu Ting Vit B Ti liu Ting Anh Footer Page 53 of 149