Định lý Farkas và điều kiện tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐINH DIỆU HẰNG ĐỊNH LÝ FARKAS VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng I ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH 1.1 Các kết bổ trợ 1.2 Định lí Farkas Chƣơng II ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM MỘT QUÁ TRÌNH LỒI VÀ MỘT HÀM BÁN LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 2.1 Các khái niệm kết liên quan 13 2.2 Định lí Farkas suy rộng 16 2.3 Điều kiện tối ƣu cho toán với ràng buộc trình lồi 21 Chƣơng III ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM CÁC HÀM LÀ HIỆU CỦA HAI HÀM DƢỚI TUYẾN TÍNH VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 3.1 Định lí Farkas cho hệ gồm hàm hiệu hai hàm dƣới tuyến tính 25 3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến tựa khả vi 34 3.3 Tính giải đƣợc địa phƣơng điều kiện Robinson suy rộng 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ƣu phận quan trọng lý thuyết toán cực trị có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Để dẫn điều kiện cần tối ƣu ngƣời ta thƣờng dùng định lí tách giải tích lồi định lí luân phiên (theorems of the alternative) cho hệ tuyến tính phi tuyến Các định lí luân phiên tiếng J.Farkas cho hệ tuyến tính không nhất, định lí luân phiên T.S Motzkin, A.W Tucker, P.Gordan, D.Gale đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển cho hệ phi tuyến khác làm công cụ để dẫn điều kiện tối ƣu Trong sách chuyên khảo [8], O.L Mangasarian trình bày cách hệ thống định lí luân phiên cổ điển cho hệ tuyến tính, có định lí Farkas, Motzkin, Tucker, Gale Trong [6], V.Jeyakumar tổng quát hoá định lí luân phiên Farkas cho hệ gồm hàm bán lồi suy rộng trình lồi, áp dụng để dẫn điều kiện đặc trƣng cho nghiệm tối ƣu toán với ràng buộc trình lồi Trong [5], B.M Glover, V Jeyakumar W.Oettli chứng minh định lí luân phiên Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm dƣới tuyến tính, hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas suy rộng dạng vectơ Các kết đƣợc áp dụng để dẫn điều kiện cần tối ƣu cho toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Luận văn trình bày định lí luân phiên Farkas cho hệ không nhất, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm phi tuyến trình lồi, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm tuyến tính hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas dạng vectơ với áp dụng việc dẫn điều kiện tối ƣu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho toán tối ƣu với ràng buộc trình lồi, toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng I trình bày định lí Farkas cho hệ tuyến tính không định lí định lí luân phiên có liên quan Motzkin, Tucker, Gale Chƣơng II trình bày định lí luân phiên Farkas suy rộng V.Jeyakumar[6] cho hệ gồm hàm bán lồi suy rộng trình lồi Các điều kiện cần đủ tối ƣu cho toán tối ƣu với ràng buộc trình lồi đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng III trình bày kết B.M Glover, V.Jeyakumar W Oettli [5] bao gồm định lí luân phiên Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm dƣới tuyến tính hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas suy rộng dạng vectơ với điều kiện tối ƣu cho toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bạn lớp cao học Toán K16 quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương I ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG Chƣơng I trình bày số định lí luân phiên cho hệ tuyến tính, bao gồm định lí Farkas không nhất, định lí Motzkin, Tucker, Gale Các định lí đƣợc áp dụng rộng rãi lí thuyết tối ƣu hoá Các kết chƣơng đƣợc lấy [8] 1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trƣớc hết ta đƣa vào ký hiệu quan hệ thứ tự Với x, y  Rn , x = y  xi = yi , i = 1, 2, …, n, x  y  xi  yi , i = 1, 2,…, n, x  y  x  y, x  y, x > y  xi > yi , i = 1, 2, …, n Mệnh đề 1.1 ([8]) Cho p × n - ma trận A bất kỳ, hệ: I Ax , II A ' y  0, y  có nghiệm x y thoả mãn A1 x  y1  0, A’ ma trận chuyển vị A, Ai hàng thứ i A Định lý 1.1 Với p  n - ma trận A bất kỳ, hệ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I Ax II A ' y  0, y  , có nghiệm thoả mãn: Ax  y  Chứng minh Trong mênh đề 1.1, hàng A1 đóng vai trò đặc biệt Bằng cách đánh số lại hàng A, hàng Ai đóng vai trò đặc biệt nhƣ Vì vậy, theo mệnh đề 1.1, xi  R n , y i  R p , i  1,2, , p , cho Axi 0 A ' y i  0, y i 0 , i  1,2, , p (1.1) Ai xi  yii  Đặt p p i 1 i 1 x   xi , y   y i (1.2) Do (1.1), ta có p Ax   Ax i 0, i 1 p A ' y   A ' y i  0, i 1 p y   y i 0, i 1 với i = 1, 2, …, p, theo (1.1) nên Ai xi  yii  0, Ai x k  yik  , Ai x  yi  Ai xi  yii  p  k 1, k i ( Ai x k  yik )  , hay Ax  y  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2 Giả sử A B p1  n p2  n - ma trận với A không rỗng Khi đó, hệ I Ax  0, Bx  , II A ' y1  B ' y2  0, y1  0, có nghiệm x  R n , y1  R p , y2  R p thoả mãn: Ax  y1  Chứng minh Chú ý đòi hỏi A không rỗng để bảo đảm phát biểu định lý không tầm thƣờng, nghĩa không xảy trƣờng hợp A phần tử Áp dụng định lý 1.1 với hệ: A   B  x  0,     B   y1   y1     A ', B ',  B '  z1   0,  z1   0,  z2   z2  ta nhận đƣợc x1 , y1 , z1 , z2 , thoả mãn Ax  y1  0, Bx  z1  0,  Bx  z2  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt y2  z1  z2 Khi ta có x, y1 , y2 thoả mãn: Ax  0, Bx  0, A ' y1  B ' y2  0, y1  0, Ax  y1   Hệ 1.2.1 Cho A, B, C D p1  n, p2  n, p3  n p4  n - ma trận, với A, B, C không rỗng Khi đó, hệ: I Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  , II A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  0, y1  0, y2  0, y3  có nghiệm x  R n , y1  R p , y2  R p , y3  R p , y4  R p , thoả mãn Ax  y1  0, Bx  y2  0, Cx  y3  1.2 ĐỊNH LÍ FARKAS Định lý 1.3 (Motzkin) Cho ma trận A, C D, với A không rỗng Khi đó, hệ: I Ax  0, Cx  0, Dx  có nghiệm x, hệ: II A ' y1  C ' y3  D ' y4  y1  0, y3  có nghiệm y1 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Chứng minh ( I  II ) (trong II có nghĩa II không đúng): Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu I II đúng, ta có x, y1 , y3 , y4 thoả mãn: xA ' y1  xC ' y3  xD ' y4  Vì xD ' y4  0, xC ' y3  0, xA ' y1  Điều mâu thuẫn với đẳng thức thứ II Do đó, I II đồng thời xảy Vậy, I  II ( I  II ) Theo hệ 1.2.1, ta có I  Ax  0, Cx  0, Dx   Ax >  Ax  0, Cx  0, Dx  A ' y1  C ' y3  D ' y4   y1  y1  0, y2  0, y3   II  Chứng minh tƣơng tự định lý 1.3 ta nhận đƣợc định lý sau Định lý 1.4 (Tucker) Cho ma trận B, C D, với B không rỗng Khi đó: I Bx  0, Cx  0, Dx  có nghiệm x, hệ: II B ' y2  C ' y3  D ' y4  y2  0, y3  có nghiệm y2 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Định lý 1.5 Cho ma trận A, B, C D, với A B không rỗng Khi đó, I Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  hoac Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên có nghiệm x, http://www.lrc-tnu.edu.vn II A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  y1  0, y2  0, y3  có nghiệm y1 , y2 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Chứng minh ( I  II ) : Nếu I II đúng, ta có x, y1 , y2 , y3 , y4 thoả mãn xA ' y1  xB ' y2  xC ' y3  xD ' y4  0, xD ' y4  0, xC ' y3  xB ' y2  0, xA ' y1  0, xB ' y2  xA ' y1  Nhƣng điều mâu thuẫn với đẳng thức thứ II Do đó, I II đồng thời xảy Vậy, I  II ( II  I ) : II  A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  y1  0, y2  0, y3   hoac y2  A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4   y1  y1  0, y2  0, y3  Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  Ax   hoac Bx  (do hệ 1.2.1)  I  Chú ý A B rỗng, ta trở lại với định lý 1.4 định lý 1.3 Định lý 1.6 (Farkas) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH 1.1 Các kết bổ trợ 1.2 Định lí Farkas Chƣơng II ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM MỘT QUÁ TRÌNH LỒI VÀ MỘT HÀM BÁN LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN... MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ƣu phận quan trọng lý thuyết toán cực trị có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Để dẫn điều kiện cần tối ƣu ngƣời ta thƣờng dùng định lí tách giải tích lồi định lí... TUYẾN TÍNH VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 3.1 Định lí Farkas cho hệ gồm hàm hiệu hai hàm dƣới tuyến tính 25 3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến tựa khả vi 34 3.3 Tính giải đƣợc địa phƣơng điều kiện Robinson