VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o -o0o NGUYỄN THỊ LAN ANH NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên THÁI NGUYÊN - 2009 http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang Lý thuyết điều kiện tối ƣu tối ƣu đơn mục tiêu đa mục tiêu Mục lục trơn không trơn phát triển mạnh mẽ thu đƣợc nhiều kết đẹp đẽ Mở đầu phong phú Lý thuyết điều kiện tối ƣu cấp phận quan trọng lý thuyết điều kiện tối ƣu Chƣơng Từ điều kiện cần ta có đƣợc tập điểm dừng mà bao ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN hàm nghiệm toán tối ƣu Các điều kiện đủ tối ƣu cấp cho phép ta tìm nghiệm toán Thông thƣờng ngƣời ta đƣa vào tập tiếp MỤC TIÊU tuyến cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp điều kiện quy cấp 1.1 Các khái niệm định nghĩa 1.2 Các tập tiếp tuyến cấp cấp hai J F Bonnans, R Cominetti A Shapiro [3] nghiên cứu tập 1.3 Điều kiện quy cấp hai điều kiện tối ƣu cấp hai 15 tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp trên, khái niệm quy từ dẫn tới điều kiện tối ƣu cấp kiểu Fritz John Kuhn-Tucker cấp quy cấp Từ đó, tác giả thiết lập điều kiện Chƣơng cần tối ƣu cấp với điều kiện quy Robinson, điều kiện đủ tối ƣu ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA cấp cho toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón G Bigi MỤC TIÊU M.Castellani [4] nghiên cứu tập phƣơng giảm cấp Tập phƣơng chấp nhận đƣợc cấp tập tiếp liên cấp điều kiện quy 2.1 Kiến thức chuẩn bị 33 2.2 Điều kiện cần tối ƣu cho toán đa mục tiêu với ràng buộc tập 37 ƣu Fritz John cấp sở phát triển định lý luân phiên kiểu Motzkin, 2.3 Điều kiện cần tối ƣu Fritz John 41 điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp với điều kiện quy 2.4 Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 cấp kiểu Abadie Guignard Từ đó, tác giả dẫn điều kiện cần tối cấp kiểu Abadie Guignard Luận văn tập trung trình bày điều kiện quy cấp điều kiện tối ƣu cấp dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp đạo hàm theo phƣơng cấp Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng Chƣơng 1: Trình bày nghiên cứu J F Bonnans, R Cominetti A Shapiro [3] tập tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN trên, điều kiện quy cấp điều kiện quy cấp Với điều TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU kiện quy Robinson, điều kiện cần tối ƣu cấp cho toán tối ƣu với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày với điều kiện đủ tối ƣu Chƣơng trình bày nghiên cứu J.F.Bonnans, R.Cominetti A.Shapiro [3] tập tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp trên, cấp Chƣơng 2: Trình bày kết nghiên cứu G Bigi điều kiện quy cấp điều kiện quy cấp với điều M.Castellani [4] điều kiện cần tối ƣu cấp cho cực tiểu yếu địa phƣơng kiện cần đủ tối ƣu cấp cho toán tối ƣu với ràng buộc nón toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc sở phát triển định lý 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA luân phiên Motzkin không Các nghiên cứu tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2, điều kiện quy cấp kiểu Abadie Guignard đƣợc trình bày với điều kiện cần cấp Fritz John 1.1.1 Bài toán Ta xét toán tối ƣu có dạng Kuhn-Tucker f(x), (P) Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS x X G(x)  K, Đỗ Văn Lƣu, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận X không gian hữu hạn chiều, Y không gian Banach, văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học K tập lồi đóng Y , hàm mục tiêu f : X  R ánh xạ sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy ràng buộc G : X  Y đƣợc giả thiết khả vi liên tục hai lần Kí hiệu khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành  : G1 ( K ) tập chấp nhận toán ( P) viên lớp Cao học Toán K15 quan tâm, động viên, giúp đỡ Một số toán tối ƣu phát biểu dƣới dạng toán ( P) Khi suốt thời gian học tập trình làm luận văn Y  Thái Nguyên, tháng năm 2009 Nguyễn Thị Lan Anh p K  0  R p q Tập chấp nhận đƣợc ( P) đƣợc xác định số hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, ( P) trở thành toán quy hoạch phi tuyến Ví dụ khác, ta xét không gian Y  C () gồm hàm liên tục  :   ¡ xác định không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  : sup  (  ) 1.1.2 Các khái niệm định nghĩa  Giả sử h :Y  R     hàm giá trị thực mở rộng Lấy K : C (  ) nón hàm nhận giá trị không âm, tức Giả sử h(.) hữu hạn điểm y  Y ta kí hiệu h' ( y,d ) đạo hàm C (  ):   C(  ): (  )  0,   Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x )  K tƣơng ứng với theo phƣơng điểm y theo phƣơng d  Y g( x, )  với    , g( x,.) : G( x )(.) Nếu tập  vô h' ( y;d ) : lim t 0 hạn, ta nhận đƣợc số vô hạn ràng buộc, (P) trở thành toán h( y  td )  h( y ) t Nhắc lại [5] h(.) lồi, giá trị hữu hạn y, thƣờng quy hoạch bán vô hạn Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu xét toán tối ƣu có dạng Y, y  dom h h' ( y;d ) tồn hữu hạn Ta sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau: g( F( x )), (1.1) xX h ( y;d )  liminf t 0 g : Y  R   hàm lồi thƣờng nửa liên tục dƣới F : X  Y Bài toán tƣơng đƣơng với toán tối ƣu sau (xem [7]): c, (1.2) ( x ,c )X R d ' d h( y  td')  h( y ) t Chú ý đồ thị h ( y,.) đóng h ( y,.) hàm nửa liên tục dƣới Nếu h(.) lồi, nhận giá trị hữu hạn liên tục y liên tục Lipschitz lân cận y , h ( y,.)  h' ( y,.) Nói ( F( x ),c ) epi( g ), chung, h lồi, gián đoạn, bao đóng đồ thị epi( g ) : ( y,c ) Y  R : g( y )  c đồ thị g đƣợc xét nhƣ trƣờng hợp riêng toán (P) Điều ngƣợc lại đúng, có nghĩa toán (P) biểu diễn dƣới dạng (1.1) cách lấy g( r, y )  r  I K ( y ) F( x )  ( f ( x ),G( x )) , I K ( y )  , y  K  y  K (xem [7]) Cho nên hai cách tiếp cận tƣơng đƣơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h' ( y,.) trùng với đồ thị h ( y,.) Khi h' ( y,d ) tồn hữu hạn, ta kí hiệu h'' ( y ;d , ) h'' ( y ;d , ) đạo hàm parabolic cấp hai dƣới [3], tƣơng ứng h tức h'' ( y ;d , ) :  liminf t 0 h( y  td  t 2 ) - h( y ) - th' ( y,d ) 2 t http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Df ( x ),D2 f ( x ) tƣơng ứng đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai h( y  td  t 2 )  h( y )  th' ( y,d ) h ( y ;d , ) : lim sup t 0 t hàm Ta nói h(.) khả vi theo phƣơng cấp hai y theo phƣơng d, y  0) ''  f ( x ) ; BY :  y  Y : y  1 hình cầu đơn vị Y ;  y : ty : t R không gian tuyến tính sinh vec tơ y (một chiều nếu h'' ( y ;d , ) = h+'' ( y ;d , ) hữu hạn với   Y Trong trƣờng hợp này, giá trị chung đƣợc ký hiệu h ( y ;d , ) Khi h( y ) 1.2 CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI '' h ( y,d ) hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau TK ( y ) :  h Y : dist(y + th, K) = o(t), t  0 h( y  td  t 2' )  h( y )  th ( y,d ) 2 t 0 , '  t h ( y ;d , ) : liminf Chú ý h(.) liên tục Lipschitz gần (từ không gian định chuẩn X vào họ tập Y) theo nghĩa y, ''  hàm tuyến tính y*  Y * y  Y Với ánh xạ tuyến tính liên tục A* : Y *  X * lim sup   x   y  Y : x n  x cho yn   x n  , yn  y, liminf   x   y  Y : x n  x , yn   x n  , yn  y Kí hiệu Y * không gian đối ngẫu Y y* , y giá trị y* ( y ) ta kí hiệu Painlevé - Kuratowski: x  x0 hạn, liên tục, liên tục Lipschitz y A: X Y ánh xạ liên hợp, tức là, x  x0 Theo định nghĩa giới hạn tập hợp dƣới, ta viết * * * Ky t TK  y   liminf t 0 A y ,x  y ,Ax , với x  X ,y Y Với tập T  Y kí hiệu  (.,T ) * (1.3) Nhắc lại [2] khái niệm giới hạn dƣới hàm đa trị : X  2Y h ( y ;d , )  h ( y ;d , ) Nói riêng, điều đúng, h(.) lồi, hữu   Giả sử K tập đóng không gian Banach Y Nón tiếp tuyến cấp K điểm y  K đƣợc định nghĩa nhƣ sau: * (1.4) Ta biết K lồi có hàm tựa T, tức  ( y* ,T ) : sup y* , y TK ( y )  lim sup t 0 yT ( 1.5) Chú ý K nón lồi y  K , TK ( y )  cl  K   y  , Ký hiệu dist  ,T  hàm khoảng cách  y  ký hiệu không gian tuyến tính sinh vec tơ y cl ký hiệu bao dist  y,T  : inf y  z zT đóng theo tôpô chuẩn Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ky t http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ( x )  (  x ), ( )  0, Tƣơng tự (1.4) (1.5), ta xét biến phân cấp hai tập K điểm y  K theo phƣơng d TK2 ( y,d ) : liminf t 0 với dãy đơn điệu giảm đến không xk đó, hàm  ( x ) tuyến tính K - y - td , t (1.6) (1.7) Ta gọi T ( y,d ),O ( y,d ) tƣơng ứng tập tiếp tuyến cấp hai Các tập tiếp tuyến viết dƣới dạng sau:   T ( y,d )    Y: dist (y+td+ t 2 , ) = o(t ),t   ,    2  OK ( y,d )  : tn  : dist (y+tn d+ tn  ,K) = o(tn )   K Nhƣ với điểm xk  , xét đƣờng thẳng qua điểm ( xk ,xk2 ) y  x2 điểm xk 1 rõ ràng xk  xk 1  , có xk  Đặt K : ( x, y )  R : y  ( x ) Khi với phƣơng d : ( 1,0 ) ta có TK2 ( 0,d )   x, y  : y  4 , OK2 ( 0,d )  ( x, y ) : y  2 Từ định nghĩa ta thấy TK2 ( y,d )  OK2 ( y,d ) , tập tiếp d TK ( y ) Cả hai tập T ( y,d ),O ( y,d ) đóng Nếu K lồi, tập T ( y,d ) lồi; Tập tiếp tuyến K K đƣờng thẳng qua điểm tiếp xúc với đƣờng cong y  2x2 Đƣờng thẳng giao với đƣờng cong K tuyến cấp hai khác rỗng  xk 1 ,xk  ,( xk )  xk2 ( xk ,( xk ))  xk 1 ,  xk 1   tiếp xúc với đƣờng cong y  2x2 K  y  td OK2 ( y,d ) : lim sup t 0 t 2 K đoạn K cấp hai OK2 ( y,d ) không lồi Với   R , '' ( 0;1, )=2 +'' ( 0;1, )=4  (.) không khả vi theo phƣơng cấp hai điểm Ta nói tập K khả vi theo phƣơng cấp hai y  K theo Ví dụ dƣới chứng minh không giống nhƣ nón tiếp tuyến phƣơng d , cấp một, tập tiếp tuyến cấp hai khác Ví dụ 1.1 TK2 ( y,d )  OK2 ( y,d ) Mệnh đề 1.1 Ta xây dựng hàm tuyến tính khúc lồi y   ( x ),x  R , dao động hai parabol y  x2 y  2x2 Ta xây dựng  ( x ) thoả mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giả sử tập K xác định sau K   y Y : h( y )  0 , 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn h :Y  R   hàm lồi thường Giả sử h( y )  , h  y,d   , giả sử tồn y cho h( y )  (điều kiện Slater) Do đó, h( y  tn d  tn2n )  với n đủ lớn Vì vậy, Khi đó,   OK2 ( y,d )  : h ( y;d , )  y  tn d  tn2n  K (1.8) Từ suy   OK2 ( y,d ) Nếu giả thiết thêm h(.) liên tục y, TK2 ( y,d )  : h+'' ( y;d , )  0 Bây giả sử h ( y;d , )=0 , tồn tn   n   (1.9) cho Chứng minh h( y  tn d  tn2n )  o( tn2 ) Ta chứng minh (1.8) đúng, chứng minh (1.9) tƣơng tự Xét   OK2 ( y,d ) chọn dãy tn  0 ,n   cho y  tn d  tn2 n  K , đó, Lấy   0,' Y Đặt ' : '   ( y  y ) Do tính lồi h , với t '  đủ nhỏ ta có   t'    h( y  tn d  tn2n )  2 2 h( y  t' d  t' ' )  (   t' ) ( t ' ,' )   t ' h y , 2 (1.10) Khi đó, h( y  tn d  tn2n ) h ( y ;d , )  liminf 0 n tn 2  ( t' ,' ) : h( y  t' ( 1  t' ) d   Ngƣợc lại, giả sử h ( y ;d , )[...]... nhận được của ( P ) thỏa mãn điều kiện cần cấp một (1.17) Giả sử điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng và với mọi h  C( x0 ) thì tập K là chính quy cấp hai ngoài tại G( x0 ) theo phương DG( x0 )h và theo M : DG( x0 ) , và tập tiếp tuyến cấp hai ngoài O  G( x0 ),DG( x0 )h  là lồi Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) 2 K đúng khi và chỉ khi điều kiện đủ cấp hai (1.35) thỏa mãn với 2 K A(h)=O... Giả sử hàm g i và h j là khả y0 Giả sử điều kiện Slate đúng và h( y0 )  0 Khi đó, K là chính quy cấp vi liên tục hai lần Từ mệnh đề 1.4 và sự kiện: các tập đa diện là chính hai ngoài tại y0 khi và chỉ khi với bất kỳ d TK ( y0 ) thỏa mãn h' ( y0 ,d )  0 và quy cấp hai, ta suy ra tập F là chính quy cấp hai tại mọi điểm x0  F thỏa bất kỳ đường cong y( t )  K mãn điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz... của các ánh xạ khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson là chính quy cấp 2 Mệnh đề 1.4 Giả sử K là tập con lồi đóng của Y và G : X  Y là ánh xạ khả vi liên tục hai lần Nếu điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng và K là chính quy cấp hai ngoài tại G( x0 ) theo phương DG( x0 )h và ánh xạ tuyến tính M : DG( x0 ) , thì tập G 1( K ) là chính quy cấp hai ngoài tại gần tùy ý với TK2... ƣu đơn mục tiêu và đa mục tiêu dựa trên các xấp xỉ cấp 2 cho các tập và các hàm Các tập tiếp tuyến hoặc tiếp liên cấp 2 và các tập tuyến tính hoá cấp 2 tỏ ra rất hiệu quả trong việc thiết lập các điều kiện chính quy cấp 2 để dẫn các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 Kuhn-Tucker Việc nghiên cứu các điều kiện tối ƣu cấp 2 và cấp cao cho các bài toán Chứng minh tối ƣu đa mục tiêu là một đề tài đang đƣợc quan tâm... x0 )h ) , tập tiếp tuyến cấp hai ngoài cũng lồi rằng K là chính quy cấp hai tại y Chính quy cấp hai ngoài có nghĩa là tập tiếp tuyến cấp hai ngoài OK2 ( y,d ) cho ta một xấp xỉ cấp hai trên của K tại y theo phƣơng d Nếu các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài trùng nhau, ta gọi đơn giản là chính quy cấp hai Tính chính quy cấp hai có nghĩa là nếu y  td+ (t) là đƣờng cong trong K tiếp xúc với d với... đƣa vào các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie  (2.1) không tương thích khi và chỉ khi hệ sau (các ẩn  j ,i , i ) tương thích luân phiên Motzkin không thuần nhất Các điều kiện cấp 2 kiểu Kuhn- sử dụng Giả sử  là ẩn số): a j x   j  0, j  J ,   bi x  i  0,i  I ,  0 ci x   i  0,i  I , ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN Chƣơng 2 trình bày các điều kiện cần tối ƣu cấp. .. k  0 cho nên dẫn tới một mâu thuẫn, và định lý đƣợc chứng minh Chú ý tính hữu hạn chiều của X đƣợc sử dụng để dẫn điều kiện đủ cấp hai còn điều kiện cần cấp hai không đòi hỏi giả thiết này Nếu tập ( x0 ) của các nhân tử Lagrange khác rỗng thì điều kiện đủ (1.30) là tƣơng đƣơng với: Ta nói tập K là chính quy cấp hai ngoài tại điểm y  K theo phương d TK ( y ) và theo ánh xạ tuyến tính M : X  Y nếu... mỗi j  J và igi ( x )d  0 với mỗi i  I   Điều kiện chính quy cấp hai Guignard (GSOCQ) đúng tại x theo phương d   n nếu: Chứng minh Nếu { hi ( x )}iI 0 là phụ thuộc tuyến tính, ta chọn  j  i  0 và i không đồng thời bằng không sao cho   h ( x )  0 i L2  ( x,d )  clconvT 2 ( S ,x,d ) Chú ý rằng (ASOCQ) và (GSOCQ) trở thành các điều kiện chính i iI 0 Điều kiện (i), (iii) và (iv)... cũng có   0 , và nếu   0 thì Hệ quả 1.2.1 Df ( x0 )h  0 Trong trƣờng hợp bất kỳ  Df ( x0 )h  0 , và vì vậy từ (1.33) và (1.34) ta nhận đƣợc 0   ( 2tk1 Df ( x0 )h  Df ( x0 )k  D 2 f ( x0 )( h,h )   k ) Giả sử x0 là điểm chấp nhận được của bài toán ( P ) thỏa mãn điều kiện tối ưu cấp một (kiểu Fritz John) (1.16) Giả sử điều kiện đủ cấp hai (1.36) thỏa mãn Khi đó điều kiện tăng trưởng... hai ngoài tại y Nếu thêm vào OK2 ( y,d )  TK2 ( y,d ) với mọi d  TK ( y ), ta nói Suy luận (1.35)  (1.28) suy từ định lý 1.2 Điều ngƣợc lại là hệ  quả của định lý 1.1 và phần nhận xét về (1.28) Nhắc lại rằng các tập tiếp tuyến cấp hai trong luôn luôn lồi, và do đó trong trƣờng hợp OK2 ( G( x0 ),DG( x0 )h )  TK2( G( x0 ),DG( x0 )h ) , tập tiếp tuyến cấp hai ngoài cũng lồi rằng K là chính quy cấp