Luận văn: VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM o0o NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM o0o NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2009 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu 1 2 Chƣơng 1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU 1.1. Các khái niệm và định nghĩa 4 1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai 8 1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai 15 Chƣơng 2 ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU 2.1. Kiến thức chuẩn bị 33 2.2. Điều kiện cần tối ƣu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập 37 2.3. Điều kiện cần tối ƣu Fritz John 41 2.4. Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết các điều kiện tối ƣu trong tối ƣu đơn mục tiêu và đa mục tiêu trơn và không trơn phát triển rất mạnh mẽ và thu đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ và phong phú. Lý thuyết các điều kiện tối ƣu cấp 2 là một bộ phận quan trọng của lý thuyết các điều kiện tối ƣu. Từ các điều kiện cần ta có đƣợc tập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ƣu. Các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toán đó. Thông thƣờng ngƣời ta đƣa vào các tập tiếp tuyến cấp 2, các tập tuyến tính hoá cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 và từ đó dẫn tới các điều kiện tối ƣu cấp 2 kiểu Fritz John và Kuhn-Tucker. J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] đã nghiên cứu các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, các khái niệm chính quy cấp 2 và chính quy cấp 2 ngoài. Từ đó, các tác giả đã thiết lập các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 với điều kiện chính quy Robinson, và các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn với ràng buộc nón. G. Bigi và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phƣơng giảm cấp 2. Tập các phƣơng chấp nhận đƣợc cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối ƣu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin, và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều kiện tối ƣu cấp 2 dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phƣơng cấp 2. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: Trình bày các nghiên cứu của J. F. Bonnans, R. Cominetti và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày cùng với các điều kiện đủ tối ƣu cấp 2. Chƣơng 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G. Bigi và M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phƣơng của bài toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên Motzkin không thuần nhất. Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard đƣợc trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và Kuhn-Tucker. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp Cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009 Nguyễn Thị Lan Anh 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU Chƣơng 1 trình bày các nghiên cứu của J.F.Bonnans, R.Cominetti và A.Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 ngoài và điều kiện chính quy cấp 2 cùng với các điều kiện cần và đủ tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu với ràng buộc nón. 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Bài toán Ta xét bài toán tối ƣu có dạng (P) xX min f(x), G(x) K,   trong đó X là không gian hữu hạn chiều, Y là không gian Banach, K là một tập con lồi đóng của Y , hàm mục tiêu f : X  R và ánh xạ ràng buộc :G X Y đƣợc giả thiết là khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu 1 : ( )GK   là tập chấp nhận của bài toán ()P . Một số bài toán tối ƣu có thể phát biểu dƣới dạng bài toán ()P . Khi p Y   và   0 pq K   R . Tập chấp nhận đƣợc của ()P đƣợc xác định bởi một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và ()P trở thành bài toán quy hoạch phi tuyến. Ví dụ khác, ta xét không gian ()YC gồm các hàm liên tục :  ¡ xác định trên không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn : sup ( )       . Lấy K : C ( )    là nón của các hàm nhận giá trị không âm, tức là       C ( ): C( ): ( ) 0,       . Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x ) K tƣơng ứng với g( x, ) 0   với mọi   , trong đó g( x,.): G( x )(.) . Nếu tập  là vô hạn, ta nhận đƣợc một số vô hạn các ràng buộc, và (P) trở thành bài toán quy hoạch bán vô hạn. Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu là xét các bài toán tối ƣu có dạng xX ming( F( x )),  (1.1) trong đó   :gY  R là hàm lồi chính thƣờng nửa liên tục dƣới và F : X Y . Bài toán này tƣơng đƣơng với bài toán tối ƣu sau (xem [7]): ( x,c ) X min c, R (1.2) ( F( x ),c ) epi( g ), trong đó      epi( g ): ( y,c) Y : g( y) cR là trên đồ thị của g và do đó nó đƣợc xét nhƣ một trƣờng hợp riêng của bài toán (P). Điều ngƣợc lại cũng đúng, có nghĩa là bài toán (P) có thể biểu diễn dƣới dạng (1.1) bằng cách lấy K g(r,y ) r I ( y ) và F( x ) ( f ( x ),G( x )) , trong đó  K I ( y ) 0 , nếu yK và bằng  nếu yK (xem [7]). Cho nên hai cách tiếp cận là tƣơng đƣơng. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2. Các khái niệm và định nghĩa Giả sử     h:Y     R là hàm giá trị thực mở rộng. Giả sử (.)h là hữu hạn tại điểm yY ta kí hiệu ' h ( y,d ) là đạo hàm theo phƣơng của nó tại điểm y theo phƣơng dY ' t0 h( y td ) h( y ) h ( y;d ): lim t    . Nhắc lại [5] rằng nếu h(.) lồi, giá trị hữu hạn tại y, chính thƣờng trên Y, y dom h thì ' h ( y;d ) tồn tại và hữu hạn. Ta cũng sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau: d' d t0 h( y td') h( y ) h ( y;d ) liminf t      . Chú ý rằng trên đồ thị của h ( y,.)  đóng và h ( y,.)  là hàm nửa liên tục dƣới. Nếu (.)h là lồi, nhận giá trị hữu hạn và liên tục tại y và do đó là liên tục Lipschitz trong một lân cận của y , thì ' h ( y,.) h( y,.)   . Nói chung, nếu h là lồi, có thể gián đoạn, thì bao đóng của trên đồ thị của ' h( y,.) trùng với trên đồ thị của h ( y,.)  . Khi ' h ( y,d ) tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu '' h ( y ;d, )   và '' h ( y ;d, )   là đạo hàm parabolic cấp hai trên và dƣới [3], tƣơng ứng của h tức là 2' '' t0 2 1 h( y td t )- h( y )-th ( y,d ) 2 h ( y ;d, ): liminf 1 t 2       7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2' '' t0 2 1 h( y td t ) h( y ) th ( y,d ) 2 h ( y ;d, ): limsup 1 t 2          Ta nói rằng h(.) là khả vi theo phƣơng cấp hai tại y theo phƣơng d, nếu '' '' + h ( y ;d, ) = h ( y ;d, )   và hữu hạn với mọi Y   . Trong trƣờng hợp này, giá trị chung đó đƣợc ký hiệu '' h ( y ;d, )  . Khi h( y ) và h ( y,d )  hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau 2' 2 t 0, ' 1 h( y td t ) h( y ) th ( y,d ) 2 h ( y ;d, ): liminf 1 t 2             Chú ý rằng nếu h(.) là liên tục Lipschitz gần y, thì '' h ( y ;d, ) h ( y ;d, )     . Nói riêng, điều này đúng, nếu h(.) lồi, hữu hạn, và liên tục, và do đó là liên tục Lipschitz tại y. Kí hiệu * Y là không gian đối ngẫu của Y và * y ,y giá trị * y ( y ) của hàm tuyến tính ** yY tại yY . Với ánh xạ tuyến tính liên tục A: X Y ta kí hiệu * * * A :Y X là ánh xạ liên hợp, tức là,  * * * A y ,x y ,Ax , với mọi ** x X ,y Y . Với tập TY kí hiệu (.,T )  là hàm tựa của T, tức là ** yT ( y ,T ): sup y ,y    . Ký hiệu   dist .,T là hàm khoảng cách   zT dist y,T : inf y z   . 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Df ( x),D f ( x) tƣơng ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm f ( x ) ;   Y B : y Y : y 1   là hình cầu đơn vị trong Y ;     y : ty:tR là không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y (một chiều nếu y  0). 1.2. CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI Giả sử K là tập con đóng của không gian Banach Y . Nón tiếp tuyến cấp 1 của K tại điểm yK đƣợc định nghĩa nhƣ sau:      K T ( y): h Y :dist(y + th, K) = o(t), t 0 . (1.3) Nhắc lại [2] các khái niệm giới hạn trên và dƣới của hàm đa trị  : X  2 Y (từ không gian định chuẩn X vào họ các tập con của Y) theo nghĩa Painlevé - Kuratowski:                               0 0 n 0 n n n xx n 0 n n n xx lim sup x y Y : x x sao cho y x ,y y , liminf x y Y : x x , y x , y y . Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dƣới, ta có thể viết   K t0 Ky T y liminf t    . (1.4) Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có K t0 Ky T ( y ) limsup t    . ( 1.5) Chú ý rằng nếu K là nón lồi và yK , thì   K T ( y ) cl K y    , trong đó   y ký hiệu không gian tuyến tính sinh bởi vec tơ y và cl ký hiệu bao đóng theo tôpô chuẩn của Y . [...]... nhận được của ( P ) thỏa mãn điều kiện cần cấp một (1.17) Giả sử điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng và với mọi h  C( x0 ) thì tập K là chính quy cấp hai ngoài tại G( x0 ) theo phương DG( x0 )h và theo M : DG( x0 ) , và tập tiếp tuyến cấp hai ngoài 2 OK  G( x0 ),DG( x0 )h  là lồi Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) đúng khi và chỉ khi điều kiện đủ cấp hai (1.35) thỏa mãn với 2 A(h)=OK... OK ( y,d )  TK ( y,d ) với mọi d  TK ( y ), ta nói rằng K là chính quy cấp hai tại y Chính quy cấp hai ngoài có nghĩa là tập tiếp tuyến cấp hai ngoài 2 OK ( y,d ) cho ta một xấp xỉ cấp hai trên của K tại y theo phƣơng d Nếu các tập tiếp tuyến cấp hai trong và ngoài trùng nhau, ta gọi đơn giản là chính quy cấp hai Tính chính quy cấp hai có nghĩa là nếu y  td+ (t) là đƣờng cong trong K tiếp xúc... tập đa diện là chính quy cấp hai, ta suy ra tập F là chính quy cấp hai tại mọi điểm x0  F thỏa mãn điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz Hệ quả 1.4.1 Giả sử K1 , ,Kn là các tập lồi đóng chính quy cấp hai tại điểm y0  K1   Kn theo phương d TK1 ( y0 )   TKn ( y0 ) Nếu tồn tại một điểm trong K n mà thuộc phần trong của K i, i  1, ,n 1, thì tương giao K1   Kn chính quy cấp hai tại y0 theo... liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson là chính quy cấp 2 Mệnh đề 1.4 Giả sử K là tập con lồi đóng của Y và G : X  Y là ánh xạ khả vi liên tục hai lần Nếu điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng và K là chính quy cấp hai ngoài tại G( x0 ) theo phương DG( x0 )h và ánh xạ tuyến tính M : DG( x0 ) , thì tập G 1( K ) là chính quy cấp hai ngoài tại x0 theo phương h Chứng minh 1 Giả sử x... http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI Phần này trình bày các điều kiện tối ƣu cấp hai cần và đủ cho bài toán ( P ) Với bài toán ( P ) , ta định nghĩa hàm Lagrange nhƣ sau: L( x, ) : f ( x )   ,G( x ) ,  Y * Hàm Lagrangian suy rộng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: L* ( x, , ) :  f ( x )   ,G( x ) , (  , )  R  Y * Giả sử x0 là nghiệm tối ƣu địa phƣơng của... d TK  y  Theo công thức (1.14) và (1.15) dƣới đây cho ta một quy tắc để tính các xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của tập chấp nhận đƣợc  : G1( K ) của ( P ) dƣới ngôn ngữ xấp xỉ tiếp tuyến cấp hai của K Công thức này đúng với điều kiện chính quy Robinson: 0  int G(x0 )  DG( x0 )X  K (1.13) Mệnh đề 1.3 ([3]) Lấy x0  : G 1( K ) và giả sử điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng Khi đó, với... thể rỗng Điều kiện tối ƣu Fritz John ở trên là điều kiện cần cho nghiệm tối ƣu địa phƣơng, tức là * ( x0 )   Ta chú ý hai trƣờng hợp quan trọng Cụ thể là khi Y là không gian hữu hạn chiều, hoặc khi K có phần trong khác rỗng Nếu nhân tử  trong (1.16) khác không thì ta có thể lấy   1 , và vì vậy điều kiện cần cấp 1 trở thành Dx L( x0 , )  0,   N K ( G( x0 )) (1.17) Với điều kiện chính quy Robinson... o(t 2 ) , 2 (1.19) trong đó t  0 Điều kiện cần này kết hợp với điều kiện đủ trong định lý 1.2 dẫn tới khái niệm chính quy cấp hai 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1 Giả sử x0 là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán ( P ) Giả sử rằng điều kiện chính quy Robinson (1.13) đúng Khi đó, với mọi h  C( x0 ) 2 và tập lồi bất kỳ T ( h )  OK ( G(... tính M : DG( x0 ) Giả sử rằng điều kiện cấp hai dưới đây thỏa mãn: sup (  , )* ( x0 ) D L ( x0 , , )( h,h )   (  , ( h ))  0 2 * xx (1.30) với mọi h  C( x0 )\ 0 Khi đó, điều kiện tăng trưởng cấp hai (1.28) đúng tại x0 , và vì vậy x0 là nghiệm tối ưu địa phương chặt của ( P ) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử rằng điều kiện tăng trƣởng cấp hai là không đúng tại x0 Khi đó... an là dãy hội tụ trong Y và n  là dãy trong X thỏa mãn tnn  0 , điều kiện dưới đây đúng 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 lim dist( rn ,OK ( y,d ))  0 (1.37) n Nếu K là chính quy cấp hai ngoài tại y  K theo mọi phương d TK ( y ) và theo bất kỳ X và M thì ta nói rằng K là chính quy cấp hai 2 2 ngoài tại y Nếu thêm vào OK ( y,d )  TK ( y,d . Motzkin, và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều kiện tối. Cominetti và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2 trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều kiện chính quy Robinson, các điều. ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU 1.1. Các khái niệm và định nghĩa 4 1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai 8 1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai