TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN

Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế dộ làm việc tốt nhất là hệ luôn luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó. Trạng thái tối ưu có thể đạt được hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng được đặt ra vào sự hiểu biết về đối tượng và các tác động lên đối tượng.

Phầ n I

TỐ I ƯU VÀ ĐIỀ U KHIỂ N PHI TUYẾ N

I.1 Chấ t lượ ng tố i ưu

1.1 Đặ c điể m củ a bà i toá n tố i ưu

a) Khá i niệ m

Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ luôn luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó (đạt được giá trị cực trị) Trạng thái tối ưu có thể đạt được hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng được đặt ra, vào sự hiểu biết về đối tượng và các tác động lên đối tượng, hoặc vào điều kiện làm việc của hệ điều khiển…

Xét bài toán điều khiển tối ưu trong một miền [u m , u n] nào đó và tìm được giá trị tối

ưu J i * thì đó là giá trị tối ưu cục bộ Nhưng khi bài toán không có điều kiện ràng buộc đối với u thì giá trị tối ưu là J * = extremum(J i * ) vớ i J i * là các giá trị tối ưu cục bộ, giá trị J * chính là giá trị tối ưu toàn cục

Điều kiện tồn tại cực trị:

(1) Đạo hàm bậc một của J theo u phải bằng 0

J : điểm cực trị là cực đại (I.1.3)

b) Điề u kiệ n thà nh lậ p bà i toá n tố i ưu

Để thành lập bài toán tối ưu thì yêu cầu đầu tiên là hệ thống phải có đặc tính phi tuyến có cực trị Bước quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ưu là xác định chỉtiêu chất lượng J Nhiệm vụ cơ bản ở đây là đảm bảo cực trị của chỉ tiêu chất lượng

J

Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t), tín hiệu điều khiển u(t) và thời

gian t Bài toán điều khiển tối ưu là xác định tín hiệu điều khiển u(t) để chỉ tiêu chất lượng J đạt cực trị với những hạn chế nhất định của u và x

Chỉ tiêu chất lượng thường có dạng như sau:



T L x t u t t dt J

0

]),(),(

trong đó L là một phiếm hàm đối với tín hiệu x, tín hiệu điều khiển u và thời gian t

Chẳng hạn, xét bài toán điều khiển tối ưu cho động cơ một chiều kích từ độc lập với tín hiệu điều khiển u là dòng điện phần ứng i u và tín hiệu ra x là góc quay  của trục động cơ Phương trình trạng thái của động cơ điện là một phương trình vi phân cấp hai

u d

x

d22 

với  t k M /M q ; kM = CM = const.; M q là mômen quán tính Khi đó:

- Đối với bài toán tác động nhanh (hay tối ưu thời gian) thì chỉ tiêu chất lượng

J có dạng:

T ldt T J

0

c) Tố i ưu hó a tĩnh và độ ng

Tối ưu hóa tĩnh là bài toán tối ưu không phụ thuộc vào thời gian Còn tối ưu hóa động là loại bài toán mà trong đó thời gian cũng là một biến mà chúng ta phải xem xét đến

1.2 Xâ y dự ng bà i toá n tố i ưu

a) Tố i ưu hó a khô ng có điề u kiệ n rà ng buộ c

Cho phiếm hàm L(u) là một hàm của vectơ điều khiển u = (u 1 u 2 … u n ) T Bài toán được đặt ra là chọn giá trị u để L(u) đạt cực tiểu

Ta có vị trí điểm cực tiểu cục bộ là điểm mà tại đó giá trị u* thỏa mản: L(u)  L(u*)

với mọi u nằm trong lân cận  của u* Nế u L(u)  L(u*) với mọi u thì u* được gọi làđiểm cực tiểu toàn cục

Giả sử hàm L(u) có đạo hàm theo u, điều kiện cần để u* có điểm cực tiểu cục bộ làđạo hàm bậc nhất của hàm L(u) bằng không, và đạo hàm bậc hai của L(u) lớn hơn không

/

///

*)

2 1

u L

u L

u L

u u

L



0 /

/ /

/ /

/

2 2

2 1 2

1 2 2

1 2 2 1 2 2

n

n

uu

u u L u

u L u

u L

u u L u

u L u

u L L

Lưu ý rằng, L uu là xác định dương (âm) nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều dương (âm) L uu không xác định nếu các giá trị riêng của nó có giá trị dương và âm, nhưng tất cả đều khác không L uu là bán xác định nếu có một giá trị riêng nào đóbằng không

b) Tố i ưu hó a vớ i cá c điề u kiệ n rà ng buộ c

Cho L(u,x) là hàm có điều khiển u  R m và vectơ trạng thái x  R n Bài toán được đặt ra là chọn u để L(u,x) là cực tiểu và đồng thời phải thỏa phương trình ràng buộc

Để tìm điều kiện cần và đủ cho cực tiểu cục bộ và đồng thời thỏa f(x,u)  0, chúng

ta sẽ khai triển chuổi Taylor cho dL và kiểm tra các thành phần bậc nhất và bậc hai trong chuổi

Điều kiện cần để có điểm cực tiểu cục bộ là hàm đánh giá L phải bằng hằng số đối với sự biến thiên của u Điều này có nghĩa là đạo hàm bậc nhất của L phải bằng không Tương tự như vậy ta có đạo hàm bậc nhất của f cũng phải bằng không đối với sự biến thiên của x và u:

Hàm Hamilton được định nghĩa như sau:

) , ( ) , ( ) ,

Lấy đạo hàm H(x,u) theo x và theo u đồng thời kết hợp với phương trình (I.1.17) và(I.1.18) suy ra điều kiện cần để u là điểm cực tiểu của bài toán tối ưu có điều kiện ràng buộc là:

0),(),(),

(

0),(),(),

H

u x f u x L u x

H

u u

u

x x

(x u 

I.2 Cá c phương phá p điề u khiể n tố i ưu

2.1 Phương phá p biế n phâ n cổ điể n Euler – Lagrange

Xét bài toán tối ưu liên tục:

min)

,()

o x u dt f

u

x

x (t)  f(x,u) với x(0) = xo , x(T)  X (I.2.2)

Nhận xét: Q(x,u) là hàm chỉ phụ thuộc vào u(t) nên có thể viết thành Q(u) Nếu gọi

u*(t) là nghiệm tối ưu của bài toán liên tục và x*(t) là quỹ đạo trạng thái tương ứng thì Q(u*)  Q(u) với mọi u(t)  U

Giả sử u*(t) là một điểm trong U thì phải có một lân cận u*(t)+u (t) củ a u* nằm hoàn toàn trong U vớ i u(t) là một vetor hàm thời gian nhận giá trị âm hay dương đủnhỏ thì:

Q(u * )  Q(u * + u )  dQ = Q(u * + u ) – Q(u * )  0 (I.2.3)

Nếu u rất nhỏ thì vế trái được xấp xỉ u

u u Q

du

 Biế n phâ n hà m mụ c tiê u

Từ phương trình trạng thái (I.2.2) khó có thể biểu diễn x(t) một cách tường minh

theo u(t) nên nói chung hàm mục tiêu (I.2.1) vẫn là hàm phụ thuộc vào x(t) và u(t)

Còn phương trình (I.2.2) được xem là điều kiện biên của bài toán

()

Trừ theo vế phương trình dưới cho phương trình trên ta có:

dt u

f x

f u

Q u

Q

T

u o x o u

o o

x

f x

f x

f x

f

,,,

2 1

o o

u

f u

f u

f u

f

,,,

2 1

 (I.2.8)

) , ( )

(t f x u

),

()()

(t x t f x x u u

u x

x

u

f x

n

x

f x

f

x

f x

n

r

u

f u

f

u

f u

f

u f

(I.2.12)

vàx (0) = 0, x(0) = x o là điểm xác định cho trước

Nhân hai vế (I.2.11) cho vetor p T (t) ta có:

u

f x

f x

f p

u

f x

f

T

u x

x T u o x o

f x

f p p u

f p u

f T

T

p

T

x T

T u T

o x

f p

Với điều kiện biên: p T(T)x(T)0

- Khi điểm cuối x(T) cho trước là điểm cố định thì do x(T) = 0 nên suy ra

0)()

f p u

f

T

u T

,,

 Điề u kiệ n cự c tiể u

Với sai lệch *

với: x*(t), p*(t) là nghiệm của (I.2.17)

Nếu vectơ hàm

*

*

* ,u ,p x

0

2

1

dt x

V x

x J

n

k i

p u x

u

 Thuậ t toá n biế n phâ n

1 Xác định quan hệ u(x,p) từ phương trình (I.2.23)

2 Thay quan hệ trên vào (I.2.17) để giải phương trình vi phân đó với điều kiện biên x(0) = x 0 và p(T) = 0 để x*(t), p*(t)

3 Xác định u*(t) = u [ x*(t) , p*(t) ]

Do giả thiết u* + u nằm trong lân cận u* nên phương pháp biến phân chỉ áp dụng được cho bài toán tối ưu có miền U hở

2.2 Phương phá p quy hoạ ch độ ng Bellman

Phương pháp quy hoạch động của Bellman (1957) là một thuật toán xác định dãy giá trị {u k} tối ưu để Q đạt giá trị nhỏ nhất Phương pháp này còn được mở rộng sang các bài toán tối ưu liên tục nhưng ít có ý nghĩa ứng dụng trong thực tế Thuật toán của Bellman là một thuật toán truy hồi, chia bài toán tối ưu "tĩnh" với Nr biến đầu vào thành một dãy luật quyết định tối ưu gồm N luật, mỗi luật r phần tử vàtoàn bộ phép chia được thực hiện theo nguyên lý tối ưu của Bellman

 Nguyê n lý tố i ưu Bellman

Nếu u() tối ưu trong khoảng [t, T], thì u tối ưu trong khoảng [t + t, T], với mọi t 

t  T-t

Hay về mặt ý nghĩa nguyên lý tối ưu khẳng định: mỗi quỹ đạo cuối của quỹ đạo trạng thái tối ưu cũng là quỹ đạo trạng thái tối ưu

Hình I.1 Mô tả nguyên lý tối ưu của Bellman

Có thể kiểm chứng tính đúng đắn của nguyên lý này nhờ vào Hình I.1 Giả sử quỹđạo liền nét đi từ điểm xo đi qua xk đến xN là tối ưu (gồm hai đoạn  và) và quỹđạo  từ xk đến xN không phải tối ưu Như vậy sẽ tồn tại đoạn tối ưu từ xk đến xN (đoạn ) Do đó hàm mục tiêu Q từ xk đến xN theo đoạn  phải có giá trị nhỏ hơn làtheo đoạn  Vậy suy ra dọc theo hai đoạn  và hàm Q có giá trị nhỏ hơn là theo đoạn  và Điều này trái với giả thuyết rằng đoạn  và là tối ưu, do đó đoạn cũng phải là đoạn tối ưu

,(

N

k

k k

N

k i

i i o k

đoạn 

x3

x1

x2

N

k i

i i o k

k o k

Ta nhận thấy dọc theo quỹ đạo tối ưu có:

Bo(xo) = minQ và BN(xN) = 0 (I.2.29)

Hình I.2 Mô tả phương trình Bellman

Do B k (x k ) là giá trị hàm mục tiêu dọc theo đoạn tối ưu từ x k đến x N nên phương trình (I.2.27) được viết lại như sau:

, ( ( min )

U u k

2.3 Nguyê n lý cự c tiể u Pontryagin – Hamilton

Cho hệ thống:

) , , (x u t f

J

0

) , , ( ) ), ( ( )

Trạng thái cuối phải thỏa:

0 ) ), (

và x(t 0 ) đã được cho trước

Điều kiện để bài toán tối ưu là:

),,,

(),,,

H        thỏa tất cả các giá trịu (I.2.36)

Dấu * thể hiện chỉ số chất lượng tối ưu Bất kỳ sự biến thiên nào trong bộ điều khiển tối ưu xảy ra tại thời điểm t (trong khi trạng thái và biến trạng thái nếu được duy trì) sẽ tăng đến giá trị hàm Hamilton Điều kiện này được viết như sau:

),,,(),,,

H       thỏa tất cả các giá trị u (I.2.37)

Yêu cầu tối ưu biểu thức (I.2.37) được gọi là nguyên lí cực tiểu Pontryagin: Hà m Hamilton phả i đượ c cự c tiể u hó a ở tấ t cả cá c giá trị u đố i vớ i giá trị tố i ưu củ a trạ ng thá i và biế n trạ ng thá i

I.3 Điề u khiể n tố i ưu hà m mụ c tiê u bằ ng phương phá p giả i tích

3.1 Giớ i thiệ u

Một trong những bài toán cơ bản cần giải quyết là tổng hợp hệ thống điều khiển tựđộng đáp ứng các yêu cầu về chất lượng: thời gian quá độ, sai số điều khiển, độvọt lố, … Bài toán tổng hợp được thực hiện nhằm tìm ra cấu trúc và tham số của hệthống điều khiển đáp ứng được các yêu cầu trên Các phương pháp tổng hợp những hệ thống như vậy phần lớn dựa vào kinh nghiệm và các qui luật cứng nhắc của lýthuyết điều khiển tự động, và thường không cho những kết quả tối ưu

Những kết quả đầu tiên trong lĩnh vực tổng hợp hệ thống điều khiển được công bốvào những năm 1940 - 1950 Trong giai đoạn này, các nhà khoa học chủ yếu giải quyết vấn đề xác định loại (P, PD, PID) và thông số của các kênh điều khiển Những định lý và phương pháp tổng hợp dựa trên các kết quả phân tích hệ thống trong miền tần số (giản đồ Bode, giản đồ Niquist …), phương pháp hàm truyền, đánh giá ổn định hệ thống bằng nghiệm phương trình đặc tính Ưu điểm của các phương pháp trên là tính rõ ràng và quan hệ tường minh giữa các thông số của hệthống điều khiển và các chỉ tiêu chất lượng Các hệ thống được tổng hợp thường đáp ứng được các yêu cầu đặt ra và đặc biệt chính xác với các mô phỏng tuyế n tính

Các phương pháp này hiện nay vẫn được sử dụng trong thực tế thiết kế các hệthống điều khiển Tuy nhiên đối với các hệ phi tuyến những phương pháp trên tỏ ra kém hiệu quả

Cùng với sự phát triển các hệ thống công nghệ, vấn đề nghiên cứu tìm ra phương pháp luận thiết kế các hệ thống điều khiển các đối tượng phi tuyến chất lượng cao được đặt ra ngày một cấp bách Vì vậy, trong những năm 60 lý thuyết tổng hợp hệthống điều khiển tối ưu bằng phương pháp giải tích ra đời và không ngừng phát triển Bằng phương pháp này người ta xác định được luật điều khiển đối tượng từmột trạng thái bất kỳ về trạng thái cho trước, và đảm bảo cực tiểu hàm mục tiêu Luật điều khiển này là hàm số của các biến trạng thái được xác định hoàn toàn bằng phương pháp giải tích Với các đối tượng có mô hình toán tường minh thìphương pháp này là công cụ tuyệt vời để giải quyết bài toán tổng hợp hệ thống điều khiển tối ưu Dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số kết quả của phương pháp thiết kế giải tích hệ thống điều khiển tối ưu

3.2.Phương phá p

Xét đối tượng được mô tả bằng hệ phương trình vi phân phi tuyến sau:

n i u u u x x x f t

xi( ) i( 1, 2,, n, 1, 2,, m), 1, (I.3.1) với x i : biến trạng thái

u j: tín hiệu điều khiển

Bài toán được đặt ra như sau: Xá c định luậ t điề u khiể n u(x 1 , x 2 , …, x n ) đả m bả o ổ n định tiệ m cậ n cho đố i tượ ng (I.3.1) đồ ng thờ i đả m bả o cự c tiể u hà m mụ c tiê u:

1, , , , , , , )(x x x u u u dt W

()

2

1

dt u x

x J

n

k i

m

j j j k

i

trong đó ik , j là các hằng số dương

Theo phương pháp được đề xuất bởi Letov-Kalaman ta có:

j j

x

V x x x G m

u

1

0 2

k i ik n

ij j

i i

x x x

V G m

f x

V

2 1

0 2

0

2

1 2

x

V u

1

0 2

k i ij i

i

x x f

x

V t

V

0 0

2

Ưu điểm của phương pháp Krasovski là phương trình (I.3.8) có dạng tuyến tính đối với các đạo hàm riêng Vì vậy, có thể áp dụng nhiều phương pháp giải gần đúng phương trình này dựa trên việc phân tích ra chuỗi số mủ hay các hàm đặc tuyến Một phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu khác ta có thể áp dụng cho các đối tượng cánh tay máy được đề xuất trong [9,19]

Xét hàm mục tiêu có dạng:

trong đó: F(, ) là hàm liên tục khả vi dương

(x1 , x2 , …, xn) là hàm số của các biến trạng thái khả vi hoặc tuyến

tính từng đoạn có(0) = 0

Ta có thể chọn F

)()

()

2

)()

( 

với m, c : hằng số dương

Hàm số() cần có các tính chất sau:

a/ Liên tục và khả vi với 

b/ (0) = 0

c/ ()   0 với  0

Đạo hàm toàn phần của  có dạng:

)(),,,(

1

2 1

t x x

x x x

n i x x x f t

x

n n

n i

i

)()(

1,1),,,,()

u x x f x

2 2

d F

0)1(0)1)(

1

(

0

00

s s

trong đó là ảnh Laplace của  Lưu ý, (1-s)  0 vì để hệ thống ổn định, nghiệm phức s phải nằm hoàn toàn bên trái mặt phẳng phức, nên là s  1

Phương trình đảm bảo cực tiểu hàm mục tiêu (I.3.15) như sau:

x f x x

I.4 Điề u khiể n hệ thố ng phi tuyế n

Mục đích của việc thiết kế điều khiển có thể được mô tả như sau:

Cho mộ t hệ thố ng vậ t lí cầ n đượ c điề u khiể n và cá c yê u cầ u cụ thể về cá ch thứ c là m việ c củ a nó , hã y xâ y dự ng mộ t luậ t điề u khiể n hồ i tiế p để hệ thố ng vò ng kín thể hiệ n cá ch thứ c hoạ t độ ng mong muố n

Theo mục đích thiết kế này, chúng ta xem xét một số vấn đề chính yếu Trước hết là hai bài toán điều khiển phi tuyến, ổn định phi tuyến và đeo bám phi tuyến Kếtiếp là các yêu cầu về cách thức hoạt động mong muốn của các hệ thống phi tuyến Cuối cùng là các phương pháp thiết kế bộ điều khiển phi tuyến

4.1 Cá c bà i toá n điề u khiể n phi tuyế n

Nói chung các nhiệm vụ của các hệ thống điều khiển có thể được phân thành hai loại: ổn định (hoặc điều chỉnh) và đeo bám (hoặc servo) Trong các bài toán ổn

định, hệ thống điều khiển, được gọi là bộ ổ n định (hoặc bộ điều chỉnh) cần được thiết kế sao cho trạng thái của hệ thống sẽ được ổn định quanh điểm cân bằng Trong các bài toán điều khiển đeo bám, mục tiêu thiết kế là xây dựng một bộ điều khiển, được gọi là bộ đeo bám, sao cho ngõ ra hệ thống đeo bám một quỹ đạo thay đổi theo thời gian cho trước

a) Bà i toá n ổ n định

Bà i toá n ổ n định tiệ m cậ n: Cho mộ t hệ thố ng độ ng phi tuyế n đượ c mô tả bở i:

) , , (x u t

b) Bà i toá n đeo bá m

Bà i toá n đeo bá m tiệ m cận: Cho mộ t hệ thố ng độ ng phi tuyế n đượ c mô tả bở i:

),,(

x h

y

t u x f

Khi hệ thống vòng kín mà y(t)  yd (t) với t  0 thì hệ thống điều khiển được gọi làcó khả năng đeo bám hoàn hảo Đeo bám tiệm cận ám chỉ rằng đeo bám hoàn hảo đạt được một cách tiệm cận

c) Mố i quan hệ giữ a bà i toá n ổ n định và bà i toá n đeo bá m

Thông thường, bài toán đeo bám thường khó hơn bài toán ổn định, bởi vì trong các bài toán đeo bám bộ điều khiển không chỉ giữ cho toàn bộ trạng thái được ổn định mà còn lái ngõ ra của hệ thống hướng đến ngõ ra mong muốn Tuy nhiên, theo quan điểm lý thuyết, thiết kế đeo bám và thiết kế ổn định thường có quan hệ với nhau Chẳng hạn, nếu chúng ta thiết kế một bộ điều khiển đeo bám cho đối tượng:

0 ) , ,

Mặt khác, các bài toán ổn định thường có thể được xem như là một trường hợp đặc biệt của các bài toán đeo bám, với quỹ đạo mong muốn là một hằng số Trong điều khiển tham chiếu mô hình, chẳng hạn, bài toán ổn định điểm đặt được chuyển thành bài toán đeo bám nhờ thêm vào một mô hình tham chiếu để lọc giá trị điểm đặt được cung cấp và phát sinh một ngõ ra biến thiên theo thời gian như là đáp ứng lý tưởng cho hệ thống điều khiển đeo bám

4.2 Cá c phương phá p thô ng dụ ng để thiế t kế điề u khiể n phi tuyế n