Độ nhạy của nghiệm hữu hiệu và điều kiện tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán nhiễu 1.2 Độ nhạy đỉnh 1.3 Độ nhạy diện 14 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Điều kiện cần cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu 22 2.3 Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu 29 2.4 Phân tích độ nhạy nghiệm hữu hiệu 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Việc nghiên cứu phụ thuộc nghiệm tối ưu toán tối ưu đơn đa mục tiêu theo tham số nhiễu đóng vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Ta gọi nghiên cứu độ nhạy (sensitivity) nghiệm tối ưu Các kết nghiên cứu theo hướng bảo toàn tính chất nghiệm tối ưu sau nhiễu nhỏ Lí thuyết độ nhạy nghiệm hữu hiệu có nhiều ứng dụng kinh tế, vật lý, học số ngành khoa học khác S Bolitinéanu B.D Craven [5] nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trường hợp đa diện chấp nhận không suy biến M El Maghri [8] nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính mà đa diện chấp nhận suy biến Tác giả thiết lập điều kiện cần đủ cấp cho đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán nhiễu S Bolitinéanu M El Maghri [6] nghiên cứu điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu thuộc lớp C theo tham số nhiễu Ở tác giả nghiên cứu toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi Fréchet, có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức không gian Banach vô hạn chiều Trong trường hợp hữu hạn chiều, tác giả thiết lập điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu Luận văn trình bày kết nghiên cứu độ nhạy đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu, độ nhạy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Fréchet độ nhạy Lipschitz nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu phi tuyến với hàm hàm khả vi Fréchet Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kết nghiên cứu E El Maghri [8] độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu Chú ý đỉnh tập chấp nhận suy biến không suy biến Các điều kiện cần đủ cấp cho đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán nhiễu trình bày chương Chương trình bày điều kiện cần đủ cấp cấp S Bolitinéanu E El Maghri [6] cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với hàm mục tiêu ràng buộc khả vi Fréchet không gian Banach với điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu thuộc lớp C theo tham số nhiễu Trong trường hợp hữu hạn chiều, điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu toán nhiễu Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu trình bày chương Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K3b quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương trình bày kết nghiên cứu M El Maghri [8] độ nhạy nghiệm hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu Chú ý đỉnh tập chấp nhận suy biến không suy biến Các điều kiện cần đủ cấp hai cho đỉnh hữu hiệu nhiễu nhỏ trình bày với điều kiện cần đủ cho diện hữu hiệu nhiễu qua đỉnh 1.1 Bài toán nhiễu Ta xét độ nhạy toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu sau đây: (P p ) C(p)x, A(p)x = b(p), x ≥ 0, [C(.), A(.), b(.)] : N (0) → Rr×n × Rm×n × Rm hàm tham số nhiễu p ∈ N (0), N (0) lân cận điểm gốc ∈ Rq Ở ta giả thiết toán không nhiễu tương ứng với p = Đa diện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chấp nhận (P p ) Γ(p) = {x ∈ Rn : A(p)x = b(p), x ≥ 0} Với p, tập nghiệm hữu hiệu (nghiệm Pareto) tập nghiệm hữu hiệu yếu (P p ) tương ứng Ee (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x ≤ C(p)x, C(p)x = C(p)x}, Ew (p) = {x ∈ Γ(p) : x ∈ Γ(p), C(p)x < C(p)x} Để đơn giản cho việc trình bày, ta kí hiệu Eσ (p) tập điểm σ -hữu hiệu phụ thuộc vào việc lựa chọn σ ∈ {w, e} Với p = 0, ta kí hiệu (P ) := (P), Γ(0) := Γ, C(0) := C, A(0) := A, b(0) := b Với p, xét ánh xạ đa trị E(., p) : Rr → 2Γ(p) xác định với λ ∈ Rr E(λ, p) = arg λT C(p)x, (1.1) x∈Γ(p) λT chuyển vị vectơ λ Ta có kết vô hướng hóa sau (xem [14]): Eσ (p) = E(Λσ , p), (1.2) Λσ = Rr+ \{0}, σ = w, intRr+ , σ = e Tất kết trình bày chương trường hợp tổng quát nón thứ tự Rr+ thay tương ứng tập đóng Q nón lồi nhọn có phần không rỗng Quan hệ thứ tự phận xác định tương ứng y ≤ y ⇔ y − y ∈ Q, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn y < y ⇔ y − y ∈ intQ Trong trường hợp Rr+ thay Λσ nón cực Q σ = w nón cực chặt Q σ = e Giả thiết tổng quát (i) C(.) liên tục p = b(.) lớp C p = (ii) A có hạng đầy (tức rank A=m) m < n 1.2 Độ nhạy đỉnh Giả sử v đỉnh đa diện Γ Như rank A = m Khi tồn B ⊂ {1, , n} cho (sắp xếp lại hàng cần): A−1 B b v= (1.3) −1 A−1 B b ≥ 0, AB ma trận nghịch đảo AB (rank AB = m)với phân hoạch A = [AB AN ] (sắp xếp lại cột A cần) N = {1, , n}\B Cũng xếp lại biến, ta viết: Γ = {x = xB ∈ Rn : xB + A−1 AN xN = A−1 B B b, x ≥ 0} xN (1.4) Cùng cách phân hoạch ma trận A(p) = [AB (p)AN (p)] Thế với p gần 0, tính liên tục ánh xạ A(.), ma trận AB (p) khả nghịch, Γ(p) = {x = xB −1 ∈ Rn : xB + A−1 B (p)AN (p)xN = AB (p)b(p), x ≥ 0} xN (1.5) Vì ta xác định nhiễu v v(p) = A−1 B (p)b(p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhắc lại A−1 B b > đỉnh v sở B gọi không suy biến, trường hợp này, B sở xác định v theo (1.3) Ngược lại, v đỉnh suy biến xác định số sở suy biến Như vậy, giả sử B(v) = {B ⊂ {1, , n} : B xác định v} (1.7) Nhận xét 1.1 Khi v không suy biến với p gần 0, tính liên tục, A−1 B (p)b(p) > Khi theo (1.5), (1.6), v(p) đỉnh Γ(p) với p gần Do đỉnh nhiễu v Ta thấy ví dụ sau v suy biến, v(p) cho (1.6) không điểm chấp nhận với B ∈ B(v) p = Ví dụ 1.1 Với tham số nhiễu p ∈ R, ta xét toán x1 , x1 − x2 = p, x1 ≥ 0, x2 ≥ Ta có v = (0, 0) đỉnh suy biến đa diện không nhiễu Γ(p = 0) Nhưng với p < 0, v(p) = (p, 0) cho (1.6) với B = {1} không chấp nhận được, với p > 0, v(p) = (0, −p) với B = {2} không chấp nhận Do đó, ta tìm số điều kiện đảm bảo với p gần 0, v(p) đỉnh chấp nhận đa diện Γ(p) Ta xét tập số: D = {i ∈ B : (A−1 B b)i = 0}, (1.8) Dc = {i ∈ B : (A−1 B b)i > 0} (1.9) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 14 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 19 2.2 Điều kiện cần cấp cấp cho nghiệm hữu hiệu 22 2.3 Điều kiện. .. chất nghiệm tối ưu sau nhiễu nhỏ Lí thuyết độ nhạy nghiệm hữu hiệu có nhiều ứng dụng kinh tế, vật lý, học số ngành khoa học khác S Bolitinéanu B.D Craven [5] nghiên cứu độ nhạy nghiệm hữu hiệu. .. độ nhạy đỉnh hữu hiệu diện hữu hiệu toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu, độ nhạy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Fréchet độ nhạy Lipschitz nghiệm hữu hiệu