Định lý farkas và điều kiện tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========== ĐINH DIỆU HẰNG ĐỊNH LÝ FARKAS VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng I ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH 1.1 Các kết bổ trợ 1.2 Định lí Farkas Chƣơng II ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM MỘT Q TRÌNH LỒI VÀ MỘT HÀM BÁN LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 2.1 Các khái niệm kết liên quan 13 2.2 Định lí Farkas suy rộng 16 2.3 Điều kiện tối ƣu cho toán với ràng buộc trình lồi 21 Chƣơng III ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM CÁC HÀM LÀ HIỆU CỦA HAI HÀM DƢỚI TUYẾN TÍNH VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU 3.1 Định lí Farkas cho hệ gồm hàm hiệu hai hàm dƣới tuyến tính 25 3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến tựa khả vi 34 3.3 Tính giải đƣợc địa phƣơng điều kiện Robinson suy rộng 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ƣu phận quan trọng lý thuyết toán cực trị có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Để dẫn điều kiện cần tối ƣu ngƣời ta thƣờng dùng định lí tách giải tích lồi định lí luân phiên (theorems of the alternative) cho hệ tuyến tính phi tuyến Các định lí luân phiên tiếng J.Farkas cho hệ tuyến tính khơng nhất, định lí luân phiên T.S Motzkin, A.W Tucker, P.Gordan, D.Gale đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển cho hệ phi tuyến khác làm công cụ để dẫn điều kiện tối ƣu Trong sách chuyên khảo [8], O.L Mangasarian trình bày cách hệ thống định lí luân phiên cổ điển cho hệ tuyến tính, có định lí Farkas, Motzkin, Tucker, Gale Trong [6], V.Jeyakumar tổng qt hố định lí ln phiên Farkas cho hệ gồm hàm bán lồi suy rộng trình lồi, áp dụng để dẫn điều kiện đặc trƣng cho nghiệm tối ƣu toán với ràng buộc trình lồi Trong [5], B.M Glover, V Jeyakumar W.Oettli chứng minh định lí luân phiên Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm dƣới tuyến tính, hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas suy rộng dạng vectơ Các kết đƣợc áp dụng để dẫn điều kiện cần tối ƣu cho toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Luận văn trình bày định lí ln phiên Farkas cho hệ không nhất, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm phi tuyến q trình lồi, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm tuyến tính hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas dạng vectơ với áp dụng việc dẫn điều kiện tối ƣu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho toán tối ƣu với ràng buộc trình lồi, toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng I trình bày định lí Farkas cho hệ tuyến tính khơng định lí định lí ln phiên có liên quan Motzkin, Tucker, Gale Chƣơng II trình bày định lí luân phiên Farkas suy rộng V.Jeyakumar[6] cho hệ gồm hàm bán lồi suy rộng trình lồi Các điều kiện cần đủ tối ƣu cho toán tối ƣu với ràng buộc trình lồi đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng III trình bày kết B.M Glover, V.Jeyakumar W Oettli [5] bao gồm định lí luân phiên Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm dƣới tuyến tính hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas suy rộng dạng vectơ với điều kiện tối ƣu cho toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bạn lớp cao học Tốn K16 ln quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương I ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG Chƣơng I trình bày số định lí luân phiên cho hệ tuyến tính, bao gồm định lí Farkas khơng nhất, định lí Motzkin, Tucker, Gale Các định lí đƣợc áp dụng rộng rãi lí thuyết tối ƣu hố Các kết chƣơng đƣợc lấy [8] 1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trƣớc hết ta đƣa vào ký hiệu quan hệ thứ tự Với x, y  Rn , x = y  xi = yi , i = 1, 2, …, n, x  y  xi  yi , i = 1, 2,…, n, x  y  x  y, x  y, x > y  xi > yi , i = 1, 2, …, n Mệnh đề 1.1 ([8]) Cho p × n - ma trận A bất kỳ, hệ: I Ax , II A ' y  0, y  có nghiệm x y thoả mãn A1 x  y1  0, A’ ma trận chuyển vị A, Ai hàng thứ i A Định lý 1.1 Với p  n - ma trận A bất kỳ, hệ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn I Ax II A ' y  0, y  , có nghiệm thoả mãn: Ax  y  Chứng minh Trong mênh đề 1.1, hàng A1 đóng vai trị đặc biệt Bằng cách đánh số lại hàng A, hàng Ai đóng vai trị đặc biệt nhƣ Vì vậy, theo mệnh đề 1.1, xi  R n , y i  R p , i  1,2, , p , cho Axi 0 A ' y i  0, y i 0 , i  1,2, , p (1.1) Ai xi  yii  Đặt p p i 1 i 1 x   xi , y   y i (1.2) Do (1.1), ta có p Ax   Ax i 0, i 1 p A ' y   A ' y i  0, i 1 p y   y i 0, i 1 với i = 1, 2, …, p, theo (1.1) nên Ai xi  yii  0, Ai x k  yik  , Ai x  yi  Ai xi  yii  p  k 1, k i ( Ai x k  yik )  , hay Ax  y  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.2 Giả sử A B p1  n p2  n - ma trận với A không rỗng Khi đó, hệ I Ax  0, Bx  , II A ' y1  B ' y2  0, y1  0, có nghiệm x  R n , y1  R p , y2  R p thoả mãn: Ax  y1  Chứng minh Chú ý địi hỏi A khơng rỗng để bảo đảm phát biểu định lý không tầm thƣờng, nghĩa không xảy trƣờng hợp A khơng có phần tử Áp dụng định lý 1.1 với hệ: A   B  x  0,     B   y1   y1     A ', B ',  B '  z1   0,  z1   0,  z2   z2  ta nhận đƣợc x1 , y1 , z1 , z2 , thoả mãn Ax  y1  0, Bx  z1  0,  Bx  z2  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt y2  z1  z2 Khi ta có x, y1 , y2 thoả mãn: Ax  0, Bx  0, A ' y1  B ' y2  0, y1  0, Ax  y1   Hệ 1.2.1 Cho A, B, C D p1  n, p2  n, p3  n p4  n - ma trận, với A, B, C không rỗng Khi đó, hệ: I Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  , II A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  0, y1  0, y2  0, y3  có nghiệm x  R n , y1  R p , y2  R p , y3  R p , y4  R p , thoả mãn Ax  y1  0, Bx  y2  0, Cx  y3  1.2 ĐỊNH LÍ FARKAS Định lý 1.3 (Motzkin) Cho ma trận A, C D, với A khơng rỗng Khi đó, hệ: I Ax  0, Cx  0, Dx  có nghiệm x, hệ: II A ' y1  C ' y3  D ' y4  y1  0, y3  có nghiệm y1 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Chứng minh ( I  II ) (trong II có nghĩa II khơng đúng): Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu I II đúng, ta có x, y1 , y3 , y4 thoả mãn: xA ' y1  xC ' y3  xD ' y4  Vì xD ' y4  0, xC ' y3  0, xA ' y1  Điều mâu thuẫn với đẳng thức thứ II Do đó, I II đồng thời xảy Vậy, I  II ( I  II ) Theo hệ 1.2.1, ta có I  Ax  0, Cx  0, Dx   Ax >  Ax  0, Cx  0, Dx  A ' y1  C ' y3  D ' y4   y1  y1  0, y2  0, y3   II  Chứng minh tƣơng tự định lý 1.3 ta nhận đƣợc định lý sau Định lý 1.4 (Tucker) Cho ma trận B, C D, với B khơng rỗng Khi đó: I Bx  0, Cx  0, Dx  có nghiệm x, hệ: II B ' y2  C ' y3  D ' y4  y2  0, y3  có nghiệm y2 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Định lý 1.5 Cho ma trận A, B, C D, với A B không rỗng Khi đó, I Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  hoac Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên có nghiệm x, http://www.lrc-tnu.edu.vn II A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  y1  0, y2  0, y3  có nghiệm y1 , y2 , y3 , y4 , không đồng thời xảy Chứng minh ( I  II ) : Nếu I II đúng, ta có x, y1 , y2 , y3 , y4 thoả mãn xA ' y1  xB ' y2  xC ' y3  xD ' y4  0, xD ' y4  0, xC ' y3  xB ' y2  0, xA ' y1  0, xB ' y2  xA ' y1  Nhƣng điều mâu thuẫn với đẳng thức thứ II Do đó, I II khơng thể đồng thời xảy Vậy, I  II ( II  I ) : II  A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4  y1  0, y2  0, y3   hoac y2  A ' y1  B ' y2  C ' y3  D ' y4   y1  y1  0, y2  0, y3  Ax  0, Bx  0, Cx  0, Dx  Ax   hoac Bx  (do hệ 1.2.1)  I  Chú ý A B rỗng, ta trở lại với định lý 1.4 định lý 1.3 Định lý 1.6 (Farkas) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) g ( x)  z   S  f ( x)  u  int P; (ii) (  P* \ {0})   ( q)(0)  {   u} + cl cone   p (0)  { (z )   }  S ,    Chứng minh (i)  ( x  X ) g ( x)  z   S , f ( x)  u   int P  ( x  X ) (  S  )  g ( x)   ( z )  0, q( x)  u  int P  ( x  X ) (  S  ) p ( x)   ( z )  0, q( x)  u  int P Đặt T   x  X : (  S  ) p ( x)   ( z )  0 Khi đó, T khác rỗng lồi với (q(T )  u)  ( int P)   Do đó, P + int P = int P , V  ( int P)   , đó, V  q (T )  u  P V lồi Theo định lí tách tồn   Z '\ {0}, cho (  P)  ( )  (3.9) ( V )  ( )  (3.10) Từ (3.9) suy r  P* Từ (3.10) suy (x T )  (q( x)  u)  sup ( y) : y P  Do (  S  ) ta có p ( x)   ( z)    (q( x)  u)  Vậy hệ sau khơng có nghiệm x  X ' : (  S  ) p ( x)   ( z )   q( x)   (u) Theo chứng minh định lí 3.1 (ii) thoả mãn Vì ta suy điều phải  chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN TƢẠ KHẢ VI Nhắc lại P  Z nón lồi đóng Hàm f : X  Z đƣợc gọi khả vi theo phương a  X tồn giới hạn f '(a, x)  lim  1[f (a   x)  f (a)]  0 với x  X Hơn nữa, hàm f : X  Z P  tựa khả vi yếu a  X với   P  , f '(a, ) hiệu dƣới tuyến tính Do đó, tồn tập lồi compact *yếu khác rỗng ( f )(a) ( f )(a) cho với x  X ,  f '(a, x)   ( x, ( f )(a))   ( x, ( f )(a)) (3.11) Nếu Z  R P  R khái niệm trùng với dạng vô hƣớng định nghĩa [3] Đây lớp hàm không trơn quan trọng đƣợc xét [3], [4] Hệ ràng buộc g ( x)   S đƣợc gọi giải địa phương a  X nhƣ g (a)  g '(a, d )   S (với d đủ nhỏ), g ( x)   S có nghiệm x  a   d  o( ) với   đủ nhỏ, o( ) /     Điều kiện đƣợc sử dụng nhƣ điều kiện quy cho tốn tối ƣu với hàm khả vi theo phƣơng Nếu g khả vi liên tục Fréchet thoả mãn điều kiện ổn định Robinson:  int( g ( a)  g '( a)( X )  S ), theo [2] g giải đƣợc địa phƣơng a Hơn điều kiện đủ cho tính giải đƣợc địa phƣơng trƣờng hợp khơng khả vi địi hỏi cơng cụ giải tích khơng trơn theo nghĩa Clarke [1] Nhắc lại [1], Jacobian suy rộng g a  X tập hợp:  c g (a)  co { lim g '( xi ) : g '( xi ) tồn xi  a }, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn co kí hiệu bao lồi tập hợp Trong phần cuối chƣơng ta chứng minh rằng: Nếu g Lipschitz địa phƣơng khả vi theo phƣơng điều kiện ổn định sau thoả mãn (A  c g (a))  int( g (a)  A( X )  S ), g giải đƣợc địa phƣơng a Xét toán tối ƣu đa mục tiêu ( P ) w  f ( x) g ( x)   S , f : X  Z , g : X  Y hàm khả vi theo phƣơng ta xét điểm cực tiểu yếu Nhắc lại, điểm chấp nhận đƣợc a cực tiểu yếu toán (P) với điểm chấp nhận đƣợc x, f ( x)  f (a )   int P Định lí 3.4 Giả sử f g toán (P) hàm khả vi theo phương a  X , f Lipschitz địa phương g giải địa phương Hơn nữa, giả sử f '(a, ) có cận P  tuyến tính q , với   S  ,  g '(a, ) có cận tuyến tính p Khi đó, điều kiện cần để a  X cực tiểu yếu ( P) (  P  \ {0})    (rq)(0)  {0}  cl cone   p (0)  { g (a)   }  S ,   (3.12)  Chứng minh Xét hệ f '(a, d )   int P , g (a )  g '(a , d )  S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 (3.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử hệ (3.13) có nghiệm d0  X Ta giả sử d0 đủ nhỏ để áp dụng đƣợc điều kiện giải đƣợc địa phƣơng, với    1, ta có g (a)  g '(a,  d0 )  (1   ) g (a)   ( g (a)  g '(a,  d0 )) S  S  S Do đó,  d0 thoả mãn (3.13) với   (0,1) Do tính giải đƣợc địa phƣơng bao hàm thức g ( x)   S có nghiệm x  a   d0  o( ) (   đủ nhỏ) (do x điểm chấp nhận đƣợc ( P) ) Sử dụng tính chất Lipschitz địa phƣơng f (với số Lipschitz K) ta nhận đƣợc  1[f (a   d  o( ))  f (a   d )]  K o( ) /     Do đó,  1[f (a   d0  o( ))  f (a)] = 1[f (a   d  o( ))  f (a   d )]   1[f (a   d )  f (a)]  f '(a, d )   Nhƣ với  đủ nhỏ, ta có  1[f (a   d0  o( ))  f (a)]   int P, f '(a, d0 )  int P Vì vậy, f ( x )  f (a)  int P, với  đủ nhỏ x chấp nhận đƣợc Do đó, a khơng tối ƣu ( P) Vì vậy, a tối ƣu ( P) hệ (3.13) khơng có nghiệm Do đạo hàm theo phƣơng có cận dƣới tuyến tính ta áp dụng định lí 3.3 (với z  g (a)   S , u  ) Do đó, (3.13) khơng có nghiệm kéo theo (3.12) Đó điều phải chứng minh  Định lí 3.5 Giả sử toán ( P ), Z  R P  R Giả sử a  X , f g hàm khả vi theo phương, f Lipschitz địa phương tựa khả vi, g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn S  tựa khả vi yếu, giải địa phương Khi điều kiện cần để a cực tiểu ( P) với lát cắt (w ) ( với   S  , w ( g )(a)) ,  f (a)  {0}   f (a)  {0}   + cl cone   (( g )(a)  w )  { g (a)   }  S ,   (3.14)  Chứng minh Bởi Z  R P  R ta áp dụng định lí 3.2 (với z  g (a )   S ,   ) suy (3.14) tƣơng đƣơng với khơng tƣơng thích hệ (3.13)  Nhận xét 3.3 Nếu định lí 3.5 g hàm S  lồi liên tục ( g )(a)  ( g )(a) ( g )(a)  {0} với   S  Trong trƣờng hợp bao nón (3.14) bỏ đƣợc Sau ta cho số ví dụ áp điều kiện tối ƣu Ví dụ 3.2 (Bài toán quy hoạch hiệu hàm lồi) Trƣớc hết áp dụng định lí 3.5 để dẫn điều kiện cần tối ƣu cho toán quy hoạch bao gồm hàm hiệu hàm lồi nón Ta trình bày điều kiện tối ƣu cho toán quy hoạch với ràng buộc hàm vectơ vô hạn chiều Xét toán quy hoạch toán học: (P1) min f1 ( x)  f ( x),   g1 ( x)  g ( x)   S , đó, f1, f2 hàm lồi liên tục, khả vi theo phƣơng (nhƣ f : f1  f hiệu hàm lồi) g1 , g2 hàm S - lồi, khả vi theo phƣơng (cho nên g : g1  g hiệu hàm lồi S - lồi) Khi đó, f tựa khả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 http://www.lrc-tnu.edu.vn vi g S - tựa khả vi yếu Với   S  , dƣới vi phân vi phân đƣợc cho ( g )(a)  ( g1 )(a) ( g )(a)  ( g2 )(a),  f (a)  f1 (a) ,  f (a)  f2 (a) Chú ý ta sử dụng dƣới vi phân lồi thơng thƣờng Bởi hàm lồi liên tục Lipschitz địa phƣơng khả vi theo phƣơng, ta áp dụng định lí 3.5 giả thiết g giải đƣợc địa phƣơng a Điều kiện cần để a cực tiểu (P) với lát cắt ( w ), w ( g2 )(a) , ta có f (a)  {0}  f1 (a)  {0}   +cl cone   ( ( g1 )(a)  w )  { ( g1 (a)  g (a))   }  S ,    Đây mở rộng kết có hữu hạn ràng buộc [4] Ví dụ 3.3 (Bài toán quy hoạch phi tuyến tựa khả vi) Xét toán quy hoạch (P) với Y  R S  R Khi đó, ta có ràng buộc g ( x)  Trong trƣờng hợp này, tốn (P) có dạng (P2) min f ( x),   g ( x)  Trong tốn ta chọn để với   0, ( g )(a)   g (a) (tƣơng tự cho dƣới vi phân) Lấy w g (a) lát cắt (w  ) w   w , từ (3.14) ta có    f (a)  {0}   f (a)  {0}+cl    (g (a)  w)  { g ( a)   }  ,   (3.15) Nếu g ( a )  (3.15) trở thành: với w g (a),  f (a)   f (a)+cl cone(g (a)  w) Nếu g ( a )  ta nhận đƣợc điều kiện cần tối ƣu khơng ràng buộc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn  f (a)   f (a) (3.16) Các điểm thoả mãn (3.16) gọi điểm inf - dừng Xét dạng hữu hạn ràng buộc (P), Y  Rn S  Rn , (P3) min f ( x),   gi ( x)  0, i  1, , n, g ( x)  ( g1 ( x), , gn ( x)) Khi giả thiết điều kiện đóng (3.14) thoả mãn, biểu thức (3.14) trở thành  f (a)   f (a)+  cone(gi (a)  wi ) , (3.17) i với wi gi (a) (i = 1, ,n) Ví dụ 3.4 (Bài tốn cực tiểu lõm vô hạn chiều) Ta áp dụng định lí 3.5 cho tốn cực tiểu lõm với ràng buộc tuyến tính nhƣ sau: min f ( x),   Ax  b  S , (P4) f : X  R hàm lõm liên tục, A  L( X , Y ) b  Y Trong trƣờng hợp giả thiết định lí 3.5 thoả mãn ánh xạ affine liên tục giải đƣợc địa phƣơng Khi đó, điều kiện tối ƣu trở thành   ( f )(a)  {0}  cl   AT ( )  { ((A(a) - b) +  }  S ,    Ta xét tốn có ràng buộc tuyến tính bán vơ hạn (xem ví dụ (3.6)) với ràng buộc có dạng at ( x)  bt  0, t , at phiếm hàm tuyến tính liên tục với t phụ thuộc liên tục vào t Chú ý ví dụ cho phép ta xét toán với ràng buộc đẳng thức cách lấy S = {0} Ví dụ 3.5 ( Bài tốn quy hoạch bán vơ hạn khơng trơn) Xét tốn quy hoạch bán vơ hạn khơng trơn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn ( x  1), x  1, f ( x )   2( x  1), x  1, x i 1 g i ( x )    0, i  1, 2,3, i i (P5) f , gi : R  R, i  1,2,3, f hàm lõm liên tục ràng buộc affine Miền chấp nhận đƣợc (,1] Bài tốn có cực tiểu x = Ta đƣa (P5) dạng (P4) cách xác định ánh xạ tuyến tính liên tục A : R  l nhƣ sau : Ax  ( x, x / 2, x / 3, )  ( x / i)i  l Hơn nữa, ta lấy b  ((i  1) / i )i  l Khi đó, ràng buộc (P5) có dạng Ax  b  S , với S  s  ( si )i  l : si  0, i nón thứ tự dƣơng thơng thƣờng l2 Chú ý S+ = S, điều kiện tối ƣu trở thành:      [1, 2]  {0}  cl    i   2i    ,    (  ) S ,  i i  i i i i  ( f )(1)  [1, 2] Ví dụ 3.6 ( Bài tốn quy hoạch bán vô hạn ) (P6) min f ( x),   gt ( x)  0, t ,  không gian tôpô compact, X  Rn ánh xạ ( x, t )  gt ( x) liên tục Ta đƣa tốn (P6) dạng (P) cách xác định ánh xạ g : X  Y  C (, R) g ( x)(t )  gt ( x) với t  , x  X Khi ràng buộc (P6) viết dƣới dạng g ( x)   S , với S  s  C(, R) : s(t )  0, t  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn nón thứ tự Y Giả sử f hàm lõm liên tục, với t , gt (.) hàm lồi liên tục cho (d  X ) (x  X ) (t ) gt ( x   d )  gt ( x)   g t' ( x, d )  v( , t ) , v( , t )  o     đồng  Vì gt (.) hàm lồi liên tục ( với t  ) gt (.) khả vi theo phƣơng miền hữu hiệu Vì vậy, g khả vi theo phƣơng Khi đó, với giả thiết g giải đƣợc địa phƣơng a, điều kiện cần tối ƣu để a cực tiểu (P6)   ( f )(a)  {0}  cl   ( g )(a)   g (a)     S ,   + đây,  g ( x)   g t ( x ) (dt ) ,   S  tƣơng ứng với độ đo Borel quy khơng âm  3.3 TÍNH GIẢI ĐƢỢC ĐỊA PHƢƠNG VÀ ĐIỀU KIỆN ROBINSON SUY RỘNG Trong phần ta trình bày kết điều kiện Robinson suy rộng điều kiện đủ cho điều kiện giải đƣợc địa phƣơng trƣờng hợp hữu hạn chiều hàm Lipschitz địa phƣơng, khả vi theo phƣơng Giả sử g : X  Y , X, Y hữu hạn chiều, S  Y nón lồi đóng Ta xét tính giải đƣợc hệ g ( x)   S , x X (3.18) Định nghĩa 3.1 Nhiễu chấp nhận đƣợc (3.18) a  X tập P, p0 , g ( x, p) , P không gian tôpô, p0  P g ( , ) : X  P  Y hàm vectơ cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) g ( x, p0 )  g ( x), x  X , (ii) g ( , p) Lipschitz địa phƣơng X với p  P , (iii) g liên tục theo ( x, p ) ánh xạ ( x, p)  c g ( x, p) nửa liên tục (a, p0 ) ,  c g ( x, p) Jacobian suy rộng g ( , p) x xem [1] Định nghĩa 3.2 Hệ (3.18) đƣợc gọi ổn định a với nhiễu chấp nhận đƣợc P, p , g ( x, p) hệ: g ( x, p )   S , x X (3.19) có nghiệm với p lân cận p0 tồn   cho d ( x, G( p))  d (0, g ( x, p)  S ) (3.20) với x  X đủ gần a p đủ gần p0 Ở đây, A  X , d ( x, A)  int  x  y : y  A , G( p)  x  X : g ( x, p) S  Định nghĩa 3.3 Hệ (3.18) quy a  int( g (a )  A( X )  S ) , với A  c g (a) (Jacobian suy rộng g a ) Đây tổng quát hoá trƣờng hợp g khả vi liên tục Fréchet a :  int  g (a)  g '(a)( X )  S  (3.21) Nhắc lại [7] g Lipschitz địa phƣơng khả vi theo phƣơng, với   Y / ,  g quy Clarke a  X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn  g '(a,.)  ( g )0 (a,.) , ( g )0 kí hiệu đạo hàm theo phƣơng suy rộng Clarke Mệnh đề 3.1 Giả sử g : X  Y Lipschitz địa phương khả vi theo phương với  g quy Clarke với   S  Khi đó, (i) kéo theo (ii): (i)  int  g (a)  g '(a, X )  S ; (ii) (A  c g (a))  int( g (a)  A( X )  S ) Chứng minh Giả sử (i) Khi đó, tồn lân cận N cho N  g (a )  g '(a, X )  S Lấy y  N Khi đó, tồn d  X , s  S cho y  g (a )  g '(a, d )  s Lấy   S   ( y )   ( g (a))   g '(a, d )   g '(a, d )   ( y  g (a))  ( g )0 (a, d )   ( y  g (a))  (A   c g (a ))  Ad   ( y  g (a )) (bởi theo [1, định lí 2.6.6] ta có (c ( g )(a)   c g (a))  (A  c g (a))  ( y  g (a)  Ad )  Do   S  tuỳ ý nên y  g (a )  A( X )  S với A  c g (a) Bởi y đƣợc chọn tuỳ ý, nên N đƣợc chứa tập với A c g (a), ta suy  (ii) Nhận xét 3.4 Trong mệnh đề 3.1, (ii) kéo theo (i) giả thết thêm g khả vi Gâteaux tai a (xem [5]) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 3.6 Nếu (3.18) quy a g giải đƣợc địa phƣơng a Chứng minh Giả sử d  X cho g (a)  g '(a, d )   S Lấy    , ta có g (a)   g '(a, d )  (1   ) g (a)    g (a)  g '(a, d ) S  S  S Đặt g (a, )  g ( x   d ) với   R Khi đó, R,0, g ( x, ) nhiễu chấp nhận đƣợc (3.18) Do đó, theo [5], (3.18) ổn định a Nhƣ vậy, tồn   cho d (a, G( ))  d (0, g (a, )  S ), (3.22) với  đủ nhỏ mà G ( ) khác rỗng (lấy x  a (3.20)) Ta cần xét trƣờng hợp d (0, g (a, )  S )  r ( )  , r ( )  g ( a,  )  g ( a   d )   S S đóng Vì vậy, ta giả sử r ( )  Khi d (a, G ( ))   r ( ) Ta tìm đƣợc x0  G( ) cho d (a, G( ))  x0  a  2r ( ) (3.23) Lấy x0  a  u( ) Từ (3.23) ta có u( )  2r ( ) Vì g khả vi theo phƣơng nên g (a   d )  g (a)   g '(a, d )   ( )  ( )  o( ) Khi đó, g (a   d )   ( )  g (a )   g '(a, d )   S Do đó,  ( )  g (a   d )  S Vì vậy,  ( )  g (a   d )  S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ suy r ( )   ( )  o( ) u( )  o( ) Vì vậy, g (a   d  u ( ))  g (a  u ( ), )   S u ( )  o( ) Do đó, g giải đƣợc địa phƣơng a  Nhận xét 3.5 Các kết trình bày mục 3.3 chủ yếu cho trƣờng hợp hữu hạn chiều dựa vào khái niệm Jacobian suy rộng [1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày định lí ln phiên Farkas cho hệ khơng nhất, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm phi tuyến q trình lồi, định lí Farkas suy rộng cho hệ gồm hàm bị chặn hàm tuyến tính hệ gồm hàm hiệu dƣới tuyến tính, định lí Farkas dạng vectơ Luận văn trình bày ứng dụng định lí Farkas suy rộng nói để dẫn điều kiện cần đủ tối ƣu cho tốn tối ƣu có ràng buộc trình lồi điều kiện cần cho cực tiểu yếu toán tối ƣu đa mục tiêu với ràng buộc nón Việc nghiên cứu phát triển cá định lí ln phiên Farkas nói riêng định lí ln phiên nói chung cho phép ta nhận đƣợc điều kiện tối ƣu tôt cho cho lớp toán tối ƣu đơn đa mục tiêu khác Đây đề tài đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.H, Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis , John Wiley and Sons, New York [2] B.D, Craven (1978), Mathematical Programming and Control Theory, Chapman - Hall, London [3] V.F Dem’yanov, L.N Polyakova and A.M Rubinov (1986), Nonsmoothness and quasidifferentiability, Math Programming Study, vol.29, 1-19 [4] B.M Glover (1992), On quasidiffirentiable functions and nondifferentiable programming, Optimization, vol.24, 253 - 268 [5] B.M Glover, V Jeyakumar and W Oettli (1994), A Farkas Lemma for difference sublinear systems and quasidifferentiable programming, Math.Programming, vol.63, 109-125 [6] V.Jeyakumar (1987), A General Farkas Lemma and Characterization of Optimality for a Nonsmooth Program Involving Convex Processes, J Optim Theory and App, Vol 55, 449 – 461 [7] Đ.V.Luu (1999), Giải tích Lipschitz, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội [8] O.L.Mangasarian (1969), Nonlinear Programming, McGraw – Hill, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... II ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM MỘT Q TRÌNH LỒI VÀ MỘT HÀM BÁN LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Chƣơng II trình bày tổng qt hố định lí Farkas cho hệ gồm hàm bán lồi suy rộng trình lồi với điều kiện. .. MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ƣu phận quan trọng lý thuyết tốn cực trị có nhiều ứng dụng kinh tế, kỹ thuật Để dẫn điều kiện cần tối ƣu ngƣời ta thƣờng dùng định lí tách giải tích lồi định lí... ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ TUYẾN TÍNH 1.1 Các kết bổ trợ 1.2 Định lí Farkas Chƣơng II ĐỊNH LÍ FARKAS CHO HỆ GỒM MỘT QUÁ TRÌNH LỒI VÀ MỘT HÀM BÁN LỒI SUY RỘNG VÀ ĐIỀU KIỆN