Về điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ưu cấp 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -o0o NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Chƣơng ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU 1.1 Các khái niệm định nghĩa 1.2 Các tập tiếp tuyến cấp cấp hai 1.3 Điều kiện quy cấp hai điều kiện tối ƣu cấp hai 15 Chƣơng ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU 2.1 Kiến thức chuẩn bị 33 2.2 Điều kiện cần tối ƣu cho toán đa mục tiêu với ràng buộc tập 37 2.3 Điều kiện cần tối ƣu Fritz John 41 2.4 Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ƣu tối ƣu đơn mục tiêu đa mục tiêu trơn không trơn phát triển mạnh mẽ thu đƣợc nhiều kết đẹp đẽ phong phú Lý thuyết điều kiện tối ƣu cấp phận quan trọng lý thuyết điều kiện tối ƣu Từ điều kiện cần ta có đƣợc tập điểm dừng mà bao hàm nghiệm toán tối ƣu Các điều kiện đủ tối ƣu cấp cho phép ta tìm nghiệm tốn Thơng thƣờng ngƣời ta đƣa vào tập tiếp tuyến cấp 2, tập tuyến tính hố cấp điều kiện quy cấp từ dẫn tới điều kiện tối ƣu cấp kiểu Fritz John Kuhn-Tucker J F Bonnans, R Cominetti A Shapiro [3] nghiên cứu tập tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp trên, khái niệm quy cấp quy cấp ngồi Từ đó, tác giả thiết lập điều kiện cần tối ƣu cấp với điều kiện quy Robinson, điều kiện đủ tối ƣu cấp cho toán tối ƣu đơn mục tiêu khơng trơn với ràng buộc nón G Bigi M.Castellani [4] nghiên cứu tập phƣơng giảm cấp Tập phƣơng chấp nhận đƣợc cấp tập tiếp liên cấp điều kiện quy cấp kiểu Abadie Guignard Từ đó, tác giả dẫn điều kiện cần tối ƣu Fritz John cấp sở phát triển định lý luân phiên kiểu Motzkin, điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp với điều kiện quy cấp kiểu Abadie Guignard Luận văn tập trung trình bày điều kiện quy cấp điều kiện tối ƣu cấp dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hố cấp đạo hàm theo phƣơng cấp Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: Trình bày nghiên cứu J F Bonnans, R Cominetti A Shapiro [3] tập tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp trên, điều kiện quy cấp điều kiện quy cấp ngồi Với điều kiện quy Robinson, điều kiện cần tối ƣu cấp cho tốn tối ƣu với ràng buộc nón khơng trơn đƣợc trình bày với điều kiện đủ tối ƣu cấp Chƣơng 2: Trình bày kết nghiên cứu G Bigi M.Castellani [4] điều kiện cần tối ƣu cấp cho cực tiểu yếu địa phƣơng toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc sở phát triển định lý luân phiên Motzkin không Các nghiên cứu tập tiếp liên cấp 2, tập tuyến tính hố cấp 2, điều kiện quy cấp kiểu Abadie Guignard đƣợc trình bày với điều kiện cần cấp Fritz John Kuhn-Tucker Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lƣu, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp Cao học Tốn K15 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2009 Nguyễn Thị Lan Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU Chƣơng trình bày nghiên cứu J.F.Bonnans, R.Cominetti A.Shapiro [3] tập tiếp tuyến cấp ngoài, tập xấp xỉ cấp trên, điều kiện quy cấp ngồi điều kiện quy cấp với điều kiện cần đủ tối ƣu cấp cho toán tối ƣu với ràng buộc nón 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Bài tốn Ta xét tốn tối ƣu có dạng f(x), (P) x X G(x)  K, X khơng gian hữu hạn chiều, Y khơng gian Banach, K tập lồi đóng Y , hàm mục tiêu f : X  R ánh xạ ràng buộc G : X  Y đƣợc giả thiết khả vi liên tục hai lần Kí hiệu  : G1 ( K ) tập chấp nhận toán ( P) Một số tốn tối ƣu phát biểu dƣới dạng toán ( P) Khi Y  p K  0  R p q Tập chấp nhận đƣợc ( P) đƣợc xác định số hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, ( P) trở thành toán quy hoạch phi tuyến Ví dụ khác, ta xét khơng gian Y  C () gồm hàm liên tục  :   ¡ xác định không gian metric compăc  trang bị chuẩn sup Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  : sup  (  )  Lấy K : C (  ) nón hàm nhận giá trị không âm, tức C (  ):   C(  ): (  )  0,   Trong trƣờng hợp này, ràng buộc G( x )  K tƣơng ứng với g( x, )  với    , g( x,.) : G( x )(.) Nếu tập  vô hạn, ta nhận đƣợc số vô hạn ràng buộc, (P) trở thành tốn quy hoạch bán vơ hạn Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu xét tốn tối ƣu có dạng g( F( x )), (1.1) xX g : Y  R   hàm lồi thƣờng nửa liên tục dƣới F : X  Y Bài toán tƣơng đƣơng với toán tối ƣu sau (xem [7]): c, (1.2) ( x ,c )X R ( F( x ),c ) epi( g ), epi( g ) : ( y,c ) Y  R : g( y )  c đồ thị g đƣợc xét nhƣ trƣờng hợp riêng toán (P) Điều ngƣợc lại đúng, có nghĩa tốn (P) biểu diễn dƣới dạng (1.1) cách lấy g( r, y )  r  I K ( y ) F( x )  ( f ( x ),G( x )) , I K ( y )  , y  K  y  K (xem [7]) Cho nên hai cách tiếp cận tƣơng đƣơng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Các khái niệm định nghĩa Giả sử h :Y  R     hàm giá trị thực mở rộng Giả sử h(.) hữu hạn điểm y  Y ta kí hiệu h' ( y,d ) đạo hàm theo phƣơng điểm y theo phƣơng d  Y h' ( y;d ) : lim t 0 h( y  td )  h( y ) t Nhắc lại [5] h(.) lồi, giá trị hữu hạn y, thƣờng Y, y  dom h h' ( y;d ) tồn hữu hạn Ta sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau: h ( y;d )  liminf t 0 d ' d h( y  td')  h( y ) t Chú ý đồ thị h ( y,.) đóng h ( y,.) hàm nửa liên tục dƣới Nếu h(.) lồi, nhận giá trị hữu hạn liên tục y liên tục Lipschitz lân cận y , h ( y,.)  h' ( y,.) Nói chung, h lồi, gián đoạn, bao đóng đồ thị h' ( y,.) trùng với đồ thị h ( y,.) Khi h' ( y,d ) tồn hữu hạn, ta kí hiệu h'' ( y ;d , ) h'' ( y ;d , ) đạo hàm parabolic cấp hai dƣới [3], tƣơng ứng h tức h( y  td  t 2 ) - h( y ) - th' ( y,d ) h'' ( y ;d , ) :  liminf t 0 t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn h( y  td  t 2 )  h( y )  th' ( y,d ) h'' ( y ;d , ) : lim sup t 0 t Ta nói h(.) khả vi theo phƣơng cấp hai y theo phƣơng d, h'' ( y ;d , ) = h+'' ( y ;d , ) hữu hạn với   Y Trong trƣờng hợp này, giá trị chung đƣợc ký hiệu h ( y ;d , ) Khi h( y ) '' h ( y,d ) hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau h( y  td  t 2' )  h( y )  th ( y,d ) h ( y ;d , ) : liminf t 0 , '  t Chú ý h(.) liên tục Lipschitz gần y, h ( y ;d , )  h'' ( y ;d , ) Nói riêng, điều đúng, h(.) lồi, hữu hạn, liên tục, liên tục Lipschitz y Kí hiệu Y * không gian đối ngẫu Y y* , y giá trị y* ( y ) hàm tuyến tính y*  Y * y  Y Với ánh xạ tuyến tính liên tục A: X Y ta kí hiệu A* : Y *  X * ánh xạ liên hợp, tức là, A* y* ,x  y* ,Ax , với x  X ,y* Y * Với tập T  Y kí hiệu  (.,T ) hàm tựa T, tức  ( y* ,T ) : sup y* , y yT Ký hiệu dist  ,T  hàm khoảng cách dist  y,T  : inf y  z zT Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Df ( x ),D2 f ( x ) tƣơng ứng đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai hàm f ( x ) ; BY :  y  Y : y  1 hình cầu đơn vị Y ;  y : ty : t R không gian tuyến tính sinh vec tơ y (một chiều y  0) 1.2 CÁC TẬP TIẾP TUYẾN CẤP MỘT VÀ CẤP HAI Giả sử K tập đóng khơng gian Banach Y Nón tiếp tuyến cấp K điểm y  K đƣợc định nghĩa nhƣ sau: TK ( y ) :  h Y : dist(y + th, K) = o(t), t  0 (1.3) Nhắc lại [2] khái niệm giới hạn dƣới hàm đa trị : X  2Y (từ không gian định chuẩn X vào họ tập Y) theo nghĩa Painlevé - Kuratowski: lim sup   x   y  Y : x n  x cho yn   x n  , yn  y, x  x0 liminf   x   y  Y : x n  x , yn   x n  , yn  y x  x0 Theo định nghĩa giới hạn tập hợp dƣới, ta viết Ky t TK  y   liminf t 0 (1.4) Ta biết K lồi có TK ( y )  lim sup t 0 Ky t ( 1.5) Chú ý K nón lồi y  K , TK ( y )  cl  K   y  ,  y  ký hiệu khơng gian tuyến tính sinh vec tơ y cl ký hiệu bao đóng theo tơpơ chuẩn Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f j ( x )  2 f j ( x )( d ,d )  0, j  J( x,d ) (2.6) Chứng minh Ngƣợc lại, giả sử d  D ( f ,x ) cho trƣớc   T ( S ,x,d ) nghiệm (2.6) Theo định nghĩa tập tiếp liên cấp hai tồn {tn }  { n }   cho xn  x  tn d  21 tn2n  S ,n  N Do f j khả vi hai lần, ta có f j ( xn ) - f j ( x )  t n [ f j ( x )( d  2-1 tnn ) 2-1 tn2 f j ( x )( d  2-1 tnn ,d  2-1 tnn )  tn n ] ,  n  n   Ta xét hai trƣờng hợp sau  Nếu j  J( x,d ) , ta có f j ( x )( d  21 tn2n )  , với n đủ lớn ta có f j ( xn )  f j ( x )  Nếu j  J( x,d ) , ta có lim f j ( x )n   f j ( x )( d  1 tnn ,d  1 tnn )   n n  f j ( x )+2 f j ( x )( d ,d )  38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cho nên với n đủ lớn ta có f j ( xn )  f j ( x )  21 tn2 [ f j ( x )n 2 f j ( x )( d  21 tnn ,d  21 tnn )   n ]