Về điều kiện tối ưu cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Khuyên VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đặng Thị Khuyên VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu nêu Luận văn hoàn tồn trung thực, chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đặng Thị Khuyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Đỗ Văn Lưu, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, bạn học viên tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tơi suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Đặng Thị Khuyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i MỞ ĐẦU 1 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO 1.1 Các định nghĩa khái niệm 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp cao 1.3 Điều kiện đủ tối ưu cấp cao 11 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CHẶT CẤP CAO CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LỒI 20 2.1 Các kết bổ trợ 20 2.2 Phân hoạch tập số hàm mục tiêu 22 2.3 Tiêu chuẩn tối ưu 28 2.4 Tiêu chuẩn điểm yên ngựa 35 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu nói chung điều kiện tối ưu cấp cao nói riêng phận quan trọng lý thuyết toán tối ưu Khái niệm cực tiểu chặt cấp cao M R Hestenes nghiên cứu từ năm 1966 [5] sau phát triển L Cromme, A Auslender, M Studniarski, B Jiménez, V Novo, Mới đây, B Jiménez V Novo ([7], 2008) thiết lập điều kiện tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao toán tối ưu khơng trơn với ràng buộc nón ràng buộc tập ngôn ngữ đạo hàm Studniarski A Gupta, A Mehra D Bhatia ([3], 2011) thiết lập điều kiện cần đủ tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức cách phân hoạch tập số hàm mục tiêu, lập toán thiết lập mối quan hệ nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m toán gốc với nghiệm toán Lý thuyết điều kiện tối ưu cấp cao nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: "Về điều kiện tối ưu cấp cao" Đây đề tài có tính thời Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày điều kiện cần điều kiện đủ tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao, bao gồm: điều kiện tối ưu cấp cao B Jiménez V Novo [7] cho tốn tối ưu đơn mục tiêu với ràng buộc nón ràng buộc tập, điều kiện tối ưu cấp cao A Gupta, A Mehra D Bhatia [3] cho toán tối ưu đa mục tiêu lồi với ràng buộc bất đẳng thức 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai báo tiếng Anh B Jiménez - V Novo A Gupta - A Mehra - D Bhatia - Sử dụng kết hai báo để viết luận văn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng cơng cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lý thuyết tối ưu Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Điều kiện cần đủ cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao Trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao Jiménez - Novo [7] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao toán tối ưu với ràng buộc nón ràng buộc tập ngơn ngữ đạo hàm Studniarski Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp cao ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trường hợp hữu hạn chiều Chương Điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp cao toán tối ưu đa mục tiêu lồi Trình bày kết Gupta - Mehra - Bhatia [3] điều kiện tối ưu cấp cao cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp cao toán tối ưu đa mục tiêu lồi có ràng buộc bất đẳng thức cách phân hoạch tập số hàm mục tiêu, lập toán thiết lập mối quan hệ nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m toán gốc với toán con, tính chất đặc trưng điểm yên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt trình bày chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP CAO Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cao cho cực tiểu địa phương chặt cấp cao tốn tối ưu với ràng buộc nón ràng buộc tập ngôn ngữ đạo hàm Studniarski Các điều kiện đủ tối ưu cấp cao ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trường hợp hữu hạn chiều trình bày chương Các kết trình bày chương B Jiménez V Novo [7] 1.1 Các định nghĩa khái niệm Giả sử X không gian định chuẩn, f : X → R M ⊂ X Xét toán tối ưu {f (x) : x ∈ M } Ta nhắc lại khái niệm sau: Điểm x0 ∈ M gọi điểm cực tiểu địa phương f M tồn lân cận U x0 cho f (x) f (x0 ), ∀x ∈ U ∩ M Nếu bất đẳng thức chặt với ∀x = x0 (x ∈ U ∩ M ) x0 gọi cực tiểu địa phương chặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1 Điểm x0 ∈ M gọi cực tiểu địa phương chặt cấp k (k 1, k số nguyên), kí hiệu x0 ∈ Strl(k, f, M ) tồn α > lân cận U x0 cho f (x) > f (x0 ) + α x − x0 k , ∀x ∈ M ∩ U \{x0 } Khái niệm nghiên cứu Hestenes [5] cho k = để chứng minh điều kiện đủ tối ưu Ta nhắc lại khái niệm sau: Tập K ⊆ X gọi tập lồi, K chứa đoạn thẳng qua hai điểm Điều có nghĩa là, K lồi ∀x, y ∈ K, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ K Tập K ⊂ X gọi nón có đỉnh với ∀x ∈ K, ∀λ > ⇒ λx ∈ K Nón K có đỉnh gọi lồi K tập lồi, tức ∀x, y ∈ K, λ, µ > ⇒ λx + µy ∈ K Với M tập X, ta kí hiệu intM, clM, coneM phần M , bao đóng M , nón sinh M B(x0 , ε) hình cầu mở có tâm x0 , bán kính ε Định nghĩa 1.2 a) Nón tiếp liên tập M x0 ∈ M T (M, x0 ) = v ∈ X : ∃tn → 0+ , xn ∈ M, xn → x0 cho xn − x0 →v ; tn b) Nón tiếp tuyến phần IT (M, x0 ) = {v ∈ X : ∃ε > cho x0 + tu ∈ M, ∀t ∈ [0, ε], ∀u ∈ B(v, ε)} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 mục sau ta giả sử hàm fi (·) , i ∈ P gj (·) , j ∈ Q lồi Rn m Chú ý với m > 1, hàm Ψ (x) = x − x khả vi Fréchet Rn gradient cho công thức ∆Ψ (x) = mΨ(x) x−x (x − x) , x = x, 0, x = x Trong đó, với m = 1, Ψ (x) = x − x không khả vi x, có đạo hàm Fréchet với x = x Rn , ∆Ψ (x) = x−x x−x Hơn nữa, Ψ hàm lồi Rn Trước tiên ta xét trường hợp m = Ở đây, < toán vectơ (M OP )α RM OP Pα,δ (x∗ ) , x xem toán tối ưu D.C (hiệu hàm lồi) Điều cho phép ta sử dụng điều kiện tối ưu quy hoạch D.C để đặc trưng cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp M OP ngôn ngữ vi phân lồi Chúng ta trình bày tóm tắt kết lý thuyết tối ưu D.C cần dùng Chi tiết tham khảo [2] Bài toán tối ưu D.C cần dùng là: (DCP ) (Φ1 (x) − Ψ1 (x) , , Φς (x) − Ψς (x)) , h (x) − k (x) ∈ −Rr+ , l (x) ∈ −C, Φ, Ψ : Rn → Rς h, k : Rn → Rr hàm vectơ lồi Rn , : Rn → Rs hàm C− lồi Rn , C nón lồi đóng Rs Ta nhắc lại khái niệm vi phân lồi [1] hàm vô hướng Định nghĩa 2.3 Cho f : Rn → R∞ := R ∪ {+∞} hàm lồi x ∈ Rn , f (x) < +∞ Tập tất gradient f x, kí hiệu ∂f (x) , gọi vi phân f x: ∂f (x) = {ξ ∈ Rn : f (x) − f (x) ξ, x − x , ∀x ∈ Rn } Định lý (định lý 3.1 [11]) điều kiện cần tối ưu toán (DCP ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Định lý 2.3 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương yếu x∗1 , , x∗ς (DCP ) Khi đó, với ∈ ∂Ψ1 (x) × × ∂Ψς (x) (ω1∗ , , ωr∗ ) ∈ ∂k1 (x) × × ∂kr (x) , tồn λ ∈ Rς+ , µ ∈ Rr+ z ∈ C , (λ, µ, z) = 0, cho z, (x) = 0, µ, h (x) − k (x) = 0, ς r λi x∗i + i=1 ς µj ωj∗ ∈∂ j=1 r i=1 C = {ξ ∈ Rs : ξ, x µj hj + z ◦ λi Φi + (x) , j=1 0, ∀x ∈ C} nón cực C Nhận xét 2.3 < Rõ ràng với m = 1, toán RM OP Pα,δ (x∗ ) , x trường hợp riêng toán (DCP ) với < Φi (x) = fi (x) , i ∈ Pα,δ (x∗ ) , < (x∗ ) , Ψi (x) = αi x − x , i ∈ Pα,δ = hi (x) = fi (x) − fi (x) , i ∈ Pα,δ (x∗ ) , = (x∗ ) , ki (x) = αi x − x , i ∈ Pα,δ (x) = gj (x) , j ∈ Q, < = C = Rq+ , ς = Pα,δ (x∗ ) , r = Pα,δ (x∗ ) , < < = = (x∗ ) kí hiệu số Pα,δ (x∗ ) Pα,δ (x∗ ) Pα,δ (x∗ ) Pα,δ (tương ứng) Điều kiện cần đặc trưng cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp (M OP ) sau hệ trực tiếp định lý 2.3 Định lý 2.4 (Điều kiện cần tối ưu) Cho α ∈ int (Rp+ ) cho x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp (M OP ) Khi đó, ∀ωi∗ ∈ ∂ (αi x − x ) (x) , i ∈ P, tồn λ ∈ Rp+ , µ ∈ Rq+ , (λ, µ) = cho µj gj (x) = 0, (2.5) j∈Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31   λi ωi∗ ∈ ∂  λi fi + i∈P i∈P µj gj  (x) (2.6) j∈Q Chú ý ωi∗ ∈ ∂ (αi x − x ) (x) nghĩa ωi∗ ∈ B [0, αi ], (hình cầu đóng tâm 0, bán kính αi Rn ) Do đó, ωi∗ αi , i ∈ P Bây quay lại ví dụ 2.2, x = (0, 0) nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp với α = 1, 21 < δ < Để thấy điều kiện định lý thỏa mãn, ta lấy λ1 = 10 , λ2 = 10 , µ1 = µ2 = Khi đó, µj gj (x) = j=1 Vậy, ∂f1 (x) = (1, −1)T ω1∗ ∈ ∂ ( x − x ) (x) ω2∗ ∈ ∂ 2 x−x ∈∂ i=1 Với (x), ta có λi ωi∗ (ξ1 , ξ2 )T : ξ12 + ξ22 ∂f2 (x) = λi fi + i=1 µj gj (x) j=1 Định lý trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp (M OP ) < Định lý 2.5 (Điều kiện đủ tối ưu) Xét toán RM OP Pα,δ (x∗ ) , x , giả sử x ∈ F Giả sử với ω1∗ , , ωp∗ , ωi∗ αi , i ∈ P, tồn λ ∈ Rp+ , µ ∈ Rq+ , (λ, µ) = cho (2.5), (2.6) Hơn nữa, giả sử điều kiện quy ( RC) thỏa mãn: < ( RC) với ξ ∈ Pα,δ (x∗ ), với (ωi∗ )i∈P \{ξ} , ωi∗ λi ωi∗ ∈ ∂ i∈P \{ξ} λi fi + i∈P \{ξ} µj gj j∈Q αi , ta có (x), (λi , µ)i∈P \{ξ} = < Khi đó, x nghiệm hữu hiệu RM OP Pα,δ (x∗ ) , x Hơn nữa, (2.2) đúng, x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp (M OP ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Chứng minh : Với x = x, ωi∗ ∈ ∂ (αi x − x ) (x) = αi x−x x−x , i ∈ P, ta có, ωi∗ , x − x = αi x − x , ωi∗ = αi , i ∈ P (2.7) Theo giả thiết, tồn λ ∈ Rp+ , µ ∈ Rq+ , (λ, µ) = cho (2.5) (2.6) < Do (RC), λi > 0, ∀i ∈ Pα,δ (x∗ ) Ngồi ra,   µj gj  (x) − λi fi +  i∈P j∈Q λi ωi∗ , x − x λi fi (x) i∈P i∈P Do đó, λi (fi (x) − fi (x)) + < i∈Pα,δ (x∗ ) λi (fi (x) − fi (x)) + = (x∗ ) i∈Pα,δ µj gj (x) j∈Q λi ωi∗ , x − x i∈P Kết hợp với (2.7) ta λi (fi (x) − fi (x) − αi x − x ) + < i∈Pα,δ (x∗ ) λi (fi (x) − fi (x) − αi x − x ) + + = (x∗ ) i∈Pα,δ µj gj (x) j∈Q Từ suy λi (fi (x) − fi (x) − αi x − x ) 0, ∀x ∈ F < i∈Pα,δ (x∗ ) < Do đó, x nghiệm hữu hiệu RM OP Pα,δ (x∗ ) , x Phần lại chứng minh suy từ định lý 2.2 < Tiếp tục với ví dụ trước ta có Pα,δ (x∗ ) = {2} (RC) Do đó, < x = (0, 0) nghiệm hữu hiệu RM OP Pα,δ (x∗ ) , x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chúng ta trình bày cho trường hợp m > Trong trường hợp này, ·−x m hàm lồi khả vi Fréchet Định lý trình bày điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ) Định lý 2.6 (Điều kiện cần tối ưu) Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m > (M OP ) Khi đó, tồn λ ∈ Rp+ , µ ∈ Rq+ , (λ, µ) = 0, cho µj gj (x) = 0, j∈Q 0∈ λi ∂fi (x) + i∈P µj ∂gj (x) j∈Q Chứng minh Theo bổ đề 2.1, ta có điều phải chứng minh cách áp dụng điều kiện cần tối ưu cổ điển toán tối ưu đa mục tiêu lồi quy tắc tổng vi phân lồi [1] (M OP )α Sau ta trình bày điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ) Ta cần đến khái niệm ε − vi phân, (ε > 0) hàm lồi vô hướng Khái niệm ε−dưới vi phân đóng vai trị quan trọng việc tìm lại hàm x − x m điều kiện tối ưu định lý 2.6 Định nghĩa 2.4 ε−dưới vi phân hàm lồi f : Rn → R ∪ {+∞} x ∈ Rn với f (x) < +∞ định nghĩa ∂ε f (x) = {ξ ∈ Rn : f (x) − f (x) ξ, x − x − ε, ∀x ∈ Rn } Định lý 2.7 (Điều kiện đủ tối ưu) Cho x ∈ F Giả sử tồn < δ > 0, α ∈ int (Rp+ ) , λ ∈ Rp+ với λi > với i ∈ Pα,δ (x∗ ), µ ∈ Rq+ cho µj gj (x) = 0, j∈Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 ∀ε > 0,  m λi αi x − x ∂ε  (x) ∩ ∂ε  i∈P µj gj  (x) = ∅, λi fi + i∈P j∈Q (2.8) ∀x ∈ F ∩ B (x, δ) \ {x} < Khi đó, x nghiệm hữu hiệu địa phương RM OP Pα,δ (x∗ ) , x Nếu (2.2) x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ) Chứng minh Lấy ε1 > 0, x ∈ F ∩ B (x, δ) \ {x},  t∗ ∈ ∂ε1 λ i αi x − x m (x) ∩ ∂ε1  i∈P  µj gj  (x) λi fi + i∈P j∈Q Khi đó, − λi αi x − x m t∗ , x − x − ε , i∈P   i∈P  µj gj  (x) −  λi fi +   j∈Q µj gj  (x) λi fi + i∈P t∗ , x − x − ε1 j∈Q Kết hợp bất đẳng thức với điều kiện bù, ta nhận − λi αi x − x m λi fi (x) − + i∈P i∈P λi fi (x) + i∈P µj gj (x) −2ε1 j∈Q Bởi x ∈ F ε1 > tùy ý, ta suy λi (fi (x) − fi (x) − αi x − x m ) < i∈Pα,δ (x∗ ) < Do λi > 0, ∀i ∈ Pα,δ (x∗ ), x nghiệm hữu hiệu địa phương < RM OP Pα,δ (x∗ ) , x , x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ) theo định lý 2.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Nhận xét 2.4 Nếu x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ) trường hợp x = x bao hàm (2.8) Bởi ∈ ∂ε λi αi x − x m (x) , theo định lý 2.4, i∈P   0∈∂ λi fi + i∈P µj gj  (x) j∈Q Do đó,   ∈ ∂ε  µj gj  (x) , λi fi + i∈P j∈Q ∂Ψ (x) ⊂ ∂ε Ψ (x) Mặt khác, thay cho (2.8) ta giả thiết   λi αi x − x ∂ m (x) ∩ ∂  i∈P i∈P µj gj  (x) = ∅, λi fi + j∈Q (2.9) ∀x ∈ F ∩ B (x, δ) \ {x} , định lý 2.7 khơng cịn Với hàm f g hàm C Rn , không giống với ε−dưới vi phân, vi phân bao gồm vectơ gradient, điều kiện (2.9) khơng (2.8) 2.4 Tiêu chuẩn điểm yên ngựa Chúng ta áp dụng định lý mục trước để dẫn tiêu chuẩn điểm yên ngựa cho nghiệm hữu hiệu địa phương chặt (M OP ) Tương tự phân hoạch tập P , ta phân hoạch tập số ràng buộc Q Đặt ∗ Q= α,δ (x ) = j ∈ Q : x ∈ Sα,δ (x∗ ) ⇒ gj (x) = , ∗ Q< α,δ (x ) = j ∈ Q : ∃x ∈ Sα,δ (x∗ ) cho gj (x) < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 < ∗ ∗ Rõ ràng, Q = Q= α,δ (x ) ∪ Qα,δ (x ) ∗ Ta định nghĩa tập điểm thỏa mãn ràng buộc Q= α,δ (x ) = để giảm bớt mục tiêu Pα,δ (x∗ ) sau: S α,δ (x∗ , x) = x ∈ Rn : fi (x) − αi x − x ∩ x ∈ Rn : gj (x) m = fi (x) , ∀i ∈ Pα,δ (x∗ ) ∗ 0, ∀j ∈ Q= α,δ (x ) ∗ ∗ = n Chú ý Pα,δ (x∗ ) = ∅ Q= α,δ (x ) = ∅ S α,δ (x , x) = R Bây < (x∗ ) , x tương đương với toán: toán RM OP Pα,δ x fi (x) − αi x − x gj (x) m < ; i ∈ Pα,δ (x∗ ) ∗ 0, j ∈ Q< α,δ (x ) , x ∈ S α,δ (x∗ , x) = Nếu Pα,δ (x∗ ) = ∅ tốn trở thành (M OP )α ∗ = ∗ Còn Q= α,δ (x ) = ∅ Pα,δ (x ) = ∅ tốn trùng với < RM OP Pα,δ (x∗ ) , x |Q< (x∗ )| |P < (x∗ )| → ×R+ α,δ Định nghĩa 2.5 Hàm Lagrange L : S α,δ (x∗ , x)×R+ α,δ R xác định L (x, λ, µ) = λi fi (x) + < i∈Pα,δ (x∗ ) µj gj (x) ∗ j∈Q< α,δ (x ) ∗ < (x∗ )| |Pα,δ Định nghĩa 2.6 Một điểm x, λ, µ ∈ S α,δ (x , x)×R+ |Q cho L x, λ, µ − η x − x |Q Bất đẳng thức điểm yên ngựa lại hiển nhiên thỏa mãn Chú ý định lý thiết lập điều kiện quy yếu sau đây: ωi∗ (RRC) Nếu với (ωi∗ )i∈Pα,δ = (x∗ ) với  λi ωi∗ ∈ ∂  = (x∗ ) i∈Pα,δ αi , ta có  µj gj  (x) , λi fi + = (x∗ ) i∈Pα,δ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên j∈Q http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 (λi , µ)i∈Pα,δ = (x∗ ) = Chúng ta xét trường hợp nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m > Định lý 2.9 Giả sử x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m > (M OP ) (tương ứng với α δ) Khi đó, tồn λ ∈ Rp+ , µ ∈ Rq+ , λ, µ = 0, cho µj gj (x) = 0, (2.10) j∈Q 0∈ λi ∂fi (x) + i∈P µj ∂gj (x) (2.11) j∈Q < (x∗ ) với Hơn nữa, ta giả sử λi > với i thuộc Pα,δ ε > 0,  λi αi x − x ∂ε m  (x) ∩ ∂ε  i∈P µj gj  (x) = ∅, λi fi + i∈P j∈Q ∀x ∈ S α,δ (x∗ , x) Khi đó, x, λ, µ điểm yên ngựa cấp m L Chứng minh Bởi x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt cấp m (M OP ), theo định lý 2.6, tồn λ µ cho (2.10) (2.11) Bây giờ, chứng minh định lý 2.7, với ε1 > 0, x ∈ S α,δ (x∗ , x) , ta có λi αi x − x − m λi fi (x) − + i∈P i∈P λi fi (x) + i∈P µj gj (x) −2ε1 j∈Q Do ε1 > tùy ý, nên λi (fi (x) − fi (x) − αi x − x < i∈Pα,δ (x∗ ) m )+ µj gj (x) ∗ j∈Q< α,δ (x ) ∀x ∈ S α,δ (x∗ , x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 0, 39 Từ suy µj gj (x) − η x − x λi fi (x) + < i∈Pα,δ (x∗ ) η = m λi fi (x) , ∗ j∈Q< α,δ (x ) < i∈Pα,δ (x∗ ) λi αi L x, λ, µ − η x − x < i∈Pα,δ (x∗ ) > Do đó, m L x, λ, µ , ∀x ∈ S α,δ (x∗ , x) Bất đẳng thức đầu điểm yên ngựa hiển nhiên Vì định lý chứng minh Bây trình bày định lý đảo, tức tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa đủ Định lý 2.10 Giả sử x, λ, µ điểm yên ngựa cấp m L với λi > 0, < với i ∈ Pα,δ (x∗ ) η < i∈Pα,δ (x∗ ) λi αi Khi đó, x nghiệm < hữu hiệu RM OP Pα,δ (x∗ ) , x Hơn nữa, (2.2) x nghiệm hữu hiệu địa phương chặt (M OP ) Chứng minh Từ định nghĩa 2.6, ta có L x, λ, µ L x, λ, µ L x, λ, µ − η x − x m , ∀x ∈ S α,δ (x∗ , x) Bất đẳng thức đầu kéo theo µj − µj gj (x) |Q