Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊM ĐỨC VĂN VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊM ĐỨC VĂN VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ lồi 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Các điều kiện cần đủ tối ưu 1.3 Áp dụng 19 Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ lồi suy rộng 25 2.1 Các định nghĩa kết bổ trợ 25 2.2 Điều kiện tối ưu 29 2.3 Áp dụng 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 40 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, thầy tận tâm nhiệt tình bảo Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể cán giảng dạy lớp cao học tốn K7Y nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln bên cạnh động viên giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Nghiêm Đức Văn Mở đầu Bài toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán như: Bài toán tối ưu vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán bù vectơ, toán cân Nash, toán điểm bất động, phạm vi áp dụng toán cân rộng rãi Người ta nghiên cứu toán cân tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, ổn định nghiệm cấu trúc tập nghiệm X H Gong [2] dẫn điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ lồi có ràng buộc áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu vectơ X J Long, Y Q Huang, Z Y Peng [5] thiết lập điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu hữu hiệu tồn cân vectơ có ràng buộc với giả thiết tính lồi suy rộng Mới đây, D V Luu D D Hang [6, 7] thiết lập điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ khơng trơn tốn cân vectơ không trơn Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: “Về điều kiện tối ưu cho tồn cân vectơ” Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện tối ưu cho số loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ lồi có ràng buộc Gong ([2], 2008) điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc với giả thiết lồi suy rộng Long – Huang – Peng ([5], 2011) Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày kết X H Gong ([2], 2008) điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ lồi gồm số khái niệm nghiệm hữu hiệu điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu tồn cục, nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân véctơ có ràng buộc áp dụng cho tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc tốn tối ưu có ràng buộc Chương trình bày kết X J Long, Y Q Huang Z Y Peng ([5], 2011) điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig nghiệm siêu hữu hiệu toán cân véctơ lồi suy rộng có ràng buộc, với áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ tốn tối ưu vectơ có ràng buộc Dù nghiêm túc nghiên cứu cố gắng thực luận văn, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý Thầy Cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh nhiều ý nghĩa Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Nghiêm Đức Văn Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014-01/2016 Chun ngành Tốn ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ lồi Chương trình bày kết X.H Gong ([2], 2008) điều kiện cần đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu tồn cục, nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân véctơ lồi có ràng buộc, với áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc tốn tối ưu vectơ có ràng buộc 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Giả sử X, Z không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương thực, X0 tập lồi khác rỗng X, g : X0 → Z, F : X0 × X0 → Y , K nón nhọn lồi đóng Z, intK = ∅ Đặt A = {x ∈ X0 : g(x) ∈ K} Xét tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC): Tìm x ∈ A cho F (x, y) ∈ / −P P ∪ {0} nón lồi Y (∀y ∈ X), Giả sử Y ∗ không gian tôpô đối ngẫu Y , C nón nhọn lồi đóng Y Tập C ∗ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) 0, ∀y ∈ C} nón đối ngẫu C Ký hiệu tựa phần C ∗ C , tức C := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C \ {0}} Giả sử D tập khác rỗng Y Bao nón D xác định sau: cone(D) = {td : t 0, d ∈ D} Kí hiệu bao đóng D cl(D) phần D intD Một tập lồi khác rỗng B nón lồi C gọi sở C, C = cone(B) ∈ / cl(B) Dễ thấy C = ∅ C có sở Cho B sở C Đặt C (B) = y ∗ ∈ C : ∃t > cho y ∗ (b) t ∀b ∈ B Theo định lí tách tập lồi, ta có C = ∅ Rõ ràng C (B) ⊂ C Cho B sở C Khi ∈ / clB Theo định lí tách tập lồi, tồn y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} cho r = inf {y ∗ (b) : b ∈ B} > y ∗ (0) = Đặt VB = {y ∈ Y : |y ∗ (y)| < r/2} Khi VB lân cận lồi mở Y Khái niệm VB sử dụng suốt chương Rõ ràng inf {y ∗ (y) : y ∈ B + VB } r/2 Dễ thấy với lân cận lồi U với U ⊂ VB , B + U tập lồi ∈ / cl(B + U ), CU (B) := cone(U + B ) nón lồi nhọn C \ {0} ⊂ intCU (B ) Nếu intC = ∅ véc tơ x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈ / −intC , với y ∈ A, gọi nghiệm hữu hiệu yếu tốn cân véctơ có ràng buộc VEPC Với x ∈ X0 , ta kí hiệu F (x, A) = F (x, y) y∈A Định nghĩa 1.1 Vectơ x ∈ A gọi nghiệm hữu hiệu toàn cục VEPC tồn nón lồi nhọn H ⊂ Y với C \ {0} ⊂ intH cho F (x, A) ∩ ((−H) \ {0}) = ∅ Định nghĩa 1.2 Vectơ x ∈ A gọi nghiệm hữu hiệu Henig VEPC tồn lân cận U với U ⊂ VB cho cone (F (x , A)) ∩ (−intCU (B )) = ∅ Rõ ràng véctơ x ∈ A nghiệm hữu hiệu Henig F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅ Định nghĩa 1.3 Vectơ x ∈ A gọi nghiệm siêu hữu hiệu VEPC với lân cận V 0, tồn lân cận U cho cone (F (x , A)) ∩ (U − C ) ⊂ V Giả sử L(X, Y ) khơng gian tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y Ta kí hiệu (h, x)là giá trị h ∈ L(X, Y ) x VEPC bao hàm trường hợp đặc biệt tốn bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (ký hiệu VVIC) với F (x, y) = T x, y − x , T ánh xạ từ A vào L(X, Y ) Định nghĩa 1.4 Nếu F (x, y) = T x, y − x , x, y ∈ A, x ∈ A nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu VEPC x ∈ A gọi là nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu VVIC tương ứng Một trường hợp đặc biệt khác VEPC tốn tối ưu véctơ có ràng buộc (ký hiệu VOPC) với F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ A f : A → Y Định nghĩa 1.5 Nếu F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ A x ∈ A nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, 27 Giả sử g : K → Z F : K × K → Y hai ánh xạ giá trị véctơ với F (x, x) = với x ∈ K Trong chương này, ta xét tốn cân véctơ có ràng buộc (kí hiệu VEPC): Tìm x ∈ S cho F (x, y) ∈ / −A với y ∈ S, A ∪ {0} nón lồi Y S = x ∈ K : g(x) ∈ −D Với x ∈ S, ta ký hiệu F (x, S) = F (x, y) y∈S Định nghĩa 2.1 Cho B sở C Vectơ x ∈ S gọi nghiệm hữu hiệu Henig VEPC tồn lân cận U với U ⊂ VB cho cone F (x , S ) ∩ − intCU (B ) = ∅ Rõ ràng x ∈ S nghiệm hữu hiệu Henig F (x, S) ∩ − intCU (B ) = ∅ Định nghĩa 2.2 Vectơ x ∈ S gọi nghiệm siêu hữu hiệu VEPC với lân cận V 0, tồn lân cận U cho cone (F (x , S )) ∩ (U − C ) ⊂ V Nhận xét 2.1 Cho B sở C (i) Nếu x ∈ S nghiệm siêu hữu hiệu VEPC x nghiệm hữu hiệu Henig 28 (ii) Nếu C có sở B đóng bị chặn nghiệm hữu hiệu Henig VEPC nghiệm siêu hữu hiệu Ta ký hiệu tôpô mạnh Y ∗ β(Y ∗ , Y ) Các tập hợp n y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (y)| < ε : Ai (i = 1, 2, , n) ω= i=1 y∈Ai tập bị chặn Y, ε > 0, n ∈ N lập thành sở lân cận Y ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ) Bổ đề 2.1 Giả sử C nón lồi nhọn có sở B (i) Với lân cận lồi mở lân cận U Y với U ⊂ VB , ta có (CU (B))∗ \ {0} ⊂ C (B) (ii) Với f ∈ C (B), tồn lân cận lồi mở U Y với U ⊂ VB cho f ∈ (CU (B))∗ \ {0} (iii) Nếu nón lồi đóng C có sở B đóng bị chặn, intC ∗ = C (B ), intC ∗ phần C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ) Định nghĩa 2.3 Cho K tập lồi khác rỗng X Ánh xạ h : K → Y gọi C- lồi K với x1 , x2 ∈ K λ ∈ [0, 1], ta có λh(x1 ) + (1 − λ)h(x2 ) ∈ h λx1 + (1 − λ)x2 + C Nhận xét 2.2 Nếu h C- lồi K, h(K) + C tập lồi 29 Định nghĩa 2.4 Cho K tập khác rỗng X Ánh xạ h : K → Y gọi gần C - subconvexlike K cl cone(h(K ) + C ) lồi Nhận xét 2.3 Nếu h C- lồi K h gần C - subconvexlike K Nhưng điều ngược lại không Hơn nữa, ta khơng địi hỏi tính lồi K định nghĩa 2.4 Ví dụ 2.1 Ví dụ minh họa hàm gần C - subconvexlike không thiết hàm C- lồi Cho X = Y = R2 , K = (1, 0), (0, 1) ⊂ R2 C = (x, 0) ∈ R2 : x Cho h = I : K → R2 ánh xạ đồng Rõ ràng cl(cone(h(K ) + C )) = R+2 , tập lồi Vì vậy, h gần C - subconvexlike K Tuy nhiên, h không C- lồi K tập K khơng tập lồi 2.2 Điều kiện tối ưu Định lí 2.1 Giả sử điều kiện sau đúng: (i) x0 ∈ S C có sở B; (ii) F (x0 , ·), g(·) gần C × D - subconvexlike K; (iii) Tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD 30 Khi x0 nghiệm hữu hiệu Henig VEPC tồn y ∗ ∈ C (B), z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y∗ F (x0 , x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K Chứng minh Giả sử x0 nghiệm hữu hiệu Henig VEPC Theo định nghĩa tồn lân cận U với U ⊂ VB cho F (x0 , S) ∩ − intCU (B) = ∅ Bởi CU (B) nón lồi nhọn C \ {0} ⊂ intCU (B) (F (x0 , S) + C ∩ − intCU (B) = ∅ (2.1) Giả sử H(y) = F (x0 , y), g(y) , ∀y ∈ K Bây ta khẳng định H(K) + C × D ∩ − intCU (B) × − intD = ∅ (2.2) Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x∗ ∈ K cho F (x0 , x∗ ) + C, g(x∗ ) + D ∩ − intCU (B) × − intD = ∅ Ta suy F (x0 , x∗ ) + C ∩ − intCU (B) = ∅, g(x∗ ) + D ∩ − intD = ∅ (2.3) Bởi D nón lồi nhọn, D + intD ⊂ intD Sự kiện với (2.3) cho ta g(x∗ ) ∈ −intD, 31 x∗ ∈ S Do đó, F (x0 , S) + C ∩ − intCU (B) = ∅ Điều mâu thuẫn với (2.1) Chú ý intCU (B) intD cl cone H(K) + C × D hai nón lồi mở Từ (2.2) suy ∩ − intCU (B) × − intD = ∅ Bởi H gần C ×D - subconvexlike K cl cone H(K)+C × D lồi Theo định lí tách tập lồi, tồn (0, 0) = (y ∗ , z ∗ ) ∈ Y ∗ × Z ∗ cho (y ∗ , z ∗ ) cl cone H(K) + C × D > y ∗ − intCU (B) (2.4) +z ∗ − intD Chú ý cl cone H(K) + C × D nón lồi Sự kiện với (2.4) cho ta (y ∗ , z ∗ ) cl cone H(K) + C × D ≥ Hơn nữa, (0, 0) ∈ C × D H(K) ⊂ cl cone H(K) + C × D , ta nhận (y ∗ , z ∗ ) H(K) ≥ 0, tương đương y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) ≥ 0, Mặt khác, (0, 0) ∈ cl cone H(K) + C × D ∀y ∈ K (2.5) (2.4), ta có y ∗ − intCU (B) + z ∗ − intD < (2.6) 32 Bởi intCU (B) nón lồi, với c ∈ intCU (B) λ > 0, ta có λc ∈ intCU (B) Từ (2.6) ta có y ∗ (c) > ∗ z (−d), ∀∀c ∈ intCU (B), λ > 0, d ∈ intD λ Cho λ → ∞, ta y ∗ (c) ≥ 0, ∀c ∈ intCU (B) (2.7) Bởi CU (B) nón lồi với intCU (B) = ∅ CU (B) ⊂ cl CU (B) = cl intCU (B) ∗ Do y ∗ ∈ Y ∗ (2.7) ta nhận y ∗ ∈ CU (B) Tương tự, ta có z ∗ ∈ D∗ Bây ta chứng minh y ∗ = Thật vậy, y ∗ = z ∗ ∈ D∗ \ {0} Từ (2.5) ta nhận z ∗ g(y) ≥ 0, (2.8) ∀y ∈ K Theo giả thiết (iii), tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD Ta suy z ∗ g(x) < Điều mâu thuẫn với (2.8) Vì y ∗ = 0, tức y ∗ ∈ CU (B) ∗ \ {0} Theo Bổ đề 2.1, ta có y ∗ ∈ C (B) Lấy y = x0 (2.5) ta có z ∗ g(x0 ) ≥ Vì x0 ∈ S, z ∗ ∈ D∗ , ta có z ∗ g(x0 ) ≤ Như vậy, z ∗ g(x0 ) = Điều với F (x0 , x0 ) = (2.5) kéo theo y ∗ F (x0 , x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K 33 Ngược lại, giả sử tồn y ∗ ∈ C (B), z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K Do F (x0 , x0 ) = z ∗ g(x0 ) = 0, ta có y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K = (2.9) Nếu x0 không nghiệm hữu hiệu Henig tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC) với lân cận U mà U ⊂ VB , ta có F (x0 , S) ∩ (−intCU (B) = ∅ Từ suy tồn yU ∈ S cho F (x0 , yU ) ∩ (−intCU (B) = ∅ (2.10) Bởi y ∗ ∈ C (B), theo Bổ đề 2.1 tồn V ⊂ VB cho y ∗ ∈ CV (B) ∗ \ {0} Với V đó, từ (2.10) suy tồn yV ∈ S cho F (x0 , yV ) ∈ −intCV (B) Sự kiện với y ∗ ∈ CV (B) ∗ \ {0} cho ta y ∗ F (x0 , yV ) < (2.11) Bởi yV ∈ S z ∗ ∈ D∗ , ta có z ∗ g(yV ) ≤ (2.12) Kết hợp (2.11) vào (2.12) cho ta y ∗ F (x0 , yV ) + z ∗ g(yV ) < Điều mâu thuẫn với (2.9) Do đó, x0 nghiệm hữu hiệu Henig tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC) Định lí chứng minh 34 Nếu C có sở đóng, bị chặn B, theo Bổ đề 2.1 ta có intC ∗ = C (B) Hơn nữa, từ nhận xét 2.1, x0 nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc (VEPC) x0 ∈ S nghiệm hữu hiệu Henig tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC) Do đó, theo định lí 2.1 ta có hệ sau Hệ 2.1 Giả sử điều kiện sau đúng: (i) x0 ∈ S C có sở đóng, bị chặn B; (ii) F (x0 , ·), g(·) gần C × D - subconvexlike K; (iii) Tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD Khi x0 nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC) ∃y ∗ ∈ −intC ∗ , z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K , intC ∗ phần C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ) Nhận xét 2.4 Định lý 2.1 hệ 2.1 tổng quát hóa bổ sung cho kết sau Gong [2]: (i) Điều kiện K lồi bỏ được; (ii) Tính C - lồi F (x, y) theo biến thứ hai mở rộng thành tính gần C - subconvexlikeness; (iii) Tính C - lồi g(x) mở rộng thành tính gần C - subconvex- likeness Bây ta cho ví dụ minh họa định lí 2.1 35 Ví dụ 2.2 Cho X = Y = Z = R2 , K = (0, 0), (− , 1), (1, 0), (1, 1) 2 C = D = R+ = x = (x1 , x2 ) : x1 ≥ 0, x2 ≥ Cho ánh xạ F : K × K → Y g : K → Z sau F (x, y) = (y1 , y2 ) − (x1 , x2 ), với x, y ∈ K g(x) = (−x1 , −x2 ), với x ∈ K, x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) Cho S = x ∈ K : g(x) ∈ −D Khi S = (0, 0), (1, 0), (1, 1) Giả sử B = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 − = 0, x1 ≥ 0, x2 ≥ , U= x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 < Có thể kiểm tra x0 = (0, 0) ∈ S nghiệm hữu hiệu Henig F (x0 , ·), g(·) gần C × D - subconvexlike K Tuy nhiên, F (x0 , y) không C - lồi theo y K khơng tập lồi Do đó, định lí 3.2 Gong [2] khơng áp dụng Bởi B sở đóng, bị chặn C, theo bổ đề 2.1 C (B) = 2 ∗ intC ∗ Giả sử y ∗ = (1, 1) ∈ intC ∗ = intR+ z ∗ = (0, 0) ∈ (R+ ) = R+ Suy z ∗ g(x0 ) = y ∗ F (x0 , y) + z ∗ g(y) y∈K = y ∗ F (x0 , x0 ) + z ∗ g(x0 ) = 36 2.3 Áp dụng Giả sử L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y Ta kí hiệu h, x giá trị h ∈ L(X, Y ) x Bài tốn cân vectơ có ràng buộc (VEPC) bao hàm trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (ký hiệu VVIC) với F (x, y) = T x, y − x , x, y ∈ S, T : K → L(X, Y ) ánh xạ giá trị vectơ Định lí 2.2 Giả sử x0 ∈ S B sở C Giả sử có T : K → L(X, Y ) ánh xạ giá trị vectơ, g gần D - subconvexlike K tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD Khi đó, x0 ∈ S nghiệm hữu hiệu Henig toán bất đẳng thức biến phân có ràng buộc (VVIC) tồn y ∗ ∈ C (B), z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y∗ T x0 , x0 − x0 + z ∗ g(x0 ) = y ∗ y∈K T x0 , y − x0 + z ∗ g(y) Chứng minh Đặt F (x, y) = T x, y − x , x, y ∈ S Rõ ràng, với x, y ∈ S, F (x, x) = F (x, y) C - lồi theo y Theo nhận xét 2.3, F (x, y) gần D - subconvexlike theo y Theo giả thiết, điều kiện định lí 2.1 Khi đó, kết luận định lí 2.2 Định lí chứng minh Hệ 2.2 Giả sử x0 ∈ S B sở đóng bị chặn C Giả sử có T : K → L(X, Y ) ánh xạ giá trị vectơ, g gần D - subconvexlike K tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD Khi đó, x0 ∈ S nghiệm siêu 37 hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân có ràng buộc (VVIC) tồn y ∗ ∈ intC ∗ , z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y∗ T x0 , x0 − x0 + z ∗ g(x0 ) = y ∗ y∈K T x0 , y − x0 + z ∗ g(y) , intC ∗ phần C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ) Trường hợp đặc biệt khác tốn cân véctơ có ràng buộc (VEPC) tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (viết tắt VOC) với F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ S, f : X → Y ánh xạ giá trị vectơ Định lí 2.3 Giả sử x0 ∈ S B sở C Giả sử có H(·) = f (·) − f (x0 ), g(·) gần C ×D - subconvexlike K tồn tồn x ∈ K cho g(x) ∈ −intD Khi x0 ∈ S nghiệm hữu hiệu Henig tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (VOPC) tồn y ∗ ∈ C (B), z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y ∗ f (x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ f (y) + z ∗ g(y) y∈K Chứng minh Đặt F (x, y) = T x, y − x , x, y ∈ S Rõ ràng, với x, y ∈ S, F (x, x) = Hơn F (x, ·), g(·) gần C × D - subconvexlike K Theo giả thiết, điều kiện định lí 2.1 Khi đó, kết luận định lí 2.3 Định lí chứng minh Hệ 2.3 Giả sử x0 ∈ S B sở đóng bị chặn C Giả sử có H(·) = f (·) − f (x0 ), g(·) gần C × D - subconvexlike K tồn x ∈ K 38 cho g(x) ∈ −intD Khi đó, x0 ∈ S nghiệm siêu hữu hiệu tốn tối ưu vectơ có ràng buộc (VOPC) tồn y ∗ ∈ intC ∗ , z ∗ ∈ D∗ cho z ∗ g(x0 ) = y ∗ f (x0 ) + z ∗ g(x0 ) = y ∗ f (y) + z ∗ g(y) y∈K intC ∗ phần C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ) , 39 Kết luận Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu cho số loại nghiệm hữu hiệu toán cân vectơ lồi có ràng buộc Gong ([2],2008) điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig siêu hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc với giả thiết lồi suy rộng Long – Huang – Peng ([5],2011) Nội dung luận văn gồm: - Các khái niệm nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu VEPC, VVIC, VOPC - Điều kiện cần đủ tối ưu với nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu toán cân vectơ có ràng buộc - Áp dụng điều kiện cần đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu tốn cân vectơ có ràng buộc để nhận điều kiện tối ưu với nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu toán bất đẳng thức biến phân vectơ toán tối ưu vectơ - Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig VEPC - Áp dụng điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu VVIC, VOPC - Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] Gong X H (2008), "Optimality Conditions for vector equilibrium problems", J Math Anal Appl, 342, 1455 - 1466 [3] Gong X H.(2007), "Connectedness of the solution sets and scalarization vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl, 133, 151 161 [4] Gong X H., Fu W T., Liu W (2000), "Super efficiency for a vector equilibrium in locally convex topological vector spaces", in: F Giannessi (Ed.), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, Kluwer, Dordrecht, 233 - 252 [5] Long X J., Huang Y Q., Peng Z Y (2011), "Optimality conditions for the Henig effarnt solution of vector equilibirium problems with constraints", Optim Lett, 5, 717 - 728 41 [6] Luu D V and Hang D D (2014), "On optimality conditions for vecter variational inequalities", J Math Anal Appl, 412, 792 - 804 [7] Luu D V and Hang D D (2014), "Efficient solutions and optimality conditions for vector equilibirium problems", Math Meth Oper Res, 79, 163 - 177 ... tài: ? ?Về điều kiện tối ưu cho toàn cân vectơ? ?? Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện tối ưu cho số loại nghiệm hữu hiệu tốn cân vectơ lồi có ràng buộc Gong ([2], 2008) điều kiện tối ưu cho. .. Mở đầu Bài toán cân vectơ bao gồm nhiều lớp toán như: Bài toán tối ưu vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán bù vectơ, toán cân Nash, toán điểm bất động, phạm vi áp dụng toán cân rộng... tối ưu vectơ - Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig VEPC - Áp dụng điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm siêu hữu hiệu VVIC, VOPC - Điều kiện tối ưu cho toán cân vectơ đề tài