Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Kim Oanh BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Kim Oanh BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2017 Lời cam đoan i Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Kim Oanh Xác nhận trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Kim Oanh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Nón khơng gian tuyến tính 1.3 Một số tính chất ánh xạ véctơ 1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM định lý điểm bất động 11 Bài toán cân véctơ tập trù mật 2.1 Tập tự trù mật đoạn 2.2 Bài toán cân véctơ yếu tập tự trù mật đoạn 2.3 Bài toán cân véctơ mạnh tập tự trù mật đoạn 2.4 Một số ứng dụng 15 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii 15 19 27 35 Một số ký hiệu viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn X∗ không gian đối ngẫu tôpô không gian X ξ, x giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X {xα } dãy suy rộng ∅ tập rỗng A := B A định nghĩa B A⊆B A tập B A⊆B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B iv A\B hiệu hai tập hợp A B A+B tổng véctơ hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B conv A bao lồi tập hợp A core A phần đại số tập hợp A ri A phần tương đối tập hợp A cl A bao đóng tôpô tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A KKM tên ba nhà toán học Knater, Kuratowski Mazurkiewicz supp(f ) giá hàm f x∈A giá trị x thuộc vào tập hợp A x∈ /A giá trị x không thuộc vào tập hợp A ∀x với giá trị x ∃x tồn giá trị x x≤y giá trị x nhỏ giá trị y x≥y giá trị x lớn giá trị y (EP ) tốn cân vơ hướng ✷ kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài toán cân vô hướng sau E Blum W Oettli [3] nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x ¯ ∈ K cho f (¯ x, x) ≥ 0, với x ∈ K, (EP ) K tập f : K × K → R hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ với x ∈ K Từ tốn (EP ) ta suy toán khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động, (xem [2], [3], [9], [10], [13]) Chính vậy, tốn nhiều người quan tâm nghiên cứu E Blum, W Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S Schaible, Hadjisavvas, Sau tốn mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn trị từ tập khơng rỗng vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón người ta gọi toán (EP ) toán cân véctơ hay cịn gọi tốn cân đa mục tiêu Từ quan hệ thứ tự sinh nón, người ta đưa khái niệm khác điểm hữu hiệu tập phát biểu loại toán cân khác toán cân véctơ lý tưởng, toán cân véctơ mạnh, toán cân véctơ yếu, toán cân véctơ thực (xem [1] tài liệu liên quan) Bài toán (EP ) trường hợp đóng vai trị trung tâm lý thuyết cân véctơ hay gọi lý thuyết cân đa mục tiêu Lý thuyết hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth [6], gắn liền với tên tuổi số nhà toán học lớn, ta kể đến Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, Nhưng phải năm 1954 với công trình Deubreu [5] giá trị cân tối ưu Pareto, lý thuyết cân véctơ cơng nhận ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Vì lý đó, chúng tơi chọn đề tài "Bài toán cân véctơ tập trù mật" làm luận văn tốt nghiệp Mục đích luận văn trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân véctơ yếu mạnh giả thiết tính liên tục theo nón tính lồi theo nón hàm mục tiêu tập tự trù mật đoạn mà không cần tồn miền xác định Ngồi ra, luận văn trình bày số ứng dụng vào toán bất đẳng thức biến phân Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương dành cho việc trình bày số khái niệm khơng gian lồi địa phương, nón khơng gian tuyến tính, tính liên tục tính lồi theo nón ánh xạ véctơ Ngồi chúng tơi trình bày Nguyên lý ánh xạ KKM số định lý điểm bất động sử dụng chứng minh kết chương Chương trình bày số điều kiện đủ tồn nghiệm toán cân véctơ yếu mạnh giả thiết tính lồi tính liên tục hàm mục tiêu tập tự trù mật đoạn miền xác định Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày số ứng dụng kết vào boái tối ưu toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết quen biết không gian lồi địa phương, nón khơng gian tuyến tính, tính liên tục lồi theo nón ánh xạ véctơ dùng xuyên suốt luận văn Ngoài chúng tơi cịn trình bày cách chi tiết Ngun lý ánh xạ KKM điểm bất động không gian tơpơ tuyến tính 1.1 Khơng gian lồi địa phương Trong mục này, ta xét lớp không gian trừu tượng, khơng gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp không rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X (i) Hai tập ∅, X thuộc họ τ ; (ii) τ kín phép giao hữu hạn, tức giao số hữu hạn tập thuộc họ τ thuộc họ τ ; (iii) τ kín phép hợp bất kì, tức hợp số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ τ thuộc họ τ Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Các phần tử thuộc X ta gọi Cuối ta f (x0 , y) ∈ −intC với y ∈ K Giả sử tồn y0 ∈ K \ D cho f (x0 , y0 ) ∈ −intC Vì f (x0 , ) C - nửa liên tục y0 nên với k ∈ intC , tồn lân cận U y0 cho f (x0 , y) ∈ f (x0 , y0 ) + k − intC với y ∈ U Bằng cách chọn k = −f (x0 , y0 ), ta f (x0 , y) ∈ −intC với y ∈ U Vì D = K nên tồn u0 ∈ U ∩ D Từ suy f (x0 , u0 ) ∈ −intC Điều mâu thuẫn với (2.6) Vậy f (x0 , y) ∈ / −intC với y ∈ K Định lý chứng minh 2.3 Bài toán cân véctơ mạnh tập tự trù mật đoạn Trong phần này, việc sử dụng định lý phân hoạch đơn vị Định lý điểm bất động Brouwer, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân véctơ mạnh Định lý 2.3.1 Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập không rỗng, lồi, compact X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn K ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với y ∈ D, f (., y) C - nửa liên tục mạnh K ; 27 (ii) Với x ∈ K , f (x, ) C - nửa liên tục mạnh K\D; (iii) Với x ∈ D, f (x, ) C - hàm D; (iv) Với x ∈ D, f (x, x) ∈ / −C\{0} Khi tồn x0 ∈ K cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K Chứng minh Ta chứng minh định lý phản chứng Giả sử ngược lại, với x ∈ K , tồn y ∈ K cho f (x, y) ∈ −C\{0} Với y ∈ K , ta đặt Vy = {x ∈ K : f (x, y) ∈ −C\{0}} Dễ thấy K ⊆ ∪y∈K Vy Ta chứng minh (Vy )y∈D phủ mở K Thật vậy, trước tiên ta Vy mở K với y ∈ D Lấy dãy {xα } K\Vy cho lim xα = x0 Giả sử x0 ∈ / K\Vy Khi f (x0 , y) ∈ −C\{0} Vì f (., y) C - nửa liên tục mạnh x0 nên với k ∈ C\{0}, tồn α0 cho f (xα , y) ∈ f (x0 , y) + k − C\{0} với α ≥ α0 Bằng cách chọn k = −f (x0 , y) ∈ C\{0}, ta suy f (xα , y) ∈ −C\{0} với α ≥ α0 Điều mâu thuẫn với {xα } ⊆ K\Vy Do đó, Vy mở với y ∈ D Tiếp theo, ta chứng minh K ⊂ ∪y∈D Vy Thật vậy, giả sử tồn x0 ∈ K để x0 ∈ / ∪y∈D Vy Khi ta có f (x0 , y) ∈ / −C\{0} với y ∈ D Ta f (x0 , y) ∈ / −C\{0} với y ∈ K 28 (2.7) Thật vậy, giả sử tồn y0 ∈ K\D cho f (x0 , y0 ) ∈ −C\{0} Vì f (x0 , ) C - nửa liên tục mạnh y0 nên với k ∈ C\{0}, tồn lân cận U y0 cho f (x0 , y) ∈ f (x0 , y0 ) + k − C\{0} với y ∈ U Ta chọn k = −f (x0 , y0 ), f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ U Vì tính trù mật D K , nên U ∩ D = ∅ Khi tồn u0 ∈ U ∩ D Từ suy f (x0 , u0 ) ∈ −C\{0} Điều mâu thuẫn với (2.7) Vậy (Vy )y∈D phủ mở K Vì K compact, tồn y1 , y2 , , yn ∈ D cho K ⊆ ∪ni=1 Vyi Theo định lý phân hoạch đơn vị, tồn hàm liên tục (pi )1≤i≤n tương thích với phủ mở (Vyi )1≤i≤n , tức (a) ≤ pi (x) ≤ với x ∈ K i = 1, 2, , n (b) n i=1 pi (x) = với x ∈ K (c) supp(pi ) := cl{x ∈ K : pi (x) = 0} ⊆ Vyi với i = 1, 2, , n Xét ánh xạ ϕ : conv{y1 , y2 , , yn } → conv{y1 , y2 , , yn } công thức n ϕ(x) = pi (x)yi i=1 Rõ ràng ϕ liên tục conv{y1 , y2 , , yn } tập lồi compact không gian hữu hạn chiều span{y1 , y2 , , yn } Do đó, sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn x0 ∈ conv{y1 , y2 , , yn } cho ϕ (x0 ) = x0 29 Đặt I(x0 ) := {i ∈ {1, 2, , n} : pi (x0 ) > 0} Vì pi (x0 ) = nên i∈I(x0 ) I(x0 ) = ∅ Mặt khác ta lại có n ϕ(x0 ) = pi (x0 )yi = x0 pi (x0 )yi = i=1 i∈I(x0 ) Từ suy x0 ∈ conv{yi : i ∈ I(x0 )} Vì pi (x0 ) > với i ∈ I(x0 ), nên ta có x0 ∈ ∩i∈I(x0 ) Vyi Bởi ∩i∈I(x0 ) Vyi tập mở, nên tồn lân cận U x0 cho U ⊆ ∩i∈I(x0 ) Vyi Từ conv{yi : i ∈ I(x0 )} ∩ U = ∅ Bổ đề 2.1.5, ta suy conv{yi : i ∈ I(x0 )} ∩ U ∩ D = ∅ Từ suy tồn y0 = i ∈ I(x0 ) i∈I(x0 ) λi i∈I(x0 ) λi yi ∈ U ∩ D, λi ≥ với = Mặt khác, cách sử dụng (iii), ta có λi f (y0 , yi ) − f (y0 , y0 ) ∈ C (2.8) i∈I(x0 ) Vì y0 ∈ U nên y0 ∈ Vyi với i ∈ I(x0 ) Từ suy f (y0 , yi ) ∈ −C\{0} với i ∈ I(x0 ) (2.9) Từ (2.8) (2.9), ta thu f (y0 , y0 ) ∈ −C\{0} Điều mâu thuẫn với giả thiết (iv) Định lý chứng minh Định lý 2.3.2 Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập khơng rỗng, lồi, đóng X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn K ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn điều kiện đây: 30 (i) Với y ∈ D, f (., y) C - nửa liên tục mạnh K ; (ii) Với x ∈ K , f (x, ) C - nửa liên tục mạnh K\D; (iii) Với x ∈ D, f (x, ) C - hàm D; (iv) Với x ∈ D, f (x, x) ∈ / −C\{0}; (v) Tồn tập compact K0 X y0 ∈ D cho f (x, y0 ) ∈ −C\{0} với x ∈ K\K0 Khi tồn x0 ∈ K cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K Chứng minh Sử dụng Định lý 2.3.1 chứng minh tương tự Định lý 2.2.2 Định lý 2.3.3 Giả sử X không gian Banach phản xạ Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập khơng rỗng, lồi, đóng X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn tôpô yếu X ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với y ∈ D, f (., y) C - nửa liên tục mạnh K tôpô yếu X ; (ii) Với x ∈ K , f (x, ) C - nửa liên tục mạnh K\D tôpô yếu X ; (iii) Với x ∈ K , f (x, ) C - hàm K ; (iv) Với x ∈ K , f (x, x) = 0; (v) Tồn r > cho với x ∈ K, x > r, tồn y0 ∈ K với y0 < x thỏa mãn điều kiện f (x, y0 ) ∈ −C Khi tồn x0 ∈ K cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K 31 ¯r , r1 > r Chứng minh Gọi r > thỏa mãn (v) Đặt K0 := K ∩ B Hiển nhiên K0 compact yếu Sử dụng Định lý 2.3.1, tồn x0 ∈ K0 cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K0 Chứng minh tương tự Định lý 2.2.3, tồn z0 ∈ K0 , z0 < r1 cho f (x0 , z0 ) = Để kết thúc chứng minh ta cần f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K Thật vậy, giả sử tồn y ∈ K cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} Khi tồn λ ∈ [0, 1] cho λz0 + (1 − λ)y ∈ K0 Điều chứng tỏ f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ −C\{0} (2.10) Từ giả thiết (iii), ta có λf (x0 , z0 ) + (1 − λ)f (x0 , y) − f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ C Điều tương đương với (1 − λ)f (x0 , y) − f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ C Từ suy f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0 , y) − C ⊆ −C\{0} Điều mâu thuẫn với (2.10) Vậy f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K Định lý chứng minh Định lý 2.3.4 Giả sử X không gian Banach phản xạ Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập 32 khơng rỗng, lồi, đóng X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn tôpô yếu X ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với y ∈ D, f (., y) C - nửa liên tục mạnh K tôpô yếu X ; (ii) Với x ∈ K , f (x, ) C - nửa liên tục mạnh K\D tôpô yếu X ; (iii) Với x ∈ K , f (x, ) C - hàm D; (iv) Với x ∈ D, f (x, x) ∈ / −C\{0}; (v) Tồn r > cho với x ∈ K, x ≤ r, tồn y0 ∈ D với y0 < r thỏa mãn điều kiện f (x, y0 ) ∈ −C Khi tồn x0 ∈ K cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K ¯r Hiển nhiên K0 Chứng minh Gọi r > thỏa mãn (v) Đặt K0 := K ∩ B compact yếu Sử dụng Định lý 2.3.1, tồn x0 ∈ K0 cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K0 Sử dụng giả thiết (v), tồn z0 ∈ K0 , z0 < r cho f (x0 , z0 ) ∈ −C\{0} ∪ {0} Vì z0 ∈ K0 nên f (x0 , z0 ) ∈ −C\{0} Vậy f (x0 , z0 ) = Trước tiên ta chứng minh f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ D Thật vậy, giả sử tồn y ∈ D\K0 cho f (x0 , y) ∈ −C\{0} Bởi tính trù mật đoạn D K , tồn λ ∈ [0, 1] cho λz0 + (1 − λ)y ∈ D ∩ K0 33 Điều chứng tỏ f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ −C\{0} (2.11) Từ giả thiết (iii), ta có λf (x0 , z0 ) + (1 − λ)f (x0 , y) − f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ C Điều kéo theo (1 − λ)f (x0 , y) − f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ C Từ suy f (x0 , λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0 , y) − C ⊆ −C\{0} Điều mâu thuẫn với (2.11) Vậy f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ D (2.12) Cuối ta f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ K Giả sử tồn y0 ∈ K \ D cho f (x0 , y0 ) ∈ −C\{0} Vì f (x0 , ) C nửa liên tục mạnh y0 nên với k ∈ C\{0}, tồn lân cận U y0 cho f (x0 , y) ∈ f (x0 , y0 ) + k − C\{0} với y ∈ U Bằng cách chọn k = −f (x0 , y0 ), ta f (x0 , y) ∈ −C\{0} với y ∈ U Vì D = K nên tồn u0 ∈ U ∩ D Từ suy f (x0 , u0 ) ∈ −C\{0} Điều mâu thuẫn với (2.12) Vậy f (x0 , y) ∈ / −C\{0} với y ∈ K Định lý chứng minh 34 2.4 2.4.1 Một số ứng dụng Bài toán tối ưu véctơ Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z nón nhọn, lồi; K tập khác rỗng X F : K → Z hàm vécctơ Định nghĩa 2.4.1 Ta nói điểm x0 ∈ K (i) điểm hữu hiệu yếu F F (y) − F (x0 ) ∈ / − int C với y ∈ K (ii) điểm hữu hiệu F F (y) − F (x0 ) ∈ / −C\{0} với y ∈ K Định lý 2.4.2 Giả sử X không gian Banach phản xạ Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn với phần khác rỗng K tập khơng rỗng, lồi, đóng X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn tôpô yếu X ánh xạ F : K → Z thỏa mãn điều kiện sau: (i) F C - nửa liên tục K ; (ii) F C - nửa liên tục trên K\D; (iii)F C - hàm D; (iv) Tồn r > 0, cho với x ∈ K, x ≤ r, tồn y0 ∈ D với y0 < r thỏa mãn F (y0 ) − F (x) ∈ − int C ∪ {0} Khi tồn điểm hữu hiệu yếu F Chứng minh Xét ánh xạ f : K × K → Z cơng thức f (x, y) = F (y) − F (x) Khi tất điều kiện Định lí 2.2.4 thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2.4 tồn x0 ∈ K cho f (x, x0 ) ∈ / − int C với x ∈ K 35 Điều kéo theo F (x) − F (x0 ) ∈ / − int C với x ∈ K Định lý 2.4.3 Giả sử X không gian Banach phản xạ Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập khơng rỗng, lồi, đóng X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn tôpô yếu X ánh xạ F : K → Z thỏa mãn điều kiện sau: (i) F C - nửa liên tục mạnh K ; (ii) F C - nửa liên tục mạnh K\D; (iii)F C - hàm D; (iv) Tồn r > 0, cho với x ∈ K, x ≤ r, tồn y0 ∈ D với y0 < r thỏa mãn F (y0 ) − F (x) ∈ −C Khi tồn điểm hữu hiệu F Chứng minh Xét ánh xạ f : K × K → Z cơng thức f (x, y) = F (y) − F (x) Khi tất điều kiện Định lí 2.2.4 thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2.4 tồn x0 ∈ K cho f (x, x0 ) ∈ / −C\{0} với x ∈ K Điều kéo theo F (x) − F (x0 ) ∈ / −C\{0} với x ∈ K 36 2.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z nón nhọn, lồi; K tập khác rỗng X F : K → L(X, Z) ánh xạ từ X vào L(X, Z), L(X, Z) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Z Với x∗ ∈ L(X, Z) x ∈ X , x∗ , x hiểu giá trị x∗ x Xét toán sau (1) Bất đẳng thức biến phân véctơ yếu Minty: Tìm x0 ∈ K cho F (y), y − x0 ∈ / − int C với y ∈ K (2) Bất đẳng thức biến phân véctơ mạnh Minty: Tìm x0 ∈ K cho F (y), y − x0 ∈ / −C\{0} với y ∈ K Định lý 2.4.4 Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn với phần khác rỗng K tập không rỗng, lồi, compact X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn K ánh xạ F : K → L(X, Z) thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với x ∈ K , ánh xạ y → F (y), y − x C - nửa liên tục trên K\D; (ii) Với x ∈ D, ánh xạ y → F (y), y − x C - hàm D Khi tồn x0 ∈ K cho F (y), y − x0 ∈ − int C với y ∈ K Chứng minh Xét ánh xạ f : K × K → Z công thức f (x, y) = F (y), y − x Sử dụng Định lý 2.2.1, ta suy điều phải chứng minh 37 Định lý 2.4.5 Giả sử X Z không gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z nón lồi, nhọn K tập không rỗng, lồi, compact X Giả sử D ⊆ K tập tự trù mật đoạn K ánh xạ F : K → L(X, Z) thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với y ∈ K , ánh xạ x → F (y), y − x C - nửa liên tục mạnh K ; (ii) Với x ∈ K , ánh xạ y → F (y), y − x C - nửa liên tục mạnh K\D; (iii) Với x ∈ D, ánh xạ y → F (y), y − x C - hàm D Khi tồn x0 ∈ K cho F (y), y − x0 ∈ −C\{0} với y ∈ K Chứng minh Xét ánh xạ f : K × K → Z cơng thức f (x, y) = F (y), y − x Sử dụng Định lý 2.2.4, ta suy điều phải chứng minh 38 Kết luận luận văn Trong luận văn chúng tơi trình bày kết sau Trình bày khái niệm tập tự trù mật đoạn tính chất Trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân véctơ yếu tập tự trù mật đoạn Trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân véctơ mạnh tập tự trù mật đoạn Trình bày số ứng dụng vào tốn tối ưu véctơ toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [2] Bianchi M and Schaible S (1996), "Generalized monotone befunctions and equilibrium problems", J Optim Theory Appl, 90, 31-42 [3] Blum E and Oettli W (1994), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23 [4] Brouwer L E J (1912), "Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten", Math Ann, 79 , 97-115 [5] Debreu G.(1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proc Nat Acad Sci U.S.A, 40, 588-592 [6] Edgeworth F Y (1981), "Mathematical Psychics", C Kegan Paul Co., London, England [7] Fan K.(1952), "Fixed- point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces" Proc Nat Acad Sci U S A.38, 121-126 [8] Fan K.(1961),"A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 40 [9] Fan K.(1972), "A minimax inequality and application, In Inequalities III (O Shisha (Ed)), Aca Press, New York [10] Hadjisavvas N and Schaible S (1998),"From scalar to vector equilibrium problems in the quasimonotone case", J Optim Theory Appl, 96, 297-309 [11] László S and Viorel A (2015) "Densely defined equilibrium problems" J Optim Theory Appl 166, 52-75 [12] László S (2016) "Vector Equilibrium Problems on Dense Sets" J Optim Theory Appl DOI 10.1007/s10957-016-0915-0 [13] Minty G J (1978), " On variational inequalities for monotone operators", I Advances in Math, 30, 1-7 [14] Rudin W (1991), "Principles of Mathematical Analysis", Third Edition, McGraw-hill [15] Browder F E (1968), "The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector spaces", Math Ann., 177, 283-301 41 ... xạ véctơ 1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM định lý điểm bất động 11 Bài toán cân véctơ tập trù mật 2.1 Tập tự trù mật đoạn 2.2 Bài toán cân véctơ yếu tập. .. niệm khác điểm hữu hiệu tập phát biểu loại toán cân khác toán cân véctơ lý tưởng, toán cân véctơ mạnh, toán cân véctơ yếu, toán cân véctơ thực (xem [1] tài liệu liên quan) Bài tốn (EP ) trường hợp... tự trù mật đoạn V U trù mật V cl([x, y] ∩ U ) = [x, y] với x, y ∈ U Nhận xét Trong không gian chiều khái niệm tự trù mật đoạn, tự trù mật trù mật trùng Ví dụ sau tập tự trù mật đoạn khơng trù mật