Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ

LỜI LỜI CAM CẢM ĐOAN ƠN tiên xin gửi lời cảm ơn đến tất quý Thầy Cô giảng Tôi xinTrước cam đoan: dạy chương trình Cao học Tốn ứng dụng khóa – Trường Đại học (i) Luận văn hoàn thành với học tập, nghiên cứu, sưu tầm Thăng Long, người truyền đạt kiến thức hữu ích ngành Tốn ứng tài liệu tơi hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu dụng làm sở cho tơi hồn thành luận văn (ii) Luận văn trình bày kết tối ưu Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu – Giảng viên Trường Đại học Thăng Long Thầy dành nhiều thời gian quý Học viên báu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luâ ̣n văn, đồng thời người giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện Vy Thanh Hương cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè thân thiết người sát cánh bên tôi, tạo điều kiện tốt cho tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi suốt q trình học tập, tơi thực hoàn thành luâ ̣n văn Mặc dù cố gắng song luâ ̣n văn không khỏi có thiếu sót, mong nhận ý kiến góp ý Thầy giáo, Cơ giáo anh chị học viên để luâ n ̣ văn hoàn thiện Phú Thọ, tháng 04 năm 2015 Học viên thực hiên Vy Thanh Hương 21 Thang Long University Libraty MỞ ĐẦU MỤC LỤC Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG Bài tốn cân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nó VECTƠ bao gồm nhiều toán trường hợp đặc biệt: Bài toán bất đẳng thức 1.1 Cácvectơ, khái niệm kết bổ trợbài biến phân toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, toán bù vectơ, cân Nash, Người nghiên cứuvới bàigiả toán cângiả 1.2 Sự toán tồn nghiệm toán cântabằng vectơ thiết đơn vectơ tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, tính ổn định nghiệm, thuật tốn 14 điệu tìm nghiệm,… 1.3 Sự tồn nghiệm tốn cân vectơ với giả thiết tựa đơn kết tồn nghiệm toán cân nhận điệu.Nhiều 19 Bianchi, Hadjisavvas Schaible (1997) chứng minh kết 1.4 Trường hợp tổng quát 23 tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với giả thiết Chương CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA tính giả đơn điệu tựa đơn điệu Gong (2001) thiết lập số kết BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 27 tồn nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu Henig toán cân 2.1.vectơ Các khái niệm địnhcủa nghĩa tính liênvàthông tập nghiệm hữu hiệu Henig bất đẳng 27 thức biến phân tài nhiềuvectơ tác giả nước30 2.2 Phép vơ vectơ hướngĐây hóa bàiđềtốn cân quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: “Về tồn nghiệm 2.3 Sự tồn nghiệm 34 toán cân vectơ” 2.4 Tính liên thơng tập nghiệm 41 Luận văn trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm tính liên tập nghiệm tốn cân vectơ Bianchi, KẾTthơng LUẬN 46 Hadjisavvas, Schaible (1997) Gong (2001) TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Sự tồn nghiệm toán cân vectơ Trình bày kết M Bianchi, N Hadjisavvas Schaible [3] tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với song hàm giả đơn điệu tựa đơn điệu với điều kiện 43 Thang Long University Libraty Chương Các nghiệm hữu hiệu hữu hiệu Henig toán cân Chương vectơTẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ SỰ TỒN Trình bày khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig toán cân vectơ, kết vơ hướng hóa toán cân vectơ, kết Chương trình bày kết tồn nghiệm hữu hiệu yếu tồn nghiệm hữu hiệu tính liên thơng tập nghiệm hữu hiệu Henig toán cân vectơ với song hàm giả đơn điệu tựa đơn điệu tập nghiệm hữu hiệu yếu bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia điều kiện Các kết trình bày chương M Bianchi, N vectơ Các kết trình bày chương X Gong [7] Hadjisavvas Schaible [3] 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Cho X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian vectơ lồi địa phương thực Xét nón C nhọn, đóng, lồi Y, int C   Khi đó, C sinh thứ tự vectơ Y, xác định bởi: x  y y – x  C Do int C   , ta có thứ tự yếu Y, xác định x ≮≮ y y – x  int C, x ≰≮ y y – x  C, x ≮ y y – x  C Chú ý y  kéo theo y ≮≮ Hơn nữa, x  0, y   x  y  x  0, y   x  y  , 65 Thang Long University Libraty A ánh xạ từ K vào L(X, Y), không gian tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Các toán (VEP) (VVI) tổng quát hóa C  int C  int C tốn tương ứng trường hợp vơ hướng (Y = R), ta ký hiệu tốn vơlàhướng đóđóng (VI) Nếu C nón lồi Ylàlà(EP) khơng gian lồi địa phương thực tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục khác   C * , Bổ đề 1.1.1 Giả sử a, b  Y, với a ≮ b ≮ Khi đó, tập hợp cận a b không rỗng giao với (-int C) C*   Y * :  (y)  0,  y  C   Chứng minh Ta phải tồn c ≮ cho a  c, b  c Ta Hơn cần chọn c =  b, với  > gần với □  C  (y)  ( C*) ; Bổ đề 1.1.2 Giả sử a, b  Y, với a ≮ b ≱≮ Khi đó, tập hợp cận a b không rỗng giao với Y∖C y int C  (y)  (  C * / 0) Chứng minh Ta phải tồn c ≱≮ cho a  c, b  c Vì Giả sử K  X tập khơng rỗng, đóng, lồi, xét song hàm int C  0, tồn d  int C cho d – b  C Với t  [0, 1], ta đặt F: K  K  Y cho F(x, x)  với x  K Chúng ta trình bày kết nghiệm dt =tồn td + (1 - t)b tốn cân vectơ (kí hiệu VEP) sau: Tìm x* K cho Vì C đóng lồi nên tồn t0  (0, 1) cho F(x*, y) ≮≮ 0, với mọi, y  K , dt  C, với t  [ t0 , 1], hay tương đương dt  C, với t  [0, t0 ) F(x*, y)  -int C Nói riêng, ta có dt   a Như vậy, Bài toán bất0 đẳng thức biến phân vectơ (kí hiệu VVI) trường hợp đặc biệt toán (VEP) với dt  a  int C F(x, y) = A( x), y  x , Bởi vậy, với t1 ≮ t0 đủ gần t0 , ta có 87 Thang Long University Libraty L( dt  a)   {x int  C K: f (x) >≮  }, đóng K Một hàm f : K  Y gọi nửa liên tục với Đặt c = dt Khi đó, c  C c ≱≮ Hơn nữa, có  1 Y , tập hợp c {x b 1(df -b) } U (a,) c  tK: (x)  ≮≮  □ Bây K giờ,Chú choýKrằng X tập đóng, lồi nửa Xét song hàm F: vừa K x K đóng hàmkhác liên rỗng, tục vừa hàm liên tục  Y Song nửa liên tụchàm dưới,F gọi tựa đơn điệu với x, y  K, L(y)) > 0{x K x) : f (x)0.-   int C} = f 1[(  int C )c ] F(x,  F(y, Song hàm F gọilàK giả: fđơn nếu( vớiintmọi x,=y f L( )  {x (x) điệu - C )} K 1[(  int C )c ] F(x, y) ≮≮  F(y, x) >≮ 0, Một hàm f : K  Y gọi hemi - liên tục với x, y  K , hàm tương đương,  (t )  f ( x  t ( y  x)) , F(x, y) >  F(y, x) ≮ xác định với t [0, 1] , nửa liên tục nửa liên tục Cuối cùng, song hàm F gọi giả đơn điệu chặt với x  y , x, y  K, Ta tính nửa liên tục tương đương với tính C – liên tục Nhắc lại: hàm f : K  Y C - liên tục x* K với lân F(x,f y) ≮≮ 0trong  F(y, x) ≮tại0.một lân cận U x* X cho cận V (x*) Y, tồn Rõ tính f ( ràng, x) V giả C, đơn x điệu U kéo  Ktheo tính tựa đơn điệu tính giả đơn điệu chặt kéo theo tính giả đơn điệu trường hợp vô hướng Điều ngược Hơn nữa, fđúng C - liên tục K C - liên tục x  K lại không Bổ 1.1.3 Hàm f :được K gọi Y nửa liênliên tục tục CY - , Mộtđềhàm f:K Y nửa vớikhi mọinólà  liên tục tập hợp 10 Thang Long University Libraty Định nghĩa 2.3.1 Giả sử A tập hợp không rỗng X, T: A  L (X, Y) toán tử (i) T gọi đơn điệu A (Tx - Ty, x - y)  0, với x, y  A (ii) Cho f  C*\{0} T gọi f - đơn điệu A f ((Tx, x - y)) + f ((Ty, y - x))  0, với x, y  A Rõ ràng là, T đơn điệu A với f  C*\{0}, T f - đơn điệu A Định nghĩa 2.3.2 Cho T: A  L(X, Y) T gọi v - hemi liên tục nếu, với x, y  A cố định, ánh xạ H(t) := (T(ty +(l - t) x), y - x), t  [0, 1] liên tục Cho f  C*\{0} T gọi f – hemi liên tục với x, y  A cố định, hàm h(t) := f((T(ty + (1- t) x), y - x)), t  [0, 1] nửa liên tục Dễ thấy rằng, T v – hemi liên tục A với f  C*\{0}, T f – hemi liên tục A Định nghĩa 2.3.3 Ánh xạ q: A  Y gọi C – nửa liên tục (hoặc ) x0  A với lân cận V q( x0 ) Y, tồn lân cận U( x0 ) x0 X cho q(x)  V + C, với x  U( x0 )  A, 35 [q(x)  V - C, với x  U( x0 )  A] Ta nói q C – nửa liên tục (C - nửa liên tục trên) A C – nửa liên tục (C - nửa liên tục trên) x  A Cho f  C*\{0} Ánh xạ q gọi f – nửa liên tục A hàm f q : A  R nửa liên tục A Nhận xét 2.3.1 Nếu q C – nửa liên tục x0  A -q C nửa liên tục x0 Ta thấy rằng, q1, q2 C – nửa liên tục A q1  q2 C – nửa liên tục A Nếu f  C*\{0} q C – nửa liên tục A hàm f q : A  R nửa liên tục A [3] Cho A  X tập hợp lồi X Ánh xạ q: A  Y gọi C - lồi A với x1, x2  A, t  [0, 1], ta có q(t x1 + (1- t) x2)  tq( x1 ) + (1- t) q( x2 ) Bổ đề 2.3.1 (Fan) Trong không gian vectơ tôpô Hausdorff, cho A tập lồi, A0 tập không rỗng A Với x  A0 , gọi E(x) tập đóng A cho bao lồi tập hữu hạn { x1, , x n } A0 nằm n E( xi ) i1 Nếu tồn điểm x0  A0 cho E( x0 ) compắc {E(x): x  A0 }   36 Thang Long University Libraty Nhận xạ đa trị E: A  2A gọi KKM – ánh V f (A,xét F) 2.3.2   Ánh n xạ Định co { xnghĩa 1, , xn }  E( xiF: ), với hợp hạn- convexlike, { x1, , xn } 2.3.4 Song hàm A bất A kỳ tập Y gọi hữu lõm i1 với t  [0, 1], điều kiện sau thỏa mãn: A, co (D) kí hiệu bao lồi tập hợp D (i) Cho 1, x2  A, tồn x3  A với Địnhxlý 2.3.1 Giả sử A tập lồi, không rỗng, compắc yếu X, f  C  Giả sử T: A  L(X, Y) f –hemi liên tục A, q: A  Y f F( x3 , y)  tF( x1 , y) + (1 - t) F( x2 , y), với y  A; nửa liên tục yếu A [X trang bị tôpô yếu (X, X*)], q C – lồi Hơn nữa, giả sử T f - đơn điệu A Khi đó, V f (A, F)   , Cho y1, y2  A, tồn y3  A với (ii) V(A, F)   , F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) - q(x), x, y  A F(x, y3 )  tF(x, y1 ) + (1 - t) F(x, y2 ), với x  A Chứng minh Ta cần ra, tồn x  A, nghiệm 2.3.2 Cho A làvômột tập hợp không rỗng, compắc yếu toán bấtĐịnh đẳnglýthức biến phân hướng X, f  C  Giả sử F: A  A  Y lõm - convexlike với y cố định, f(F(x, y)) = f((Tx, y - x)) + f(q(y)) - f(q(x)) ≱ 0, với y  A y  A, hàm x  f(F(x, y)) nửa liên tục yếu A Hơn nữa, giả sử F(x, x)hết,  0, với x A F) đa  trị E, G: A  2A Trước xác định cácV(A, ánh xạ Chứng minh Xác địnhxánh xạ+đaf(q(x)) trị G: ≰Af(q(y))},  2A E(y) = {x  A: f((Tx, - y)) G(y)  0}, với y  A G(y) = = {x {x   A: A: f(F(x, f((Ty, y)) y - x)) + f(q(y)) ≱ f(q(x))} Theo giảbằng thiết,cách chứng minh tương tự Định lý 2.4 [10], có E Khi đó, KKM – ánh xạ A y  G(y), với y  A {E(y): y  A} = {G(y): y  A}   Giả sử { x :   I} lưới G(y) cho { x } hội tụ yếu đến x0 Rõ ràng, Vì ta có x0  A Vì { x }  G(y), nên ta có {E(y): y  A}   f(F( x , y))  0, với   I nên 37 38 Thang Long University Libraty □ Từ (2.5), ta có: giả thiết, ta có G(y) tập hợp đóng yếu A Ta phải chứng minh - g(x)  int Rn+, với x  A (2.6) { G(y): y  A}   Do f  C  , F(x, y) lõm - convexlike, ta có, với t  [0, 1], x1, x2  A , tồn A DoxA3  compắc yếu, ta cần n G(yi )   , i 1 ytg( x1 ) + (1 - t) g( x2 ) với bất g( kỳxy31), , n A Nếu điều khơng đúng, tồn tập hợp Theo Định lý 2.11 [8], g(A) + Rn+ tập lồi Từ (2.6) ta có B = { y1, , yn }  A với G(yi )   i 1  g(A) + int Rn+ Vì vậy, với x  A, tồn yi  B cho x  G( yi ) Theo định lý tách tập lồi, ta tìm t1, t2 , , tn  , với in1 ti  Điều có nghĩa cho f(F(x,n yi )) ≮ 0   ti (( f ( F ( x, yi )))   ) , với x  A, t 1 Bởi vậy, tồn i  cho tức là, f(F(x, yi )) ≮ -  i n  ti f ( F ( x, yi ))   , với x  A t 1 (2.7) Vì x  f(F(x, y)) nửa liên tục yếu A, ta chọn  > cho với x tồn A, tồn j cho Theobấtgiảkỳthiết, ytạiy A saoB cho f(F(x, )) n+ti f≮(F ( x, yi )) , với x  A F ( x, yy)j  t 1 (2.5) Định nghĩa Vì f  C  ,g:taAcó Rn g(x) = ( f(F(x, n y1 )) -  , - f(F(x, y2 )) -  , , - f(F(x, yn )) -  ), x  A f (F ( x, y))   ti f ( F ( x, yi )) , với x  A (2.8) t 1 39 40 Thang Long University Libraty Từ (2.7)Định - (2.8), ta suyCho A tập hợp lồi, không rỗng, compắc yếu lý 2.4.1 X Giả sử T: A L (X, Y) v - hemi liên tục đơn điệu A, q: A Y f(F(x, y))    , với x  A C – nửa liên tục yếu A [X trang bị tôpô  (X, X*)], q C – lồi nữa, q(A) tập bị chặn Y C    Khi đó, {V f (A, F): Với Hơn x = y, ta có y))liên  -thơng  theo  (X, X*), F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) f  C f(F(y, } tập q(x), với x, y  A Mặt khác, từ giả thiết  F(y, y) , ta phải có Chứng minh Xác định ánh xạ đa trị H: C   2A  f(F(y, y)) H(f) V f (A, f C  Do đó, Điều dẫn= đến mộtF), mâu thuẫn  A} Do C  {G(y): tậpylồi, nên C là tập hợp liên thông Theo Định lý 2.3.1, Ta suy H(f) tồntại , với f  C  x H(f) {G(y): y  tập A}.hợp lồi với f  C  Lấy x1, x2  H(f) Khi Ta đó, với i = 1, 2, Điều có nghĩa là: f(F( xi , y)) = f((T xi , y - xi ) + q(y) - q( xi ))  0, với y  A  f(F(x, y)) , với y  A Xác định ánh xạ đa trị E, G: A  2A Bởi vậy, E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x))  f(q(y))}, xV f (A, F)  V(A, F) G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y))  f(q(x))} 2.4 Tính liên thơng tập nghiệm Vì x1, x2  V f (A, F) nên ta có x1, x2   E ( y ) : y  A Bây giờ, nghiên cứu tính liên thơng tập hợp nghiệm hữu hiệu Henig tập hợp nghiệm hữu hiệu yếu bất đẳng thức biến Ta có phân Hartman- Stampacchia giá trị vectơ 41 42 Thang Long University Libraty □ {E(y): y  A} = {G(y): y  A} Như vậy, với i =1, 2, ta có f((Ty, y - xi )) + f(q(y))  f(q( xi ), với y  A Với t  [0, 1], tính C – lồi q f  C  nên ta có f((Ty: y - (t x1 + (1- t) x2 )) + f(q(y))  f(q(t x1 + (1- t) x2 )), với y  A; có nghĩa, t x1 + (1 - t) x2  {G(y): y  A} = {E(y): y  A} Như vậy, t x1 + (1 - t) x2  H(f), H(f) tập hợp lồi, tập liên thơng Chúng ta H(f) nửa liên tục trên C  Vì A compắc yếu nên ta cần H đóng (xem [1]) Cho ( f n , xn )  graph (H) = {(f, x)  C   A : x  H(f)}, ( f n , xn )  ( f0 , x0 )  C   A Vì xn  H ( f n )  V f ( A, F ) , n 43 nên ta có f n ((Txn , xn  y))  f n (q( xn ))  f n (q( y)) , với y  A Do tính đơn điệu T f n  C  , ta nhận f n ((Ty, y  xn ))  f n (q( y))  f n (q( xn )) , với y  A (2.9) Cho y điểm A Do Ty  L(X, Y), ta có {(Ty, y - xn )} hội tụ yếu đến (Ty, y - x0 ), { xn } hội tụ yếu đến x0 Hơn nữa, f n  f  0, ta có f n ((Ty, y - xn ))  f (Ty, y - x0 )) f n (q( y))  f (q( y)) Ta có lim f n (q( xn ))  f (q( x0 )) n Lấy giới hạn hai vế (2.9), ta có f ((Ty, y - x0 ))  f (q( y))  f (q( x0 )) Rõ ràng (2.10) với y  A Do đó, f ((Ty, y  x0 ))  f (q( y))  f (q( x0 )) , với y  A Do T v – hemi liên tục, q C - lồi f  C  nên cách chứng minh tương tự Định lý 2.4 [10], ta có f ((Tx0 , x0  y))  f (q( x0 ))  f (q( y)) , với y  A, là, 44 Thang Long University Libraty (2.10) Vf w0[(A, = - f (A, F): f (TxF) 0, y x0{V ) q(y) q( C*\{0}} x0 )] = f ( F ( x0 , y))  , với y  A Chúng ta có thấy Điều nghĩa là,Vw(A, F) tập liên thông theo (X, X*), thay f  C  f  C*\{0} chứng minh Định lý 2.4.1 x0 V f ( A, F )  H ( f ) □ KẾT LUẬN Bởi vậy, H(f) đóng nửa liên tục trên C  Theo Định lý 3.1 [11], ta có {H(f): f  C  } = {Vf (A, F): f  C  } Luận văn trình bày kết tồn nghiệm tính liên tập hợp liên thông theo (X, X*) thông tập nghiệm toán cân vectơ, bao gồm: Định Giả sử cáchữu giả hiệu thiết yếu của Địnhbài lý tốn 2.4.1cân thỏa mãn Khi đó, - Các kết quảlývề2.4.2 tồn nghiệm vectơ V H (A, F) tập liên thông Hơn nữa, Bianchi – Hadjisavvas – Schaible [3];nếu int C   Vw (A, F) tập hợp liên thông theo (X, X*) - Các kết vơ hướng hóa toán cân vectơ tồn nghiệm Chứng minh.[7]; Theo giả thiết, ta có F(x, A) + C tập hợp lồi với hữu hiệu Gong x  A Theo Bổ đề 2.2.2, ta có - Các kết tính liên thơng tập nghiệm hữu hiệu Henig tập nghiệm hữu hiệu thức VHyếu (A, F) =bất đẳng {Vf(A, F): biến f  phân C }.Hartman – Stampacchia Gong [7] Dễ thấy C tập hợp lồi Vf (A, F) tập hợp lồi Sự tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm toán cân vectơ Xác định ánh xạ đa trị H: C  2A đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển H(f) = Vf(A, F), f  C Từ chứng minh Định lý 2.4.1, ta có H(f) nửa liên tục trên C  Do đó, theo Định lý 3.1 [11], VH(A, F) tập liên thông theo (X, X*) Nếu int C   , từ Bổ đề 2.2.1, ta có 45 46 Thang Long University Libraty □ [7] Gong, X H (2001), Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl., vol 108, 139 – 154 [8] Jahn, J (1986), Mathematical Vector Optimization in Partially – Ordered Linear Spaces, Peter Lang, Frankfurt am Main, Germany [9] Jeyakumar, V., Oettli, W., and Natividad, M (1993), A Solvability theorem for a class of quasiconvex mappings with applications to Optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 179, pp 537 – 546 [10] Lassonde, M (1983), On the use of KKM multifunctions in fixed – TÀI LIỆU KHẢO Analysis and point theory and related topics, JournalTHAM of Mathematical Applications, vol 97, pp 151 – 201 [11] Warburton, A R (1983), I.Quasiconcave vector m aximization: [1] Aubin, J P., and Ekeland, (1984), Applied Nonlinear Analysis, John connectedness of the sets of Pareto – optimal and weak Pareto – optimal Wiley, New York, NY Alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications, 40, [2] Bianchi, M., and Schaible, S (1996), Generalized monotone vol bifunctions pp and 537–557 equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 90, pp 31-43 [3] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., and Schaible, S (1997), Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 92, pp 527–542 [4] Borwein, J M., and Zhuang, D (1993), Superefficiency in vector optimization, Transactions of the American Mathematical Society, vol 338, pp 105 –122 [5] Chen, G Y (1992), Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the Hartman – Stampacchia theorem, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 74, pp 445 – 456 [6] F a n , K (1961), A Generalization of Tychonoff's fixed - point theorem, Mathematische Annalen, vol 142, pp 305 – 310 47 48 Thang Long University Libraty