Nguyên lí ánh xạ kkm và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HÕA NGUYỄN THỊ HÕA NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Lê Văn Chóng THÁI NGUYÊN-2008 THÁI NGUYÊN-2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Mở đầu Chương NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM 1.1 Bổ đề KKM ……………………………………………………… 1.2 Nguyên lí ánh xạ KKM ……………………………………………7 1.3 Bất đẳng thức Ky Fan ……………………………………………10 Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ 2.1 Nón quan hệ thứ tự theo nón ………………………………… 13 2.2 Bài toán cân vô hướng …………………………………… 16 2.3 Bài toán cân vectơ giả thiết đơn điệu ………… 23 2.4 Bài toán cân vectơ giả đơn điệu ………………………… 28 2.5 Bài toán cân vectơ tựa đơn điệu …………………………… 34 2.6 Một số mở rộng ………………………………………………… 39 Chương BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ 3.1.Bài toán cân vectơ đa trị giả thiết đơn điệu …… 51 3.2 Bài toán cân vectơ đa trị đơn điệu ………………………… 56 Kết luận …………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo ……………………… 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để đưa chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng giao khác rỗng hữu hạn tập đóng không gian hữu hạn chiều (1929), kết sau gọi Bổ đề KKM Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề không gian vô hạn chiều, kết sau gọi Nguyên lí ánh xạ KKM Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh bất đẳng thức quan trọng, sau gọi Bất đẳng thức Ky Fan Sau công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút quan tâm nhiều nghiên cứu lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức từ Nguyên lí ánh xạ KKM ý tưởng khởi nguồn nhiều nghiên cứu tồn nghiệm toán cân không gian khác (như không gian vectơ tôpô, không gian G -lồi, không gian siêu lồi…) Trong không gian vectơ tôpô , cách tiếp cận nghiên cứu mở rộng toán cân vô hướng với kết Brezis- NirenbergStampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở rộng toán cân vectơ (đơn trị, đa trị) với kết quan trọng Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh [16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh [17](2006)… Bài toán cân vectơ đơn trị xét luận văn toán sau: Tìm x  K cho f ( x , y)  với y  K , K tập lồi, đóng, khác rỗng không gian vectơ tôpô X , f : K  K  Y , Y không gian vectơ tôpô với nón thứ tự C  Y nhọn, lồi, đóng, int C   Bài toán cân vectơ đa trị xét toán sau: Tìm x  K cho F ( x , y)    int C với y  C , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tìm x  K cho F ( x , y)  C với y  C , Chương hàm đa trị F : K  K  2Y (các tập K , C không gian Y trên) Mục đích luận văn trình bày số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ không gian vectơ tôpô với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương trình bày số điểm xuất xứ Nguyên lí ánh xạ KKM liên quan với số thành tựu quan trọng giải tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan) Chương trình bày số kết tồn nghiệm toán cân vectơ đơn trị hai hướng nghiên cứu: sử dụng không sử dụng giả thiết đơn điệu Trước trình bày kết này, đưa số kết đặc thù toán cân vô hướng để dễ thấy phần kết phương pháp toán cân vectơ mở rộng từ toán vô hướng Một số kiến thức chuẩn bị nón quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu toán vectơ đưa vào chương Chương đề cập đến số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đa trị có giả thiết đơn điệu giả thiết đơn điệu Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học Xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo thuộc Viện toán học thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin cảm ơn quan, gia đình bạn bè động viên nhiều giúp hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Hòa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) không gian hữu hạn chiều ba nhà toán học Balan thiết lập chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp Định lí điểm bất động Brouwer (1912) sau bổ đề mở rộng không gian vô hạn chiều thành Nguyên lí ánh xạ KKM (1961) Bất đẳng thức Ky Fan (1972) chứng minh cách sử dụng nguyên lí Ở chương đề cập tới số điểm Nguyên lí ánh xạ KKM liên quan với thành tựu giải tích hàm phi tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan) 1.1 BỔ ĐỀ KKM Trước hết ta nhắc đến số khái niệm sau: Cho X không gian vectơ, tập hợp S X gọi nđơn hình S  co  u0 , u1 , , un  với u0 , u1, , un  X vectơ u1  u0 , , un  u0 độc lập tuyến tính (ở co( A) kí hiệu bao lồi tập A ) Các điểm ui gọi đỉnh Bao lồi (k  1) đỉnh gọi k -diện S Mỗi x  S biểu diễn dạng: n n i 0 i 0 x   xi ui , với xi  0,  xi  Ta viết x  ( x0 , x1, , xn ) gọi xi , (i  0,1, , n) tọa độ trọng tâm x , chúng biến đổi liên tục theo x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dùng Bổ đề Sperner phép gán số phép tam giác phân đơn hình Sperner đưa từ 1928, Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz n Cho  phép đồng phôi từ M lên M  T  : M   M  ánh xạ liên tục Ta cần chứng minh T  có điểm bất động 1 chứng minh bổ đề quan trọng sau không gian R Thật vậy, đặt T   T  ta T : M  M ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết tồn x0  M với Tx0  x0 Khi  ( x0 ) điểm bất động Bổ đề KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz[11], 1929) T  Cho n-đơn hình S  co  u0 , u1 , , un  R tập hợp đóng F0 , F1, , Fn S thỏa mãn điều kiện: với tập hợp I  0,1, , n ta có  n co ui : i  I    Fi (KKM) iI  Fi   S , hình cầu đơn vị đóng R n đồng phôi với S nên ta cần chứng minh ánh xạ liên tục T : S  S có S điểm bất động i 0 Chứng minh đầy đủ Bổ đề KKM cách dùng Bổ đề Sperner giới thiệu Tân-Hà [18], khuôn khổ luận văn Với x  S ta có x  ( x0 , x1, , xn ), xi với i  0,1, , n tọa độ trọng tâm x y  Tx  ( y0 , y1, , yn ) Ta đặt Fi   x  S : xi  yi  , i  1, , n không nêu Do T liên tục nên Fi đóng Ta chứng minh Fi thỏa mãn Định lí điểm bất động Brouwer (Brouwer [5], 1912) n Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng R vào có điểm bất động điều kiện (KKM) sau co ui : i  I    Fi , iI I tập tập 0,1, , n Để chứng minh định lí cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết sau Lấy x  co ui : i  I  ta có x  ( x0 , x1, , xn ) với xi  i   I , xi  i  I y  ( y0 , y1, , yn ) với yi  0, Mệnh đề 1.1 Giả sử M tập hợp không gian tôpô có tính chất: ánh xạ liên tục T : M  M có điểm bất động Khi M  đồng phôi với M M  có tính chất i 0 x   Fi iI xi  yi với i  I Khi ta gặp mâu thuẫn: n n  xi   xi   yi   yi  i 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn n  yi  Để ta cần tồn i0  I để x  Fi0 , tức xi0  yi0 Giả sử ngược lại 1 Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho đơn hình n- đơn hình n Khi Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer iI Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iI i 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Vậy điều kiện KKM thỏa mãn Do theo bổ đề KKM tồn n Đặt I  i : i ( x )  0 Khi ta có n x   Fi Khi ta có xi  yi với i  0,1, , n , yi tọa độ trọng Tx   i ( x ) ui   i ( x ) ui i 0 tâm y  Tx Vì n n i 0 i 0  xi   yi  nên bất đẳng thức phải đẳng thức Vậy ta có xi  yi , i  0, , n hay x  y  Tx định lí chứng minh  Định lí điểm bất động Brouwer ta thay hình cầu đơn vị i 0 iI Nhưng i ( x )  x   Fi với i  I , nên x   Fi iI Điều mâu thuẫn với x  Tx   i ( x ) ui  co ui : i  I    Fi , iI iI (do điều kiện KKM) Vậy Bổ đề KKM chứng minh  n đóng R tập lồi đóng bị chặn không gian tuyến tính hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều bắt buộc) Dùng định lí ta nhận Bổ đề KKM chứng minh Giả sử S  u0 , u1 , , un  đơn hình F0 , F1, , Fn tập đóng n S thỏa mãn điều kiện (KKM)  Fi   Khi với i 0 x  S i  0, , n ta đặt i ( x)  d ( x, Fi ) khoảng cách từ x đến Fi Vì  Fi   nên với i 0 Theo chứng minh từ Bổ đề KKM ta nhận Định lí Brouwer ngược lại, Bổ đề KKM tương đương với Định lí Brouwer Chứng minh Bổ đề KKM n Nhận xét 1.1 x  S tồn i cho x   Fi , tức i ( x)  Fi đóng Vậy ta định nghĩa hàm  ( x) i ( x)  n i , x  S , i  0,1, , n  ( x )  j j 0 Các hàm i có tính chất: liên tục,  i ( x)  1, n  i ( x)  với i 0 n 1.2 NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM Nguyên lí ánh xạ KKM mở rộng Bổ đề KKM không gian vô hạn chiều trung tâm Lý thuyết KKM, phận sâu sắc giải tích phi tuyến Trước phát biểu chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, định nghĩa ánh xạ KKM Cho C tập hợp không gian vectơ tôpô X , ánh xạ (đa trị) X F từ C vào gọi ánh xạ KKM với tập hợp hữu hạn  x1 , x2 , , xn  C ta có : n co  x1 , x2 , , xn    F ( xi ) i 1 x  S Với x  S ta đặt Tx   i ( x) ui Do S lồi nên ta có i 0 Tx  S , T liên tục i liên tục Theo Định lí điểm bất Nguyên lí ánh xạ KKM (Ky Fan [8], 1961) động Brouwer, tồn x  S mà x  Tx Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 12 Cho C tập hợp không gian vectơ tôpô Hausdorff X , F :C  X ánh xạ KKM với giá trị đóng Khi với tập hữu Mặt khác, với i  I ta có i ( x )  nên x   G( xi ) Vì x  L nên x   F ( xi ) , ta gặp mâu thuẫn  F ( xi ) với i  I , tức x  iI Vậy Nguyên lí chứng minh hạn A nằm C ta có:  F ( x)    Nhận xét 1.2 xA Nếu Nguyên lí ánh xạ KKM, ánh xạ F có giá trị compắc, Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn tập hợp hữu hạn  x1 , x2 , , xn  n C thỏa mãn  F ( xi )   Gọi L không i 1 gian tuyến tính X sinh  x1 , x2 , , xn  compắc F ( x0 ) có tính chất giao hữu hạn Vì họ có giao khác rỗng Kết tài liệu gọi Bổ đề Ky Fan d khoảng cách L tương thích với tôpô cảm sinh từ X Ký hiệu   co{x1, , xn } Đặt G( xi )  F ( xi )  L, i  1, , n Với x , đặt i ( x)  d ( x, G( xi )) Vì chẳng hạn F ( x0 ) , họ tập đóng  F ( x)  F ( x0 ) : x  C  thuộc tập Bổ đề Ky Fan ([8], 1961) Cho C tập hợp khác rỗng không gian vectơ tôpô Hausdorff n  F ( xi )   X ánh xạ đa trị F : C  n nên i 1  G( xi )   i 1 X thỏa mãn : 1)Với x  C F ( x) tập đóng, khác rỗng X ; Do với x , tồn i cho x   G( xi ) , suy i ( x)  2) F ánh xạ KKM; G( xi ) đóng Vậy ta đặt  ( x) i ( x )  n i , x   j ( x) 3)Tồn x0  C cho F ( x0 ) compắc Khi ta có: j 1 Các hàm i liên tục  i ( x)  1, n Ở cần lưu ý là, ứng dụng, Nguyên lí ánh xạ KKM dùng n  i ( x)  với x i 1 Đặt Tx   i ( x) ui ,  lồi ta ánh xạ liên tục T :     L với i 1 L hữu hạn chiều Theo Định lí Brouwer, tồn x  mà x  Tx Đặt I  i : i ( x )  0 , ta x  Tx   i ( x ) ui iI  F ( x)   xC chủ yếu dạng Bổ đề Ky Fan Ngoài cần lưu ý thêm không gian X Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan giả thiết Hausdorff nghiên cứu sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM gần phần lớn dùng Nguyên lí với giả thiết X Hausdorff Tuy nhiên điều kiện Hausdorff không cần thiết Ding- Tân [7] từ  co{ui : i  I }   Fi , 1992 iI F ánh xạ KKM Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 14 Với x  C đặt F ( x)   y  C : f ( x, y )  0 Vì hàm f nửa liên tục Nhận xét 1.3 Chúng ta chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất động Brouwer Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy Bổ đề KKM (với X  R , C  u0 , , un  , F (ui )  Fi , i  0,1, , n ), Bổ đề KKM n theo y nên F ( x) tập đóng Ta kiểm tra điều kiện KKM phản chứng n Giả sử tồn x1, , xn  C x  co  x1 , , xn  mà x   F ( xi ) Khi đó: i 1 suy Định lí Brouwer Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta nhận n x    i xi ,  i  0, Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa Nguyên lí ánh xạ KKM tương i 1 đương với Định lí Brouwer n   i  i 1 n Vì x   F ( xi ) , nên theo định nghĩa tập hợp F ( xi ) ta có: i 1 n 1.3 BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN f ( xi , x)  f ( xi ,  i xi )  0, i  1, , n Bất đẳng thức Ky Fan chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM Bất đẳng thức với cách chứng minh có nhiều ứng dụng, nghiên cứu tồn nghiệm toán cân n lồi Tập hợp chứa xi nên chứa x   i xi , ta có: i 1 n n i 1 i 1 f (  i xi ,   i xi )  f ( x, x)  , Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972) điều trái với điều kiện 3) Vậy nên F ánh xạ KKM Cho C tập hợp lồi, compắc không gian vectơ tôpô Hausdorff X f : C  C  R hàm số thỏa mãn điều kiện Vì C compắc nên ta có:  F ( x)   xC sau: (theo Nguyên lí ánh xạ KKM) 1) f ( x, y) tựa lõm theo x với y cố định; 2) f ( x, y) nửa liên tục theo y với x cố định; 3) f ( x, x)  với x  C Khi tồn y  C cho f ( x, y )  với x  C Lấy y   F ( x) ta f ( x, y )  với x  C Định lí xC chứng minh  Dùng Bất đẳng thức Ky Fan ta chứng minh kết sau mở rộng Định lí Brouwer Mệnh đề 1.2 Chứng minh Kết luận Bất đẳng thức Ky Fan suy từ Nguyên lí ánh xạ Mọi ánh xạ liên tục từ tập hợp lồi, compắc không gian Hilbert vào có điểm bất động KKM sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i 1 Do f ( x, y) tựa lõm theo biến thứ nên tập hợp  z  C : f ( z , x)  0 http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 16 Thật vậy, cho C tập lồi, compắc không gian Hilbert với BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ tích vô hướng  x, y , T : C  C ánh xạ liên tục, với cặp Sau công bố (1972), Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu x, y  C ta đặt hút quan tâm nhiều nghiên cứu lĩnh vực giải tích phi tuyến f ( x, y)  Ty  y, x  y  Với y cố định, f hàm affin theo biến x , nên lõm Với x cố định , f hàm liên tục theo biến y (do T liên tục), nửa liên tục Hiển nhiên f ( x, x)  với x  C Do theo Bất đẳng thức Ky Fan tồn y  C cho: trọng kết nối Bất đẳng thức Ky Fan bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển Mosco [13](1976) đưa kết mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan tập không compắc kết mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển…Đây kết khởi đầu tồn nghiệm toán cân f ( x, y )  0, x  C , vô hướng xây dựng từ Nguyên lí ánh xạ KKM Cách tiếp cận tức  Ty  y , x  y   0, x  C Đặc biệt x  Ty ta có Ty  y Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972) chứng minh kết quan dùng Nguyên lí ánh xạ KKM để thiết lập điều kiện tồn nghiệm cho  y  Ty Mệnh đề toán cân nhiều nghiên cứu mở rộng hiệu cho trường hợp  toán cân vectơ cho hàm đơn trị Ansari- Konnov- Yao [1] chứng minh (2001), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Tan- Tinh [16](1998)… Chương trình bày số kết tồn nghiệm Nhận xét 1.4 Theo chứng minh nhận xét 1.1, 1.3 Bổ đề KKM, Định lí toán cân vectơ cho hàm đơn trị theo cách tiếp cận nêu Trước điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM Bất đẳng thức Ky Fan trình bày ngắn gọn số kết tiêu biểu cho cách tiếp cận tương đương với toán vô hướng để dễ thấy mở rộng cách tiếp cận toán vectơ Để tiện cho việc trình bày toán vectơ, trước hết đưa vào số kiến thức chuẩn bị Các kết nghiên cứu trình bày chương chủ yếu tập hợp từ báo [1, 2, 13, 16] 2.1 NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN Cho C tập không gian vectơ tôpô Y Tập C gọi nón tc  C với c  C t  Như theo định nghĩa, Chương nón có đỉnh gốc Y Nón C gọi lồi (đóng) C tập lồi (đóng, tương ứng) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 18 C  tb : b  B, t  0 Kí hiệu l (C ) tập C  C Đặc biệt C lồi l (C )  C  C không gian tuyến tính nhỏ C gọi phần tuyến tính nón C Nếu B không chứa điểm gốc với c  C, c  tồn b  B, t  cho c  tb B gọi sở Nón lồi C Y gọi nhọn l (C )  0 nón C Rõ ràng tập 0 không gian Y nón, lồi, đóng, Người ta chứng minh nón C có sở lồi, compắc thỏa mãn điều kiện (  ) ([16]) Từ kết theo định nghĩa ta có ta gọi nón nón tầm thường Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu cl (C ), int(C ), co(C ) lần ví dụ sau nón thỏa mãn điều kiện (  ) lượt bao đóng, phần trong, bao lồi nón C Ví dụ Ví dụ 1) Cho B tập khác rỗng thuộc phần hình cầu B  R n , 1) Nón orthant dương:   0  B , C  cone( B), C  cone(B ) Khi theo định nghĩa C nón thỏa Cho Y  R n  x  ( x1 , , xn ) : x j  R, j  1, , n Khi   C  Rn  x  ( x1 , , xn ) : x j  R, x j  0, j  1, , n nón lồi, đóng, nhọn   2) Nếu tập C  x  ( x1 , , xn ) : x1  0, x j  R, j  2, , n C nón lồi, đóng, không nhọn ta dễ dàng thấy:    : x  R, x  0, i  2, , n nón lồi, đóng, l (C )  x  (0, x2 , , xn )  R n  0 Tập ( x1 , , xn )  R n i không nhọn dương, chẳng hạn x1  nón nhọn, lồi, không đóng Tập     C  ( x1 , x2 , x3 )  R : xi  0, i  1, 2,   x1, x2 , x3   R : x1  x2  0, x3  nón nhọn, lồi, không đóng Ta nói nón C gọi thỏa mãn điều kiện (  ) tồn nón lồi, đóng nhọn C với phần khác rỗng cho: C \ 0  int C Nón C gọi sinh tập B  Y , ký hiệu C  cone( B) nếu: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2) Cho B tập lồi compắc R n ,  B Khi nón C  cone( B) có sở B lồi compắc nên thỏa mãn điều kiện (  ) Ta nhắc lại khái niệm Quan hệ thứ tự sinh nón: Cho C nón nhọn, lồi, đóng không gian vectơ tôpô Y Khi C xác định quan hệ thứ tự Y : với x, y  C ta viết 3) Tập chứa  Y vectơ x  ( x1, , xn ) với tọa độ mãn điều kiện (  ) C \ 0  int C http://www.lrc-tnu.edu.vn x  y y  x  C x  y y  x  C Trong trường hợp int C   , với x, y  C ta viết x  y y  x  int C x  y y  x  int C Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho quan hệ thứ tự ,  , ,  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 20 Định lí 2.1 (Mosco[13], 1976) Ví dụ 1) Cho Y  R , nón thứ tự C  Rn (nhọn, lồi, đóng) Hausdorff X , hàm g : C  C  R với g ( x, x)  x  C Giả sử điều Với x   x1 , , xn  , y   y1, , yn   R n ta có kiện sau thỏa mãn: x  y  xi  yi , i  1, , n 1) g ( x,.) lõm với x  C ; x  y  xi  yi , i  1, , n x  y  xi  yi với i  1, , n x  y  xi  yi với i  1, , n  Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian vectơ tôpô 2) g (., y ) nửa liên tục với y  C ; 3)Điều kiện bức:Tồn tập compắc B  X vectơ y0  B  C cho  g ( x, y0 )  x  C \ B 2) Y  R , C  ( x1 , x2 )  R2 : x1  x2 Khi tập nghiệm toán cân vô hướng Với x  ( x1, x2 ), y  ( y1, y2 )  R ta có x  C : g ( x , y)  y  C x  y   y1  x1  y2  x2 tập compắc, khác rỗng x  y  y  x  R \ C x  y   y1  x1  y2  x2 Chứng minh: x  y  y  x  R \ int C Đặt G ( y )   x  C : g ( x, y )  0 , y  C Lưu ý Y  R, C   0;   với x, y  R : Ta có G( y) đóng với y  C (do Điều kiện 2)), G( y0 ) x  y  y  x tập đóng tập compắc B nên compắc (Điều kiện 3)) Hơn x  y  y  x G : C  2C ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử trái lại, nghĩa có tập hữu hạn 2.2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG Hai hướng nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vô hướng nghiên cứu có giả thiết đơn điệu nghiên cứu giả thiết đơn điệu hàm bất đẳng thức Hướng thứ hai nghiên cứu mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan (xét Chương 1) tập không compắc mà kết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn n n i 1 i 1  y1 , , yn   C co  y1 , , yn    G ( yi ) , có y   i yi với i  0, y   G  yi  i  1, , n , nghĩa g ( y, yi )  i  1, , n n  i  i 1 Do n  i g ( y, yi )  i 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên mà http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 40 Cho không gian X, Y, tập K , nón C hàm F Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: Đặt yt  ty   (1  t ) y, t   0,1 Do F ( x,.)  - tựa lõm nửa chặt nên với bất đẳng thức đầu ta có: 1) Với y  K , F (., y) hemi-liên tục; u , F ( x, yt )  u , F ( x, y )  t   0,1 2) F tựa đơn điệu; * 3) Với x  K , hàm F ( x,.) nửa liên tục  - tựa lồi nửa Theo tính chất tập C nêu ta có F ( x, yt )  C , nghĩa F ( x, yt )  tính tựa đơn điệu F (Giả thiết 2)) suy chặt; 4) Điều kiện bức: Tồn tập compắc B  K y0  B cho F ( yt , x)  (vì trái lại có F ( x, yt )  , mâu thuẫn) Vì F hemi- liên tục (Giả thiết 1)) nên F ( y, x)   , nghĩa x  R( y ) , mâu thuẫn với giả F ( x, y0 )  0, x  K \ B ; 5) Với x  K , hàm F ( x,.)  - tựa lõm nửa chặt; thiết Bổ đề chứng minh 6) Phần đại số Ai ( K ) K không rỗng Khi Bài toán (2.14) có nghiệm  Chứng minh Định lí 2.5 Giả sử toán (2.14) nghiệm Do điều kiện tính tựa lồi Bổ đề sau dùng để chứng minh Định lí 2.5 F (suy từ Giả thiết 3)), chứng minh Định lí 2.4, dùng Bổ đề 2.4 Nguyên lí ánh xạ KKM ta có Giả sử điều kiện1),2),5) thỏa mãn x, y  K cho x  P( y ) Lấy x  * x   R( y ) Khi tồn u  C \ 0 cho  Q( y) z  Ai (K ) yK u , F ( x, y )  ; u , F ( x, y )  u , F ( x, y ) y   K Chứng minh Như đặc biệt x  Q( z ) Do tồn dãy  x  ; x  Q ( z ) cho x  x Giả sử có   với x    R( z) Theo Bổ đề 2.4 tồn u  C* \ 0 cho: u , F ( x  , z )  ; Vì x  P( y ) nên F ( x, y)  tồn u  C* \{0} với u , F ( x, y )  (vì với u  C* \ {0} có u , F ( x, y )  F ( x, y)  , mâu thuẫn với x  P( y ) ) Vậy có bất đẳng thức đầu u , F ( x  , y )  u , F ( x  , z ) y  K Vậy hàm tựa lồi nửa chặt g ( y )  u , F ( x  , y ) đạt cực đại toàn cục K z Vì z  Ai ( K ) nên g hàm K , nghĩa là: Bất đẳng thức thứ hai chứng minh phản chứng Giả sử có y  K u , F ( x  , y )  u , F ( x  , z )  y  K Do với u , F ( x, y )  u , F ( x, y ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  Q( y )   yK http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.15) F ( x  , y)  y  K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 42 (vì trái lại có y với  F ( x  , y)  int C (theo tính chất D tập lồi, đóng, khác rỗng không gian lồi địa phương * * C nêu trên) có u ,  F ( x  , y )  u  C \ {0} , điều mâu thuẫn với (2.15)) Như Bài toán (2.14) có nghiệm, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Do x  R( z )  , nghĩa Hausdorff Y với int C   (C xác định Y thứ tự phần) F : D  D  Y hàm đơn trị có dạng F ( x, y)  G( x, y)  H ( x, y) (2.18) với G, H : D  D  Y Hàm G giả thiết có tính đơn điệu, H thỏa F ( z, x )   , F ( z, x )  (2.16) (do F ( z,.) nửa liên tục dưới) mãn điều kiện nửa liên tục Khi G  ta nhận kết dạng vectơ Bất đẳng thức Ky Fan, H  ta có kết toán cân vectơ đơn điệu Các nghiên cứu hướng nghiên cứu Với x  K , đặt xt  tz  (1  t ) x, t  [0,1] Khi mở rộng vectơ kết Blum- Oettli [3] trường hợp toán vô xt  Ai ( K ) t  (0,1] (theo tính chất điểm đại số), hướng Phần trình bày số kết nghiên cứu tồn nghiệm Bài theo (2.16) ta có toán cân vectơ (2.17) với F có dạng (2.18) với cách tiếp cận dùng F ( xt , x )  Nguyên lí ánh xạ KKM Do tính hemi- liên tục F (Giả thiết 1)) suy Trước hết ta nhắc tới số khái niệm cần thiết F ( x, x )  x  K , nghĩa x Hausdorff X , C nón nhọn lồi đóng không gian lồi địa phương Hàm F : D  Y gọi lồi (lõm) theo nón C  R( x) xK Vậy theo Nhận xét 2.5 ta có x   P( x) , nghĩa Bài toán (2.14) có xK nghiệm, trái với giả thiết phản chứng ( F (tx  (1  t ) y)  tF ( x)  (1  t ) F ( y), tương ứng) với x, y  D, t   0,1 Định lí chứng minh  2.6 MỘT SỐ MỞ RỘNG Bên cạnh nghiên cứu hai hướng dùng giả thiết đơn điệu không dùng giả thiết đơn điệu trình bày số nghiên cứu mở rộng hợp hai hướng Bài toán cân vectơ xét toán: Tìm x  D cho F ( x , y)    int C y  D , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên F  tx  (1  ty )   tF ( x)  (1  t ) F ( y ) (2.17) http://www.lrc-tnu.edu.vn F gọi nửa liên tục (nửa liên tục trên) theo C x0  D với lân cận V F ( x0 ) Y tồn lân cận U x0 X cho F U  D   V  C ( F (U  D)  V  C, tương ứng) F gọi liên tục x0  D vừa nửa liên tục vừa nửa liên tục theo C x0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 44 F gọi nửa liên tục (nửa liên tục trên, liên tục) theo C D nửa liên tục (nửa liên tục trên, liên tục, tương ứng) theo C điểm thuộc D Cho không gian X , Y tập D , C trên, G, H : D  D  Y hàm (đơn trị) thỏa mãn điều kiện: 1) G( x, x)  0, x  D ; Hàm G : D  D  Y gọi đơn điệu theo nón C G( x, y)  G( y, x)  x, y  D Dễ thấy rằng, C  0 khái niệm liên tục theo nón trùng với khái niệm liên tục quen biết hàm đơn trị Đối với tính nửa liên tục theo nón hàm ta có tính chất phát biểu kết sau ([16]) a) Nếu F nửa liên tục theo nón C tập A   x  D : F ( x)  int C 2) G hàm đơn điệu; 3) Với x, y  D cố định, hàm g : t   0,1  G  ty  (1  t ) x, y   Y nửa liên tục theo nón C t  ; 4) Với x  D cố định ,hàm G  x,. : D  Y lồi, nửa liên tục theo nón C D ; 5) H  x, x   0, x  D ; 6) Với y  D cố định, hàm H ., y  : D  Y nửa liên tục theo nón C D ; 7) Với x  D cố định, hàm H  x,. : D  Y lồi; đóng D b) Nếu F nửa liên tục theo C x0  D F ( x)   int C với x  D \  x0  F ( x0 )   int C 8) Tồn tập khác rỗng, lồi, compắc K  D cho với x K \ coreD K có a  coreD K thỏa mãn G ( x, a)  H ( x, a)  Cho C B tập lồi không gian vectơ tôpô, B  C Khi tồn x  D cho Khi ấy, lõi B theo C , kí hiệu coreC B , xác định a  coreC B  (a  B, B  (a, y]   y  C \ B) G( x , y)  H ( x , y)   int C, y  D, C thỏa mãn điều kiện (  ) tồn x  D cho G( x , y)  H ( x , y)   (C \ 0), y  D Lưu ý coreC C  C Đối với toán cân vectơ nêu trên, cách dùng số khái niệm thích hợp hàm vectơ tính lồi theo nón, nửa liên tục theo nón, tác giả [16] chuyển Định lí Blum- Oettli [3] Cũng chứng minh Định lí Blum-Oettli[3], Định lí 2.6 chứng minh ba bổ đề Bổ đề 2.5 Giả sử D, K , G, H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6 Khi tồn với chứng minh dạng vectơ sau vectơ x  K cho G ( y, x )  H ( x , y )   int C, y  K Định lí 2.6 (Tan-Tinh [16], 1998) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 46  i  G( yi , z )  H ( z, yi )   int C  (C )   , Chứng minh Với y  K ta đặt S ( y )   x  K : G ( y, x)  H ( x, y )   int C , ta có iI S ( y) tập đóng X Ta iI điều vô lý Vậy z   S ( yi ) co  yi : i  I    S ( yi ) , nghĩa S:K 2  S ( y)   yK Cho  yi : i  I  tập hữu hạn K , I tập hữu hạn có Do S ( y) đóng K compắc nên theo Bổ đề Ky Fan (Chương 1) ta  S ( y)   yK Bổ đề chứng minh z   i yi với i  0,  i  iI Bổ đề 2.6 iI Giả sử D, K , G, H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6, khẳng G  yi , z   H  z , yi   int C , i  I  i  G( yi , z )  H ( z , yi )  int C định sau tương đương: 1) x  K , G( y, x )  H ( x , y)   int C, y  K (2.19) iI 2) x  K , G( x , y)  H ( x , y)    int C, y  K Theo giả thiết 2) 4) ta có  i  G( yi , z)   iI   i , jI Chứng minh i  j  G ( yi , y j )   Lấy x  K cho G( y, x )  H ( x , y)   int C, y  K Cố định y  K ta đặt xt  ty  (1  t ) x , t   0,1 , điều có nghĩa xt  K , với t   0,1  i  j G( yi , y j )  G( y j , yi )  i , j I   Do G( xt , x )  H ( x , xt )   int C Mặt khác theo giả thiết 5) 7) ta có  H  z, z   Hơn  i H  z, yi  iI Kết hợp kết ta có  iG  yi , z   iI hay  iI Ta có z   S ( yi ) Giả sử trái lại z    S ( yi ) , điều kéo theo Vậy iI ánh xạ KKM Điều có nghĩa tồn x với G( y, x )  H ( x , y)   int C, y  K số tự nhiên Lấy z  co  yi : i  I  ta có iI K  i H  z, yi ,  i  G  yi , z   H  z, yi    C (2.20) iI Kết hợp (2.19), (2.20) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.21) H ( x , xt )  tH ( x , y)  (1  t ) H ( x , x )  tH ( x , y) hay iI  G( xt , xt )  tG( xt , y)  (1  t )G( xt , x ) tH ( x , y)  H ( x , xt )  C Điều dẫn đến (1  t ) t H ( x , y )  (1  t ) H ( x , xt )  C , t   0,1 (2.22) Kết hợp (2.21) (2.22) ta có: http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 48 tG( xt , y)  (1  t )G( xt , x )  H ( x , xt )  (1  t ) tH ( x , y)  C Chứng minh Do G( xt , x )  H ( x , xt )   int C nên ta kết luận Giả sử trái lại tồn y  D \ K với  ( y)  int C Lấy z   x0 , y  , z  tG( xt , y)  (1  t ) t H ( x , y)   int C, hay  x0  (1   ) y,   [0,1) ta có G( xt , y)  (1  t ) H ( x , y)   int C, t  (0,1] Đặt F (t )  G( xt , y)  (1  t ) H ( x , y) Do giả thiết 3) nên F nửa liên tục theo nón C hay nửa liên tục theo nón C t  Do  ( z)   ( x0  (1   ) y)   ( x0 )  (1   ) ( y) Như vậy:  ( z)  ( x0 )  (1   ) ( y)  C  C  int C  int C F (t )    int C , t  (0,1], Hay nói cách khác  ( z )   int C , z   x0 , y  nên ta có F (0)   int C hay Vì x0  coreD K nên tồn z0   x0 , y   K Vậy  ( z0 )  int C , điều G( x , y)  H ( x , y)   int C trái giả thiết  ( y)   int C, y  K Vậy ta có 1) suy 2) Bây ta giả sử x  K , G( x , y)  H ( x , y)    int C, y  K Ta Bổ đề chứng minh  chứng minh G( y, x )  H ( x , y)   int C, y  K Giả sử tồn y  K Chứng minh Định lí 2.6 cho G( y , x )  H ( x , y )  int C Vậy ta viết: Theo Bổ đề 2.5 tồn vectơ x  K cho G( y , x )  H ( x , y )  , với   int C G ( y, x )  H ( x , y )   int C, y  K Mặt khác G( x , y )  G ( y , x )  nên Sử dụng Bổ đề 2.6 ta có G( y , x )  G( x , y )  v với v  C G( x , y)  H ( x , y)   int C, y  K Như ta có: Ta định nghĩa hàm  : D  Y xác định H ( x , y )  G( x , y )    v  int C  ( y )  G( x , y )  H ( x , y ) Điều mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Vậy bổ đề chứng minh  y  K Nếu x  coreD K ta chọn x0  x , trường hợp khác ta đặt x0  a , a thỏa mãn giả thiết 8) Như ta có  ( x0 )  , sử Bổ đề 2.7 Giả sử D, K thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6  : D  Y hàm lồi, x0  coreD K cho  ( x0 )  0,  ( y)    int C y  K Khi  ( y)    int C, y  D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Do giả thiết 4) 7) G, H ta có  lồi, theo  ( y)   int C, với http://www.lrc-tnu.edu.vn dụng Bổ đề 2.7 ta có  ( y)   int C, y  D hay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 50 G( x , y)  H ( x , y)   int C, y  D Cho không gian X , Y , tập K , nón C hàm G, H Giả sử C thỏa mãn điều kiện (  ) C nón lồi, đóng, nhọn Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: Y cho C \ 0  int C D, K , C , G, H thỏa mãn tất điều 1) G( x, x)  x  K ; kiện Định lí 2.6 ta có 2) Với y  K , hàm G(., y) hemi-liên tục; 3) G H - giả đơn điệu; G( x , y)  H ( x , y )    int C , y  D 4) Với x  K , hàm G( x,.) nửa liên tục lồi; Từ (C \{0})   int C ta có 5) H ( x, x)  x  K ; G( x , y)  H ( x , y)   (C \{0}), y  D Định lí chứng minh  6) Với y  K , hàm H (., y) nửa liên tục trên; 7) Với x  K , hàm H ( x,.) lồi; Một kết khác hợp hai hướng nghiên cứu (có giả 8) Điều kiện bức: Tồn tập compắc B  K y0  B cho thiết đơn điệu) thiết lập Bianchi-Hadjisavass-schaible [2] (1997), tác giả xét Bài toán cân (2.17) với hàm F có G( x, y0 )  H ( x, y0 )  x  K \ B Khi tập nghiệm Bài toán cân dạng (2.18) dùng khái niệm đơn điệu suy rộng Cho X không gian vectơ tôpô Hausdorff, K  X tập lồi đóng khác rỗng, Y không gian lồi địa phương với nón thứ tự C  Y nhọn, lồi, đóng, int C   hàm G, H : K  K  Y Hàm G gọi giả đơn điệu theo H (hay H -giả đơn điệu) với (2.22) x  K : G( x , y)  H ( x , y)  y  K không rỗng compắc Định lí chứng minh sở ý tưởng chứng minh Định lí 2.4 Với y  K ta đặt: x, y  K , P( y )   x  K : G ( x, y )  H ( x, y )  0 ; G( x, y)  H ( x, y)  kéo theo G( y, x)  H ( x, y)  Q( y )  P( y ) ; R( y )   x  K : G ( y, x)  H ( x, y )  0 Dễ thấy, H  định nghĩa trở thành định nghĩa giả đơn điệu thông thường G Sự tồn nghiệm Bài toán (2.17) với F có dạng (2.18) thiết lập định lí sau Bổ đề 2.8 Nếu Điều kiện 1)- 7) Định lí 2.7 thỏa mãn,  P ( y )   Q( y )   R ( y ) yK Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên yK yK giao tập đóng K Định lí 2.7 ([2], 1997) http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 52 Do điều kiện 4) 6), R( y ) đóng K , suy Chứng minh Q( y )  P( y )  R( y ), y  K Trước hết ta ra:  R( y )  yK Lấy x   P( y ) Như yK P( y)  Q( y)  R( y), y  K ,  R( y) , ta có  P ( y )   Q( y )   R ( y ) yK yK G( y, x)  H ( x, y)  0, y  K yK (2.27) yK Từ (2.26) (2.27) có: Với y  K (cố định) đặt yt  ty  (1  t ) x, t  (0,1) Khi  P ( y )   Q( y )   R ( y ) G( yt , x)  H ( x, yt )  0, t  (0,1) , yK (1  t )G( yt , x)  tG( yt , y)  (1  t ) H ( x, yt )  tG( yt , y) yK yK Do Q( y) đóng với y  K , nên giao tập đóng K (2.23) Bổ đề chứng minh  Do điều kiện 1) 4) ta có:  G( yt , yt )  tG( yt , y)  (1  t )G( yt , x) (2.24) Lưu ý với a, b Y , a  b, a  b  Do đó, từ (2.23) Ta  Q( y)   Nguyên lí ánh xạ KKM yK (2.24) suy ra: K tG( yt , y)  (1  t ) H ( x, yt )  (2.25) Từ điều kiện 5) 7) ta có H ( x, yt )  tH ( x, y) hữu hạn  yi : i  I   K y  co  yi : i  I  \  P( yi ) , nghĩa có i  0, iI G( yt , y)  (1  t ) H ( x, y)  Vậy từ điều kiện 2) ta có: iI y   i yi cho i I G( y, yi )  H ( y, yi )  0, i  I Do đó, từ tính lồi G( y,.) H ( y,.) (Điều kiện 4), 7)) suy G( x, y)  H ( x, y)  , G ( y,  yi )  H ( y,  yi )  , hay iI  P( y) hay iI G ( y, y )  H ( y, y )  yK  R( y )   P( y ) yK Ánh xạ P : K  ánh xạ KKM Thật vậy, trái lại có tập  i  1, Do đó, từ (2.25) suy ra: nghĩa x  Chứng minh Định lí 2.7 (2.26) yK Mặt khác, G H -giả đơn điệu (Điều kiện 3)) nên Do H ( x, x)  (Điều kiện 5)) nên G( y, y)  , mâu thuẫn với Điều kiện 1) Vậy P ánh xạ KKM P( y)  R( y), y  K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Do P( y)  Q( y) nên dễ thấy Q : K  54 K ánh xạ KKM Với Cho X , Y không gian vectơ, Z không gian vectơ tôpô, K  X , y  K , ta có Q( y) tập đóng Hơn điều kiện (Điều kiện D  Y tập khác rỗng P  Z nón nhọn lồi, đóng, xác 8)) ta có Q( y0 )  B compắc Do theo Nguyên lí ánh xạ KKM định thứ tự phần Z Z  Q( y )   Cho hàm đa trị F : K  D  Xét toán cân vectơ đa trị: yK Như vậy, theo Bổ đề 2.8 điều kiện ta có tập nghiệm Bài toán cân (2.22) không rỗng compắc Tìm y  D cho F ( x, y )  P với x  K (3.1) Trước thiết lập điều kiện tồn nghiệm cho toán cần khái niệm tựa lồi thường ánh xạ đa trị khái niệm ánh Định lí chứng minh  xạ T  KKM Z Cho K  X tập lồi ánh xạ đa trị G : K  Khi G Nhận xét 2.6 Từ Định lí 2.6 Định lí 2.7 ta nhận kết mở rộng vectơ gọi tựa lồi thường với x, y  K , u  G( x), v  G( y) (đơn trị) Bất đẳng thức Ky Fan G  kết tồn t  [0,1] tồn z  G(tx  (1  t ) y) cho z  u hay z  v nghiệm toán cân vectơ (đơn trị) đơn điệu H  Nhận xét 3.1 Khái niệm tựa lồi mở rộng đa trị khái niệm tựa lồi Chương thường hàm đơn trị: Một ánh xạ đơn trị g : K  Z gọi tựa lồi thường với BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ x, y  K t  [0,1] có f (tx  (1  t ) y)  f ( x) hay f (tx  (1  t ) y)  f ( y) Để với Chương đưa nhìn chung nghiên cứu tồn nghiệm dùng Nguyên lí ánh xạ KKM toán cân vectơ, chương đề cập đến số kết nghiên cứu trường hợp toán cân vectơ đa trị Các kết nghiên cứu trực tiếp toán này, theo hiểu biết chúng tôi, hạn chế Dưới số kết tập hợp từ báo Fu [10] sách TấnMinh [17] Dễ thấy trường hợp Z  R, P  [0;+) khái niệm tựa lồi thường khái niệm tựa lồi tương đương Bổ đề 3.1 Z Cho G : K  ánh xạ đa trị Khi G tựa lồi thường với tập hữu hạn  x1 , x2 , , xn   K , zi  G ( xi ), ti  , i  1, 2, , n, 3.1 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n  ti i 1 n  1, tồn z  G ( ti xi ) i  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 1, 2, , n cho 56 1) T nửa liên tục G T  KKM ; z  zi 2) Với x  K ; T ( x) khác rỗng, lồi, compắc G ( x) tập đóng Chứng minh Ta tiến hành chứng minh điều kiện cần quy nạp (chiều ngược lại hiển nhiên) Khi ấy:  G ( x)   xK Điều kiện tồn nghiệm toán (3.1) thiết lập định lí Với n  kết luận hiển nhiên theo định nghĩa Giả sử kết sau luận với n  m , ta phải chứng minh kết luận với n  m  Nếu x1 , , xm 1  K , ti  0, 1, , m  , ta viết m 1  ti i 1  1, zi  G ( xi ), i  tm tm 1 y xm  xm 1 x  tm  tm 1 tm  tm 1 Cho X , Y , Z không gian vectơ tôpô, K  X tập lồi compắc, khác rỗng, D  Y tập lồi, đóng, khác rỗng P  Z m 1  ti xi nón nhọn lồi đóng, xác định thứ tự phần Z Cho i 1 Khi x  t1x1   tm 1xm 1  (tm  tm 1 ) y Theo định nghĩa T :K 2 D ánh xạ đa trị nửa liên tục với T ( x) tập lồi, Z compắc, khác rỗng với x  K F : K  D  ánh xạ đa trị tồn z  G( y) cho: z  zm z  zm 1 (3.2) Theo giả thiết quy nạp tồn z  G( x) cho z  zi với i đó, hay z  z Nếu z  z , (3.2) ta có z  zm z  zm 1 Bổ đề chứng minh  Y Cho K  X tập lồi khác rỗng ánh xạ đa trị G , T : K  Khi ấy, G gọi ánh xạ T-KKM với tập hữu hạn x1 , x2 , , xn   K Định lí 3.1 (Fu [10], 2000) có thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với x  K y  T ( x) có F ( x, y)  P ; 2) Với x  K , tập  y  D : F ( x, y )  P đóng; 3) Với y  D , ánh xạ F (., y) tựa lồi thường Khi tồn y  D cho F ( x, y )  P , với x  K Chứng minh D Ta xét ánh xạ G : K  xác định : n G ( x)   y  D : F ( x, y )  P x  K T (co  x1 , x2 , , xn )   G ( xi ) i 1 Theo giả thiết 2), G ( x) đóng, nên ta cần thể G ánh xạ Bổ đề 3.2 (Shioji [15], 1991) Cho X , Y hai không gian vectơ tôpô, K  X tập lồi compắc Y ánh xạ đa trị G, T : K  thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 58 T  KKM Giả sử trái lại tồn x1 , x2 , , xn  K x  n co  x1 , x2 , , xn  thỏa mãn T ( x )   G ( xi ) Khi tồn y  T ( x ) i 1 n cho y    G ( xi ) , nghĩa F ( xi , y )   P , với i  1, 2, , n Trong Định lí 3.1, lấy X  Y , D  K , T  I (ánh xạ đồng nhất) ta có điều cần chứng minh  Hơn nữa, F ánh xạ đơn trị từ Hệ 3.1 ta có dạng vectơ sau Bất đẳng thức Ky Fan i 1 Vậy với i tồn zi  F ( xi , y ) cho zi   P, i  1, , n (3.3) Do F (., y ) tựa lồi thường nên theo Bổ đề 3.1 tồn z  F ( x , y )  P i  1, , n cho  z  zi Hệ 3.2 Cho X , Z , K , P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1, ánh xạ đơn trị f : K  K  Z cho: (3.4) 1) Với x  K , có f ( x, x)  ; Kết hợp (3.3) (3.4) ta nhận mâu thuẫn, nghĩa G T-KKM, theo Bổ đề 3.2 ta có  2) Với x  K , tập  y  K : f ( x, y )  0 đóng; G ( x)   , tức tồn y  D cho 3) Với y  K , ánh xạ f (., y) tựa lồi thường xK F ( x, y )  P , với x  K Khi tồn y  K cho f ( x, y )  , với x  K Định lí chứng minh  Từ Định lí 3.1 ta có hệ sau dạng đa trị Bất đẳng thức Ky Fan Nhận xét 3.2 Hệ 3.1 Trong trường hợp Z  R, P  (, 0], f   g , g : K  K  R Cho X , Z , K , P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1 ánh xạ đa trị F : cho: Z 1) Với x  K , có g ( x, x)  ; 1) Với x  K , có F ( x, x)  P ; 2) Với x  K , hàm g ( x,.) nửa liên tục dưới; 2) Với x  K , tập  y  K : F ( x, y )  P đóng; 3) Với y  K , hàm g (., y) tựa lõm; K  K  cho : 3) Với y  K , ánh xạ F (., y) tựa lồi thường Khi tồn y  K cho F ( x, y )  P , với x  K Bất đẳng thức Ky Fan (vô hướng) 3.2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên theo Hệ 3.2 ta có y  K với g ( x, y )  với x  K , nghĩa có http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 60 Cho X , Y hai không gian vectơ tôpô , tập lồi đóng D  X , nón lồi đóng C  Y với int C   hàm đa trị F : D  D  2Y , F ( x, y)   với x, y  D Bài toán cân vectơ đa trị xét toán sau: Tìm x  D cho F ( x , y)    int C với y  D , (3.5) F hàm đơn điệu Để đưa kết tồn nghiệm Bài toán (3.5) ta cần số khái niệm a) Nếu G đơn trị khái niệm đơn điệu khái niệm đơn điệu ( theo nón C ) hàm vectơ đơn trị (ở chương 2) b) Nếu T đơn trị khái niệm C - lồi C - lồi trùng T gọi C - lồi (hay lồi theo C ) c) Nếu T đơn trị tính C - liên tục C - liên tục T gọi C - liên tục ( hay liên tục theo C ) Về tồn nghiệm Bài toán (3.5) với F  G  H , G hàm vectơ đa trị H hàm vectơ đơn trị ta có kết sau Y Hàm G : D  D  gọi đơn điệu G( x, y)  G( y, x)  C phát biểu chứng minh Tan-Minh [17] (2006) x, y  D Hàm T : D  2Y gọi C - lồi ( C - lồi dưới) T ( x)  (1   )T ( y)  T ( x  (1   ) y)  C ( T ( x  (1   ) y)  T ( x)  (1   )T ( y)  C , tương ứng) Hàm T gọi C - liên tục ( C - liên tục dưới) x0  D Định lí 3.2 Cho X , Y hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D  X tập lồi, đóng, khác rỗng, C  Y nón nhọn, lồi, đóng với int C   G : D  D  2Y , H : D  D  Y hàm thỏa mãn điều kiện sau: với lân cận V Y tồn lân cận U x0 1)  G( x, x) với x  D ; X cho với x U  domT ta có 2) G đơn điệu G( x, y) compắc với x, y  D ; 3) Với x, y  D cố định, hàm g : 0,1  2Y xác định T ( x)  T ( x0 )  V  C ( T ( x0 )  T ( x)  V  C , tương ứng) g (t )  G(ty  (1  t ) x, y) (C ) -liên tục t  ; T gọi C - liên tục x0 T vừa C - liên tục vừa C - liên tục x0 T gọi C - liên tục ( C - liên tục dưới, 4) Với x  D cố định, hàm G( x,.) : D  2Y C - liên tục C - lồi dưới; C - liên tục) D T C - liên tục ( C - liên tục dưới, C - liên 5) H ( x, x)  với x  D ; tục, tương ứng ) điểm thuộc D 6) Với y  D cố định, hàm H (., y) : D  Y (C ) - liên tục trên; 7) Với x  D cố định, hàm H ( x,.) : D  Y C - lồi; Nhận xét 3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 62 8) Tồn tập lồi, compắc, khác rỗng K  D cho với x  K \ coreD K có a  coreD K thỏa mãn nhiên) Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.5 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có co  yi : i  I    S ( yi ) , nghĩa ánh xạ S : K  2K ánh iI G( x, a)  H ( x, a)  C xạ KKM Do K tập compắc nên theo Nguyên lí ánh xạ KKM suy Khi tồn x  K cho G( x , y )  H ( x , y )    int C với y  D  S ( y)   , nghĩa có kết luận Bổ đề 3.3  yK Nếu ra, C thỏa mãn điều kiện (  ) tồn x  K cho G( x , y)  H ( x , y)   (C \ 0) y  D Định lí 3.2 mở rộng đa trị Định lí 2.6 (Chương 2) chứng minh dựa vào ý tưởng kỹ thuật chứng minh Định lí 2.6 Chứng minh đầy đủ Định lí 3.2 trình bày [17] Do Bổ đề 3.4 Nếu x  K thỏa mãn (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C  , khuôn khổ luận văn, trình bày ý chứng minh định lí G( x , y )  H ( x , y )    int C , y  K (3.6a) (3.6b) Chứng minh Tương tự chứng minh Định lí 2.6, Định lí 3.2 chứng minh qua Lấy x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C  , ba bổ đề Trong bổ đề ta giả thiết điều kiện từ 1) đến 8) Định lí 3.2 thỏa mãn y  K Với y  K bất kì, cố định, đặt xt  ty  (1  t ) x , Bổ đề 3.3 t  [0,1] Do xt  K với t  [0,1] nên Tồn x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C   y  K , y  K (G( xt , x )  H ( x , xt ))  int C   Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có Chứng minh (1  t ) H ( x , y)  G( xt , y)    int C với t  Với y  K , đặt S ( y )   x  K : (G ( y, x)  H ( x, y ))  int C   Từ giả thiết 2) 5) suy y  S ( y ) , nghĩa S ( y)  với y  K Do giả thiết 4) 6) ta có S ( y) đóng X Lấy  yi : i  I  (3.7) Do tính liên tục hàm G( xt , y) theo t t  (Giả thiết 3)), từ (3.7) ta H ( x , y )  G( x , y )    int C Vì y  K nên có khẳng định bổ đề  tập hữu hạn K ( I tập hữu hạn tập số tự Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 64 Lưu ý Bổ đề 3.4 khẳng định Điều kiện (3.6a) suy Điều kiện (3.6b), trường hợp đơn trị, Bổ đề 2.6 tương đương hai điều kiện tương ứng (Điều kiện 1) 2) bổ đề này) Cho không gian X , Y , tập D , nón C hàm G Định lí 3.2 cho điều kiện sau thỏa mãn: 1)  G( x, x) với x  D ; Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 2.7, ta có kết sau 2) G đơn điệu G( x, y) compắc với x, y  D ; 3) Với x, y  D bất kì, cố định, hàm g :[0,1]  2Y định nghĩa Bổ đề 3.5 Nếu  : D  2Y C - lồi có tính chất: g (t )  G(ty  (1  t ) x, y) (C ) - liên tục t  ; 1) Tồn x0  coreD K với  ( x0 )  C ; 2)  ( y)    int C 4) Với x  D cố định, hàm G( x,.) : D  2Y C - lồi C - y  K , liên tục dưới; 5) Điều kiện bức: Tồn tập lồi, compắc, khác rỗng K  D cho với  ( y)   int C y  D x  K \ coreD K có a  coreD K thỏa mãn G( x, a)  (C ) Chứng minh Định lí 3.2 Khi tồn x  K cho Theo Bổ đề 3.3 tồn x  K cho (G ( y, x )  H ( x , y ))  int C   G( x , y )    int C, y  D y  K Nếu ra, nón C thỏa mãn Điều kiện (  ) tồn x  K cho Theo Bổ đề 3.4 G( x , y )  H ( x , y )    int C, G ( x , y )  (C \ 0), y  D y  K Đặt  ( y)  G( x , y)  H ( x , y), y  D Áp dụng Bổ đề 3.5 hàm  : D  2Y sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận Định lí 3.2  Trong trường hợp H  , Định lí 3.2 cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đa trị đơn điệu Kết phát biểu thành định lí Nhận xét 3.3 1) Nếu G hàm đơn trị từ Định lí 3.2 ta nhận điều kiện đủ tồn nghiệm Bài toán cân vectơ đơn trị (2.17) với F có dạng (2.18) Trong trường hợp Y  R, C  R , điều kiện đủ kết Blum- Oettli [3] cho toán cân vô hướng 2) Nếu G đơn trị từ Định lí 3.3 ta nhận kết tồn nghiệm Bài toán cân vectơ đơn trị đơn điệu (được xét Chương 2) Định lí 3.3 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 66 Để nghiên cứu tồn nghiệm toán cân vectơ đơn điệu  Luận văn trình bày số kết nghiên cứu tồn cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, cách tiếp cận trực tiếp nghiệm toán cân vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên số kết nghiên cứu trình bày chương chương lí ánh xạ KKM trường hợp có giả thiết đơn điệu giả thiết trước, muốn lưu ý đến cách tiếp cận gián tiếp chuyển đơn điệu (Chương 2) toán vectơ toán vô hướng Cách tiếp cận Oettli [14] đưa  Một số kết nghiên cứu tồn nghiệm toán cân năm 1997 với số kết toán vectơ đơn trị với số gợi ý vectơ đa trị trường hợp đơn điệu giả thiết đơn điệu nghiên cứu toán vectơ đa trị Ở đây, không sâu vào đề cập luận văn (Chương 3) cách tiếp cận  Các kết nghiên cứu trình bày luận văn toán cân vectơ tập hợp từ số báo công bố khoảng mười năm gần Các kết lựa chọn trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM dựa vào ý tưởng kĩ thuật toán cân vô hướng Luận văn bổ xung vào tài liệu tồn nghiệm toán cân vectơ với cách tiếp cận Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thày, cô giáo bạn đọc giáo KẾT LUẬN  Luận TÀI LIỆU THAM KHẢO văn trình bày số điểm Nguyên lí ánh xạ KKM không gian vectơ tôpô liên quan với số thành tựu quan trọng giải tích phi tuyến Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM Bất đẳng thức Ky Fan (Chương 1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [1] Q H Ansari- I V Konov- J C Yao, Existence of a Solution and Variattional Principles for vector Equilibrium Problems, J Optim Theory Appl, Vol 110 (2001), 481- 492 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 68 [2] M Bianchi, N Hadjisavvas and S Schaible, Vector Equilibrium [13] U Mosco, Implicit Variational Problems and Quasi- Variational Problems with Generalized Monotone Bifunctions, J Optim Theory Appl, Inequalities, Lecture Notes in Mathematics, Spriger- Verlag, Vol 543 Vol 92 (1997), 527- 542 (1976), 83- 156 [3] E Blum and W Oettli, From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, Mathematics Student, Vol 63(1993), 1-23 [14] W Oettli, A Remark on Vector-Valued Equilibria and Generalized Monotonicity, Acta Mathematica Vietnama, Vol 22(1997), 213-221 [15] N Shioji, A Further Generalization of the Knaster- Kuratowski- [4] H Brezis, L Nirenberg and G Stampacchia, A Remark on Ky Fa ns Minimax Principle Boll Un Mat Ital Vol 6(1972) 293-300  [5] L E J Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math Marurkiewicz Theorem, Proc Amer Math Soc 111, (1991), 187- 195 [16] N X Tấn and P N Tĩnh, On the Exitstence of Equilibrium Points of Vector Functions, Numer Funct Anl Optim Vol 19 (1998), 141- 156 [17] N.X.Tấn N.B.Minh, Một số vấn đề lí thuyết tối ưu vectơ đa Ann 71 (1912), 97-115 [6] O.Chali, Z Chbani and H.Riahi, Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions and Applications to Variational Inequalities, J Optim Theory Appl Vol 105(2000), 299-323 trị, NXB Giáo dục, 2006 [18] Đ.H.Tân N.T.T.Hà, Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm, 2003 [7] X.P Ding and K.K.Tan, A Minimax Inequality with Applications to Existence of Equilibrium Point and Fixed Point Theorems, Colloquium Mathematicum, Vol 63 (1992), 233-247 [8] K Fan A Generalization of Tychonoff s Fixed Point Theorem, Math Ann 142 (1961), 305-310 [9] K Fan, A Minimax Inequality and Applications In: Inequalities III, ed by O Shisha, A cademic, Press, New York- Lon don (1972), 103-113 [10] Sun-Yi Fu, Generalized Vector Quasi-Equilibrium Problems, Math Meth Oper Res Vol 52(2000), 57- 64 [11] B Knaster, K Kuratowski and S Mazurkiewicz, Ein Beweis des  n-Dimensionale Simplexe, Fund Math 14 (1929), 132Fixpunktsatzes f ur 137 [12] G Minty, Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert space, Duke Math Journal, Vol 29 (1962), 341-346 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... với bài toán vectơ đa trị Ở đây, chúng tôi không đi sâu vào được đề cập trong luận văn (Chương 3) cách tiếp cận này  Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận văn về bài toán cân bằng vectơ được tập hợp từ một số bài báo công bố trong khoảng mười năm gần đây Các kết quả này được lựa chọn và trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM và dựa vào ý tưởng cũng như kĩ thuật cơ bản ở bài toán. .. Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 66 Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu  Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại bằng cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, ngoài cách tiếp cận trực tiếp như nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên ở một số kết quả nghiên cứu được trình bày ở chương này và chương lí ánh xạ KKM. .. chúng tôi không đi sâu vào các mở rộng này mà chỉ nêu yC ra cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM trong bài toán vô hướng để  G( y)   yC Định lí được chứng minh  dễ thấy sự mở rộng của cách tiếp cận này trong bài toán vectơ được xét ở các phần sau Về sự duy nhất nghiệm của Bài toán (2.2) ta có mệnh đề sau Mệnh đề Nếu C là tập lồi và g là hàm đơn điệu chặt thì nghiệm của Bài toán cân bằng (2.2)... toán cân bằng vô hướng Luận văn là một bổ xung vào tài liệu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với cách tiếp cận này Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong được các thày, cô giáo và bạn đọc chỉ giáo KẾT LUẬN  Luận TÀI LIỆU THAM KHẢO văn này trình bày một số điểm cơ bản về Nguyên lí ánh xạ KKM ở không gian vectơ. .. cứu tồn tại nghiệm dùng Nguyên lí ánh xạ KKM đối với bài toán cân bằng vectơ, ở chương này chúng tôi đề cập đến một số kết quả nghiên cứu ở trường hợp bài toán cân bằng vectơ đa trị Các kết quả nghiên cứu trực tiếp đối với bài toán này, theo hiểu biết của chúng tôi, còn hạn chế Dưới đây là một số kết quả được tập hợp từ bài báo của Fu [10] và cuốn sách của TấnMinh [17] Dễ thấy trong trường hợp Z  R,... C   và hàm F : K  K  Y với F ( x, x)  0 , x  K Bài toán cân bằng được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x  K sao cho F ( x, y)  0 y  K , (2.8) Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng giả đơn điệu (2.8) ta có kết quả quan trọng sau được chứng minh trên cơ sở sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM Định lí 2.4 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997) Cho các không gian X , Y , tập K , nón C và hàm... y)  0 y  C Vậy G là ánh xạ KKM Theo Bổ đề Ky Fan thì  G( y)   nghĩa là bài toán cân bằng (2.1) yC Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976) Cho C là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và có nghiệm Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc B hàm... được chứng minh 6) Phần trong đại số Ai ( K ) của K không rỗng Khi ấy Bài toán (2.14) có nghiệm  Chứng minh Định lí 2.5 Giả sử bài toán (2.14) không có nghiệm Do điều kiện bức và tính tựa lồi Bổ đề sau được dùng để chứng minh Định lí 2.5 của F (suy ra từ Giả thiết 3)), như trong chứng minh Định lí 2.4, dùng Bổ đề 2.4 Nguyên lí ánh xạ KKM ta có Giả sử các điều kiện1),2),5) thỏa mãn và x, y  K sao cho... thiết đơn điệu và không có giả thiết trước, chúng tôi muốn lưu ý đến một cách tiếp cận gián tiếp là chuyển bài đơn điệu (Chương 2) toán vectơ về bài toán vô hướng Cách tiếp cận này được Oettli [14] đưa ra  Một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng năm 1997 với một số kết quả ở bài toán vectơ đơn trị và với một số gợi ý vectơ đa trị ở các trường hợp đơn điệu và không có giả... (Điều kiện D  Y là các tập con khác rỗng và P  Z là một nón nhọn lồi, đóng, xác 8)) ta có Q( y0 )  B là compắc Do đó theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì định một thứ tự từng phần trên Z Z  Q( y )   Cho hàm đa trị F : K  D  2 Xét bài toán cân bằng vectơ đa trị: yK Như vậy, theo Bổ đề 2.8 và điều kiện bức ta có tập nghiệm của Bài toán cân bằng (2.22) không rỗng và compắc Tìm y  D sao cho F ( x, y