ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Footer Page of 16 Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – 2008 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Tập lồi hàm lồi .7 1.3 Toán tử đơn điệu 14 1.3.1 Các định nghĩa toán tử đơn điệu 15 13.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn .19 1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại 21 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1 Bất đẳng thức biến phân 33 2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .39 2.3 Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị 46 2.4 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 49 Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1 Phát biểu mô hình .55 3.2 Mô hình Nash – Cournot với toán cân 56 3.3 Mô hình Nash – Cournot với toán bất đẳng thức biến phân 57 3.4 Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỞ ĐẦU Ánh xạ đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu Đặc biệt phải kể đến như: R T Rockafellar, F E Browder, (Xem [5], [14]) Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng lĩnh vực tối ưu hóa Nó giúp ích cho việc chứng minh tồn tính nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Đề tài luận văn nghiên cứu toán tử đơn điệu không gian Hilbert thực ứng dụng việc khảo sát toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt mô hình kinh tế tiếng Nash - Cournot Vì thế, đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức sở có liên quan; khái niệm, tính chất điều kiện cho toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân mô hình kinh tế Nash Cournot Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành ba chương với tiêu đề: Chương 1: Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu Nội dung chương là: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử đơn điệu Sau đó, trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn đơn điệu cực đại Song song với khái niệm số kết tính chất, điều kiện toán tử đơn điệu Footer PageSố4hóa of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương 2: Trình bày toán bất đẳng thức biến phân toán liên quan Sau đó, trình bày số kết việc sử dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn tính nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương 3: Trình bày mô hình kinh tế Nash - Cournot lĩnh vực sản xuất kinh doanh Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu tồn tính nghiệm cho mô hình Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm hoàn thiện luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn tới quan, gia đình bạn bè động viên, ủng hộ giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008 Ngô Thị Việt Hằng Footer Page of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Nội dung chương bao gồm: số kiến thức sở không gian Hilbert thực giải tích lồi Tiếp sau khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại Đồng thời trình bày số kết liên quan đến tính đơn điệu toán tử đơn trị đa trị không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert thực Chúng ta không gian đơn giản không gian véc tơ tuyến tính trường số thực Đó tập hợp khác rỗng X mà có trang bị hai phép toán: phép toán cộng hai véc tơ phép toán nhân số thực với véc tơ: x1  x2  X , x1 , x2  X ;  x  X , x  X ,   R  Nếu X trang bị tô pô  họ tập X thỏa mãn tính chất:   ; X  ; A  , B   A  B  ; At   t  T    At  , tT ( T tập số bất kỳ) X gọi không gian véc tơ tô pô thường ký hiệu  X ,    Nếu X trang bị metric  ( ) với tính chất:  ( x, y )  0, x, y  X ;  ( x, y )   x  y ;  ( x, y )   ( y, x), x, y  X ;  ( x, y )   ( x, z )   ( y, z ), x, y, z  X X gọi không gian metric Footer PageSố6hóa of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16  Nếu X trang bị chuẩn || , || với tính chất: || x ||  0, x  X ; || x ||   x  ; ||  x ||  |  ||| x ||, x  X ,   R ; || x  y ||  || x ||  || y ||, x, y  X X gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert nếu: với x, y  H , xác định số thực ký hiệu x, y gọi tích vô hướng x, y  X , thỏa mãn tính chất sau: x, y  y, x ; x  y, z  x, z  y, z ;  x, y   x, y ,   R ; x, x  x  , x, x  x  Mệnh đề 1 (Xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: x  x, x , x  X Định nghĩa 1.2 Cho X không gian định chuẩn Dãy xn   X gọi dãy X : lim xn  xm  m,n Nếu X,, dãy hội tụ, tức xn  xm  kéo theo tồn x0  X cho xn  x0 , X gọi không gian đủ Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert, luận văn ta thống ký hiệu H không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.4 Hai véc tơ x, y  H gọi hai véc tơ trực giao với nhau, kí hiệu x  y , x, y  Từ định nghĩa dễ dàng suy tính chất đơn giản sau đây: Footer Page of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16  x, x  X ; x  y  y  x ; x   y1, y2 , , yn   x  1 y1  2 y2   n yn , n  N * , i  R, i  1,2, ,n; x  yn , yn  y n   x  y Định nghĩa 1.5 Cho tập M  H , phần bù trực giao M , kí hiệu M  , tập hợp sau: M    x  H : x  y, y  M  Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz) Với véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức: f  x   a, x (1.1) Xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f  x  không gian H , với f  || a || (1.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f ( x ) không gian Hilbert H biểu diễn cách dạng ( 1.1 ), a véc tơ H thỏa mãn (1.2) Chứng minh Phần thứ định lý, ta dễ chứng minh f  x   a, x rõ ràng phiếm hàm tuyến tính : f  x   a, x  a  x (1.3) f  a   a, a  a  a nên phiếm hàm giới nội thỏa mãn (1.2) (1.4) Để chứng minh phần ngược lại, ta xét phiếm hàm tuyến tính liên tục f ( x ) không gian Hilbert H Tập hợp M   x  H : f  x   0 Footer PageSố8hóa of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 rõ ràng không gian đóng H Nếu M   0 dựa vào cách phân tích x  y  z với y  M , z  M  , ta thấy z  , f  x   f  y   với x  H , f  x   0, x , nghĩa ta có cách biểu diễn (1.1) với a  Vậy phải xét trường hợp M   0 Ta có f  x0   , nên véc tơ : a f  x0  x0  x0 , x0 Với x  H , y x f  x x0  M f  x0  f  y  f  x  f  x f  x0   f  x0  Mà x0  M  , y, x0  , tức x f  x f  x x0 , x0  x, x0  x0 x0  f  x0  f  x0  hay: f  x  Như vậy, f  x0  x0 , x  a, x x0 , x0 f  x  có dạng (1.2) Cách biểu diễn nhất, f  x   a, x a  a ' , x  , nghĩa a  a '  Cuối (1.3) (1.4) nên phải có (1.2) Định lí chứng minh  Định lý vừa chứng minh cho phép lập tương ứng đối phiếm hàm tuyến tính liên tục f H véc tơ a  H Tương ứng phép đẳng cự tuyến tính, ta đồng hóa phiếm hàm f với véc Footer Page of 16.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Số hóa http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 tơ a sinh ta có H *  H , nghĩa : không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp Cho A toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert H Với y  H cố định ta xét phiếm hàm f : H  R xác định sau: f  x   Ax, y , x  H Dễ thấy f phiếm hàm tuyến tính, liên tục H nên theo định lý 1.1 dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn y*  H để Ax, y  x, y* , x  H Định nghĩa 1.6 Cho A toán tử không gian Hilbert H , ánh xạ A* : H  H xác định sau: y  H , A* y  y* đó: Ax, y  x, A* y  x, y * A* gọi toán tử liên hợp toán tử A Nhận xét 1.1 Toán tử liên hợp A* tồn 1.2 Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.7 Tập D  H gọi tập lồi với x1, x2  D số thực    ta có:  x1  1    x2  D Nhận xét 1.2 Theo định nghĩa, tập  xem tập lồi Định nghĩa Tập K  H gọi nón có đỉnh nếu: x  K ,     x  K K  H gọi nón có đỉnh x0 K  x0 nón có đỉnh Footer PageSố10 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 (2.16) f ( x) x K Mệnh đề 2.11 (i) Nếu x* nghiệm tối ưu toán (2.16) x* nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(K, F) (ii) Ngược lại, f hàm lồi nghiệm VIP(K,F) nghiệm (2.16) Chứng minh (i) Giả sử x* nghiệm tối ưu toán (2.16) Hiển nhiên, với x  K  t  ta có: z  x*  t ( x  x* )  K Từ giả thiết suy hàm biến:  (t )  f  x*  t ( x*  x)  ,  t  hàm khả vi đạt cực tiểu điểm t  Vì ta có:   (0)  f ( x* ), x  x*  F ( x* ), x  x* Điều chứng tỏ x* nghiệm VIP(K,F) (ii) Ngược lại, giả sử f hàm lồi x nghiệm VIP(K, F) Theo định nghĩa ta có: F ( x), y  x  0, y  K (2.17) Mặt khác, f hàm lồi nên: f ( y)  f ( x)  f ( x), y  x  F ( x), y  x Kết hợp với (2.17) suy ra: f ( y )  f ( x), y  K Chứng tỏ x nghiệm tối ưu toán (2.16) Mệnh đề chứng minh  Footer PageSố56 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 Mệnh đề 2.12 Véc tơ x* nghiệm VIP  K ; F  nghiệm toán tối ưu: F  x*  , x (2.18) xK Chứng minh Hiển nhiên từ định nghĩa ta có: x*  SOL  VIP  K ; F   F  x*  , x  x*  0, x  K  F  x*  , x  F  x*  , x* , x  K Điều tương đương với x* nghiệm toán tối ưu (2.18) Mệnh đề chứng minh  Footer Page Số 57 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 Chương MÔ HÌNH NASH-COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Phát biểu mô hình Có n hãng tham gia sản xuất loại sản phẩm Ký hiệu xi U i  R sản lượng sản phẩm mà hãng i  i  1,2, , n  dự định thực Ta giả sử giá đơn vị sản phẩm hãng i cung cấp pi , phụ n thuộc vào tổng sản lượng tất hãng ký hiệu  :  xi , nghĩa ta có i 1 pi  pi   Đặt hi  xi  tổng chi phí sản xuất hãng i hãng thực kế hoạch sản lượng xi hàm lợi nhuận hãng xác định bởi:  n  fi  x1 , x2 , , xn   xi pi   xi   hi  xi  , i  1, 2, , n  i 1  (3.1) Mỗi hãng có chung mong muốn cực đại hàm lợi nhuận hãng Ta gọi Ui (i  1, 2, , n) tập chiến lược sản phẩm hãng i đặt: U  U1  U   U n tập chiến lược tất hãng Từ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1 Điểm x*   x1* , x2* , , xn*  U gọi điểm cân mô hình (cân Nash - Cournot) với i  1, 2, , n ta có: fi  x1* , , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*   fi  x1* , , xi*1, xi* , xi*1, , xn*  , yi U i (3.2) Từ Định nghĩa 3.1 ta nhận thấy điểm cân có ý nghĩa kinh tế sau: Tại điểm cân bằng, hãng i0 (1  i0  n) tự ý thay đổi sản lượng sản phầm hãng mình, hãng lại (i  i0 ) giữ nguyên sản lượng cân bằng, lợi nhuận hãng i0 không tăng thêm Footer PageSố58 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 Vấn đề tiếp sau việc xác định tồn điểm cân cho mô hình xây dựng sở cho thuật toán tìm điểm cân Muốn vậy, mô tả mô hình dạng số lớp toán có liên quan Mô hình Nash-Cournot với toán cân Với x  ( x1, x2 , , xn ) U y  ( y1, y2 , , yn ) U , ta đặt: n   x, y    fi  x1, , xi1, yi , xi 1, , xn  (3.3)   x, y     x, y    x, x  (3.4) i 1 Hiển nhiên  song hàm cân U ta có toán cân bằng: t×m ®iÓm x* U cho: ( EP )  *  ( x , y )  0, y U Mệnh đề 3.1 Điểm x* U điểm cân x* nghiệm toán cân (EP) Chứng minh Tính toán trực tiếp từ (3.3) (3.4) ta có: ( x, y)    fi  x1, , x j 1 , x j , x j 1 , , xn   fi  x1 , , x j 1 , y j , x j 1 , , xn  n i 1 Giả sử x* U nghiệm toán (EP), tức là:   x* , y   0, y U (3.5) Ta chứng tỏ x*   x1* , x2* , , xn*  với xi* U i , điểm cân Thật vậy, giả sử ngược lại, x*   x1* , x2* , , xn*  với xi* U i không điểm cân Khi tồn i0 ,  i0  n giá trị yi0 U i cho:     fi0 x1* , , xi*0 1, xi*0 , xi*0 1, , xn*  fi0 x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn*   Lúc này, thay y  x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn* vào biểu thức ( x* , y) ta có: Footer Page Số 59 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16     x* , y   fi0 x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn*  fi  x*   Điều mâu thuẫn với (3.5) Vậy x* điểm cân mô hình Ngược lại, giả sử x* U điểm cân mô hình Từ (3.2) - (3.4) ta có:   x* , y   0, y U Điều chứng tỏ x* nghiệm toán cân (EP) Mệnh đề chứng minh  Vậy là, tồn điểm cân cho mô hình phụ thuộc vào tồn nghiệm cho toán cân (EP) Đương nhiên phụ thuộc vào đặ tính hàm giá pi hay hàm chi phí hi (i  1, 2, , n) tập chiến lược U hãng 3 Mô hình Nash-Cournot với toán bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 3.2 Giả sử U i tập khác rỗng, lồi đóng R fi hàm lõm khả vi liên tục theo biến yi tập Ui (i  1, 2, , n) Khi đó, điểm x*   x1* , , xn*  U điểm cân mô hình x* nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP U , F  , đó:  F  x    xi fi  x   n i 1 Chứng minh Giả sử x* điểm cân mô hình Ta phải chứng minh x* nghiệm VIP U , F  , nghĩa là: F ( x* ), y  x*    xi fi ( x* )  yi  xi*   0, y U n (3.6) i 1 Thực vậy, từ (3.2) ta có xi* nghiệm toán tối ưu:    fi  x1* , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*  yi U i Footer PageSố60 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 (3.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 16 Theo giả thiết ta có  fi hàm lồi theo biến yi (i  1, , n) Vì vậy, theo Mệnh đề 2.11, với i  1, 2, , n xi* nghiệm bất đẳng thức biến phân:  xi fi ( x* )  yi  xi*   0, yi U i (3.8) Từ dễ dàng suy (3.6), hay x* nghiệm VIP U , F  Ngược lại, giả sử x* nghiệm VIP U , F  Từ (3.6), cách lấy: y   x1* , , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*  ( yi U i ) ta suy (3.8) Do tính lồi hàm  fi lại áp dụng Mệnh đề 2.11 ta có xi* nghiệm tối ưu toán (3.7), với i  1, 2, , n Điều chứng tỏ x* điểm cân mô hình Mệnh đề chứng minh  Mô hình Nash-Cournot với toán tử đơn điệu Theo [9], đưa giả thiết sau Giả thiết 3.1 (i) Giả sử hàm giá: pi ( )  p( ) : R  R khả vi liên tục hai lần không tăng Ngoài ra, hàm  : R  R định nghĩa bởi:  ( )   p(   ) hàm lõm với   (ii) Các hàm chi phí: hi : R  R (i  1, , n) hàm lồi, khả vi liên tục hai lần Cũng theo [9], ta đặt:   n T T H  x   h1  x1  , h2  x2  , , hn  xn  , e  1,1, ,1  R n , x   xi  x, e i 1 Khi đó, có mệnh đề sau Footer Page Số 61 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 16 Mệnh đề 3.4 (Xem [9]) Bài toán tìm điểm cân Nash tương đương với toán tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân VIP U , F  với ánh xạ: F  x   H  x   p  x  e  p  x  x (3.9) Từ Giả thiết 3.1, dễ thấy H ánh xạ đơn điệu Ngoài ra: F  x   H  x   C  x  , C  x  xác định sau:  p  x   x1 p  x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x  p  x   x2 p  x  C ( x)     p    x p   p    x p   x n x x n x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x     p  x   xxn p  x   Mệnh đề 3.5 Nếu Giả thiết 3.1 p ánh xạ affine với p  x   Khi đó, ánh xạ F (3.9) đơn điệu mạnh Rn Chứng minh Với y  Rn , ta có: F  x  y, y  H  x  y, y  p  x   y   y   p '  x   xi p ''  x   yi n n ' i 1 i i 1 n n   p  x   y  p  x    y p  x   xi yi ' i 1 i ' y '' i 1 n n i 1 i 1   p  x   yi2   y p  x   xi yi Hiển nhiên, p ánh xạ affine p  x   ta có được: F  x  y, y   p  x  y , y  R n Mặt khác, theo giả thiết thì:  p( x )  Theo [9] (Mệnh đề 1.1.5), ánh xạ F đơn điệu mạnh Rn Footer PageSố62 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 16 Mệnh đề 3.6 (Xem [9]) Nếu Giả thiết 3.1 p hàm lồi ánh xạ F (3.9) đơn điệu Mệnh đề 3.7 Giả sử hàm p hi affine, nghĩa là:  p( )     ,   0,   0;  hi ( xi )   i xi   i ,  i  0,  i  0, i  1, 2, , n Khi đó, Giả thiết 3.1 thỏa mãn, F ánh xạ đơn điệu mạnh mô hình có nghiệm Chứng minh Tính toán trực tiếp ta có: fi ( x)  xi (   x )   i xi   i , i  1, 2, , n F ( x)  ( 1, ,  n )T  (   x )e   x Từ suy ra:  2   F ( x )        2        2  Do   nên F ( x) ma trận đối xứng, xác định dương hay ánh xạ F đơn điệu mạnh Theo Định lý 2.5, VIP(U, F) hay mô hình có nghiệm Mệnh đề chứng minh  Lưu ý rằng, hàm giá không chung cho tất hãng, hay hãng có hàm giá pi (i  1, , n) riêng hàm pi thỏa mãn Giả thiết 3.1 điều kiện Mệnh đề 3.7, tính đơn điệu ánh xạ F không Chúng ta trình bày tồn nghiệm cho mô hình mệnh đề Trước hết ta xét bổ đề: Footer Page Số 63 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 16 Bổ đề 3.1 (Xem [9]) Cho U  Rn tập lồi, đóng khác rỗng,  song hàm cân xác định U Giả sử với x U cố định,   x,. hàm lồi, khả vi liên tục tập mở W  U Đặt J  x   y yx Khi đó, toán cân (EP) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân: t×m ®iÓm x U cho:   J  x  , y  x  0, y U (3.10) Mệnh đề 3.8 Giả sử rằng: U i  [ai , bi ];   pi ( )   i  i ,  i  0, i  0; h ( x )   x   ,   0,   0, i  1, 2, , n i i i i i  i i Khi đó, mô hình có nghiệm Chứng minh Tính toán trực tiếp ta có: ˆ     , y  x  yT By  xT Bx, ( x, y)  Bx (3.11) đó:   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;  1 0 B   0 2 0 0   ˆ   ;B      n   n 1 n 1 1     n    Hiển nhiên ma trận B đối xứng, xác định dương song hàm cân  thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1 Tính toán trực tiếp, toán bất đẳng thức biến phân (3.10) có dạng: Footer PageSố64 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 16 t×m ®iÓm x U cho:  ˆ  Qx     , y  x  0, y U , (3.12) đó:  21 1  2 ˆ ˆ Q : B  B     n  n 1  1      2 n  n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 2.12, x nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.12) x nghiệm tối ưu qui hoạch tuyến tính:   ˆ  (    )T y yT Qx y U (3.13) Áp dụng định lý Kuhn - Tucker cho qui hoạch tuyến tính (3.13), x nghiệm tối ưu tồn số thực không âm 2i , 2i1 (i  1, 2, , n) thỏa mãn hệ: n     i  xi   x j   i   i  2i 1  2i  0, j 1     ( x  a )  0, i  2i 1 i 2i ( xi  bi )  0, a  x  b , i i  i 2i 1  0, 2i  (i  1, , n)   (3.14) Do i  0, i  1, , n , hệ (3.14) viết lại là: Footer Page Số 65 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 16 n   1 x   i  x j   ( i   i )  2i 1  2i  0, i i j 1  i  1  2i 1 ( xi  )  0,  i   2i ( xi  bi )  0,  i ai  xi  bi ,     0,   (i  1, , n)   2i 1 i 2i i   (3.15) Đặt: qi  i ( i   i );  2i 1  i 2i 1;  2i  i 2i , i  1, 2, , n Khi đó, hệ (3.15) viết lại là: n   x  x  i  j   qi   2i 1   2i  0, j 1    ( x  a )  0, i  2i 1 i  2i ( xi  bi )  0, a  x  b , i i  i  2i 1  0,  2i  (i  1, , n)   (3.16) Theo Định lý Kuhn - Tucker, hệ (3.16) điều kiện cần đủ để x nghiệm tối ưu qui hoạch toàn phương lồi mạnh: 1   xT Cx  qT x  , x U 2  đó: Footer PageSố66 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 67 of 16 2 1 C    1   ; q  (q1 , q2 , , qn )   1  Bài toán tối ưu có nghiệm Mệnh đề chứng minh  Footer Page Số 67 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 68 of 16 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết nghiên cứu toán tử đơn điệu không gian Hilbert thực, ứng dụng việc khảo sát toán bất đẳng thức biến phân, đặc biệt mô hình kinh tế Nash – Cournot Ở số kết quả, đưa thêm hệ quả, nhận xét ví dụ minh họa để làm rõ ý nghĩa kết trình bày Luận văn đưa kết thông báo kết Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến Footer PageSố68 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 69 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng (Sắp xuất bản) [3] Nguyễn Văn Quý (2006), “Tiếp cận bất đẳng thức biến phân tối ưu hóa giải mô hình cân thị trường độc quyền tập đoàn Nash-Cournot với hàm chi phí lõm”, Tạp chí Ứng Dụng Toán Học, tập IV(số 1), 1-23 [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [5] Browder (1965), Multi-valued Monotone Nonliear Mappings and Duality Mappings in Banach Spaces, Trans Amer Math Soc 118, 338-351 [6] Ekeland I and Aubin P J (1984), Applied Nonliear Analysis, a WileyInterscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA [7] Hien N V (2004), An Introduction to Variational Inequalities and Related Problems, Ha Noi [8] Kinderlehrer D and Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980 [9] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [10] McCormick P G (1983), Nonliear Programming Theory Algorithms and Applications, a Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA [11] Muu L D., Hien N V., Quy N V (2008), “On Nash - Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions”, J Glob Optim, 41: 351 - 364 Footer Page Số 69 hóaof bởi16 Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 70 of 16 [12] Rockafellar R T (1970), “On The Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operators”, Transactions of The American Mathetatical Society, Volume 149 [13] Rockafellar R T (1965), “Multivalued Monotone nonlinear mappings in banach spaces “; Trans Amer Math Soc 118, 338-351 [14] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton Footer PageSố70 ofbởi 16 hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS... Hiển nhiên ánh xạ đơn trị trường hợp riêng ánh xạ đa trị Trong luận văn ta qui ước: nói ánh xạ (toán tử) ánh xạ đơn trị Trường hợp ánh xạ đa trị nói rõ Đối với ánh xạ đơn trị F ánh xạ ngược: F 1... việc nghiên cứu toán tử đơn điệu Sau đó, trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn đơn điệu cực đại Song song với khái niệm số kết tính chất, điều kiện toán tử đơn điệu Footer PageSố4hóa