Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu H-Liên tục và ngược đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ đơn điệu 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh 1.4 Bài toán đặt không chỉnh 1.4.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.4.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính 15 2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 20 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu giáo sư Viện Toán học, Viện Công Nghệ Thông Tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học Trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Giáo sư Nguyễn Bường, thầy tận tình hướng đẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng đẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè theo sát động viên, chia sẻ khó khăn sống, giúp tác giả có điều kiện tốt trình học tập làm luận văn Hải Phòng, tháng 07 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Rất nhiều toán thực tiễn khoa học, công nghệ dẫn đến toán đặt không chỉnh (ill- posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán ( kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiên ban đầu Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Mục đích báo giới thiệu phương án hiệu chỉnh thuật toán điểm gần kề quán tính tìm phần tử chung tập nghiệm bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu h-liên tục họ hữu hạn ánh xạ ngược đơn điệu mạnh {Ai }N i=1 từ tập đóng lồi K vào không gian Hilbert H Thuật toán điểm gần kề quán tính đề xuất Alvarez [1] cho toán cực trị lồi Sau Attouch Alvarez xét mở rộng thuật toán cho toán tử đơn điệu cực đại [2] Mới Moudafi sử dụng thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán với việc sử dụng, mở rộng toán tử đơn điệu cực đại Moudafi Oliny xét kết hợp thuật toán với trình tách [7] Kết nghiên cứu hội tụ yếu không gian Hillbert Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong luận văn cách đưa trình hiệu chỉnh Browder – Tikhonow việc công thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu hội tụ mạnh thuật toán cho trường hợp tổng quát Ai, i = 1, , N, N > 1, ánh xạ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, A đơn điệu h- liên tục u thuộc K Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm Các vấn đề liên quan đến đề tài toán đặt không chỉnh trình bày chương Chương trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục ngược đơn điệu mạnh Thái Nguyên, tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu H Không gian Banach thực ký hiệu X Không gian liên hợp X ký hiệu X ∗ Tập rỗng ký hiệu φ Với x ký hiệu ∀x Infimum tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu I Miền giá trị toán tử Aký hiệu R(A) Miền xác định toán tử Aký hiệu D(A) Ma trận chuyển vị ma trận Aký hiệu AT Toán tử liên hợp A ký hiệu A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu xn → x Kí hiệu tập nghiệm A (u∗ ) , x − u∗ ≥ VI(K,A) Ngược đơn điệu mạnh λi Một họ hữu hạn ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H {Ai }N i=1 Tập điểm bất động ánh xạ T F (T ) Kí hiệu tập không ánh xạ B SB {Cn } {γn } :Là dãy số thực Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Chương gồm hai vấn đề nhằm mục đích nhắc lại không gian Hillbert, ánh xạ đơn điệu ánh xạ ngược đơn điệu mạnh khái niệm toán đặt không chỉnh 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực không gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0; 2) x + y x + y , ∀x, y ∈ X; 3) αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H, , ) H không gian tuyến tính , :H×H→R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = ⇔ x = x, y = y, x , ∀x, y ∈ H λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1 L2[a,b] không gian hàm bình phương khả tích [a,b] b f: a f (x) dx < +∞ với f ∈ L2[a,b] không gian Hilbert với tích vô hướng b f (x) g (x) dx f, g = a chuẩn f L2[a,b]  21 b  f (x)dx = a 1.2 Ánh xạ đơn điệu Cho H không gian Hilbert thực với tích vô hướng chuẩn kí hiệu tương ứng , Cho K tập lồi đóng H Một ánh xạ A từ K vào H gọi đơn điệu ,nếu A(x) − A(y), x − y ≥ với x, y ∈ K Bài toán bất đẳng thức biến phân tìm phần tử u∗ ∈ K cho A(u∗ ), x − u∗ ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) với x ∈ K Kí hiệu tập nghiệm (1,1) V I(K, A) 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Một ánh xạ Ai từ K vào H gọi λi ngược đơn điệu mạnh tồn số dương λi cho Ai (x) − Ai (y), x − y ≥ λi Ai (x) − Ai (y) , (1.2) với x, y ∈ K Dễ dàng nhận thấy ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh Ai đơn điệu Lipschitz liên tục với số 1/λi Do ,ta xét trường hợp < λi < Cho {Ai }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H với tập nghiệm Si = {x ∈ K : Ai (x) = 0} Đặt S = ∩N i=1 Si Giả thiết V I(K, A) ∩ S = ∅ Bài toán xét luận văn tìm phần tử u∗ ∈ V I(K, A) ∩ S (1.3) Như ta biết [13] ánh xạ không gian T từ K vào H , tức , T thoả mãn điều kiện Tx − Ty ≤ x − y với x, y ∈ K , ánh xạ B := I − T 1/2 ngược đơn điệu mạnh Vì vậy, toán tìm phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ), F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T , tương đương với việc tìm phần tử thuộc V I(K, A) ∩ SB , SB kí hiệu tập không ánh xạ B , chứa lớp toán (1.3) Trường hợp , A λ ngược đơn điệu mạnh A1 = I − T T không giãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... đề liên quan đến đề tài toán đặt không chỉnh trình bày chương Chương trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục ngược đơn điệu mạnh Thái Nguyên, tháng... không chỉnh 1.4.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.4.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần