thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 4 1 Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8 1.4.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 9 2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 15 2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . 20 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của các giáo sư Viện Toán học, Viện Công Nghệ Thông Tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học ở Trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Giáo sư Nguyễn Bường, thầy đã tận tình hướng đẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng đẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn theo sát động viên, chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn . Hải Phòng, tháng 07 năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Rất nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ dẫn đến bài toán đặt không chỉnh (ill- posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán ( khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiên ban đầu. Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kì trong lời giải Mục đích của bài báo này là giới thiệu một phương án hiệu chỉnh của thuật toán điểm gần kề quán tính tìm một phần tử chung của các tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu và h-liên tục và một họ hữu hạn các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh {A i } N i=1 từ một tập đóng lồi K vào không gian Hilbert H. Thuật toán điểm gần kề quán tính được đề xuất bởi Alvarez [1] cho bài toán cực trị lồi. Sau đó Attouch và Alvarez xét mở rộng thuật toán đó cho toán tử đơn điệu cực đại [2]. Mới đây Moudafi sử dụng thuật toán này để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi và Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán này với việc sử dụng, mở rộng toán tử đơn điệu cực đại và Moudafi cùng Oliny xét kết hợp thuật toán này với quá trình tách [7]. Kết quả của nghiên cứu này vẫn là sự hội tụ yếu trong không gian Hillbert. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Trong luận văn này bằng cách đưa ra quá trình hiệu chỉnh Browder – Tikhonow chúng tôi chỉ ra rằng việc công thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán cho trường hợp tổng quát hơn khi Ai, i = 1,. . ., N, N > 1, là các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, và A là đơn điệu và h- liên tục tại u thuộc K. Luận văn này gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản. Các vấn đề liên quan đến đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh. Thái Nguyên, tháng năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu là H Không gian Banach thực ký hiệu là X Không gian liên hợp của X ký hiệu là X ∗ Tập rỗng ký hiệu là φ Với mọi x ký hiệu là ∀x Infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf x∈X F (x) Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I Miền giá trị của toán tử Aký hiệu là R(A) Miền xác định của toán tử Aký hiệu là D(A) Ma trận chuyển vị của ma trận Aký hiệu là A T Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A ∗ Dãy {x n } hội tụ mạnh tới x ký hiệu là x n → x Kí hiệu tập nghiệm của A (u ∗ ) , x − u ∗  ≥ 0 là VI(K,A) Ngược đơn điệu mạnh là λ i Một họ hữu hạn các ánh xạ λ i ngược đơn điệu mạnh từ K vào H là {A i } N i=1 Tập điểm bất động của ánh xạ T là F(T ) Kí hiệu tập không ánh xạ B là S B {C n } và {γ n } :Là 2 dãy số thực Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Chương này gồm hai vấn đề chính nhằm mục đích nhắc lại không gian Hillbert, ánh xạ đơn điệu ánh xạ ngược đơn điệu mạnh và khái niệm về bài toán đặt không chỉnh. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0; 2) x + y  x + y , ∀x, y ∈ X; 3) αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R. Định nghĩa 1.2. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính và ,  : H × H → R (x, y) → x, y thỏa mãn các điều kiện : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0 2. x, y = y, x , ∀x, y ∈ H 3. λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H 4. x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. L 2 [a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b] f : b  a f 2 (x) dx < +∞ với f ∈ L 2 [a,b] là một không gian Hilbert với tích vô hướng f, g = b  a f (x) g (x) dx và chuẩn f L 2 [a,b] =   b  a f 2 (x)dx   1 2 1.2 Ánh xạ đơn điệu Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được kí hiệu tương ứng bởi ., . và .. Cho K là một tập con lồi và đóng trong H. Một ánh xạ A từ K vào H được gọi là đơn điệu ,nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0 với mọi x, y ∈ K. Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm một phần tử u ∗ ∈ K sao cho A(u ∗ ), x − u ∗  ≥ 0, (1.1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 với mọi x ∈ K. Kí hiệu tập nghiệm của (1,1) là V I(K, A). 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Một ánh xạ A i từ K vào H được gọi là λ i ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một số dương λ i sao cho A i (x) − A i (y), x − y ≥ λ i A i (x) − A i (y) 2 , (1.2) với mọi x, y ∈ K. Dễ dàng nhận thấy mọi ánh xạ λ i ngược đơn điệu mạnh A i là đơn điệu và Lipschitz liên tục với hằng số 1/λ i . Do đó ,ta chỉ xét trường hợp 0 < λ i < 1. Cho {A i } N i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ λ i ngược đơn điệu mạnh từ K vào H với các tập nghiệm S i = {x ∈ K : A i (x) = 0}. Đặt S = ∩ N i=1 S i . Giả thiết là V I(K, A) ∩ S = ∅. Bài toán được xét trong luận văn này là tìm một phần tử u ∗ ∈ V I(K, A) ∩ S. (1.3) Như ta đã biết [13] đối với một ánh xạ không gian bất kỳ T từ K vào H, tức là , T thoả mãn điều kiện T x − Ty ≤ x − y với mọi x, y ∈ K, thì ánh xạ B := I − T là 1/2 ngược đơn điệu mạnh. Vì vậy, bài toán tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ), ở đây F(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T, là tương đương với việc tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ S B , ở đây S B kí hiệu tập không ánh xạ B, và nó được chứa trong lớp bài toán (1.3). Trường hợp , khi A là λ ngược đơn điệu mạnh A 1 = I − T ở đây T là không giãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... đưa vào quá trình hiệu chỉnh BrowderTikhonov chúng tôi trình bày rằng với việc cộng thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán cho trường hợp tổng quát hơn khi Ai , i = 1, , N, N > 1, là các ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H , λi có thể bằng 1/2, và A là đơn điệu và h-liên tục tại u ∈ K Cho F là một song hàm từ K × K vào R, sao cho. .. 14 và x0 − x∗ = min { x − x∗ : A (x) = f } Bằng cách chọn x∗ , ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chương 2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Chương này giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính, tìm nghiệm cho phương trình với toán tử đơn điệu, sau đó xét kết hợp thuật toán này với phương pháp hiệu chỉnh. .. Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính + Tìm phần tử chung của các tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu và h- liên tục và một họ hữu hạn các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Với những ứng dụng trong thực tế, những vấn đề được trình bày trong đề tài, hiện đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đi sâu nghiên cứu Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực song chắc hẳn đề tài không tránh... toán này với phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm chung cho một họ các phương trình với toán tử đơn điệu 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính Chúng ta sẽ sử dụng kết quả đơn giản của hội tụ yếu trong không gian Hilbert Bổ đề 2.1: Gọi H là một tập trong không gian Hilbert và xk là một dãy sao cho tồn tại một tập không rỗng S ⊂ H thoả mãn: a) Với... 0 (2.5) với một toán tử đơn điệu cực đại A, vì miền xác định của A là toàn bộ không gian H và A là h-liên tục [3], [5] Phần tử không của (2.5) có thể được xấp xỉ bởi thuật toán điểm gần kề quán tính cn A(zn+1 ) + zn+1 − zn = γn (zn − zn−1 ), z0 , z1 ∈ H, ở đây {cn } và {γn } là hai dãy số thực Lưu ý rằng thuật toán điểm gần kề quán tính được đề xuất đầu tiên bởi Alvarez [1] cho bài toán cực trị lồi... (1 − 3α) Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Định lý 2.2 Cho K là một tập con lồi và đóng của H và cho λ > 0 Cho A là một ánh xạ λ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H , và cho T là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 một ánh xạ không giãn từ K vào trong nó sao cho V I(K, A) ∩ F (T ) = ∅ Cho dãy {xn } được xây dựng theo quy tắc x0 ∈ K, xn+1 = αn xn + (1... Sau đó ,Attouch và Alvarez xét mở rộng thuật toán đó cho toán tử đơn điệu cực đại [2] Mới đây,Moudafi sử dụng thuật toán này để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi và Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 này với việc sử dụng mở rộng toán tử đơn điệu cực đại ,và Moudafi cùng Oliny xét kết hợp thuật toán này với quá... một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hộitụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh. .. i=1 Dựa vào tính λl ngược đơn điệu mạnh của Al , tính đơn điệu của Ai , i = l, Ai (y) = 0∀y ∈ V I(K, A) ∩ S, i = 1, , N , và bất đẳng thức trên ta có λl Al (uαk ) − Al (y) 2 ≤ Al (uαk ), uαk − y N 1−µ 1−µ Ai (uαk ), uαk − y ≤ αk uαk , y − uαk ≤ 2αk y 2 ≤ i=1 Cho k → +∞ ở bất đẳng thức này ,chúng ta nhận được lim k→+∞ Al (uαk ) − Al (y) = 0 Vì Al là λl ngược đơn điệu mạnh Tl := I − Al thoả mãn tính chất... f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x Ví dụ 1.2 Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh Thật vậy, giả sử dãy {xn } chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và yn = A(xn ), A(x) khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban . bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 9 2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 15 2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính. quan đến đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh. Thái. THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG