Thuật toán lặp xen kẽ MFS đối với bài toán biên cho phương trình Elliptic với điều kiện biên không đầy đủ

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HẰNG THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHƠNG ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HẰNG THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHƠNG ĐẦY ĐỦ Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu thực luận văn thạc sỹ chuyên nghành toán ứng dụng, đến luận văn tơi hồn thành.Để có kết mong muốn, trước hết xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mặc dù bận rộn công việc thầy dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Cho đến hơm nay, luận văn thạc sĩ tơi hồn thành nhờ nhắc nhở, động viên thường xuyên tận tâm bảo nghiêm túc chuyên môn thầy Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè người thân khơng ngừng động viên, khuyến khích tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng năm 2014 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev phương trình elliptic 1.1.1 Khơng gian Sobolev 1.1.2 Phương trình elliptic 10 1.2 Lý thuyết sơ đồ lặp 13 1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 13 1.2.2 Lược đồ dừng, định lý hội tụ phương pháp lặp 15 1.3 Phương pháp chia miền giải toán elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 16 1.3.1 Mô tả phương pháp 16 1.3.2 Sự hội tụ phương pháp 18 1.4 Các kiến thức giải số phương trình đạo hàm riêng 19 1.4.1 Phương pháp sai phân 19 1.4.2 Giới thiệu thư viện TK2004 .22 Chương 2: THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TỐN BIÊN KHƠNG CHÍNH QUY 27 2.1 Mơ hình tốn 27 2.2 Thuật toán lặp chẵn lẻ 29 2.2.1 Cơ sở thuật toán .29 2.2.2 Nghiên cứu sở lý thuyết 31 2.3 Phương pháp MFS 32 Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ GIẢI SỐ BÀI TOÁN BIÊN KHƠNG CHÍNH QUY 36 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v 3.1 Mơ hình tổng quát 36 3.2 Một số kết thực nghiệm số 43 3.2.1 Kết kiểm tra QH1 QH2 43 3.2.2 Kết kiểm tra QH3 QH4 46 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHẦN PHỤ LỤC 52 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Xuất phát từ mơ hình tốn học tốn biên với hệ điều kiện biên dạng khơng quy, sở tốn học phương pháp lặp xen kẽ MFS phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ thông qua hệ nghiệm toán biên Luận văn thực hóa sơ đồ lặp xen kẽ để xác định nghiệm số tốn khơng quy hai phương pháp xác định giá trị hàm đạo hàm phần biên chưa xác định điều kiện biên Các kết số xác định từ đánh giá hiệu phương pháp Trong trường hợp toán phức tạp mà sử dụng thuật toán lặp xen kẽ gặp phải toán biên hỗn hợp mạnh, dựa kết thuật toán chia miền toán biên elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đưa sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ toán biên khơng quy, tiến hành lập trình xác định nghiệm số toán, đánh giá tốc độ hội tụ độ xác sơ đồ lặp, so sánh phương pháp xác định hàm đạo hàm Mục đích luận văn đề cập đến thuật toán lặp xen kẽ MFS toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên khơng đầy đủ Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian Sobolev phương trình elliptic, kiến thức sơ đồ lặp, phương pháp sai phân việc giải số phương trình đạo hàm riêng, thuật tốn chia miền toán biên hỗn hợp mạnh Chương 2: Trình bày mơ hình vật lý học tốn biên elliptic với hệ điều kiện biên khơng quy Chương 3: Nghiên cứu số kết giải số tốn biên khơng quy, luận văn đưa số mơ hình tốn trường hợp tổng quát đồng thời đề xuất số sơ đồ lặp tìm nghiệm số tốn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ tương ứng Các kết số kiểm tra chương trình viết ngơn ngữ Matlab chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bảo, đóng góp thầy giáo anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Sobolev phƣơng trình elliptic 1.1.1 Không gian Sobolev 1.1.1.1 Không gian C k (W) Giả sử W miền bị chặn không gian Euclide n chiều ¡ n W bao đóng W Ta kí hiệu C k (W , (k = 0,1, ) tập hàm có ) đạo hàm đến cấp k kể k W, liên tục W Ta đưa vào C k (W) chuẩn: u ( C k (W) = å max D a u (x ) a =k a = a 1, a , , a n (1.1) xỴ W ) gọi vectơ với tọa độ nguyên không âm, a = a + a + + a n , a D u= ¶ a + + a n a u a ¶ x 1 ¶ x n n Sự hội tụ theo chuẩn cho hội tụ W hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k ,kể k Tập C k (W) với chuẩn (1.1)là không gian Banach Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.1.2 Không gian L p (W) Giả sử W miền ¡ n p số thực dương Ta kí hiệu Lp (W lớp hàm đo f xác định W cho: ) ị p f (x ) dx < ¥ W Trong L p (W) ta đồng hàm hầu khắp W Như phần tử L p (W) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp W Vì : p f (x ) + g (x ) £ nên rõ ràng L Ta đưa vào L p p ( f (x ) + g (x ) p ) p pử ổ Ê 2p ỗ f (x ) + g (x ) ữ ữ ỗ ữ ố ứ (W) không gian vectơ (W) phiếm hàm p c xỏc nh bi: u p ổ ửp ỗ f x p dx ữ ữ = ỗũ ( ) ữ ỗ ữ ỗW ố ứ nh lý 1.1.1 (bt đẳng thức Hoder) Nếu < p < ¥ u Ỵ L p (W), v Ỵ Lp (W uv Ỵ Lp (W ) ) ị | u (x )v (x ) |dx £ u (x ) p v (x ) p' W Trong p ' = p 1 , tức + = , p ' gọi số mũ liên hợp p- p p' p Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu < p < ¥ f +g Định lý 1.1.3 Không gian L p £ p f (W) với p + g p 1£ p < ¥ khơng gian Banach 1.1.1.3 Khơng gian W 1, p (W) Định nghĩa 1.1.1 Cho W miền ¡ n () Hàm u x gọi khả () tích địa phương W u x hàm W với x Ỵ W () tồn lân cận w x để u x khả tích W Định nghĩa 1.1.2 Cho W miền ¡ () () n Giả sử u x , v x hai hàm khả tích địa phương W cho ta có hệ thức: ịu W ¶ kj k k k ¶ x 1 ¶ x nn () dx = (- 1) ò vj dx W ( ) ( ) j x Ỵ C W , k = k1 + + kn , ki ³ i = 1, 2, , n k () () Khi đó, v x gọi đạo hàm suy rộng cấp k u x () Kí hiệu: v x = ¶ ku k k ¶ x 11 ¶ x nn Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p số thực, £ p < ¥ , W miền ¡ n Không gian Sobolev W W 1, p 1, p (W) định nghĩa sau: í ü ï ï u | u Ỵ Lp (W , ¶ u Ỵ Lp (W , i = 1, , n ï ï (W) = ìï ) ¶x ) ý ù ù ù i ợ ỵ S húa bi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 52 PHẦN PHỤ LỤC Chương trình QH1 % Chuong trinh moi giai bai toan bien dac biet % phi la ham ve phai % b1,b2,b3,b4: la cac gia tri tren bien trai,phai,duoi,tren % u la nghiem bai toan % Ngay lap 27/2/2014 % Truong hop biet truoc nghiem dung % Phuong an lap xac dinh ham % Da kiem tra xac function qh1=qh1(a,b,n,k,to,epxilon) clc cc=2;k1=1;k2=1; epxilon=1.5*10^(-15);ss=10; N=2^n; M=N; p1=1;p2=M+1;q1=1;q2=N+1; l1=a;l2=b;h1=l1/M;h2=l2/N;x10=0;x20=0; %buoc lap - Gia tri ban dau; for i=0:M; u4(i+1)=0; end; thoigian=cputime; %Buoc lap count=0; while and(countepxilon); count=count+1; %Giai bai toan voi u % Gia tri nghiem dung va ve phai for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=vp(x1,x2,k1,k2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53 for j=0:N; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=dhx(x10,x2); b2(j+1)=dhx(x10+l1,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=dhy(x1,x20); b4(i+1)=u4(p1+i); end; u1=u1110(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2); % Tinh cac gia tri dao ham cua ham u tren bien for i=0:M; x1=x10+i*h1; ph04(i+1)=vp(x1,x20+l2,k1,k2,cc)-cc*u(x1,x20+l2); end; dv4=dy(p1,p2,q2,ph04,u1,h1,h2,1,1,M,-1); % Giai bai toan voi v % Gia tri nghiem dung va ve phai for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=vp(x1,x2,k1,k2,cc); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=u(x10,x2); b2(j+1)=u(x10+l1,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u(x1,x20); b4(i+1)=-dv4(i+1); end; Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 54 v1=u0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2); for i=0:M; u4(p1+i)=v1(p1+i,q2); end; ss=0; for i=0:M; for j=0:N; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; if ss