Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic với hệ số biến thiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i  ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii  LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, Luận văn này là cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong q trình nghiên cứu đề tài Luận văn, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà Tốn học và các nhà Khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Thái Ngun, tháng 5 năm 2014 Tác giả Trần Huy Hồn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii  LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Tốn học Việt Nam). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy cơ giảng dạy lớp cao học khóa 6 (2012-2014) đã mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và trong cuộc sống. Tơi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun tạ o những điều kiện tốt nhất cho khóa học này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của q thầy, cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Ngun, tháng 5 năm 2014. Tác giả Trần Huy Hồn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iv  Mục lục Trang Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv MỞ ĐẦU 1 NỘI DUNG 2 CHƯƠNG I NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TỐN DIRICHLET 2 1.1 Nghiệm yếu của bài tốn Dirichlet trong nửa hình cầu 2 1.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu 5 1.3 Các đánh giá tiên nghiệm 7 1.3.1 Hệ tốn tử biên chuẩn tắc 7 1.3.2 Biến đổi Fourier và một số khơng gian hàm 11 1.3.3 Đ ánh giá tiên nghiệm 14 1.4 Trường hợp hình cầu có bán kính đủ nhỏ 18 CHƯƠNG II TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM YẾU 21 2.1 Các tốn tử compact 21 2.2 Phép nhúng compact 24 2.3 Một số bổ đề 30 2.4 Độ trơn của nghiệm yếu 35 2.5 Sự tồn tại của nghiệm trơn vơ hạn 40 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1  MỞ ĐẦU Lý thuyết bài tốn biên elliptic cho phương trình elliptic đúng đắn đã được nghiên cứu, đó là trường hợp cấp của phương trình là chẵn, số các nghiệm đặc trưng với phần ảo dương và phần ảo âm là bằng nhau và số điều kiện biên bằng nửa số cấp của phương trình, đồng thời điều kiện Shapiro-Lopatinski trên tồn bộ phần biên của miền được thỏa mãn. Luận văn nghiên cứu bài tốn Dirichlet trong nửa hình cầu cho phương trình elliptic đúng đắn, trong đó số các điều kiện biên bằng nửa số cấp của phương trình, nhưng các điều kiện biên thuần nhất chỉ được cho trên phần của mặt phẳng đi qua tâm hình cầu và trên phần biên mặt cầu khơng có điều kiện biên nào. Luận văn gồm 2 chương: Chương I trình bày khái niệm nghiệm yếu của bài tốn Dirichlet, phát biểu và ch ứng minh định lý về điều kiện cần và đủ đối với vế phải của phương trình để tồn tại nghiệm yếu. Đó là điều kiện mà trong đó vế phải của phương trình phải thỏa mãn một số hữu hạn các điều kiện trực giao. Luận văn đã chỉ rằng đối với nửa hình cầu có bán kính đủ nhỏ, nếu điều kiện cần được thỏa mãn thì ln tồn tại nghiệm yếu của bài tốn. Chương II nghiên cứu tính trơn của nghiệm yếu. Kết quả chính của chương II phát biểu rằng khi các hệ số và vế phải của phương trình là các hàm đủ trơn thì nghiệm yếu của bài tốn cũng có độ trơn tương ứng và là nghiệm cổ điển của phương trình. Tài liệu tham khả o chính của luận văn là chương 8 của tài liệu [1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2  NỘI DUNG CHƯƠNG 1 NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TỐN DIRICHLET 1.1 Nghiệm yếu của bài tốn Dirichlet trong nửa hình cầu Trước hết ta nhắc lại các ký hiệu ( ) 12 , , , , . n n xxx x t=∈∈ () { } 2 122 ,; ,0. n R xt x t R t σ + =∈ +<> { } 0 0. RR t σσ ∂=∩= () { } 2 122 1 ,; ,0. n R xt x t R t σ + ∂= ∈ += > ( ) ( ) 12 , , , ; ; , . nn n zz ξξξ ξ ξ =∈∈∈×  () 12 1 2 , , , , . n nn µ µµ µ µ µ µ µ =∈=+++ 12 12 . n n µ µµ µ ξ ξξ ξ = () 12 , , , ; ; . nj xxx xx t j D DD D D i D i x t ∂ ∂ ==−=− ∂ ∂ ( ) ,. xt DDD= 12 12 . n n xxxx DDDD µ µµ µ = ( ) ( ) ,, (,, , ) , . k xt k xt km P xtD Pxt D D a xt D D µ µ µ +≤ == ∑ ( ) ( ) ,, , , . k k km P xt z a xt z µ µ µ ξξ +≤ = ∑ () ( ) ,, , , . k mk km P xt z a xt z µ µ µ ξξ += = ∑ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3  Trong miền R σ xét tốn tử sau: , (,, ) (,) , k kxt km P xtD a xtD D µ µ µ +≤ = ∑ (1.1) trong đó các hệ số được giả thiết thuộc ( ) . R C σ ∞ Trong miền R σ ta xét bài tốn Dirichlet sau đây: (,, )(,) (,), P xtDuxt f xt= (,) R xt σ ∈ (1.2) (,0) 0, k t Dux = x R< ; 0.kr≤ < (1.3) Tốn tử trên được gọi là elliptic đúng đắn trong R σ nếu m = 2r và ( ) { } ,, \0 n R xt σξ ∀∈∀∈ phương trình đối với z sau đây có r nghiệm với phần ảo dương và r nghiệm với phần ảo âm: ( ) 2 ,, , 0. r Pxt z ξ = Với mỗi ( ) R fC σ ∞ ∈ ta hy vọng rằng ta có thể tìm ra lời giải trong ( ) m R C σ . Chúng ta thấy rằng thậm chí với một bài tốn đơn giản nhất như trên cũng sẽ u cầu có phương pháp giải nhất định. Trước hết ta phân tích để đưa ra khái niệm nghiệm yếu. Giả sử ( ) (,) m R uxt C σ ∈ là một nghiệm cổ điển của Bài tốn (1.2), (1.3). Giả sử 0 R σ ∂ là phần biên của của R σ nằm trong siêu phẳng t = 0 và giả sử 1 R σ ∂ là phần còn lại của biên, tức là phần nằm trong mặt phẳng 2 22 ,0.xtRt+ => Giả sử ( ) m R C ϕ σ ∈ là một hàm số bất kỳ trong () m R C σ và triệt tiêu trong lân cận 1 R σ ∂ . Nhân hai vế của phương trình (1.2) với hàm () , x t ϕ và lấy tích phân từng phần, ta có: ( ) , (P x,t,D u, ) ( , ) k kx t km aDDu µ µ µ ϕ ϕ +≤ = ∑ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4  , (,[ ]) k k tx km DuD a µ µ µ ϕ +≤ = ∑ 0 (,), m k tk k Du ϕ = = ∑ trong đó , [[ ], k kx mk Da µ µ µ ϕ ϕ ≤− = ∑ và ()() () ()() ,, , , , R h x t k x t h x t k x t dxdt σ = ∫ là tích vơ hướng trong ( ) 2 . R L σ Ta có: () 0 1 11 (P x,t,D u, ) ( , '( , , ) ) R mk jkj ttk kj uP xtD i D uD dx σ ϕϕ ϕ −− == ∂ =− ∑∑ ∫ 0 1 1 (, '(,, )) , R mm jkj ttk jkj uP xtD i D u D dx σ ϕϕ −− == ∂ =− ∑∑ ∫ trong đó tốn tử () ' ,,PxtD được định nghĩa bởi cơng thức sau: , '( , , ) D [ ] k k xt km PxtD D a µ µ µ ϕ ϕ +≤ = ∑ là tốn tử liên hợp của P(x,t, D). Theo đó, ta có: 0 1 1 ((,, ),) (, '(,, )) , R m j tj j PxtDu uP xtD i D N dx σ ϕ ϕϕ − = ∂ =− ∑ ∫ (1.4) trong đó , 0 [] mj k jk jxt kmjk NDDa µ µ µ ϕ ϕ − + =≤−− = ∑∑ 1.jm≤ ≤ (1.5) Nếu ϕ cũng thỏa mãn điều kiện ( ,0) 0 k t Dx ϕ = x R< 0 kr≤ < (1.6) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5  thì từ các điều kiện (1.3) và (1.6) ta có: ( ) (P x,t,D u, ) ( , '( , , ) ).uP xtD ϕ ϕ = Từ các dẫn dắt ở trên ta đưa ra khái niệm nghiệm yếu của Bài tốn (1.2), (1.3) như sau: Định nghĩa 1.1 Hàm số ( ) ( ) 2 , R uxt L σ ∈ được gọi là nghiệm yếu của Bài tốn (1.2), (1.3) nếu với mọi () ( ) , m R xt C ϕ σ ∈ triệt tiêu trong lân cận của 1 R σ ∂ và thỏa mãn (1.6) ta có ( ) ( ) ' ,(,,) , .uP xtD f ϕ ϕ = (1.7) 1.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu Định lý 1.1 Điều kiện cần và đủ cho bài tốn (1.2), (1.3) có nghiệm yếu là bất đẳng thức sau được thỏa mãn () ,'(,,)fCPxtD ϕ ϕ ≤ (1.8) với mọi ( ) m R C ϕ σ ∈ mà bằng khơng trong lân cận của 1 R σ ∂ và thỏa mãn (1.6) trên 0 , R σ ∂ trong đó . là chuẩn trong khơng gian ( ) 2 . R L σ Chứng minh Nếu u thỏa mãn phương trình (1.7), ta có: () () () ( ) , ,',, . ',,fuPxtDuPxtD ϕ ϕϕ =≤ đối với tất cả ( ) m R C ϕ σ ∈ đã triệt trong lân cận 1 R σ ∂ và thỏa mãn điều kiện (1.6), do đó (1.8) là điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của Bài tốn (1.2), (1.3) được thỏa mãn với .Cu= Ta chứng minh điều kiện đủ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... Qr ( x, t, D) là các tốn tử đạo hàm riêng với các hệ số trong ( ) C ∞ σ R Ta gọi tập các tốn tử trên là chuẩn tắc đối với mặt t = 0 nếu các cấp mj m đơi một khác nhau và nếu hệ số Dt trong Q j ( x,0, D ) là một hàm số khác khơng j trong x ≤ R Một hệ chuẩn tắc gồm r tốn tử được gọi là một hệ Dirichlet cấp r nếu tất cả các tốn tử của hệ có cấp đều nhỏ hơn r Vì hệ có r phần tử và các cấp của chúng đơi... x, t , D ) có cấp (j -1) Chúng ta sẽ ln giả thiết điều này khi nói về hệ Dirichlet Ví dụ 1.1 Hệ tốn tử Qj ( D) = Dtj −1 j = 1, r là một hệ Dirichlet Ví dụ 1.2 Hệ các tốn tử N j ( x, t , D ) với j = 1, 2, , r mà được xác định bởi cơng thức (1.5) là một hệ Dirichlet Định lý 1.2 Nếu Q1 ( x, t, D), , Qr ( x, t, D) là một hệ Dirichlet với cấp r thì j Q j ( x,0, D ) = ∑ Γ jk ( x, Dx ) Dtk −1 ,1 ≤ j ≤ r (1.12)... áp dụng (2.4) cũng suy ra rằng tồn tại một hằng số C sao cho (2.3) được thỏa mãn Vì vậy, tồn tại một hằng số C1 sao cho: ϕvk s ≤ C1 Với η ∈ E n , đặt: wη (ξ ) = Fϕ ( n − ξ ) thì với mỗi η , hàm số wη nằm trong S và ( Fvk , wη ) → 0 khi k→∞ theo (2.5) Điều này tương đương với: ( Fϕk ) → 0 khi k → ∞ với mỗi ξ (2.6) Bây giờ, với bất kỳ R > 0 nào, ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/... của các hằng số này Thêm vào đó, điều kiện (2.7) đảm bảo rằng các đạo hàm của Lu liên tục tới cấp m Vì vậy, Lu nằm trong Cm ( n +1 ) Ta có: 2 2 Lu k = ∫∫ ⎛ 1 + ⎡ ξ + τ ⎤ ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ 1/ 2 ⎞ ⎟ ⎠ 2k 2 F Lu (ξ ,τ ) d ξ dτ , trong đó F là phép biến đổi Fourier với các biến x ∈ n , và h là phép biến đổi Fourier với biến t Tồn tại một hằng số phụ thuộc duy nhất vào n và k sao cho: (1 + ξ vì vậy, với ) +τ 2k k... trị R0 > 0 sao cho Bài tốn (1.2), (1.3) có nghiệm yếu đối với mỗi f ⊥ N 'R với mọi R ≤ R0 Chứng minh Theo Định lý 1.4, tồn tại một hằng số R > 0 để bất đẳng thức (1.22) được thỏa mãn Lưu ý rằng DR chứa DR đối với mọi R1 < R nào Vì vậy, bất đẳng thức (1.22) thỏa 1 mãn đối với bất kỳ một giá trị R đủ nhỏ nào Từ đây suy ra bất đẳng thức (1.24) cho bất kỳ giá trị R đủ nhỏ nào và suy ra Bài tốn (1.2),... các tốn tử đạo hàm riêng đối với biến x, với các hệ số khả vi vơ hạn lần có cấp ≤ j − k Đối với mỗi j, Γ jj và Λ jj là các hàm số khác khơng trong miền x ≤ R Hơn nữa, ta có: j ∑Γ k =1 jk Λ kl = δ jl ,1 ≤ l ≤ j ≤ r Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN ( 1.14) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9    j ∑Λ và k =1 jk Γ kl = δ jl ,1 ≤ l ≤ j ≤ r (1.15) Chứng minh Cơng thức (1.12) là một hệ quả trực tiếp của định nghĩa... đối với mỗi f ⊥ N 'R Từ Hệ quả 1.2, ta thấy rằng nếu muốn bất đẳng thức (1.8) thỏa mãn đối với mỗi f ⊥ N 'R , ta cần chứng minh bất đẳng thức (1.21) Trước hết ta phát biểu định lý và bổ đề sau: Định lý 1.4 Với giả thuyết nêu trong Mục 1.1, tồn tại các hằng số R > 0 và C, sao cho ϕ m ,0 ≤ C ( P '( x, t , D )ϕ + ϕ ) ϕ ∈ DR Bổ đề 1.3 Nếu {uk } là một dãy của các hàm số trong HR, sao cho uk m,0 ≤ K Số. .. dạng elliptic trong σ R , và µ P ( D) = ∑bµ ,k (0,0) Dx Dtk 1 có dạng elliptic Đặt: cµ ,k ( x, t ) = bµ ,k ( x, t ) − bµ ,k (0, 0) µ +k ≤m và µ R1 ( x, t, D) = ∑ cµ ,k ( x, t ) Dx Dtk do đó P '( x, t, D) = P ( D) + R1 ( x, t, D) 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20    và các hệ số của R1 ( x, t, D) sẽ triệt tiêu Vì P1 ( D) có dạng elliptic nên tồn tại hằng số C1 sao cho: ... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 23    Định lý 2.2 Giả sử B là một tập con bị chặn hồn tồn của khơng gian Hilbert H và giả sử { xk } là một dãy của những phần tử của H thỏa mãn (2.1) sao cho: ( xk , y ) → 0 khi k → ∞ với mỗi y ∈ B Khi đó sự hội tụ là đều Do đó, với mỗi ε > 0, tồn tại một số N khơng phụ thuộc vào y sao cho: ( xk , y ) < ε với k > N , y ∈ B Chứng minh Cho. .. hồn tồn, nên tồn tại các phần tử y1, y2,…, yn sao cho mọi phần tử của B có khoảng cách khơng vượt q ε 2C đối với yj nào đó Cho N đủ lớn sao cho: ( xk , y j ) < ε 2 với k > N ,1 ≤ j ≤ n Cho y là một phần tử bất kỳ của B thì tồn tại một yj sao cho: y − yj < ε 2C do đó: ( xk , y ) ≤ ( xk , y − y j ) + ( xk , y j ) ≤ xk y − y j + ( xk , y j ) < ε 2 + ε 2 =ε với mỗi k > N Vì N khơng phụ thuộc vào y, vậy Định . TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu. ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY HỒN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1  MỞ ĐẦU Lý thuyết bài tốn biên elliptic cho phương trình elliptic đúng đắn đã được nghiên cứu, đó là trường hợp cấp của phương trình là chẵn, số các nghiệm đặc trưng với phần ảo dương và