2.1 Các tốn tử compact
Định nghĩa Cho H1, H2 là các khơng gian Hilbert. Một tốn tử tuyến tính T từ H1
tới H2 xác định trong tồn bộ H1 được gọi là compact, nếu đối với mỗi dãy { }xk
của các phần tử của H1 thỏa mãn:
k
x ≤C (2.1)
tồn tại một dãy con { }yj của { }xk sao cho { }Tyj hội tụ trong H2.
Dễ dàng để chỉ ra rằng T1 và T2 là các tốn tử compact thì α1 1T +α2 2T cũng là các tốn tử compact, đối với mọi α1 và α2. Chúng ta cần cĩ các kết quả sau liên quan tới các tốn tử compact.
Bổđề 2.1 Các tốn tử compact bị chặn.
Chứng minh
Nếu T khơng phải là tốn tử bị chặn, thì tồn tại một dãy { }xk sao cho
1;
k
x = Txk → ∞ → ∞,k
do đĩ, dãy { }Txk khơng thể cĩ một dãy con hội tụ. Vậy T khơng thể compact.
Vậy Bổ đề đã được chứng minh.
Định lý 2.1 Tốn tử T từ H1 tới H2 xác định khắp nơi là compact nếu Txn →0 với mọi dãy { }xk hội tụ yếu tới 0.
Giả sử T là compact và dãy { }xk hội tụ yếu tới 0. Giả sử tồn tại một dãy con { }zn
của { }xk và với ε >0 sao cho:
,
n
Tz ≥ε n = 1,2,… (2.2)
Như vậy tồn tại một hằng số C sao cho bất đẳng thức (2.1) thỏa mãn. Ngược lại, theo định nghĩa tính compact, tồn tại một dãy con { }yj của { }zn sao cho { }Tyj hội tụ trong H2 tới một phần tử w.
Ta cĩ
,w
Ty ≤C y với mọi y H∈ 1.
Vì vậy, (Ty, w)là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H1. Điều này suy ra cĩ một phần tử * 2 w T ∈H sao cho: * ( , w) ( , w),Ty = y T y H∈ 1 đặc biệt, (Tyj, w) ( , w),= y Tj * j = 1,2,…
Vì Tyj→w và yj hội tụ yếu tới 0 khi j→ ∞nên suy ra (w,w) = 0.
Vì vậy, w = 0. Tuy nhiên, theo bất đẳng thức (2.2), ta cĩ w ≥ε. Mâu thuẫn này cho thấy khơng thể cĩ dãy con { }zn thỏa mãn (2.2), nghĩa là Txk →0.
Ngược lại, giả sử T cĩ tính chất được nĩi đến trong Định lý và cho { }xk là một dãy thỏa mãn (2.1). Khi đĩ, cĩ một dãy con { }yj của { }xk hội tụ yếu tới một phần tử
1
y H∈ . Đặt zj = yj – y thì zj hội tụ yếu tới 0. Vì vậy, sẽ cĩ một dãy con { }un của
{ }zj sao cho Tun →0. Do đĩ, nếu vn = un + y thì { }vn là một dãy con của { }xk và { }Tvn hội tụ trong H2 tới Ty. Vì vậy, T là compact. Vậy Định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.2 Giả sử B là một tập con bị chặn hồn tồn của khơng gian Hilbert H và giả sử { }xk là một dãy của những phần tử của H thỏa mãn (2.1) sao cho:
( , )x yk →0 khi k→ ∞
với mỗi y∈B. Khi đĩ sự hội tụ là đều. Do đĩ, với mỗi ε >0, tồn tại một số N khơng phụ thuộc vào y sao cho:
( , )x yk <ε với k> N y, ∈B.
Chứng minh
Cho ε >0. Vì B bị chặn hồn tồn, nên tồn tại các phần tử y1, y2,…, yn sao cho mọi phần tử của B cĩ khoảng cách khơng vượt quá
2C
ε
đối với yj nào đĩ. Cho N đủ lớn sao cho: ( , ) 2 k j x y <ε với k>N,1≤ ≤j n.
Cho y là một phần tử bất kỳ của B thì tồn tại một yj sao cho:
2j j y y C ε − < do đĩ: ( , )x yk ≤ ( ,x y yk − j) +( , )x yk j ( , ) 2 2 k j k j x y y x y ε ε ε ≤ − + < + = với mỗi k > N.
Vì N khơng phụ thuộc vào y, vậy Định lý đã được chứng minh. Chúng ta cũng cĩ:
Chứng minh
Giả sử H là một khơng gian vơ hạn chiều. Cho e1 là một vecto đơn vị và cho V1 là khơng gian con sinh bởi e1 nên V1 là đĩng và khơng trùng với tồn bộ H. Vì vậy, cĩ một vecto e2 ≠0 sao cho ( , ) 0e V2 1 = . Ta cĩ thể lấy e2 là một vecto đơn vị. Cho V2 là khơng gian con sinh bởi e1 và e2. Tương tự V2 là khơng gian hữu hạn chiều, vì vậy sẽ đĩng nhưng khơng trùng với tồn bộ H. Do đĩ tồn tại một vecto đơn vị
3
e thỏa mãn ( , ) 0e V3 2 = . Tiếp tục làm theo cách này chúng ta nhận được một dãy { }ek gồm các vecto sao cho: (e ej, k)=δjk j,k = 1,2,…
(Hệ này được gọi là hệ trực chuẩn). Điều này khơng bao giờ kết thúc bởi vì khơng gian con Vn được sinh bởi n phần tử đầu tiên là khơng gian hữu hạn chiều và do đĩ nĩ đĩng chứ khơng phải tồn bộ H. Dãy { }ek thỏa mãn (2.1) nhưng nĩ khơng cĩ dãy con hội tụ. Trên thực tế, với j≠k, ta cĩ
2 2 2
2 Re( , ) 2.
j k j j k k
e −e = e − e e + e =
Mâu thuẫn này chỉ ra rằng H phải là khơng gian hữu hạn chiều. Vậy Định lý đã
được chứng minh.
2.2 Phép nhúng compact
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra một vài tốn tử compact trong các khơng gian hàm số mà chúng ta sử dụng. Kết quả đầu tiên của chúng ta là:
Định lý 2.4 Giả sử ϕ là một hàm số trong C0∞( )n , tức là hàm khả vi vơ hạn và cĩ giá compact. Giả sử s>0 và tồn tại một dãy { }vk của các phần tử của Hs sao cho
, 1,2,...
k s
Khi đĩ với mỗi t thỏa mãn 0≤ <t s, ta cĩ một dãy con { }uj của { }vk sao cho { }ϕuj
hội tụ trong Ht.
Chứng minh
Định lý khẳng định rằng tốn tử T định nghĩa bởi
, s