Bài toán Cauchy cho phương trình Elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên

Tóm tắt: Luận văn gồm 5 chương. Chương 1: nêu một số kiến thức chuẩn bị như giới thiệu một số không gian hàm, khái niệm về tính chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard, một số phép biến đổi tích phân và các bất đẳng thức thường dùng trong luận văn. Chương 2: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với đạo hàm cấp không nguyên tuyến tính thuần nhất trường hợp hàm nguồn F = 0. Chương 3: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không thuần nhất với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t). Chương 4: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t,u(x,t)). Theo một số giả định cho trước về nghiệm, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự ổn định nghiệm bằng phương pháp chỉnh hóa chặt cụt. Chương 5: Trình bày ví dụ số minh họa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HỒ DUY BÌNH BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2019 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HUY TUAN Cán chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI Cán chấm nhận xét 2: TS NGUYỄN MINH QUÂN Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 20 tháng năm 2019 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS.NGUYỄN TIEN DŨNG Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: TS NGUYỄN MINH QUÂN ủy viên: TS NGUYỄN MINH TÙNG Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRUỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS TRUONG TÍCH THIỆN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Hồ DUY BÌNH Ngày, tháng, năm sinh: 27/10/1983 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số học viên: 1770487 Nơi sinh: Quảng Ngãi Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức tảng - Nghiên cứu tính khơng chỉnh tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính với đạo hàm cấp khơng ngun chỉnh hóa nghiệm C ,H P băng phương pháp chặt cụt - Nghiên cứu tính khơng chỉnh tốn Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp khơng chỉnh hóa nghiệm £2 băng phương pháp chặt cụt III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 11 - 02 - 2019 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 02 - - 2019 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN Tp HCM, Ngày .tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN TS NGUYỄN TIẾN DŨNG TRƯỞNG KHOA PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh Thầy trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấp đề tài nguồn tài liệu quí báu cho tơi suốt q trình làm luận văn Đồng thời định hướng truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ khó khăn q trình tiếp cận nghiên cứu thực luận văn Luận văn không thực khơng có hướng dẫn tận tình Thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa dành thời gian để đọc kỹ luận văn cho lời khuyên, nhận xét, đánh giá bình luận bổ ích để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến q Thầy mơn Tốn ững dụng, Khoa Khoa học ững dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM, tổ chức lớp học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập Cuối cùng, q trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý quý Thầy, Cô bạn đọc để bổ sung hồn thiện đề tài tốt Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng năm 2019 Hồ Duy Bình TĨM TẮT LUẬN VĂN Chúng tơi trình bày luận văn gồm chương Chương 1: nêu số kiến thức chuẩn bị giới thiệu số không gian hàm, khái niệm tính chỉnh, khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, số phép biến đổi tích phân bất đẳng thức thường dùng luận văn Chương 2: nghiên cứu tính khơng chỉnh chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình elliptic với đạo hàm cấp khơng ngun tuyến tính trường hợp hàm nguồn F = Chương 3: nghiên cứu tính khơng chỉnh chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính khơng với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t) Chương 4: nghiên cứu tính khơng chỉnh chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t,u(x,t)) Theo số giả định cho trước nghiệm, đưa nghiệm chỉnh hóa đánh giá ổn định nghiệm phương pháp chỉnh hóa chặt cụt Chương 5: Trình bày ví dụ số minh họa ABSTRACT Thesis is divided into chapters Chapter 1: we prepare some preliminaries including some needed function spaces, concepts of well-posedness, illposedness in the sense of Hadamard, some integral transformations and inequalities which will be used throughout the thesis Chapter 2: studying the well-posedness and constructing the regularized the solution of the Cauchy problem for a homogeneous linear fractional elliptic equations in the case of the source function F = Chapter 3: studying the well- posedness and constructing the regularized solution of the Cauchy problem for a inhomogeneous linear fractional elliptic equations in the case of the source function F = F(x.t) Chapter 4: studying the well-posedness 11 and constructing the regularized solution of the Cauchy problem for a semilinear fractional elliptic equations in the case of the general source function F = F(x.t,u(x,t)) Under an a-priori assumption on the solution, we introduce the regularized solution and propose the Fourier truncation method for stabilizing the solution Chapper 5: we provide a numerical example to illustrate the theoretical results iii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Hồ Duy Bình, mã số học viên: 1770487, học viên cao học chuyên ngành Toán ững Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM, khóa 2017 2019 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, nội dung trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng năm 2019 Học viên thực Hồ Duy Bình IV DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa R Tập hợp số thực Rd Không gian Euclide d chiều C([0,T],£2(íì)) Khơng gian hàm liên tục từ [0,T] vào £2(íi) {v £2(íi) / rp \ Vp j«:[0;T]—>x Ị / ||u(í)Hx dt < 00 ; < p < 001 w{ft) r oo N Khơng gian ịv e £2(íi) 0j)2 < °°| A Toán tử elliptic dĩ Đạo hàm cấp khơng ngun Oi theo biến t (v > Tích vơ hương £2(íi) \\'\\x Chuẩn khơng gian X LỜI MỞ ĐẦU Phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên xuất nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật ([5j) hầu hết nghiên cứu trước dành cho phương trình khuếch tán phương trình sóng (ỊH 14]) với đạo hàm cấp khơng ngun Hơn nữa, gần phương trình elliptic với đạo hàm cấp không nguyên trở thành điểm đáng ý số nghiên cứu tiếng ([4, 11]) báo nhằm đóng góp vào việc mở rộng hiểu biết tổng thể tốn ngược liên quan đến phương trình loại Trong báo này, xem xét vấn đề giá trị biên cho phương trình elliptic tựa phi tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên dịU + Au = F(x, í, u(x, í)), (x, t) e n X (0, T) =: Q T (1) với điều kiện ban đầu điều kiện biên sau (x, t) E dũ u(x,í) =0, u(x,0) | X (0, T), = /(x), X e 0, Wí(x,0) = g(x), xe Ũ, đó, c Rd, (d = 1, 2,3) miền bị giới hạn với đường biên trơn dft số T > Trong phương trình (ỊTỊ), a E (1, 2) cấp đạo hàm không nguyên 0“ đạo hàm Caputo cấp không nguyên t (xem [15, 6j), định nghĩa t f CJU d?u(x, t) := r^2 _ j (t - s)1_a^(®, s)ds, (x, t) e Q T , (3) VI (2 ) +0C đó, r(a) = / e_íí“_1dí hàm Gamma Lưu ý phương trình (ỊTỊ), thay đổi thành phương trình dfu — Au = F(x, í, u(x, í)), (x, t) E n X (0, T) =: Q T (4) gọi phương trình sóng tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên, theo điều kiện (Ị2Ị) nghiên cứu [15] Trong trường hợp ữ \j 1, tốn (ỊTỊ) trở thành tốn khơng chỉnh ngược thời gian cho phương trình nhiệt parabolic [8j, trường hợp a /n 2, toán (ỊTỊ) trở thành toán ngược elliptic cổ điển (gọi tốn Cauchy cho phương trình Laplace [12]) Ta biết tốn thứ hai khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard kết chỉnh hóa thu [9j Một câu hỏi tự nhiên liệu tốn Cauchy phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên ([!]) khơng chỉnh Hơn nữa, trái ngược với phương trình elliptic cổ điển, phương trình elliptic tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên không nghiên cứu nhiều Trong [2j, tác giả ý đến tính khơng chỉnh (mặc dù khơng có chỉnh hóa giải quyết) toán (ỊTỊ)-(Ị2Ị) trường hợp đơn giản trường hợp tuyến tính F = Theo hiểu biết tốt tác giả, khơng có ấn phẩm tốn Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên (Ịp cho hàm nguồn F tổng quát Luận văn trình bày dựa kết báo [10] đưa cơng thức nghiệm, chứng minh tính khơng chinh chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun Ngồi chúng tơi cụ thể hóa nội dung báo cách chỉnh hóa nghiệm trường hợp tuyến tính £2(Q) Theo bố cục luận văn trình bày gồm năm chương vii Toán ứng dụng Luận văn Thạc 8Ĩ Nhân hai vế bất đẳng thức cho exp ta có đánh giá sau ’ ' ll£* 2(í)) < C+ ^ exp ị^—KX^t^ exp ^Ajyí^ a II í I \ m si• / I \ 11 T X J X Bước Đánh giá ||u(-,í) — 'yiv(-)í)||jC2(np Trước tiên dễ thấy (4.25) E ^2uj(t)ộj(x) = S N f(x) + V NQ { X ) + í Qiv(í - s)F(u)(x,s)ds j=1 Sử dụng fl4.6Ị) d4.24Ị) ta có ||w(-,t) — ■yiV(-,í)||jC2(n) N < + u { -,í) j=l < N £2(0) N J2uj{t)ệj{x) - V N { - , t ) =1 E M‘)I + C {Q) C {Q) j=N+l Li L2 (4.26) Ta lại có 00 oo Li = 1 E k«l < E N j=N+l \ j = N +1 Từ suy Li < exp ( - A í)) oo N xĩ ex P (2AI (T -*)) Mí) I2 - = Theo (4.14), ta có đánh giá sau oo Li = ^ |wj(í)|2 < AN7exp(- \ị(T-tỶJA (4.27) N j=N+l Hồ Duy Bình 53 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Từ (|426|)-(|427|) põẽỊ) ta thu u(-,í)-uiV(-,í)||>c2(n) < A^exp ( - A^(T - tỹỳA t H - A ^ K J ex p ( A | ( Í - S ) )| | U (-, S ) - ĩ >w ( - , s )| |d s Nhân hai vế bất đẳng thức cho exp ^Ajy(T — t)j, ta có exp (A“(r-í))||U(.,í)-^(.,í)||£a(n) t < *7 A H - A^K J exp ( | (T - s) ) ||u(-, s) A VN{-1 íOll^ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta suy exp (A|(T-Í))||U(-,Í) -^(■,í)||z.2(n) < A^r7 A exp (—A^itt) Nhân hai vế bất đẳng thức cho exp ( — Ajy(T — t)j, suy ||u(-, í) — V N ( ’ , t) 11^2^) < A^7Ẩexp exp ^ — Ajy(T — tỸJ Ktj (4.28) Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có ||u(-,í) -