Bài toán dirichlet cho phương trình sóng kirchhoff phi tuyến trong không gian sobolev có trọng

Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC *, NGUYỄN TUẤN DUY ** TÓM TẮT Trong báo này, thuật giải lặp cấp hai, thiết lập nghiệm yếu toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến không gian Sobolev có trọng Hơn nữa, đánh giá tốc độ hội tụ cấp hai thuật giải cho Kết thu tương đối tổng quát kết tương ứng [2, 11, 14, 20] ABSTRACT On a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight In this paper, a second-order iterative scheme is established in order to get a unique weak solution of a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight What’s more, the evaluation of the second-order convergent speed of the scheme is given This result is more relatively generalized than the corresponding results in [2, 11, 14, 20] Giới thiệu Trong báo này, xét toán sau: (1.1)   utt  B(|| ur ||0 )( urr  r ur )  f ( r , u ),  r  1,  t  T ,  r ur ( r , t ) |  , u (1, t )  0,  | rlim  0   u ( r, 0)  u0 (r ), ut ( r,0)  u1 ( r ),  hàm số B, f , u0 , u1 cho trước Trong phương trình (1.1)1, số hạng Kirchhoff B (|| ur ||20 ) phụ thuộc vào tích phân || ur ||20   ru r ( r, t )dr Liên quan đến toán (1.1) toán sau mà nhiều công trình nghiên cứu đề cập, chẳng hạn [4 – 6, 9, 10, 12 – 20]: * ** TS, Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang CN, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tài – Marketing 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ (1.2)  vtt  B1 (|| v ||2 ) v  f1 ( x, v ), ( x, t )  1  (0, T ),  ( x, t )  1  (0, T ),  v  0,  v ( x,0)  v ( x ), v ( x,0)  v ( x ), x  1, t  N || v ||2   | v ( x, t ) |2dx   i1  v x2 ( x, t )dx, 1 miền bị chặn N i 1 1 với biên 1 đủ trơn v véctơ pháp tuyến đơn vị biên 1 , hướng phía Với N  1  (0, L), phương trình (1.2)1 xuất phát từ toán mô tả dao động phi tuyến dây đàn hồi [6]  Eh  hvtt   P0  2L   L | v  ( y, t ) |2 dy  v xx  0,  x  L,  t  T , y  v độ võng, x biến không gian, t biến thời gian,  khối lượng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây lúc ban đầu, E môđun Young P0 lực căng lúc ban đầu Trong [3], Carrier thiết lập toán có dạng  vtt  P0  P1  L  v ( y , t )dy v xx  0, P0 P1 số Trường hợp 1 cầu đơn vị mở N hàm v, f , v0 , v1 phụ thuộc vào x thông qua r với r  | x |  iN1 xi2 , ta đặt: v( x, t )  u(| x |, t ), f1 ( x, t )  f (| x |, t ), v0 ( x )  u0 (| x |), v1 ( x )  u1 (| x |),  B1 (|| v ||2 )v   B   u (r, t)r dr  (u r  rr   ur ),   N  1, r B ( )  B1 ( N ) với  N diện tích mặt cầu đơn vị lại sau Khi (1.2) viết     utt  B 0 ur ( r , t )r dr (urr  r ur )  f ( r , u ),  r  1,  t  T ,   u (1, t )  0,  t  T ,    u ( r ,0)  u0 ( r ), ut (r ,0)  u1 ( r ),  r   (1.3) N  Với N  2, (1.1)1 phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động màng đơn vị 1  {( x, y ) : x  y  1} Trong trình dao động, bề mặt màng 23 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ 1 sức căng điểm khác thay đổi theo thời gian Điều kiện biên (1.1)2 r  mô tả đường biên màng tròn (chu vi 1 ) giữ cố định Điều kiện biên (1.1)2 r  hiển nhiên thoả mãn u nghiệm cổ điển toán (1.1), chẳng hạn u  C (  [0, T ]) C    (0, T )  Điều kiện thường sử dụng liên hệ với không gian Sobolev có trọng r [2, 8, 11, 14] Trường hợp phương trình (1.3)1 không chứa số hạng ( / r)u r (  0), (1.3)1 có dạng (1.4) utt  B   ur2 ( r, t )dr urr  f (r , u ) Khi f  0, toán Cauchy hay toán hỗn hợp (1.4) nhiều tác giả nghiên cứu; xem [4, 5] tài liệu tham khảo nêu Tổng quan kết thuộc lĩnh vực Toán học mô hình Kirchhoff tìm thấy tài liệu [17, 18] Mederios [16] nghiên cứu toán (1.1) tập mở bị chặn  , với f  f (u )  bu , b  số cho trước Hosoya Yamada [5] nghiên cứu toán (1.4) – (1.3)3,4 với f  f (u )   | u | u ,   0,   số cho trước Trong [9, 10], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm phương trình (1.5) utt   2u  B(|| u ||2 )u   | ut | 1 ut  F ( x, t ), x  , t  0,   0,   0,    1,  tập mở bị chặn Trường hợp có thành phần (1 / r)u r xuất phương trình (1.1)1 ta phải khử bỏ hệ số / r cách sử dụng không gian Sobolev có trọng thích hợp [2, 8, 11, 14] Trong báo này, toán (1.1) liên kết với thuật giải xác định dãy quy nạp {u m } sau (1.6)  2um   um   B(|| um ||20 ) r   f ( r, um 1 )  (um  um 1 ) Du f ( r , um 1 ), t r r  r   r  1,  t  T , với um thoả (1.1)2,3,4 số hạng chọn u0  Với f  C ([0,1]  ) B  C (  ), b0  B( z )  d (1  z p ), | B( z ) |  d1 (1  z p 1 ), z  0, b0  0, p  1, d0 , d1  số cho trước, với số điều kiện khác, chứng minh toán (1.1) có nghiệm yếu dãy lặp {u m } hội tụ bậc hai nghiệm yếu Kết thu tương đối tổng quát kết tương ứng [2, 11, 14, 21] 24 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ Các không gian hàm kết chuẩn bị Đặt   (0,1) Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng C m (  ), L p (), H m () W m, p ( ) (xem [1]) Với hàm v  C (), ta định nghĩa || v ||0   1/2 ru ( r, t ) dr  V0 đầy đủ hoá không gian C () chuẩn ||  ||0 1/2 Tương tự, với hàm v  C1 (), ta định nghĩa || v ||1  || v ||02  || vr ||02  V1 đầy đủ hoá C1 () chuẩn ||  ||1 Ta ý chuẩn ||  ||0 ||  ||1 định nghĩa từ tích vô hướng  u , v    ru( r )v ( r )dr  u , v    u , v Dễ dàng chứng minh V0 V1 không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng Mặt khác, V1 nhúng liên tục nằm trù mật V0 Đồng V0 với V0 (đối ngẫu V0 ), ta có V1 ↪ V0  V0 ↪ V1 Ta dùng ký hiệu ,  để cặp tích đối ngẫu V1 V1 Ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1 ([2]) Tồn hai số dương K1 K2 cho với v  C (), ta có: (i) || vr ||20  v (1)  || v ||02 , (ii) | v(1) |  K1 || v ||1 , (iii) rv( r )  K || v ||1 , r   Đặt V1  {v  V1 : v (1)  0}, ta chứng minh không khó khăn V1 không gian đóng V1 nên không gian Hilbert tích vô hướng V1 Mặt khác, ta có: Bổ đề 2.2 (i) Phép nhúng V1 ↪ V0 compact (ii) Trên V1 , hai chuẩn v || vr ||0 ; v || v ||1 hai chuẩn tương đương Chứng minh bổ đề 2.2 suy từ bổ đề 2.1, (i) Từ đoạn trở ta sử dụng chuẩn V1 v || vr ||0 Định nghĩa toán tử a (, ) sau: (2.1) a ( u, v )   rur ( r )v r ( r ) dr , u, v  V1 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ Khi ta có bổ đề Bổ đề 2.3 Dạng song tuyến tính đối xứng a (, ) xác định (2.1) liên tục V1  V1 cưỡng V1 , nghĩa là: (i ) | a(u, v ) |  || ur ||0 || vr ||0 , (ii) | a (v, v) |  || vr ||0 , với u , v  V1 Từ Bổ đề 2.3, ta có toán tử tuyến tính liên tục A : V1  (V1 ) cho a (u , v)   Au , v u, v V1 1 ( rur ) r (V1 ) ta có bổ đề sau nói lên tồn r hàm riêng toán tử A tạo thành sở V0 V1 : Hơn Au  Bổ đề 2.4 ~ Tồn sở trực chuẩn Hilbert {w j } V0 gồm hàm riêng w j tương ứng với giá trị riêng  j cho (i )  1   j   j  , (ii) a ( w j , v )   j  w j , v , v  V1, j  Hơn nữa, hệ {w j /  j } sở trực chuẩn Hilbert V1 tương ứng với tích vô hướng a(, ) Mặt khác hàm w j thỏa mãn toán giá trị biên:   Aw j   r ( rw jr )r   j w j , ,  | lim rw jr (r ) |  , w j (1)   r 0  Chứng minh bổ đề 2.4 tìm thấy [22: trang 87, định lý 7.7] Tiếp theo, với v  C02 ()  {v  C () : v (1)  0}, ta định nghĩa: (2.2) || v ||2  (|| vr ||02  || Av ||02 )1/2 định nghĩa V2 đầy đủ hóa không gian C02 () chuẩn ||  ||2 Chú ý V2 không gian Hilbert tích vô hướng: (2.3)  ur , vr    Au, Av Mặt khác ta định nghĩa V2 V2  {v V1 : Av V0 } 26 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ Liên quan không gian V0 , V1 V2 ta có bổ đề sau mà chứng minh chúng tìm thấy [2] Bổ đề 2.5 Các phép nhúng V2 ↪ V1 ↪ V0 compact Bổ đề 2.6 Với v  V2 , (i ) || vr ||L (  )  (ii) || vrr ||0  || Av ||0 , || Av ||0 ,  (iii ) || v ||2L (  )  2|| v ||0   || Av ||0 || v ||0 Bổ đề 2.7 Với u  V1 v V0 , ta có:  u ,| v |  || ur ||20 || v ||0 Với không gian Banach X , ta ký hiệu chuẩn X ||  ||X X  đối ngẫu X Ký hiệu L p (0, T ; X ),  p  , không gian Banach gồm tất hàm đo u : (0, T )  X , cho || u ||Lp ( 0,T ; X )   T || u (t ) ||Xp dt  p || u ||L (0,T ; X )  ess sup || u (t ) ||X ,  , với  p  , với p   t T Ta ký hiệu u(t ), u (t )  u(t )  ut (t ), u(t )  u(t )  utt (t ), u r (t ), u rr (t ) để u (r , t ),  2u  2u u u ( r , t ), ( r , t ), ( r , t ), (r , t ) t r r t Trong mục sau xét toán giá trị biên ban đầu (1.1) với giả thiết sau ( H ) u~0  V2 , u1  V1 , ( H ) B  C1 (  ), cho số b0  0, p  1, d , d1  thỏa (i) b0  B ( z )  d (1  z p ), z  0, (ii) | B( z ) |  d1 (1  z p1 ), z  0, ( H ) f  C ([0,1]  ) cho f (1,0)  27 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Cho trước M  với f thoả giả thiết ( H ) ta đặt (2.4)  K  K ( M , f )  sup | f ( r , u ) |, ( r ,u )A   1   K1  K1 ( M , f )   K  M , Dr Du f  ,     A  A( M )  {( r, u ) :  r  1, | u | M  }, Dr Du f     f r  u Cho trước M  T  0, ta đặt W ( M , T )  {v  L (0, T ;V2 ) : v  L (0, T ;V1 ), v  L2 (0, T ;V0 ), || v ||L (0,T ;V )  M , || v ||L (0,T ;V )  M , || v ||L2 (0,T ;V )  M }, W1 ( M , T )  {v  W ( M , T ) : v  L (0, T ;V0 )} Để chứng minh tồn nghiệm toán (1.1), trước hết ta xây dựng dãy {u m }  W1 (M , T ), với số M  0, T  thích hợp chọn sau, phương pháp quy nạp Dãy quy nạp chứng minh hội tụ nghiệm yếu toán (1.1) Sự hội tụ cấp hai Xét dãy quy nạp (phi tuyến) {u m } xây dựng thuật giải sau: Cho trước u0  giả sử (3.1) um 1  W1( M , T ) Ta liên kết toán (1.1) với toán biến phân: Tìm um  W1 ( M , T ) (m  1) cho (3.2)  um ( t ), v   B (|| um (t ) ||02 ) a (um (t ), v )   f ( r, um 1 ), v     ( um  um 1 ) Du f ( r, um 1 ), v , v  V1,  u (0)  u , u (0)  u m  m Khi ta có định lý sau Định lý 3.1 Giả sử ( H )  ( H ) Khi tồn số M  0, T  cho với u0  0, tồn dãy quy nạp {u m }  W1 ( M , T ) xác định (3.1), (3.2) Chú thích 1: Trong [2] thuật giải (3.2) xét với B  1, f  f (u) Chứng minh định lý 3.1: Chúng sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin giới thiệu Lions [7], tiến hành qua nhiều bước 28 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ Bước 1: Xấp xỉ Galerkin ~ /  bổ đề 2.4 Đặt Xét sở trực chuẩn {w j }, với w j  w j j k (3.3) (k ) u m( k ) (t )   cmj (t ) w j , j 1 (k ) mj c (t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường sau (3.4)   um( k ) ( t ), w j   bm( k ) (t ) a ( um( k ) ( t ), w j )   Fm( k ) ( t ), w j  ,  j  k ,  (k ) (k )  um (0)  u0 k , um (0)  u1k , (3.5)  (k )  k (k ) (k ) 2 bm (t )  B (|| um (t ) ||0 )  B    j | cmj (t ) |  ,   j 1   (k ) (k )  Fm ( r , t )  f ( r , um 1 )  (um  um 1 ) Du f ( r , um 1 ), (3.6) u~0k    (jk ) w j  u~0 , V2 mạnh, k j 1 k (3.7) u~1k    (j k ) w j  u~1 , V1 mạnh j 1 Với giả sử u m 1 thoả (3.1), bổ đề sau cho ta tồn nghiệm u m( k ) (t ) hệ (3.4) Bổ đề 3.2 Giả sử ( H )  ( H ) Khi với số M  0, T  cố định, hệ phương trình (3.4) – (3.5) có nghiệm u m( k ) (t ) đoạn [0, Tmk ]  [0, T ] Chứng minh bổ đề 3.2: Hệ (3.4) – (3.7) viết lại dạng (3.8) (k ) (k )  cmj (t )   j bm( k ) (t )c mj (t )   Fm( k ) (t ), w j  ,  j  k ,  (k ) (k ) (k ) (k )  cmj (0)   j (0), c mj (0)   j Hệ phương trình tương đương với hệ phương trình tích phân có dạng (3.9) cm( k )  H [cm( k ) ], (3.10) (k )  H [cm( k ) ]   H1 [cm( k ) ], , H k [ cm( k ) ] , cm( k )   cm( k1) , , cmk ,  k t   (k ) (k ) H [ c ]( t )  q ( t )  d   j 0 0 i1  Du f ( r, um1 ) wi , w j cmi ( s)ds  j m   t   k  (k ) (k )    j  d  B   i | cmi ( s) |2  cmj ( s )ds, 0   i 1   t   q j ( t )   (jk )   j( k )t   d   f ( r , um 1 )  um 1Du f ( r, um 1 ), w j  ds,  j  k  0 29 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Với Tm( k )  (0, T ]   (sẽ chọn sau), ta đặt Y  C ([0, Tm( k ) ]; S  {c  Y : || c ||Y   }, || c ||Y  sup 0 t Tm( k )  k j 1 k ), | c j (t ) |, với c  ( c1 , , ck )  Y Rõ ràng S tập đóng khác rỗng Y ta có toán tử H : Y  Y k Chọn   sup  i1 | qi (t ) |  || q ||T sau chọn Tm( k )  (0, T ] cho 0 t T  Tm( k )  Chọn n     || q ||T  , D  D (  , k , M , m)  kK1  k d (1  kp  p )  D cho kT  ( D  T )2 n  1, (2 n)! D   D  (  , k , M , m)  D   k2 d1 (1  kp 1  p 2 ) Khi (i) H ánh xạ S vào nó, (ii) || H n [ cm( k ) ]  H n [d m( k ) ] ||Y  kT || cm( k )  d m( k ) ||Y cm( k ) , d m( k )  S Như H n : S  S ánh xạ co đó, H có điểm bất động Suy hệ phương trình (3.4), (3.5) có nghiệm u m( k ) (t ) đoạn [ 0, Tm( k ) ]  [0, T ] Bổ đề 3.2 chứng minh Các ước lượng sau cho phép ta lấy Tm( k )  T Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Đặt (3.11) Sm( k ) (t )  X m( k ) (t )  Ym( k ) (t )   t || um( k ) ( s ) ||02 ds, (3.12)  X m( k ) (t )  || um( k ) (t ) ||02 bm( k ) (t ) || um( k ) (t ) ||20 ,  (k ) (k ) (k ) (k )  Ym (t )  || um (t ) ||0 bm (t ) || Aum (t ) ||0 Từ (3.4), ta suy t Sm( k ) (t )  Sm( k ) (0)   bm( k ) ( s ) || um( k ) ( s ) ||02  || Aum( k ) ( s ) ||02  ds (3.13) t t    Fm( k ) ( s ), um( k ) ( s ) ds   a ( Fm( k ) ( s ), um( k ) ( s ))ds t t   b ( s ) Au ( s ), u ( s ) ds    Fm( k ) ( s ), um( k ) ( s ) ds (k ) m (k ) m (k ) m Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.3 Tồn số D  D ( M )  0, D  D ( M )  0, cho 30 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _   (i ) || Fm( k ) (t ) ||0  D ( M )  Sm( k ) (t ) , (ii) || Fm( k ) (t ) ||0  D ( M )  Sm( k ) (t ) ,   với m, k  ,  t  Tm( k )  T Bổ đề 3.4 Tồn số D  D ( M )  0, cho (3.14) Sm( k ) (t )  Sm( k ) (0)  D ( M )  t 1  ( Sm( k ) ( s )) p 1  ds, với m, k  ,  t  Tm( k )  T Chứng minh hai bổ đề thực với phép tính đánh giá dài, sau xếp lại, số D , D , D tính sau: (3.15)      M ,  D  D ( M )  K1    b0      M    (3  )( M  ) ,  D1  D ( M )  K1  b0      D  D ( M )  4d (1  b02 p )  d1 (1  b01 p )  8( D  D )  D 02  b0 b0  Tiếp theo, ta đánh giá tiên nghiệm Do (3.6) – (3.7), ta luôn chọn số M  0, không phụ thuộc vào k, m cho (3.16) Sm( k ) (0)  || u1k ||20  || u1k ||02  B(|| u0 k ||20 ) || u0k ||02  || Au0 k ||02   M , với m, k  Kết hợp (3.14), (3.16) ta có bổ đề sau Bổ đề 3.5 Tồn số T  không phụ thuộc vào k, m cho (3.17) S m( k ) (t )  M , t  [0, T ], với k m Chứng minh bổ đề 3.5: Kết hợp (3.14), (3.16) ta có (3.18) Sm( k ) (t )  t M  TD ( M )  D ( M )  ( Sm( k ) ( s )) p1 ds,  t  Tm( k )  T Ta chọn T  cho 31 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ (3.19) 1    M  TD2 ( M )  2  2 p  (2 p  1)TD ( M )  M 4 p Đặt (3.20) S (t )  t M  TD ( M )  D ( M )  ( Sm( k ) ( s )) p 1 ds,  t  Tm( k )  T Hiển nhiên ta có (3.21)  S (t )  0,  Sm( k ) (t )  S (t ), S '(t )  D ( M )S p 1 (t ),     S (0)  M  TD2 ( M )  Đặt Z (t )  S 2 p (t ), lấy tích phân (3.21)1, ta có (3.22) Z ( t )  Z (0)  (2 p  1)tD ( M )  Z (0)  (2 p  1)TD ( M )  M 4 p ,  t  Tm( k )  T Do (3.21), (3.22), ta  Sm( k ) (t )  S (t )  2p  M ,  t  Tm( k )  T Z (t ) Từ đây, ta lấy Tm( k )  T , với k , m Bổ đề 3.5 chứng minh Do bổ đề 3.5 ta suy u m( k ) W1 ( M ,T ), với k ,m Và đó, từ dãy {u m(k ) } ta trích dãy {u m( k ) } cho i u m( ki )  u m L (0, T ;V2 ), yếu *, u m( ki )  u m L (0, T ;V1 ), yếu *, um( ki )  um L2 (0, T ;V0 ), yếu, u m W ( M , T ) Chuyển qua giới hạn (3.4), ta có u m thoả mãn (3.2) L2 (0,T ), yếu Mặt khác, (3.1) – (3.2)1 um W ( M , T ), ta có um   B (|| um ||20 ) Aum  f ( r , um 1 )  ( um  um 1 ) Du f ( r, um 1 )  L (0, T ;V0 ) Suy u m  W1 ( M , T ) Định lý 3.1 chứng minh Kết sau cho ta hội tụ cấp hai dãy {u m } nghiệm yếu toán (1.1) 32 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ Định lý 3.6 Giả sử ( H )  ( H ) Khi tồn số M  0, T  cho (i) Bài toán (1.1) có nghiệm yếu u  W1 (M , T ) (ii) Dãy qui nạp {u m } xác định (3.4) – (3.5) hội tụ cấp hai mạnh nghiệm yếu u toán (1.1) không gian    W1 (T )  {v  L (0, T ;V1 ) : v  L (0, T ;V0 )} theo nghĩa (3.23) || um  u ||W1 ( T )  CT T2 m m,   T  1, CT số độc lập với m Chú thích 2: Trường hợp phương trình (1.1) không chứa số hạng (1 / r )u r , [21] thu kết hội tụ cấp hai định lý 3.6 Mặt khác cho dù phương trình (1.1) có chứa số hạng (1 / r )u r , kết tổng quát trường hợp B  1, f  f (u ) xét [2] Chứng minh định lý 3.6: a) Sự tồn nghiệm toán (1.1): Trước hết ta ý W1 (T ) không gian Banach chuẩn || v ||W ( T )  || v ||L (0,T ;V )  || v ||L ( 0,T ;V ) ([7])   Ta chứng minh {u m } dãy Cauchy W1 (T ) Giả sử vm  um1  u m Khi vm thoả mãn toán biến phân sau (3.24)    vm (t ), w  bm 1 (t ) a (vm (t ), w)   bm 1 (t )  bm (t )   Aum (t )), w    Fm 1 (t )  Fm ( t ), w, w V1 ,   v (0)  v (0)  0, m  m (3.25)  Fm 1 (t )  Fm (t )  vm Du f ( r , um )  12 vm2 1Du2 f ( r , m ),   m  um 1   vm 1 , (0    1),  2  bm 1 (t )  bm (t )  B(|| um 1 (t ) ||0 )  B(|| um (t ) ||0 ) Thay w  vm (3.24), sau lấy tích phân theo t , ta thu t zm (t )   bm 1 ( s ) || vm ( s ) ||02 ds (3.26) t    B(|| um 1 ( s ) ||02 )  B(|| um ( s ) ||02 )   Aum ( s ), vm ( s ) ds t t 0    vm Du f ( r, um ), vm ( s ) ds    vm2 1Du2 f ( r , m ), vm ( s ) ds 33 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ zm (t )  || vm (t ) ||02 b0 || vm ( t ) ||02 Tương tự trên, sử dụng bổ đề 2.1 – 2.3, 2.6, 2.7 giả thiết ( H )  ( H ), ta có đánh giá số hạng vế phải (3.26) cuối ta thu (3.27) zm (t )  K12T vm 1  M(1)   b0 t W1 ( T )  (1) M z m ( s )ds,   K p 2 ) M 2     d1 (1  M b0  b0  Sử dụng bổ đề Gronwall cho (3.27), ta nhận (3.28) (1) zm (t )  K12TeT  M vm1 W1 ( T ) , Do (3.29) || vm ||W1 ( T )  T || vm 1 ||2W ( T ) , T  (1  (1) 1 ) K12TeT  M Từ (3.29), ta có b0 m (3.30) || um  um  p 2 ||W1 (T )  , T (1   ) với m p,   2MT  Vậy {um } dãy Cauchy W1 (T ) tồn u  W1 (T ) cho (3.31) um  u mạnh W1 (T ) Chú ý u m  W1 ( M , T ) Khi từ dãy {u m } ta lấy dãy {u m } j cho u m j  u L (0, T ;V2 ), yếu *, u m j  u L (0, T ;V1 ), yếu *, um j  u L2 (0, T ;V0 ), yếu, u W ( M , T ) Ta lại có, bổ đề 2.1 – 2.4 giả thiết ( H )  ( H ),  T (3.32)  bm (t ) Aum (t )  B(|| u (t ) ||02 ) Au (t ), w( t ) dt  d (1  M p )|| um  u ||L (0,T ;V ) || w ||L1 (0,T ;V )  d1 (1  M 34 p 2 ) M || um 1  u ||W1 ( T ) || u ||L (0,T ;V ) || w ||L1 (0,T ;V ) , 1 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ với w  L1 (0, T ;V1 ) Từ (3.31), (3.32) ta kết luận bm (t ) Aum  B (|| u ( t ) ||20 ) Au L (0, T ;(V1 ) '), yếu * (3.33) Tương tự ta thu từ || f (r , um1 )  f (r , u ) ||L  (0,T ;V0 )  K1 || um1  u ||L ( 0,T ;V ) ,  f ( r , u m1 )  f ( r , u ) mạnh L (0, T ;V0 ) (3.34) Chuyển qua giới hạn (3.2) m  m j  , ta thu u W1 (M ,T ) nghiệm yếu toán (1.1) b) Tính nghiệm Giả sử u1 , u hai nghiệm yếu toán (1.1) với u i  W1 (M , T ), i  1, Khi v  u1  u thoả mãn toán biến phân sau    v (t ), w  b1 (t ) a ( v(t ), w)  b1 (t )  b2 (t )  Au2 (t ), w   (3.35)   f1 (t )  f2 (t ), w , w V1 ,   v (0)  v(0)  0,  b (t )  B || u (t ) ||2  , f (t )  f ( r, u ), i  1,  i i i  i Thay w  v (3.35), sau lấy tích phân theo t , thực đánh giá dài ta thu (3.36) t || v (t ) ||02  || v ( t ) ||02  K M  (|| v( s ) ||02  || v ( s ) ||02 )ds, t  [0, T ], với K M  1  b1   4d1 (1  M p 2 ) M  K1  Áp dụng bổ đề Gronwall, ta suy || v(t ) ||02  || v( t ) ||02  0, t  [0, T ], hay u1  u Tính nghiệm chứng minh c) Đánh giá (3.23) định lý 3.6 suy từ (3.30), (3.31) định lý 3.6 chứng minh hoàn tất Chú thích 3: Một số kết liên quan đến trường hợp phương trình (1.1) không chứa số hạng (1 / r)u r xét [12, 13, 19] TÀI LIỆU THAM KHẢO R.A Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork D.T.T Binh, A.P.N Dinh, N.T Long (2001), “Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel's operator”, Math Comp Modelling, 34 (5-6), pp 541-556 35 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ G.F Carrier (1945), “On the nonlinear vibrations problem of elastic string”, Quart J Appl Math 3, pp 157-165 Y Ebihara, L.A Medeiros, M.M Minranda (1986), “Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation”, Nonlinear Anal 10, pp 27-40 M Hosoya, Y Yamada (1991), “On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions”, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA, Math 38, pp 225-238 G.R Kirchhoff (1876), “Vorlesungen ber Mathematiche Physik: Mechanik”, Teuber, Leipzig, Section 29.7 J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris N.T Long, A.P.N Dinh (1995), “Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a substance”, Comp Math Appl 30 (1), pp 63-78 N.T Long, et al (1993), “On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral”, Comp Maths Math Phys 33 (9), pp 1171-1178 10 N.T Long, T.M Thuyet (1999), “On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear vibrations equation”, Demonstratio Math 32 (4), pp 749-758 11 N.T Long, A.P.N Dinh, D.T.T Binh (1999), “Mixed problem for some semilinear wave equation involving Bessel's operator”, Demonstratio Math 32 (1), pp 77-94 12 N.T Long, A.P.N Dinh, T.N Diem (2002), “Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator”, J Math Anal Appl 267 (1), pp 116-134 13 N.T Long (2002), “On the nonlinear wave equation utt  B(t , || ux ||2 )uxx  f ( x, t , u, u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions”, J Math Anal Appl 274 (1), pp 102-123 14 N.T Long, L.T.P Ngoc (2007), “On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions”, Demonstratio Math 40 (2), pp 365-392 15 N.T Long, L.T.P Ngoc (2009), “On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations”, Vietnam J Math 37 (2 – 3), pp 141-178 16 L.A Medeiros (1994), “On some nonlinear perturbation of Kirchhoff-Carrier operator”, Comp Appl Math 13, pp 225-233 17 LA Medeiros J Limaco, S.B Menezes (2002), “Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part one”, J Comput Anal Appl (2), pp 91-127 36 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy _ 18 LA Medeiros, J Limaco, S.B Menezes (2002), “Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part two”, J Comput Anal Appl (3), pp 211-263 19 L.T.P Ngoc, N.T Long (2010), “Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions”, Acta Applicanda Mathematicae (to appear) 20 S.I Pohozaev (1975), “On a class of quasilinear hyperbolic equation”, Math USSR Sb 25, pp 145-158 21 E.L Ortiz, A.P.N Dinh (1987), “Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method”, SIAM J Math Anal 18, pp 452-464 22 R.E Showater (1994), “Hilbert space methods for partial differential equations”, Electronic J Diff Equat., Monograph 01 37 ... Điều kiện thường sử dụng liên hệ với không gian Sobolev có trọng r [2, 8, 11, 14] Trường hợp phương trình (1.3)1 không chứa số hạng ( / r)u r (  0), (1.3)1 có dạng (1.4) utt  B   ur2 ( r,... u1 ( r ),  r   (1.3) N  Với N  2, (1.1)1 phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động màng đơn vị 1  {( x, y ) : x  y  1} Trong trình dao động, bề mặt màng 23 Số 21 năm 2010... xuất phương trình (1.1)1 ta phải khử bỏ hệ số / r cách sử dụng không gian Sobolev có trọng thích hợp [2, 8, 11, 14] Trong báo này, toán (1.1) liên kết với thuật giải xác định dãy quy nạp {u m }