In this paper, a second-order iterative scheme is established in order to get a unique weak solution of a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the [r]
(1)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010
_
BÀI TOÁN DIRICHLET
CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG KIRCHHOFF
PHI TUYẾN TRONG KHƠNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG
LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC*, NGUYỄN TUẤN DUY**
TÓM TẮT
Trong báo này, thuật giải lặp cấp hai, thiết lập nghiệm yếu duy toán Dirichlet cho phương trình sóng Kirchhoff phi tuyến khơng gian Sobolev có trọng Hơn nữa, đánh giá tốc độ hội tụ cấp hai thuật giải
được cho Kết thu tương đối tổng quát kết tương ứng trong[2,
11, 14, 20]
ABSTRACT
On a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight
In this paper, a second-order iterative scheme is established in order to get a unique weak solution of a Dirichlet problem for a nonlinear Kirchhoff wave equation in the Sobolev spaces with weight What’s more, the evaluation of the second-order convergent speed of the scheme is given This result is more relatively generalized than the corresponding results in [2, 11, 14, 20]
1 Giới thiệu
Trong báo này, chúng tơi xét tốn sau:
(1.1)
2
0
0
1
(|| || )( ) ( , ), 1, ,
| lim ( , ) | , (1, ) 0, ( , 0) ( ), ( ,0) ( ),
tt r rr r
r r
t
u B u u u f r u r t T
r
r u r t u t
u r u r u r u r
trong hàm số B f u u, , 0, 1 cho trước Trong phương trình (1.1)1, số hạng Kirchhoff
0 (|| r|| )
B u phụ thuộc vào tích phân 2
0 0
||ur|| ru r( , )r t dr Liên quan đến toán (1.1) toán sau mà nhiều cơng trình nghiên cứu đề cập, chẳng hạn [4 – 6, 9, 10, 12 – 20]:
*
TS, Khoa Giáo dục Tiểu học, Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang
**
(2)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy
_
(1.2)
2
1 1
1
0 1
(|| || ) ( , ), ( , ) (0, ),
0, ( , ) (0, ),
( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ,
tt
t
v B v v f x v x t T
v x t T
v x v x v x v x x
ở
1
2 2
1
|| || | ( , ) | ( , ) ,
i
N x i
v v x t dx v x t dx
1 miền bị chặn N
với biên 1 đủ trơn v véctơ pháp tuyến đơn vị biên 1,hướng phía ngồi
Với N 1 1 (0, ),L phương trình (1.2)1 xuất phát từ tốn mơ tả dao động phi tuyến dây đàn hồi [6]
2
0 0| ( , ) | 0, , ,
2
L
tt xx
Eh v
hv P y t dy v x L t T
L y
ở v độ võng, x biến không gian, t biến thời gian, khối lượng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây lúc ban đầu, E môđun Young
0
P lực căng lúc ban đầu
Trong [3], Carrier thiết lập tốn có dạng
0 0 ( , ) 0,
L
tt xx
v P P v y t dy v
trong P0 P1 số
Trường hợp 1 cầu đơn vị mở N
hàm v f v v, , 0, 1 phụ thuộc vào x thông qua r với
1
| | N ,
i i
r x x ta đặt:
1 0 1
( , ) (| |, ), ( , ) (| |, ), ( ) (| |), ( ) (| |),
v x t u x t f x t f x t v x u x v x u x
thì
2
1(|| || ) 0 r( , ) ( rr r),
B v v B u r t r dr u u
r
N 1,
ở B( ) B1( N ) với N diện tích mặt cầu đơn vị
N
Khi (1.2) viết lại sau
(1.3)
2
0
( , ) ( ) ( , ), 1, ,
(1, ) 0, ,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ),
tt r rr r
t
u B u r t r dr u u f r u r t T
r
u t t T
u r u r u r u r r
Với N 2, (1.1)1 phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động
(3)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010
_
1
sức căng điểm khác thay đổi theo thời gian Điều kiện biên (1.1)2 r1 mô tả đường biên màng tròn (chu vi 1) giữ cố định Điều kiện biên (1.1)2 r0 hiển nhiên thoả mãn u nghiệm cổ điển toán (1.1), chẳng hạn
( [0, ])
uC T C2 (0, ) T Điều kiện thường sử dụng liên hệ với không gian Sobolev có trọng r [2, 8, 11, 14]
Trường hợp phương trình (1.3)1 khơng chứa số hạng (/r)ur( 0), (1.3)1
có dạng
(1.4)
0 ( , ) ( , )
tt r rr
u B u r t dr u f r u
Khi f 0, toán Cauchy hay toán hỗn hợp (1.4) nhiều tác giả nghiên cứu; xem [4, 5] tài liệu tham khảo nêu Tổng quan kết thuộc lĩnh vực Toán học mơ hình Kirchhoff tìm thấy tài liệu [17, 18] Mederios [16] nghiên cứu toán (1.1) tập mở bị chặn
, với f f(u)bu2, b0 số cho trước Hosoya Yamada [5] nghiên cứu toán (1.4) – (1.3)3,4 với
( ) | | ,
f f u u u 0, 0 số cho trước Trong [9, 10], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm phương trình
(1.5) (|| || )2 | | ( , ),
tt t t
u uB u u u u F x t x, t0,
ở 0, 0, 0 1, tập mở bị chặn
Trường hợp có thành phần (1/r)ur xuất phương trình (1.1)1 ta phải
khử bỏ hệ số 1/r cách sử dụng khơng gian Sobolev có trọng thích hợp [2, 8, 11, 14]
Trong báo này, toán (1.1) liên kết với thuật giải xác định dãy quy nạp {um} sau
(1.6)
2
2
0 1
2
1
(|| || ) ( , ) ( ) ( , ),
m m
m m m m u m
u u
B u r f r u u u D f r u
t r r r
,
,
0r tT với um thoả (1.1)2,3,4 số hạng chọn u00 Với f C2([0,1] )
B C1( ),
b0 B z( ) d0(1 zp),
1
|B z( ) | d(1 zp),
0, z
(4)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy
_
2 Các không gian hàm kết chuẩn bị
Đặt (0,1) Ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng Cm(), ),
( p
L Hm() Wm p, ( ) (xem [1]) Với hàm vC0( ), ta định nghĩa 1 1/
2
0 0
|| ||v ru r t dr( , ) V0 đầy đủ hố khơng gian C0( ) chuẩn
|| ||
Tương tự, với hàm vC1( ), ta định nghĩa 21/2
1 0
|| ||v || ||v ||vr|| V1
là đầy đủ hoá C1( ) chuẩn || || Ta ý chuẩn || || || || định nghĩa từ tích vơ hướng
0
, ( ) ( )
u v ru r v r dr
, ,
u v u v
Dễ dàng chứng minh V0 V1 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng tương ứng Mặt khác, V1 nhúng liên tục nằm trù mật V0 Đồng V0 với V0 (đối ngẫu V0), ta có
1
V ↪V0V0↪V1 Ta dùng ký hiệu , để cặp tích đối ngẫu V1 V1 Ta có bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.1([2])
Tồn hai số dương K1 K2 cho với ( ),
vC ta có: (i) 2
0
||vr|| v (1)|| || ,v
(ii) | (1) |v K1|| || ,v 1
(iii) rv r( )K2|| || ,v 1 r
Đặt V1{vV v1: (1)0}, ta chứng minh khơng khó khăn V1 khơng gian đóng V1 nên khơng gian Hilbert tích vơ hướng V1 Mặt khác, ta có:
Bổ đề 2.2
(i) Phép nhúng V1↪ V0 compact
(ii) Trên V1, hai chuẩn v||vr || ;0 v|| ||v 1 hai chuẩn tương đương.
Chứng minh bổ đề 2.2 suy từ bổ đề 2.1, (i) Từ đoạn trở ta sử dụng chuẩn V1 v||vr || 0
Định nghĩa toán tử a( , ) sau:
(2.1)
0
( , ) r( ) ( )r ,
(5)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010
_
Khi ta có bổ đề Bổ đề 2.3
Dạng song tuyến tínhđối xứng a( , ) xác định bởi (2.1) là liên tục V1V1
và cưỡng V1, nghĩa là: )
(i | ( , ) |a u v ||ur|| ||0 vr|| ,0 )
(ii
0 | ( , ) | ||a v v vr|| , với u v, V1
Từ Bổ đề 2.3, ta có tốn tử tuyến tính liên tục A V: 1( )V1 cho
( , ) ,
a u v Au v u v V, 1 Hơn Au 1(rur r)
r
( )V1 ngồi ta cịn có bổ đề sau nói lên tồn hàm riêng toán tử A tạo thành sở V0 V1:
Bổ đề 2.4
Tồn sở trực chuẩn Hilbert {wj} V0 gồm hàm riêng wj
~
tương ứng với giá trị riêng j cho )
(i 01j j, )
(ii a w v(j, )jw vj, , v V1, j
Hơn nữa, hệ {wj/ j} sở trực chuẩn Hilbert V1 tương ứng với
tích vơ hướng a( , ). Mặt khác hàm wj thỏa mãn toán giá trị biên:
0
( ) , ,
| lim ( ) | , (1)
j jr r j j
jr j
r
Aw rw w trong
r
rw r w
Chứng minh bổ đề 2.4 tìm thấy [22: trang 87, định lý 7.7]
Tiếp theo, với 2
0( ) { ( ) : (1) 0},
vC vC v ta định nghĩa:
(2.2) 2 1/2
2 0
|| ||v (||vr|| ||Av|| )
và định nghĩa V2 đầy đủ hóa khơng gian 0( )
C chuẩn || || Chú ý V2 khơng gian Hilbert tích vơ hướng:
(2.3) u vr, r Au Av,
(6)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Tuấn Duy
_
Liên quan khơng gian V0, V1 V2 ta có bổ đề sau mà chứng minh chúng tìm thấy [2]
Bổ đề 2.5
Các phép nhúngV2↪V1↪V0 là compact Bổ đề 2.6
Với vV2, )
(i
0 ( )
||vr||L ||Av|| , )
(ii
0
||vrr|| ||Av|| , )
(iii
0 0
( )
|| ||v L || ||v ||Av|| || || v Bổ đề 2.7
Với uV1 và v V 0, ta có:
2
0
1
,| | || || || ||
2 r
u v u v
Với không gian Banach X, ta ký hiệu chuẩn X || || X X đối ngẫu X Ký hiệu Lp(0,T;X), 1 p, không gian Banach gồm tất hàm đo u:(0,T)X, cho
1 ( 0, ; )
|| || p || ( ) || ,
T p p
X L T X
u u t dt với 1 p, (0, ; )
0
|| ||L T X || ( ) || ,X
t T
u ess u t
sup với p
Ta ký hiệu u(t), u t( )u t( )u tt( ), u t( )u t( )u ttt( ), ur(t), urr(t) để u(r,t), (r,t),
t u
), , ( 2
t r t
u
), , (r t r u
2( , )
u r t r
Trong mục sau chúng tơi xét tốn giá trị biên ban đầu (1.1) với giả thiết sau
)
(H1 u~0V2, u1V1, )
(H2 BC1( ), cho số b0 0, p 1, d0, d10 thỏa (i) b0 B z( )d0(1zp), z 0,
(ii)
1
|B z( ) |d(1zp ), z 0, )
(7)Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010
_
Cho trước M 0 với f thoả giả thiết (H3) ta đặt
(2.4)
1
0
( , )
1
2
( , ) sup | ( , ) |,
( , ) , ,
r u A
r u
K K M f f r u
K K M f K M D D f
ở A A M( ){( , ) : 0r u r 1, | |u M 1 },
1
1
1
r u
f D D f
r u
Cho trước M 0 T 0, ta đặt
2
2
2
2
(0, ; ) (0, ; ) (0, ; )
( , ) { (0, ; ) : (0, ; ), (0, ; ),
|| ||L T V , || ||L T V , || ||L T V },
W M T v L T V v L T V v L T V
v M v M v M
)} ; , ( :
) , ( { ) ,
( 0
1 M T v W M T v L T V
W
Để chứng minh tồn nghiệm toán (1.1), trước hết ta xây dựng dãy {um}W1(M,T), với số M 0, T 0 thích hợp chọn sau, phương pháp quy nạp Dãy quy nạp chứng minh hội tụ nghiệm yếu toán (1.1)
3 Sự hội tụ cấp hai
Xét dãy quy nạp (phi tuyến) {um} xây dựng thuật giải sau: Cho trước u0 0 giả sử
(3.1) um1W M T1( , )
Ta liên kết tốn (1.1) với tốn biến phân: Tìm umW M T1( , ) (m1) cho
(3.2)
2
0
1 1
0
( ), (|| ( ) || ) ( ( ), ) ( , ),
( ) ( , ), , ,
(0) , (0)
m m m m
m m u m
m m
u t v B u t a u t v f r u v
u u D f r u v v V
u u u u
Khi ta có định lý sau
Định lý 3.1
Giả sử (H1)(H3) Khi tồn số M 0, T 0 sao cho với u0 0, tồn dãy quy nạp {um}W1(M,T) xác định (3.1), (3.2)
Chú thích 1:
Trong [2] thuật giải (3.2) xét với B1, f f(u)