bài toán dirichlet cho phương trình monge-ampère elliptic

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THANH HUYỀN BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGƠ THANH HUYỀN BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS.HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 4 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic . . 4 1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Phương pháp liên tục đối với bài tốn Dirichlet . . . . . . . 7 1.2.1 Đặt bài tốn Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Khơng gian H¨older C k,α (Ω). . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Nội dung của phương pháp liên tục. . . . . . . . . . 9 1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong khơng gian C 2  Ω  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Bước 1. Đánh giá |u| trong Ω. . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Bước 2. Đánh giá |∇u| trong Ω. . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Bước 3. Đánh giá   D 2 u   trên ∂Ω. . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Bước 4. Đánh giá   D 2 u   trong Ω . . . . . . . . . . . 18 2 Đánh giá đạo hàm cấp hai của nghiệm bài tốn Dirichlet trong khơng gian H¨older 20 2.1 Đánh giá chuẩn H¨older đối với nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính và đạo hàm cấp một của nó. . . . . . . . 20 2.1.1 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Đánh giá chuẩn H¨older đối với nghiệm . . . . . . . . 21 2.1.3 Đánh giá chuẩn H¨older trên biên đối với đạo hàm cấp một theo pháp tuyến của nghiệm . . . . . . . . 23 2.2 Đánh giá đạo hàm cấp hai bên trong miền . . . . . . . . . . 27 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp hai trên tồn miền . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 Mở đầu Luận văn nghiên cứu tính giải được của bài tốn biên Dirichlet cho phương trình Monge-Ampèra elliptic trong miền Ω bị chặn và lồi chặt của R n . Đây là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến hồn tồn, do đó việc nghiên cứu nó là phức tạp hơn so với các phương trình elliptic tuyến tính hoặc á tuyến tính. Để tiếp cận bài tốn trên, người ta dùng phương pháp liên tục, trong đó đưa vào bài tốn tham số t ∈ [0, 1] sao cho khi t = 0 thì bài tốn ln có nghiệm và trường hợp khi t = 1 được tương ứng với bài tốn của chúng ta. Phương pháp này đòi hỏi phải tiến hành đánh giá tiên nghiệm trong C 2,α  ¯ Ω  đối với nghiệm của bài tốn. Do đó, tồn bộ phần còn lại của Luận văn là dành cho việc trình bày đánh giá này. Luận văn gồm hai chương. Trong chương I mơ tả phương trình Monge- Ampere elliptic, phát biểu bài tốn Dirichlet cho phương trình này và tiến hành đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn C 2  ¯ Ω  đối với nghiệm bài tốn trong bốn bước. Phần đầu của chương II trình bày các đánh giá tiên nghiệm đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Sau đó áp dụng các kết quả này để đánh giá theo chuẩn C α đối với các đạo hàm cấp hai ở bên trong miền Ω và ở trên biên ∂Ω. Các kết quả này cùng với các đánh giá nhận được trong chương I sẽ kết thúc việc đánh giá theo chuẩn C 2,α  ¯ Ω  đối với nghiệm. Từ đó, dựa vào phương pháp liên tục, suy ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère elliptic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère ellip- tic Trong chương này, chúng ta trình bày phương pháp liên tục để nghiên cứu về tính giải được của bài tốn Dirichlet cho phương trình Monge- Ampère. Phương pháp này đòi hỏi phải đánh giá được nghiệm của bài tốn này trong khơng gian C 2,α  ¯ Ω  . Trong Mục 1.3 chúng ta sẽ đưa ra các đánh giá cho nghiệm và đạo hàm đến cấp hai của nó theo chuẩn trong khơng gian C  Ω  . 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n với biên ∂Ω trơn. Phương trình Monge-Ampère có dạng det (u ij ) = f (x) , x ∈ Ω, (1.1) trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ), f(x) là hàm số cho trước Ω, u = u (x) là ẩn hàm, u ij (x) = u x i x j (x) là đạo hàm cấp hai của ẩn hàm. Phương trình (1.1) được gọi là phương trình Monge-Ampère elliptic nếu f (x) > 0, ẩn hàm u(x) là hàm lồi và ma trận [u ij (x)] là xác định dương tại mọi điểm x ∈ Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.1.2 Một số tính chất của phương trình Monge-Ampère el- liptic Tốn tử Monge-Ampère M được xác định bởi M (u) = det (u ij ), đối với u ∈ C 2 (Ω). Rõ ràng, M (u) ≥ 0 nếu u(x) là lồi, và M (u) > 0 nếu u là lồi ngặt. Đối với hàm u lồi ngặt, ta sẽ đưa vào tốn tử F  D 2 u  ≡ log det (u ij ). Định lý 1.1. Ta có các cơng thức sau F ij ≡ ∂F ∂u ij = u ij , F ij,kl ≡ ∂ 2 F ∂u ij ∂u kl = −u ik u jl , trong đó  u ij  là ma trận nghịch đảo của ma trận Hessian (u ij ) . Chứng minh. Chúng ta kí hiệu A =  A ij  là ma trận các phần bù đại số của ma trận H = [u ij ], tức là A = (det H) H −1 . Với i = 1, . . . . . . n, chúng ta khai triển định thức theo hàng thứ i det D 2 u = A il .u il + + A in u in . Sau đó dễ dàng thấy ∂F ∂u ij = 1 det D 2 u .A ij = u ij . Tiếp theo, cố định i, j = 1, , n, chúng ta có theo định nghĩa u ik .u jk = δ i j =  1, nếu i = j 0, nếu i = j . Lấy đạo hàm đẳng thức trên đối với u pq , chúng ta có  u ik  u pq .u jk + u ik (u jk ) u pq = 0. Nhân hai vế với u jl và lấy tổng theo j, chúng ta có  u il  u pq =  u ik  u pq .u jk .u jl = −u ik .u jl .(u jk ) u pq = −u iq u pl , hoặc 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ∂u ij ∂u kl = −u il .u kj . Vì thế chúng ta có được ∂ 2 F ∂u ij ∂u kl = ∂u ij ∂u kl = −u il .u kj . Ở trên và dưới đây, nếu trong biểu thức có các chỉ số lặp thì ta quy định là lấy tổng theo chỉ số lặp đó. Định lý 1.2. Hàm F là hàm lõm của các đối số của nó, đó là các ma trận xác định dương D 2 u = (u ij ). Điều này có nghĩa là ∂ 2 F ∂u ij ∂u kl m ij m kl ≤ 0, đối với mọi ma trận xác định dương M = (m ij ) . Chứng minh. Chúng ta chéo hóa ma trận (u ij ). Sau đó  u ij  trở thành ma trận đường chéo diag  λ 1 , , λ n  với λ i > 0, i = 1, , n. Do đó, chúng ta có ∂ 2 F ∂u ij ∂u kl .m ij .m kl = −u il .u kj .m ij .m kl = −λ i .λ j .m 2 ij ≤ 0. Trước khi nghiên cứu về phương trình Monge-Ampère, chúng ta nêu ra một kết quả đơn giản đối với ma trận dương, mà sẽ cần thiết sau này. Nếu H = (u ij ) là ma trận dương, khi đó ta có |u ij | ≤ 1 2 (u ii + u jj ). Điều này có thể dễ dàng nhìn thấy như sau: khi H dương, bất kỳ ma trận đường chéo chính 2 × 2 nào đều xác định dương. Điều này suy ra u 2 ij ≤ u ii .u jj . Bất đẳng thức Cauchy sẽ cho ta kết quả bên trên. Bây giờ chúng ta quay trở lại phương trình Monge-Ampège det (u ij ) = f. Chúng ta viết lại nó như sau 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ F  D 2 u  = log det (u ij ) = log f, cho u lồi ngặt Giả sử ∂ là một đạo hàm theo hướng tùy ý trong R n . Áp tốn tử ∂ vào hai vế của phương trình trên, chúng ta có được u ij ∂u ij = ∂ log f. Điều này dẫn đến tốn tử vi phân L ≡ u ij ∂ ij , trong đó ∂ ij u = ∂u ij . Khi u là lồi ngặt, L là elliptic. Chúng ta nhận được L (∂u) = ∂ log f. Lấy đạo hàm một lần nữa. Chúng ta có L  ∂ 2 u  − u il u kj ∂u ij ∂u kl = ∂ 2 log f, hoặc L  ∂ 2 u  = u il u kj ∂u ij ∂u kl + ∂ 2 log f. Số hạng đầu tiên bên phải là dương, khi u là lồi ngặt. Khi đó chúng ta có L  ∂ 2 u  ≥ ∂ 2 log f. 1.2 Phương pháp liên tục đối với bài tốn Dirichlet 1.2.1 Đặt bài tốn Dirichlet. Chúng ta xét bài tốn Dirichlet sau det u ij = f(x) trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, (1.2) ở đây f ∈ C ∞  Ω  , f > 0, trong Ω và ϕ ∈ C ∞ (∂Ω) là các hàm số được cho trước. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 Khơng gian H¨older C k,α (Ω). C 0  ¯ Ω  là khơng gian các hàm liên tục trên ¯ Ω với chuẩn u C 0 ( ¯ Ω ) = max ¯ Ω |u (x)|. Người ta thường viết C 0  ¯ Ω  = C  ¯ Ω  . Định nghĩa C k  ¯ Ω  =  u (x) ∈ C  ¯ Ω  ; D β u ∈ C  ¯ Ω  , ∀|β| ≤ k  , với chuẩn u C k ( ¯ Ω ) =  |β|≤k   D β u   C ( ¯ Ω ) . Ở đây ta dùng các kí hiệu sau β = {β 1 , β 2 , , β n }, β j ∈ N, |β| = β 1 + β 2 + + β n , D = (D 1 , D 2 , , D n ) , D j = ∂ ∂x j , D β = D β 1 1 D β 2 2 D β n n . Cho 0 ≤ α ≤ 1, định nghĩa [u] α,Ω = sup x,y∈ ¯ Ω x=y |u(x)−u(y)| |x−y| α . Khi đó C α  ¯ Ω  =  u ∈ C  ¯ Ω  ; [u] α,Ω < +∞  , với chuẩn u C α ( ¯ Ω ) = u C 0 ( ¯ Ω ) + [u] α,Ω . Với k là một số tự nhiên, ta định nghĩa C k,α  ¯ Ω  =  u ∈ C k  ¯ Ω  ; [D α u] α,Ω < +∞, ∀|α| = k  , với chuẩn u k+α,Ω = u C k,α ( ¯ Ω ) = u C k ( ¯ Ω ) +  |α|=k [D α u] α,Ω , các khơng gian C k  ¯ Ω  và C k,α  ¯ Ω  là khơng gian Banach. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tập mở Ω ⊂ Rn Chúng ta xét phương trình F D2 u = f trong Ω, đối với hàm f ∈ C 2 (Ω) Chúng ta giả thiết (i) F là elliptic đều đối với u, tức là tồn tại hằng số dương λ và Λ, để λ|ξ|2 ≤ Fij D2 u ξi ξj ≤ Λ|ξ|2 cho tất cả ξ ∈ Rn (ii) F là một hàm lõm của biến D2 u, tức là Fij,kl D2 u mij mkl ≤ 0, cho bất kỳ M = (mij ) ∈ S Định lý 2.4 Cho u là một nghiệm trơn trong Ω của phương trình F D2 u = f trong Ω,... giả thiết (i) F là elliptic đều, tức là tồn tại hằng số dương λ, Λ,sao cho λ|ξ|2 ≤ Fij D2 u ξi ξj ≤ Λ|ξ|2 cho bất kỳ ξ ∈ Rn ; (ii) F là một hàm lõm đối với D2 u, tức là Fij,kl D2 u mij mkl ≤ 0, cho bất kỳ M = (mij ) ∈ S 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 2.5 Cho u ∈ C 4 Ω là một nghiệm của phương trình Dirichlet F D2 u = f (x) u=ϕ trong Ω, ∂Ω, trên (2.19) và các giả thiết... v trên ∂Ω Khi đó u ≤ v trong Ω 1.3 Đánh giá đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong khơng gian C 2 Ω Mục đích chính của mục này là trình bày định lý sau đây về đánh giá đối với nghiệm bài tốn Dirichlet trong chuẩn của C 2 Ω Định lý 1.4 Giả sử rằng Ω ⊂ Rn là miền lồi ngặt bị chặn trong Rn với biên trơn ∂Ω và u, f, ϕ là hàm trơn trong Ω sao cho u là lồi ngặt và f là dương trong Ω Giả sử u thỏa mãn det... lấy đưa ra đánh giá chung cho đạo hàm bậc hai Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với ∂Ω là trơn Chúng ta xét bài tốn Dirichlet F D2 u = f (x) u=ϕ trên trong Ω, ∂Ω, cho hàm f trong Ω và ϕ trên ∂Ω Với những phần trước, chúng ta giả thiết F : S → R là hàm C 2 trong khơng gian của ma trận đối xứng n × n và u là hàm C 4 là hàm được xác định trong Ω ∈ Rn Chúng ta giả thiết (i) F là elliptic đều, tức là tồn... 2.1 Đánh giá chuẩn H¨lder đối với nghiệm của phương o trình elliptic tuyến tính và đạo hàm cấp một của nó Trong phần này, chúng ta lấy đưa ra bất đẳng thức Harnack và các hệ quả của nó cần thiết cho phần sau Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn và xét một tốn tử tuyến tính elliptic L trong Ω L ≡ aij (x) Dij , ở đây, hệ số aij là liên tục trên Ω Điều kiện elliptic có nghĩa rằng ma trận A = (aij ) là... chọn b đủ lớn sao cho |T (u − ϕ)| ≤ ω trên ∂Ω Từ Ngun lý cực đại, chúng ta có được |T (u − ϕ)| ≤ ω trên Ω Bằng cách lấy x, = 0 rồi chia cho xn và sau đó cho xn → 0, chúng ta nhận được |∂n T (u − ϕ)| ≤ b tại 0, hoặc ∂αn (u − ϕ) (0) − Bαβ ∂β (u − ϕ) (0) ≤ b β 0 1.3.4 Bước 4 Đánh giá D2 u trong Ω Chúng ta đánh giá đạo hàm cấp hai trong Ω Chúng ta có phương trình F D2 u ≡ log det (uij ) = log f (1.21) Với 1 ≤ r ≤ n cố định, lấy đạo hàm... ) Khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) chỉ phụ thuộc vào n, λ, Λ, sao cho osc u ≤ C Br r α R osc u + R f BR Ln (BR ) cho bất kỳ r ≤ R, ở đây C = C (n, λ, Λ) là một hằng số dương, osc u = sup u − inf u BR BR 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ BR Chứng minh Một lần nữa chúng ta chứng minh khi R = 1 Cho M (r) = max u và m (r) = min u cho r ∈ (0, 1) Khi đó M (r) < +∞ và m (r) > Br Br −∞ Ta chỉ . 3 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 4 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère elliptic . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa phương trình Monge-Ampère elliptic . . 4 1.1.2 Một số tính chất của phương. Monge-Ampère elliptic 1.1 Khái niệm phương trình Monge-Ampère ellip- tic Trong chương này, chúng ta trình bày phương pháp liên tục để nghiên cứu về tính giải được của bài tốn Dirichlet cho phương trình. phương pháp liên tục, suy ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère elliptic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Phương trình Monge-Ampère elliptic 1.1