Bài toán dirichlet đối với toán tử monge ampere phức trong lớp f (f)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG TH HI YN BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE-AMPERE PHC TRONG LP F ( f ) LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2016 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG TH HI YN BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE-AMPERE PHC TRONG LP F ( f ) Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2016 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Hong Th Hi Yn S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng o to, b phn sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 04 nm 2016 Tỏc gi S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC .iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng 1: CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm iu hũa di 1.2 Hm a iu ho di 1.3 Hm cc tr tng i .7 1.4 Toỏn t Monge-Ampốre phc .10 1.5 Nguyờn lý so sỏnh Bedford v Taylor .12 Chng 2: BI TON DIRICHLET I VI TON T MONGE -AMPẩRE PHC TRONG LP F ( f ) 17 2.1 Dỏng iu trờn biờn ca hm cỏc lp Ep v F 17 2.2 nh ngha toỏn t Monge Ampốre lp E( f ) 21 2.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc lp F ( f ) 27 KT LUN 40 TI LIU THAM KHO 41 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn M U Lý chn ti Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc c t nh sau: Cho Wè Ê n l gi li cht, l o Borel trờn W Hóy tỡm lp cỏc hm a iu hũa di P (W) thớch hp trờn ú toỏn t Monge-Ampốre phc (dd c )n c xỏc nh tt cho vi hm h liờn tc trờn ả W, bi toỏn sau cú nghim nht: ỡù u ẻ P (W), (dd c u )n = m; ù ùù lim u (z ) = h ( x), x ẻ ả W ùợ z đ x (1.1) Bi toỏn Dirichlet i vi hm a iu hũa di ó c nghiờn cu u tiờn bi Brememann vo nm 1959 Sau ú, nm 1976, Bedford v Taylor ó gii thiu toỏn t Monge-Ampốre phc v gii Bi toỏn Dirichlet (1.1) P (W) = PSH (W) ầ LƠloc (W) v o l liờn tc tuyt i i vi o Lebesgue T ú mt s tỏc gi nh U.Cegrell, L.Persson v S.Kolodziej, Z.Blocki ó c gng gii bi toỏn b qua tớnh liờn tc ca mt ca m Nm 1996, S.Kolodziej ó cho iu kin i vi tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc trờn lp PSH (W) ầ LƠloc (W) i vi cỏc o k d, tớnh gii c ca bi toỏn Dirichlet ó c gii quyt bi L Lempert, J.P.Demailly v P Lelong Nm 2004, U Cegrell ó a nh ngha tng quỏt ca toỏn t Monge-Ampốre, nh ngha lp nng lng F v gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre lp ú Theo hướng nghiên cứu trên, chọn Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampere phc lp F ( f ) lm ti nghiờn cu ca mỡnh, ú ó trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca P Ahag v gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc lp F ( f ) S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2 Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc lp F ( f ) 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: + Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh + Trỡnh by kt qu nghiờn cu v gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc lp F ( f ) Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 41 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh v cỏc h qu ca nú Chng 2: L ni dung chớnh ca lun Phn u ca chng, trỡnh by dỏng iu trờn biờn ca hm cỏc lp Ep , nh ngha toỏn t Monge Ampốre lp E( f ) v F Trong mc 2.2 ó ch rng cú th nh ngha toỏn t Monge-Ampốre trờn cỏc lp ú theo cỏch xp x Mc 2.3 c dnh trỡnh by vic gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre lp F ( f ) c bit, [8], Cegrell gii bi toỏn Dirichlet i vi f = Phn S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn cui cựng ca chng ny trỡnh by chng minh nguyờn lý so sỏnh, nh s dng phng phỏp chng minh ca nh lý 2.3.3 Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm iu hũa di nh ngha 1.1.1 Gi s X l khụng gian tụpụ Hm u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) gi l na liờn tc trờn trờn X nu vi mi a ẻ Ă X a = {x ẻ X : u (x ) < a } l m X Hm v : X đ (- Ơ , + Ơ ự ỳ ỷ gi l na liờn tc di trờn X nu - v l na liờn tc trờn X nh ngha trờn tng ng vi nh ngha mang tớnh a phng sau: Gi s u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) Ta núi hm u l na liờn tc trờn ti x ẻ X nu " e > tn ti lõn cn U x ca x X cho " e ẻ U x ta cú: 0 u (x ) < u (x ) + e nu u (x ) - Ơ u (x ) < - nu u (x ) = - Ơ e Gi s E è X v u : E đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) l hm trờn E Gi s x ẻ E Ta nh ngha lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y ẻ V }} x đ x0 x ẻ E ú inf ly trờn cỏc V chy qua cỏc lõn cn ca x Khi ú cú th thy rng hm u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) l na liờn tc trờn ti x0 ẻ X nu lim sup u(x ) Ê u(x ) Ta cú kt qu sau x đ x0 nh ngha 1.1.2 Gi s W l m Ê Hm u : Wđ ộờở- Ơ , + Ơ ) gi l iu hũa di trờn W nu nú na liờn tc trờn trờn W v tha bt ng S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn thc di trung bỡnh trờn W, ngha l vi mi w ẻ W tn ti d > cho vi mi Ê r Ê d ta cú u ( w) Ê 2p ũ 2p u ( w + re it )dt (1.2) Kớ hiu cỏc hm iu hũa di trờn W l SH (W) Mnh 1.1.3 Gi s u, v l cỏc hm iu hũa di trờn m W Ê Khi ú: (i ) m ax(u , v ) l hm iu hũa di trờn W (ii ) Tp cỏc hm iu hũa di trờn W l mt nún, ngha l nu u, v ẻ SH (W) v a , b > thỡ a u + b v cng thuc SH (W) nh lý 1.1.4 Gi s {u n } l dóy gim cỏc hm iu hũa di trờn m W trờn Ê v u = lim u n Khi ú u l hm iu hũa di trờn W nđ Ơ Chng minh u tiờn ta chng minh u na liờn tc trờn trờn W Vi mi a ẻ R, {z ẻ W: u(z ) < a } = Ơ U{z ẻ W: un (z ) < e} n Do ú nú l m Vy u na liờn tc trờn trờn W Do mi u n tha bt ng thc di trung bỡnh nờn dựng nh lý hi t n iu suy u cng tha bt ng thc di trung bỡnh trờn W Do ú u l hm iu hũa di trờn W 1.2 Hm a iu ho di nh ngha 1.2.1 Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ ộờở- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 Gi s u 1, u 2, , u n ẻ E( f ) Khi ú cú th s dng ý tng ca chng minh nh lý 2.2.7, nh ngha (dd cu1) (dd cu2 ) (dd cun ) theo cỏch tng t nh (dd cu )n c xỏc nh nh ngha 2.6 Mnh 2.2.9 di õy thu c bi s dng Mnh 2.2.5 cựng vi H qu 5.2 [8]; nú c s dng v sau chng minh ca nh lý 2.3.3 Mnh 2.2.9 Gi s u ẻ F ( f ) v {u j }, u j ẻ E0 ( f ) , l mt dóy gim hi t im n u j đ + Ơ Khi ú nu j ẻ PSH (W), j Ê , v ũ (- j )(dd u ) c n < +Ơ W thỡ lim j đ + Ơ (- j )(ddcu j )n = (- j )(dd cu )n tụ pụ yu* 2.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc lp F ( f ) Gi s W Ê n l mt siờu li b chn, v f : ả Wđ Ă l mt hm liờn tc cho lim z đ x U (0, f )(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W Trong phn ny, chỳng ta s chng minh bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre phc Chớnh xỏc hn: gi s m l mt o khụng õm trit tiờu trờn cỏc a cc v cú lng ton phn hu hn Khi ú tn ti mt hm xỏc nh nht u ẻ F ( f ) cho (dd cu )n = m (nh lý 2.3.3) Chng ny ny kt thỳc vi nguyờn lý so sỏnh, c chng minh nh s dng cỏc phng phỏp chng minh ca nh lý 2.3.3 Bng cỏch s dng phn tn ti ca nh lý 2.3.3 v nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor cho cỏc hm a iu hũa di b chn, Cegrell ó chng minh nguyờn lý so sỏnh lp F a ( f ) ; nh l H qu, suy phn nht ca nh lý 2.3.3 B 2.3.1 Cho u ẻ E0 ( f ) v f ẻ E( f ) I C(W) Nu A = {z ẻ W: u (z ) > f (z )}, S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 thỡ c A (dd cu )n = c A (dd c max{u, f })n , ú c A l hm c trng ca A Chng minh Nu u = U (0, f ) , thỡ b suy trc tip T ú gi s rng u U (0, f ) iu ú l chng minh ng thc ca hai o trờn hai compact tu ý K W(K f ) Ly a l hng s c xỏc nh bi ỡù , max x ẻ ả W f ( x) Ê a = ùớ ùù max x ẻ ả W f ( x) , max x ẻ ả W f ( x) > ợ Theo nh lý 2.2.7, tn ti u W ẻ E0 cho u W = u - a mt lõn cn W W ca K Nu A%= {z ẻ W: uW > f - a }, thỡ theo B 5.4 [7] ta cú c A%(dd cuWÂ)n = c A%(dd c (max {uWÂ, f - a }))n trờn W v nh vy trờn W Do ú ta cú c A (dd cu )n = c A (dd c (u - a ))n = c A (dd c (max {u - a , f - a }))n = c A (dd c (max{u, f } - a ))n = c A (dd c (max {u, f }))n trờn K , vỡ A I WÂ= A%I W nh lý 2.3.2 Gi s m l mt o khụng õm c xỏc nh trờn siờu li b chn W Khi ú tn ti cỏc hm y ẻ E0 v j ẻ L1loc ((dd c y )n ), j cho m = j (dd c y )n + n, ú n l o khụng õm cho tn ti mt a cc A W vi n(W\ A ) = Chng minh Xem nh lý 5.11 [8] W nh lý 2.3.3 Cho W Ê n (n 2) l siờu li b chn Gi s rng m l mt o khụng õm c xỏc nh trờn W vi m(W) < + Ơ v m(A) = vi mi a cc A W Khi ú, vi mi hm liờn tc f : ả Wđ Ă cho lim z đ x U (0, f )(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W, tn ti nht mt hm u ẻ F ( f ) cho (dd cu )n = m S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 Chng minh Trc tiờn ta chng minh s tn ti ca u ẻ F ( f ) tho nh lý Vỡ m trit tiờu trờn cỏc a cc v cú lng ton phn hu hn, nờn theo nh lý 2.3.2 tn ti hm y ẻ E0 v j ẻ I L1((dd c y )n ), j cho m = j (dd c y )n Vi mi k ẻ Ơ , ly mk l o c xỏc nh bi mk = min{j , k }(dd c y )n Khi ú mk Ê (dd c (k 1/ n y ))n v theo nh lý Kolodziej [10], tn ti nht mt hm wk ẻ E0 cho (dd cwk )n = mk (2.15) Dóy {wk } l gim iu ny kộo theo (wk + U (0, f )) ẻ LƠ (W) ầ PSH (W) , lim z đ x (wk + U (0, f ))(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W, v U ((dd c (wk + U (0, f )))n , f ) = wk + U (0, f ) ng thc (2.15) kộo theo (dd c (wk + U (0, f )))n mk Theo nh lý 8.1 [7] ta cú (dd cU (mk , f ))n = mk v U (0, f ) U ( mk , f ) wk + U (0, f ) (2.16) Vỡ th, U ( mk , f ) ẻ E0 ( f ) iu ú cng kộo theo {U ( mk , f )} l dóy gim Vỡ m(W) < + Ơ theo gi thit, nờn ta suy sup ũ (dd cwk )n = sup ũ (dd cU ( mk , f ))n Ê sup mk (W) Ê m(W) < + Ơ k W k W S húa bi Trung tõm Hc liu HTN k http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 v nh vy limk đ + Ơ wk ẻ F t u = limk đ + Ơ U (mk , f ) Khi ú theo (2.16) u ẻ PSH (W) v U (0, f ) u limk đ + Ơ wk + U (0, f ) Suy u ẻ F ( f ) T nh lý 2.2.7 suy rng (dd cu )n = m Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca u tho nh lý Gi s tn ti v ẻ F ( f ) cng tho (dd cv )n = m Khi ú gi thit m(W) < + Ơ theo ũ (dd u ) c n < + Ơ v W ũ (dd v ) c n kộo < + Ơ Ta s chng minh rng u = v W Vỡ nguyờn lý so sỏnh cha c chng minh l cú hiu lc F a ( f ) , nờn ta s s dng cỏc dóy xp x ca cỏc nghim u v v , sau ú s dng nguyờn lý so sỏnh trờn cỏc xp x ú i vi hm u dóy {u k }, u k ẻ E0 ( f ) , phn chng minh tn ti ó c s dng Ly {K j } vi K j W v int (K j ) f l dóy cỏc compact cho K j int (K j + 1) v UƠj = K j = W vi mi j ẻ Ơ Ký hiu h K l hm cc tr tng i v ly s j l mt s nguyờn dng j { } Dóy max {v, s j hK + U (0, f )} c xõy dng cho j max {v, s j hK + U (0, f )} ẻ E0( f ) j v gim n v trờn W j đ + Ơ Bng cỏch s dng hm ph a j , cú th thu c x jk + max {v, s j hK + U (0, f )} Ê uk Ê y jk , j ú x jk ẻ E0(0) v y jk ẻ E0( f ) c xõy dng mt cỏch thớch hp Khi xõy dng hm a j , mt ý tng t chng minh ca B 5.14 [8] c s dng Khi ú hon thnh chng minh ny ta ch cn chng minh x jk hi t n v y jk hi t n v trờn W k v j dn n + Ơ S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Theo nh lý 2.3.2, tn ti hm y ẻ E0 v j ẻ L1((dd c y )n ), j cho m = j (dd c y )n (2.17) iu ny suy bi vỡ m trit tiờu trờn cỏc a cc v m(W) < Ơ , theo gi thit Vi mi k ẻ Ơ , ly mk l o c xỏc nh bi mk = min{j , k }(dd c y )n (2.18) T phn u tiờn ca chng minh ny suy tn ti mt dóy gim {u }, ẻ k uk ẻ E0( f ) , cho (dd cuk )n = mk (2.19) v u = limk đ + Ơ uk Dóy {K j } cỏc compact cng cú tớnh cht l cỏc hm cc tr tng i hK ẻ E0 I C (W) Nhc li rng j hK (z ) = sup{ v (z ) : v ẻ PSH (W), v < v v Ê - trờn K j } j Ly {s j } l mt dóy tng nghiờm ngt cỏc s nguyờn dng, v nh ngha hm a j bi a j = - hK j ỡù v - U (0, f ) ỹ ù ù + max , hK ùý j ù ùù sj ù ợ ỵ Chỳ ý rng hm a j núi chung, khụng phi l hm a iu hũa di nh ngha ca a j kộo theo lim j đ + Ơ (1 - a j ) = trờn W\ {v = - Ơ } Nh vy cú th chn mt dóy tng {l j }Ơj = cỏc s nguyờn dng cho, vi mi j ẻ Ơ , bt ng thc c n ũ (1 - a j )(dd v ) Ê W j (2.20) xy theo nh lý hi t n iu v gi thit (dd cv )n trit tiờu trờn cỏc a cc n gin ta cng ký hiu {K j } v {s j } s dng thay cho {K l } v {sl } j S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn j 32 Nu A j = {v > s j hK + U (0, f )} thỡ j Ê a j Ê c A Ê 1, (2.21) j ú c A l hm c trng i vi hp A j Vỡ s j hK ẻ E0 , nờn suy j j ( s j hK + U (0, f )) ẻ E0( f ) Dóy j {max{v, s h } gim + U (0, f )} j Kj n v j đ + Ơ Ly j ẻ Ơ c nh v s ẻ Ơ cho s s j Khi ú B 2.3.1 suy rng c A (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , (2.22) j j j j vỡ max{max{v, shK + U (0, f )}, s j hK + U (0, f )} = max{v, s j hK + U (0, f )} j j j T (2.21) v (2.22) suy Ê a j (dd c max{v, shK + U (0, f )})n j Ê c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j Ê (dd c max{v, shK + U (0, f )})n (2.23) j Cỏc gii hn yu* sau õy xy ra: lim (dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (dd cv )n , sđ + Ơ j lim (- hK )(dd c max{v, shK + U (0, f )})n = (- hK )(dd cv )n , sđ + Ơ j j j ùỡ v U (0, f ) ùỹ ù (dd c max{v, sh + U (0, f )})n = lim max ùớ , hK + ý Kj j sđ + Ơ ùù s j s j ùù ợ ỵ ùỡù v U (0, f ) ùỹ ù (dd cv )n , = max , hK + ý j ùù s j s j ùù ợ ỵ ổ U (0, f ) ổ U (0, f ) ữ ữ ỗỗ ỗ c n ữ ữ lim ỗ(dd max{v, shK + U (0, f )}) = ỗỗ(dd cv )n ữ ữ ữ ữ j sđ + Ơ ỗ sj ứ sj ứ ữ ữ ố ốỗ S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Gii hn th nht suy bi nh lý 2.2.7 v ba gii hn sau suy bi Mnh 2.2.9 Cú th biu din hm a j nh sau a j = - hK j ỡù v ùù U (0, f ) U (0, f ) ỹ ù + max , hK + ; ýj ùù s j s j ùù sj ợ ỵ Khi ú, da vo (2.23) cựng vi cỏc gii hn trc ú, suy a j (dd cv )n Ê c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n Ê (dd cv )n j (2.24) j s đ + Ơ Bt ng thc (2.21) v (2.24) suy (1 - a j )(dd cv )n + (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j (1 - a j )(dd cv )n + c A (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j j (dd cv )n a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.25) j Gi s (dd cv )n = m cựng vi (2.17)-(2.19) cho ta min{j , k }(dd cv )n = j (dd cuk )n (2.26) t ỡù , j (z ) = ùù r k (z ) = ùớ {j (z ), k } ùù , j (z ) ùùợ j (z ) ú Ê r k Ê Theo (2.25) v (2.26) ta cú r k (1 - a j )(dd cv )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j r k (dd cv )n = (dd cuk )n r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.27) j Li theo nh lý Kolodziej, vi mi j , k ẻ Ơ , tn ti hm x jk ẻ E0(0) cho (dd cx jk )n = r k (1 - a j )(dd cv )n , vỡ r k (dd cv )n = (dd cuk )n T phn u tiờn ca chng minh ny suy tn ti hm y jk ẻ E0 (0) cho S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 (dd cy jk )n = r ka j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j { Ly j ẻ Ơ c nh Khi ú (dd cx jk )n Ơ } k= { v (dd cy jk )n Ơ } l cỏc dóy tng v k= nh vy {x jk }kƠ = v {y jk }kƠ = l cỏc dóy gim theo nguyờn lý so sỏnh Vi mi j ẻ Ơ , t v x j = lim x jk kđ + Ơ y j = lim y jk kđ + Ơ Bõy gi ta s chng minh j đ + Ơ , dóy {x j } hi t n trờn W v dóy {y j } hi t n v trờn W T vic xõy dng (2.20) suy sup k ũ (dd x c jk )n Ê / j , W iu ny kộo theo x j ẻ F Tn ti mt hm f ẻ PSH (W) I C (W) cho (dd cf )n = dV , lim f (z ) = vi mi x ẻ ả W (xem [6]) zđ x zẻ W Theo H qu 2.2 [5] v nh ngha ca F suy rng ũ (- x ) dV n W j = ũ (- x ) (dd f ) n W c n j Ê Cf ũ (dd x ) c n j W Ê Cf , j ú C f l hng s ch ph thuc vo f v n Do ú lim x j = (2.28) jđ + Ơ yu trờn W Khi ú bt ng thc (2.27) cho ta (dd c (x jk + max{v, s j hK + U (0, f )})n j (dd cx jk )n + r k (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j (dd cu k )n (dd cy jk )n vi mi j , k ẻ Ơ Khi ú, theo nh lý 2.3.2, ta cú x jk + max{v, s j hK + U (0, f )} Ê uk Ê y jk j S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.29) 35 Vỡ (dd cy jk )n Ê (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n , j nờn theo nh lý 2.3.2 suy U (0, f ) y jk max {v, s j hK + U (0, f )} j Nh vy, U (0, f ) y j = lim y jk max{v, s j hK + U (0, f )} kđ + Ơ j T ú y j ẻ LƠ (W) v theo Mnh 2.2.4, suy lim z đ x y j (z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W Theo Mnh 6.1 [7] vi mi j ẻ Ơ , tn ti w j ẻ F I LƠ (W) cho (dd cw j )n = (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (2.30) j v vỡ th (dd c (y j + w j ))n (dd cy j )n + (dd cw j )n = (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n (dd cy j )n j Theo nguyờn lý so sỏnh, ta cú y j + w j Ê max{v, s j hK + U (0, f )})n Ê y j (2.31) j vỡ y j , w j ẻ LƠ (W) v y j + w j Ê max{v, s j hK + U (0, f )})n = y j trờn ả W j Theo nh lý 2.2.7 ta cú (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n Ê (dd cv )n ; j sau nhõn bt ng thc bờn trỏi (2.24) vi a j ta c a 2j (dd cv )n Ê a j (dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n j Do ú ũ (1 - a j )(dd c max{v, s j hK + U (0, f )})n Ê j W S húa bi Trung tõm Hc liu HTN ũ (1 - a j2 )(dd cv )n W http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Bõy gi theo (2.20) v (2.30) iu ú suy ũ (dd w ) c n j W Ê ũ (1 - a j2 )(dd cv )n Ê ũ (1 - a j )(dd cv )n Ê W W j T ú theo H qu 2.2 [5], ta cú n ũ (- w j ) dV = W n c n c n   ( w ) ( dd f ) Ê C ( dd w ) Ê C , ũ j f ũ j f j W W ú C f l hng s ch ph thuc vo f v n iu ú suy rng (2.32) lim w j = jđ + Ơ yu trờn W Cho k v j dn n + Ơ , t (2.28), (2.29), (2.31), v (2.32) suy u = v trờn W W nh ngha 2.3.4 F a ( f ) l lp ca hm a iu hũa di u ẻ F ( f ) cho (dd cu )n trit tiờu trờn tt c hp a cc H qu 2.3.5 Cho W Ê n (n 2) l mt siờu li b chn, v f , g : ả Wđ Ă l cỏc hm liờn tc cho lim z đ x U (0, f ) = f ( x) v lim z đ x U (0, g)(z ) = g( x) vi mi x ẻ ả W Gi s u ẻ F ( f ) v v ẻ F a (g), ú f Ê g , ũ (dd u ) c n < + Ơ , v (dd cu )n (dd cv )n Khi ú u Ê v W Chng minh Tn ti cỏc hm y 1, y ẻ E0 , vi j ẻ L1((dd c y 1)n ), j 0, v j ẻ L1((dd c y )n ), j 0, cho (dd cu )n = j 1(dd c y 1)n + n (dd cv )n = j 1(dd c y )n ; (2.33) ú n l mt o khụng õm, theo nh lý 2.3.2 c mang bi mt a cc, ngoi (dd c (y + y ))n (dd c y 1)n v (dd c (y + y ))n (dd c y )n S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Cỏc o (dd c y 1)n v (dd c y )n liờn tc tuyt i i vi (ddc (y + y ))n T ú tn ti cỏc hm t ẻ L1(dd c (y + y ))n , t 0, v t ẻ L1(dd c (y + y ))n , t 0, cho t 1(dd c (y + y ))n = (dd c y 1)n , t 2(dd c (y + y ))n = (dd c y )n , (2.34) Theo ng thc ca o (2.33) v (2.34) iu ú kộo theo (dd cu )n = j 1t 1(dd c (y + y ))n + n (dd cv )n = j 2t 2(dd c (y + y ))n (2.35) Do ú j 1t j 2t trờn W, vỡ (dd cu )n (dd cv )n theo gi thit Xột o j 1t 1(dd c (y + y ))n ; nú cú lng tng cng hu hn v trit tiờu trờn mi a cc T ú theo nh lý 2.3.3 tn ti nht mt hm w ẻ F a (g) cho (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n T (2.35) suy (dd cv)n Ê (dd cw)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n Ê (dd cu )n , vỡ j 1t j 2t trờn W Vi mi j ẻ Ơ , ly cỏc o mvj v mwj xỏc nh bi mvj = min{j 2t 2, j }(dd c ( y + y ))n , mwj = min{j 1t 1, j }(dd c ( y + y ))n Theo chng minh ca phn tn ti nh lý 2.3.3, tn ti cỏc hm v j , w j ẻ E0(g) cho (dd cv j )n = mvj v (dd cw j )n = mwj Suy (dd cv j )n Ê (dd cw j )n Khi ú theo nguyờn lý so sỏnh ta c vj wj S húa bi Trung tõm Hc liu HTN (2.36) http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 v {v j } v {w j } l cỏc dóy gim t v%= lim v j v w%= lim w j jđ + Ơ jđ + Ơ S dng ý tng tng t dựng phn tn ti ca chng minh nh lý 2.3.3, cú th chng minh rng v%% , w ẻ F a (g), (dd cv%)n = j 2t 2(dd c (y + y ))n v (dd cw%)n = j 1t 1(dd c (y + y ))n % T Nhng v v w c xỏc nh nht v nh vy v = v% v w = w (2.36) iu ú kộo theo v w (2.37) Ly {s j } v {K j } nh chng minh phn nht ca nh lý 2.3.3 Theo cỏch tng t, ta nh ngha cỏc hm bj trờn W bi ùỡ u - U (0, f ) ùỹ bj = - hK + max ùớ , hK ùý j j ù ùù sj ùỵ ợ Chỳ ý rng u ẻ F ( f ) v vỡ th (dd cu )n cú th cú lng trờn cỏc a cc Bt ng thc (2.24) cho ta bj (dd cu )n Ê (dd c max{u, s j hK + U (0, f )})n (2.38) j Núi riờng, iu ny kộo theo o khụng õm bj (dd cu )n trit tiờu trờn cỏc a cc v nh vy bj (dd cu )n = bj j 1t 1(dd c ( y + y ))n = bj (dd cw )n Tn ti mt hm xỏc nh nht wÂj ẻ E0(g) (dd cw jÂ)n = r jbj (dd cu )n , ú ỡù , j ( z ) t 1( z ) = ùù r j (z ) = ùớ {j 1(z )t 1(z ), j } ùù , j ( z ) t 1( z ) ùù j ( z ) t ( z ) 1 ợ Nguyờn lý so sỏnh v (2.38) suy S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn cho 39 w j = max{u, s j hK + U (0, f )} (2.39) j trờn W Nhc li rng f Ê g theo gi thit Ly w%Â= lim j đ + Ơ w j Khi ú %Âẻ F (g) v (dd cw%Â)n = (dd cw )n w Vỡ th, w%Âẻ F a (g) v w% = w trờn W, vỡ w c xỏc nh nht Nh vy, iu ú kộo theo w u trờn W, theo (2.39) Vỡ v w trờn W theo (2.37), nờn suy v u trờn W S húa bi Trung tõm Hc liu HTN W http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 KT LUN Lun ó trỡnh by: + Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre, nguyờn lý so sỏnh v cỏc h qu ca nú + Gii bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampốre lp F ( f ) Ni dung c trỡnh by nh lý 2.3.3, c th l: Gi s W Ê n (n 2) l siờu li b chn, v f : ả Wđ Ă l hm liờn tc cho lim z đ x U (0, f )(z ) = f ( x) vi mi x ẻ ả W m l o khụng õm trờn W vi lng ton phn hu hn v m trit tiờu trờn cỏc a cc Khi ú tn ti mt hm xỏc nh nht u ẻ F ( f ) cho (dd cu )n = m Trng hp c bit, [9], Cegrell gii bi toỏn Dirichlet i vi f = + Chng minh rng cú th nh ngha toỏn t Monge-Ampốre trờn cỏc lp ú theo cỏch xp x + Chng minh H qu 2.3.5 v nguyờn lý so sỏnh lp F ( f ) nh s dng phng phỏp chng minh ca nh lý 2.3.3 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 TI LIU THAM KHO TING VIT Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi (2009), C s lớ thuyt a th v, Nxb i hc s phm H Ni TING ANH P Ahag (2007), A Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere operator in F ( f ) , Michigan Math J 55, 123-138 D.H Armitage and S.J Gardiner (2001), Classial potential theory, Springer Monogr Math., Springer-Verlag, london E Bedford and B.A Taylor (1976), The Dirichlet problem for a complex Monge Ampốre equation, Invent Math 37, 1-44 Z Blocki (1993), Estimates for the comlex Monge Ampốre operator, Bull Polish Acad Sci Math 41, 151 -157 Z Blocki (1995), On the Lp stability for th complex Monge Ampốre operator, Michigan Math J 42, 269 275 U Cegrell (1998), Pluricomplex energy, Acta Math 180, 187 -217 U Cegrell (2004), The general definition of the complex Monge Ampốre, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159 179 U Cegrell and S Kolodziej (2006), The equation of complex Monge Ampốre type and stability of solutions, Math Ann 334, 713 -729 10 S Kolodziej (1995), The range of the complex Monge Ampốre operator, II, Indiana Univ Math J 44, 765 -782 S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... khụng l mt nún li (3) Cho p v f c nh; ú E0( f ) F p ( f ) F ( f ) E( f ) v (4) Tn ti mt hm u ẻ E0 ( f ) cho E0( f ) F p ( f ) Ep ( f ) E( f ) ũ (dd u ) c n = +Ơ W Trong phn cũn li ca mc ny,... t Monge Ampốre lp E( f ) Cỏc lp E0 ( f ) v F p ( f ) c nh ngha u tiờn [7] õy cỏc nh ngha s c nhc li, v Ep ( f ) , F ( f ) , v E( f ) s c nh ngha mt cỏch tng t Nu K( f ) l mt nhng lp ú, ú f. .. ( f ) v F ( f ) v bn cht cú giỏ tr biờn ó cho bi hm f Mc ớch chớnh ca phn ny l chng minh rng cú th nh ngha toỏn t Monge Ampốre theo cỏch xp x trờn E( f ) Lp E( f ) cha E0 ( f ) , F p ( f )