Nguyên lý so sánh đối với toán tử monge ampère phức trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Đặng văn Thắng i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài – Bắc Ninh đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2017 Tác giả Đặng Văn Thắng ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa 1.2 Hàm cực trị tương đối 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- 12 17 AMPÈRE TRONG CÁC LỚP CEGRELL 2.1 Các lớp Cegrell 17 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng 18 2.3 Một vài định lý hội tụ 20 2.4 Một vài tính chất lớp Cegrell ứng dụng 28 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị E Bedford B.A Taylor [2] xây dựng từ năm 1982 Đồng thời tác giả thiết lập sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu toán Dirichlet toán tử Monge-Ampère phức PSH Ç L¥ loc (W) Bài tốn mở rộng miền xác định toán tử Monge-Ampère nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Năm 1998, Cegrell [3] định nghĩa lớp lượng E0, F p , Ep tốn tử Monge-Ampère phức hồn toàn xác định Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa lớp E, F lớp E lớp hàm định nghĩa tự nhiên toán tử Monge-Ampère phức (dd c )n Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge – Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa Các lớp gọi lớp Cegrell Nghiên cứu lớp dẫn đến nhiều kết nguyên lý so sánh, giải toán Dirichlet [5] Nguyên lí so sánh cổ điển Bedford Taylor có ứng dụng việc giải tốn Dirichlet trường hợp n Gần đây, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nguyên lý so sánh trong số lớp tổng quát từ áp dụng việc giải toán Dirichlet lớp tổng qt Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh toán tử Monge-Ampère phức lớp Cegrell ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại kết N.V Khue P.H Hiep ([8]) Nguyên lý so sánh toán tử MongeAmpère phức lớp Cegrell 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức sở lý thuyết đa vị, nguyên lí so sánh lớp Cegrell vài áp dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần Mở đầu, hai chương nội dung, phần Kết luận danh mục Tài liệu tham khảo, viết dựa tài liệu [1] [8] Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết số tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Chương 2: Là nội dung luận văn Kết chương Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Trong Mục 2.1, nhắc lại số lớp Cegrell Trong Mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương hội tụ theo dung lượng Mục 2.3, trình bày nghiên cứu hội tụ dãy hàm đa điều hòa theo C n - dung lượng Mục 2.4 tập trung vào Định lý 2.4.2 2.4.9 Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có vài kết lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 kết phân rã độ đo Monge – Ampère, tương tự Định lý 6.1 ([3]) Cuối từ Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing lớp F E Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà Định nghĩa 1.1.1 Cho W tập mở £ n u : Wđ ộ- Ơ , Ơ ờở ) l mt hm nửa liên tục khơng trùng với - ¥ thành phần liên thông W Hàm u gọi đa điều hoà với a Ỵ W b Ỵ £ n , hàm l a u (a + l b) điều hồ trùng - ¥ thành phần tập hợp {l Ỵ £ : a + l b Ỵ W} Kí hiệu PSH (W) lớp tất hàm đa điều hoà W Sau vài tính chất hàm đa điều hồ dưới: Mệnh đề 1.1.2 Nếu u, v Ỵ PSH (W) u = v hầu khắp nơi W u º v Mệnh đề 1.1.3 Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức W tập mở liên thông bị chặn £ n u Ỵ PSH (W) u với z Ỵ W, u (z ) < sup lim sup u (y ) wẻ ả W y ® w W Định lý 1.1.4 Cho W tập mở £ n Khi i ) Họ PSH (W) nón lồi, tức a , b số không âm u, v Ỵ PSH (W) a u + b v Ỵ PSH (W) {u } ii ) Nu W l liờn thụng v j jẻ Ơ è PSH (W) dãy giảm u = lim u j ẻ PSH (W) hoc u - Ơ jđ Ơ iii ) Nu u : Wđ Ă , {u j } Ì PSH (W) hội tụ u ti u trờn cỏc jẻ Ơ compact W u Ỵ PSH (W) iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) cho bao u = sup u a bị A A * chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u đa điều hoà W Mệnh đề 1.1.5 Giả sử WÌ £ n tập mở, w Ì W tập mở thực sự, khác rỗng W Giả sử u Ỵ PSH (W), v Ỵ PSH ( w) lim supx ® y v(x ) £ v(y ) vi mi y ẻ ả w ầ W Khi ìï m ax{u, v } t rong w w = ïí ïï u W\ w ỵ hàm đa điều hoà W Chứng minh Rõ ràng w nửa liên tục trên W Chỉ cần chứng tỏ a Ỵ W, b Ỵ £ n cho {a+ l b, l £ r } Ì W w(a ) £ 2p 2p ò w(a + re iq b)d q Với a Ỵ W, b Ỵ £ n , chọn r > đủ bé để {a+ l b, l £ r } Ì w Khi 2p u (a ) £ u (a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò 2p 2p v(a ) £ v(a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò 2p Từ w(a ) £ 2p 2p w(a + re i qb)d q ò 2p 2p w(a + re i qb)d q ò 2p 2p ò w(a + re iq b)d q Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, WwW bao đóng w lấy W Chỉ cần xét trường hợp a Ỵ wW Ç W Khi w(a ) = u (a ) Vậy w(a ) = u (a ) £ 2p 2p ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p iq 2p ò w(a + re iq b)d q mệnh đề chứng minh W Định lý 1.1.6 Cho W tập mở £ n i ) Cho u, v hàm đa điều hoà W v > Nếu f : ¡ ® ¡ lồi, vf (u / v ) đa điều hoà W ii ) Cho u Ỵ PSH (W) , v Ỵ PSH (W) , v > W Nếu f : ¡ ® ¡ lồi tăng dần vf (u / v ) đa điều hoà W iii ) Cho u, - v Ỵ PSH (W) , u ³ W, v > W Nu f : ộờở0, Ơ nh )đ lý ộ0, ¥ ëê 1.1.7 ) lồi f (0) = Cho F = {z Ỵ W: v(z ) = - ¥ vf (u / v ) Ỵ PSH (W) W tập mở } tập đóng W v Ỵ PSH (W) Nếu u Ỵ PSH (W\ F ) bị chặn hàm u xác định £n Theo [4] ta có v *j ] v Ỵ F ii ) Theo Mệnh đề 3.1 [6] ta cú: ổ C n ỗỗ z Î W: ( lim u j )*(z ) < - t ữ = C n {z ẻ W: v(z ) < - t } ữ jđ Ơ ố ứ { £ } 2n ò (dd cv )n W tn = A n c n A = ( dd v) , ò tn W iii ) Theo [2] ta có: ìï ü ï ï C n í z Ỵ W: lim u j (z ) = - ¥ ïý = C n {z Ỵ W: v * (z ) = - Ơ ùù ùù jđ Ơ ợ þ }= W 2.4 Một vài tính chất lớp Cegrell ứng dụng Bổ đề 2.4.1 Cho m độ đo Borel W f : W® ¡ hàm đo W Khi khẳng định sau tương đương : i ) m(E ) = với tập hợp Borel E Ì ii ) òE fdm = {f ¹ 0}, với tập hợp Borel E W Chứng minh i ) Þ ii ) Suy từ ò fd m = ò E fd m + E \ {f = 0} ò fd m = E Ç{f = 0} ii ) Þ i ) Ta cần chứng minh m = X d = {f > d > 0} Theo Định lý phân hoạch Hahn, tồn tập đo X d+ X d- X d cho X d = X d+ È X d- , X d+ Ç X d- = Ỉ m ³ X d+ , m £ X d- Ta có: 28 ò fd m = dm(X d+ ) £ 0, X d+ ò fd m = dm(X d- ) ³ X d- Từ m(X d+ ) = m(X d- ) = Do đó, ta có m = X d W Định lý 2.4.2 Cho u , u 1, , u n - Ỵ E , v Ỵ PSH - (W) T = dd cu1 Ù Ùdd cun - Khi dd c max(u, v ) ÙT {u > v } = dd cu ÙT {u > v } Chứng minh a ) Trước tiên, ta chứng minh với v º a < Theo ý sau Định nghĩa 4.6 [4], khơng tính tổng quát, ta giả sử u , u 1, , u n - Ỵ F Sử dụng Định lý 2.1 [4], ta tìm u j ẻ E0 ầ C (W), u j ] u; ukj ẻ E0 ầ C (W), ukj ] uk , k = 1, , n - { } Vì u j > a mở nên ta có: dd c max(u j , a ) ÙT j Do đó, từ } = dd cu j ÙT j {u j > a } {u > a } = dd cu j ÙT j {u > a } { uj > a {u > a } Ì {u j > a } suy dd c max(u j , a ) ÙT j , T j = dd cu1j Ù Ù dd cunj - Theo Hệ 5.2 [4], ta có: 29 max(u - a, 0)dd c max(u j , a ) ÙT j ® max(u - a, 0)dd c max(u, a) ÙT , max(u - a, 0)dd cu j ÙT j ® max(u - a, 0)dd cu ÙT = Do đó, max(u - a, 0) éêdd c max(u, a ) ÙT - dd cu ÙT ù ë ûú Sử dụng Bổ đề 2.4.1, ta có: dd c max(u, a) ÙT = dd cu ÙT {u > a } b) Giả sử v Ỵ PSH - (W) Vì {u > v } = È Q- {u > a > v }, nên ta cần chứng minh: dd c max(u, v) ÙT = dd cu ÙT {u > a > v } với a Ỵ Q - Vì max(u, v ) Ỵ E nên theo a ) ta có: dd c max(u, v ) ÙT {max( u ,v )> a } = dd c max(max(u, v ), a ) ÙT = dd c max(u, v, a ) ÙT dd cu ÙT {u > a } = dd c max(u , a ) ÙT {max( u ,v )> a } {max( u ,v )> a } {u > a } (2.2) (2.3) (2.4) Vì max(u, v, a ) = m ax(u, a ) tập hợp mở {a > v } ta có dd c max(u, v, a ) ÙT Vì {u > a > v }Ì {a > v } = dd c max(u, a ) ÙT {a > v } {u > a }, {a > v }, {max(u, v) > a } (2.2), (2.3),(2.4) nên dd c max(u , a ) ÙT {u > a > v } = dd cu ÙT 30 {u > a > v } Mệnh đề 2.4.3 a ) Cho u, v Ỵ E cho (dd cu )n ({u = v = - ¥ }) = Khi (dd c max(u, v ))n ³ 1(u > v )(dd cu )n + 1(u < v )(dd cv )n 1E hàm đặc trưng E b) Cho m độ đo dương triệt tiêu tập hợp đa cực W Giả sử u, v Ỵ E cho (dd cu )n ³ m, (dd cv )n ³ m Khi (dd c max(u, v))n ³ m Chứng minh a ) Với e > , đặt Ae = {u = v - e}\ {u = v = - Ơ } Vỡ A e ầ Ad = f với e ¹ d nên tồn ei ] cho (dd cu )n (A e ) = với j ³ Mặt khác, j (dd cu )n ({u = v = - ¥ }) = nên ta có (dd cu )n ({u = v - ej }) = với j ³ Theo Định lý 2.4.2 ta có (dd cu )n (u, v - ej )n ³ (dd c max(u, v - ej ))n {u > v - ej } + (dd c max(u, v - ej ))n = (dd cu )n + {u < v - ej } + (dd cv )n {u ³ v - ej } {u < v - ej } = u ³ v - e (dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { { j} j} ³ 1{u ³ v }(dd cu )n + u < v - e (dd cv )n { j} 31 Cho j ® ¥ theo ý sau Định lý 5.15 [4], ta nhận ( n ) dd cu m ax( u, v ) ³ 1{u ³ v }(dd cu )n + 1{u < v }(dd cv )n , max(u, v - ej ) Z max(u, v) u < v - e Z 1{u < v } j đ Ơ { j } b) Lp luận tương tự a ) W Mệnh đề 2.4.4 Cho u1, , uk ẻ PSH (W) ầ LƠ (W) uk + 1, , un Ỵ E Khi i) ò dd u1 Ù Ù dd un = O (C n (B ) c c k/ n ) với tập hợp Borel B Ì W¢Ð W; B ii ) ò dd cu Ù Ù dd cu n = O (C n (B (a, r ))k / n ) r ® với a Ỵ W B (a , r ) { } B (a, r ) = z Ỵ £ n : | z - a |< r Chứng minh Ta giả sử £ u j £ với j = 1, , k Mặt khác, theo ý sau Định nghĩa 4.6 [4] ta lại giả sử uk + 1, , un Î F i ) Với tập hợp mở B Ð W, áp dụng Mệnh đề 2.3.3 Hệ 5.6 [4] ta nhận ò dd u1 Ù Ù dd un = ò (- hB ) dd u1 Ù Ù dd un c c * k B c c B £ ò (- hB ) * k Ù dd cu1 Ù Ù dd cu n W £ k ! ò (1 - u1)(dd chB* )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n W £ k ! ò (dd chB* )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n W 32 é ùk / n £ k ! êêò (dd chB* )n ú ú êëW ú û é ù1/ n é ù1/ n ê (dd cu )n ú ê (dd cu )n ú k+1 ú n êò êò ú êëW ú êëW ú û û é ù1/ n é ù1/ n ê (dd cu )n ú éC (B )ùk / n £ k ! êêò (dd cuk + 1)n ú ú n ú êò ú êë n û êëW ú ê ú û ëW û k n £ const ant s éêëC n (B )ù ú û Do ò dd u1 Ù Ù dd u n £ c c k/ n const ant s éêëC n (B ) ù ú û W với tập hợp Borel B Ì W ii ) Theo Mệnh đề 2.3.3 ta có ò (- j ) dd u1 Ù Ù dd un £ k c c k ! ò (1 - u1)(dd cj )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n W W £ k ! ò (dd cj )k Ù dd cu k + Ù Ù dd cu n < + ¥ W Từ (- j )k Ỵ L1(dd cu1 Ù Ùdd cun ) với j Ỵ F (W) Cho a Ỵ W r0, R cho B (a, r0 ) Ð WÐ B (a, R ) Khi log z- a £ ga (z ) £ log R0 z- a r0 với z Ỵ W, ga hàm Green W với cực a Vì ( ) (- ga )k Ỵ L1 dd cu1 Ù Ù dd cu n , nên suy 33 ò (- ga )kdd cu Ù Ù dd cu n ® r ® B (a , r ) Do ò (log r0 - log r )k dd cu1 Ù dd cu n £ B (a , r ) ò (- ga )k dd cu Ù Ù dd cu n ® B (a , r ) r ® Điều có nghĩa ò dd cu1 Ù Ù dd cu n = o(( B (a , r ) )k ) r ® log r0 - log r Kết hợp điều với bất đẳng thức: C n (B (a, r ), W) ³ C n (B (a, r ), B (a, R )) = = ( 1 )n = O(( )n ) log R - log r log r0 - log r Ta nhận ò dd cu1 Ù Ù dd cu n = O ((C n (B (a, r )))k / n ) W B (a , r ) Định lý 2.4.5 Cho u1, , u n Ỵ E Khi tồn u%Ỵ Ea cho dd cu1 Ù Ù dd cun = (dd cu%)n + dd cu1 Ù Ù dd cu n Chứng minh Trước tiên, ta viết dd cu1 Ù Ù dd cun = m + dd cu1 Ù Ù dd cu n 34 {u1 = = un = - ¥ } {u1 = = un = - ¥ } m = dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - ¥ }È È {un > - ¥ } dễ thấy m = Cn E Ð W Thật theo Định lý 2.4.2 ta có dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - j } = dd cm ax(u1, - j ) Ù Ùdd cun Từ đó, theo Định lý 2.4.4 (i ) suy ra: dd cu1 Ù Ù dd cun {u1> - j } {u1> - j } = Cn E Ỵ W Vấn đề lại tồn u%Ỵ Ea cho m = (dd cu%)n Cho (Wj ) dãy tăng vét cạn W Với j ³ đặt mj = m Wj Khi tồn u%Ỵ F cho (dd cu%j )n = mj Chú ý mj Z m (dd cu%j )n £ m £ (dd c (u1 + + un ))n Áp dụng nguyên lý so sánh ta u%j ] u%³ u1 + + un Ỵ E Do đó, u%Ỵ Ea (dd cu%)n = lim (dd cu%j )n = m jđ Ơ W H qu 2.4.6 Cho u1, , u n Ỵ E Khi khẳng định sau tương đương: i ) dd cu1 Ù Ù dd cun = Cn E Ð W; ò ii ) dd cu1 Ù Ù dd cu n = , {u1 = = un = - ¥ } iii ) ò dd cu1 Ù Ù dd cun ® s ® + ¥ với E Ð W {u1 < - s , ,un < - s }ÇE 35 Chứng minh Áp dụng trực tiếp Định lý 2.4.5 ta có kết Nguyên lý so sánh lớp F nghiên cứu [5] Tuy nhiên cách dùng Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2, ta nhận nguyên lý so sánh dạng Xing lớp F Định lý 2.4.7 Cho u Ỵ F , v Ỵ E £ k £ n Khi k! ò (v - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } (r - w1 )(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } ò £ ò (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - Ơ } vi mi wj ẻ PSH (W), £ wj £ 1, j = 1, , k, wk + 1, , wn Ỵ F r ³ Chứng minh Cho e > , đặt v%= m ax(u, v - e) Theo a ) Mệnh đề 2.3.3 ta có (v%- u )k dd cu1 Ù Ù dd cu n + ò k! W £ ò (r - ò (r - w1)(dd cv%)k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W w1 )(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W Vì {u < v%} = {u < v - e} sử dụng Định lý 2.4.2 ta có k! ò (v - e - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v - e} + ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v - e} 36 ò £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u £ v - e} ò £ (u < v ) È {u = v = - ¥ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn } Cho e ® ta k! + ò (v - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } ò £ ( u < v ) È {u = v = - ¥ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W } Hệ 2.4.8 Cho u Ỵ Ea : u ³ v với v Î E thỏa mãn (dd cu )n £ (dd cv)n Khi n! ò (v - u )ndd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } ò (r - w1 )(dd cv )n {u < v } £ ò (r - w1)(dd cu )n , {u < v } với v Ỵ E, r ³ với w1, wn Ỵ PSH (W), £ w1, , wn £ Chứng minh Cho (Wj ) dãy tăng vét cạn tập compact tương đối W Đặt mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n , 1E hàm đặc trưng E Ì W j Áp dụng Định lý 2.4.2 ta có 37 mj = 1W 1{u > - j }(dd cm ax(u, - j )n £ 1W (dd cm ax(u, - j ))n j j Ly f ẻ E0 (W) ầ C (W) Đặt f j = m ax(u, - j , a j f ), a j = - j Khi sup f Wj + f j = m ax(u, - j ) Wj + 1, f j Ỵ E0 mj £ 1W (dd cm ax(u, - j ))n = 1W (dd cf j )n £ (dd cf j )n j j Theo Định lý Kolodziej ([7]) tồn u j Î E0 cho (dd cu j )n = mj = 1W 1{u > - j }(dd cu )n j với j ³ Theo nguyên lý so sánh, ta có u j ] u%³ u Mặt khác (dd cu )n ({u = - ¥ }) = nên suy (dd cu j )n = 1W 1{u > - j }(dd cu )n ® (dd cu )n , yu j đ Ơ j Do vy (dd cu%)n = lim(dd cu j )n = (dd cu )n Theo giả thiết, ta có u%= u p jđ Ơ dng nh lý 2.4.7 ta cú: n! ò (v - u j )dd c w1 Ù Ù dd c wn + ò (r - w1 )(dd cv )n {u j < v } {u j < v } Ê Ê Cho j đ Ơ ta 38 ò (r - w1)(dd cu j )n {u j < v } ò (r - w1)(dd cu )n {u j < v } n! ò ò (v - u )dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } (r - w1 )(dd cv )n {u < v } £ ò (r - w1)(dd cu )n W {u < v } Lập luận tương tự Định lý 2.4.7, ta chứng minh nguyên lý so sánh Xing lớp E Định lý 2.4.9 Cho u, v Ỵ E £ k £ n cho lim éêëu (z ) - v(z )ù ú³ Khi ỷ zđ ảW ú n! Ê ũ (v - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } ò (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - Ơ } vi mi wj ẻ PSH (W), £ wj £ , j = 1, k; wk + 1, , wn Ỵ E r ³ Chứng minh Cho e > Ta đặt v%= m ax(u, v - e) Theo b) Mệnh đề 2.3.3 ta có (v%- u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + ò k! W ò (r - £ ò (r - w1)(dd cv%)k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn W Vì {u < v%} = {u < v - e} áp dụng Định lý 2.4.2 ta có k! ò (v - e - u )k dd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v - e} 39 ò + (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v - e} ò £ (r - w1)(dd cu )k dd c wk + Ù Ù dd c wn {u £ v - e} ò £ (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - ¥ } Cho e ] ta k! £ ò (v - u )kdd c w1 Ù Ù dd c wn + {u < v } ò (r - w1)(dd cv )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v } ò (r - w1)(dd cu )k Ù dd c wk + Ù Ù dd c wn {u < v }È{u = v = - ¥ } 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết số tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor - Khái niệm lớp Cegrell, khái niệm dung lương hội tụ theo dung lượng Sự hội tụ dãy hàm đa điều hòa theo C n - dung lượng Kết tương tự nguyên lý so sánh Xing ([5]) (Mệnh đề 2.3.3) - Điều kiện đủ hội tụ theo C n - dung lượng dãy hàm đa điều hòa lớp F (Định lý 2.3.5) - Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có kết hội tụ hàm Green đa cực tiêu chuẩn tính đa cực - Kết luận văn Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có vài kết lớp Cegrell Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 kết phân rã độ đo Monge – Ampère Cuối nguyên lý so sánh kiểu Xing lớp F E suy từ Mệnh đề 2.3.3 Định lý 2.4.2 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH [2] Bedford E and Taylor B.A (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 [3] Cegrell U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math., 180, 187-217 [4] Cegrell U (2004), “The general definition of the complex MongeAmpère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159-179 [5] Cegrell U (2008), “A general Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator”, Ann Polon Math., 94, 131-147 [6] Cegrell U, Kolodziej S and Zeriahi A (2005), “Subextention of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Zeit., 250, 722 [7] Kolodziej S (1995), “The range of the complex Monge-Ampère operator”, II, Indiana Univ Math J., 44, 765-782 [8] Khue N.V and Hiep P.H (2009), “A comparison principle for the complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications”, Trans Amer Math Soc Vol 361, No 10, 5539–5554 [9] Xing Y (1996), “Continuity of the complex Monge-Ampère operator” Proc Amer Math Soc., 124, 457-467 42 ... Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chương trình bày ngun lý so sánh tốn tử Monge- Ampère phức lớp Cegrell Kết chương Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh. .. 1.4 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- 12 17 AMPÈRE TRONG CÁC LỚP CEGRELL 2.1 Các lớp Cegrell 17 2.2 Sự hội tụ theo dung lượng 18 2.3 Một vài định lý. .. tương đối, toán tử Monge- Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor Chương 2: Là nội dung luận văn Kết chương Định lý 2.4.2 vài nguyên lý so sánh kiểu Xing Trong Mục 2.1, nhắc lại số lớp Cegrell Trong