Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp F (W) và E (W)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - - LU TH THANH HUYN NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP F pT ( W) V EpT ( W) LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN 2017 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - - LU TH THANH HUYN NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGE-AMPẩRE PHC TRONG CC LP F pT ( W) V EpT ( W) Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Phm Hin Bng THI NGUYấN-2017 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Lu Th Thanh Huyn i LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng o to- B phn Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 04 nm 2017 Tỏc gi ii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc lun Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v 1.2 Hm a iu hũa di 1.3 Toỏn t Monge-Ampốre phc 1.4 Tớnh ta liờn tc ca hm a iu hũa di 10 1.5 Nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor 12 1.6 Cỏc lp nng lng Cegrell 16 Chng NGUYấN Lí SO SNH I VI TON T MONGEAMPERE PHC TRONG CC LP F pT (W) V EpT (W) 17 2.1 Cỏc lp F pT (W) v EpT (W) 17 2.2 Cỏc nh lý so sỏnh 25 2.3 Tớnh C T - ta liờn tc 28 2.4 Nguyờn lý so sỏnh cỏc lp F pT (W) v EpT (W) 36 KT LUN 45 TI LIU THAM KHO 46 iii M U Lý chn ti Cho W l mt b chn ca Ê n v PSH (W) hp cỏc hm a iu hũa di trờn W Nm 1982, E Berfod v B.A Taylor [2] ó xõy dng toỏn t Monge-Ampere phc (dd c )n cho lp hm a iu hũa di b chn a phng, mt khỏi nim úng vai trũ quan trng trung tõm lý thuyt a th v Cỏc tỏc gi ó ch rng toỏn t ny hon ton xỏc nh trờn lp cỏc hm a iu hũa di b chn a phng v cú nh lp cỏc o khụng õm, ng thi thit lp nguyờn lớ so sỏnh nghiờn cu bi toỏn Dirichle trờn PSH (W) ầ LƠ (W) Nm 1984, Kiselman ó ch rng khụng th m rng toỏn t (dd c )n ti lp cỏc hm a iu hũa di bt k m cú nh lp cỏc o khụng õm Bi toỏn m rng xỏc nh ca toỏn t Monge-Ampere ó c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu Nm 1998, Cegrell [3] ó nh ngha cỏc lp nng lng E0(W), F p (W), Ep (W) trờn ú toỏn t Monge-Ampere phc hon ton xỏc nh Nm 2004, Cegrell [4] ó nh ngha cỏc lp E(W), F (W) v ch rng lp E(W) l lp hm nh ngha t nhiờn ca toỏn t Monge-Ampere phc ú l lp hm ln nht trờn ú toỏn t Monge Ampốre xỏc nh, liờn tc di dóy gim cỏc hm a iu hũa di Nghiờn cu cỏc lp ny dn n nhiu kt qu nh nguyờn lý so sỏnh, gii bi toỏn Dirichlet, s hi t theo dung lng Nm 2006, Dabbek v Elkhadhra [5] ó m rng xỏc nh ca toỏn t (dd c )q T trng hp hm a iu hũa di b chn, ú T l dũng dng úng song chiu (q, q) trờn W vi Ê q Ê n Nm 2014, Hbil, Jaway v Ghiloufi [9] ó m rng xỏc nh ca toỏn t Monge-Ampere ti mt vi lp cỏc hm a iu hũa di khụng b chn Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn ti: Nguyờn lý so sỏnh i vi toỏn t Monge-Ampere phc cỏc lp F pT (W) v EpT (W) Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun l nghiờn cu v trỡnh by li cỏc kt qu ca Hbil, Jaway v Ghiloufi [9] v m rng xỏc nh ca (dd c )q T i vi cỏc lp hm a iu hũa di khụng nht thit b chn vi T l mt dũng dng úng song chiu (q, q) trờn mt m Wè Ê n Gii thiu hai lp F pT (W) v EpT (W) [8] v ch rng chỳng thuc xỏc nh ca toỏn t (dd c )q T ng thi chng minh rng tt c cỏc hm s thuc cỏc lp ny u l C T - ta liờn tc v nguyờn lớ so sỏnh cú hiu lc cỏc lp ú 2.2 Nhim v nghiờn cu Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, toỏn t Monge-Ampốre, tớnh ta liờn tc ca hm a iu hũa di, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor, cỏc lp nng lng Cegrell Nghiờn cu mt s tớnh cht ca cỏc lp F pT (W) v EpT (W) Tớnh C T - ta liờn tc cỏc lp F pT (W) v EpT (W) Nghiờn cu nguyờn lớ so sỏnh cỏc lp F pT (W) v EpT (W) Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 47 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu c s ca lý thuyt a th v, v dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, toỏn t Monge-Ampốre, tớnh ta liờn tc ca hm a iu hũa di, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor, cỏc lp nng lng Cegrell Cỏc ni dung chớnh ca chng ny c tham kho ti liu tham kho [1] Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu gn õy ca Hbil, Jaway v Ghiloufi [9] v m rng xỏc nh ca (dd c )q T i vi cỏc lp hm a iu hũa di khụng nht thit b chn vi T l mt dũng dng úng song chiu (q, q) trờn mt m Wè Ê n Mt s tớnh cht ca cỏc lp F pT (W) v EpT (W) [8] Chng minh tớnh C T - ta liờn tc ca cỏc hm s thuc cỏc lp F pT (W) v EpT (W) v nguyờn lớ so sỏnh cỏc lp ú Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c CHNG CC KIN THC CHUN B 1.1 Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v Gi s Ă n l khụng gian vector n chiu vi c s chớnh tc e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ú v trớ th j Gi s vi mi Ê j Ê n kớ hiu n 42 4444 Ă 4n3 đ Ê gi l u j l hm ta th j : u j (x ) = x j Mt ỏnh x f : Ă14444 p p - tuyn tớnh nu nú l tuyn tớnh theo tng bin cỏc bin khỏc c nh Mt ỏnh x p - tuyn tớnh cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 Ê j < n gi l ỏnh x p - tuyn tớnh thay du Tp cỏc ỏnh x p - tuyn tớnh thay du n 42 4444 Ă 4n3 ti Ê kớ hiu t Ă14444 p ( Ă n ,Ê) p nh ngha 1.1.1 Gi s Wè Ă ỏnh x a :U đ p ( Ă n n l m Mt p - dng vi phõn trờn W l ,Ê) Nu t dx k (x ) = u k , Ê k Ê n , x ẻ W thỡ ta cú th vit mi p - dng vi phõn a trờn W di dng a (x ) = ' a I (x )dx I , ú I I = (i1, , ip ) , Ê i1 < < ip Ê n , dx I = dx i dx i , a I (x ) l cỏc hm trờn W Gi s a = ' a I dx I l p - dng v b = I p ' bJ (x )dx J l q - dng, ú J Ê i1 < < i p Ê n v Ê j1 < < jq Ê n ú tớch ngoi a b l ( p + q) - dng cho bi cụng thc a b = g Ldx L , ú g Ldx L = nu L ik = j l vi Ê k Ê p,1 Ê l Ê q v g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l dx l 1 Ê l1 < < lp+ q Ê n vi s j1 < j < < jq , p+ q l hoỏn v ca dóy i1 < i2 < < i p v {1, , n } hp to thnh dóy tng Ê l1 < < lp+ q Ê n Nu f l mt hm thỡ f a = f a v ( f a ) b = f ( a b ) Cho a l p - dng lp C Vi phõn ngoi ca a l ( p + 1) - dng cho bi da = 'd a I dx I Gi s a = j dx dx n , j ẻ L1(W) Khi ú I ũ a = ũ j dx W dx n = W ũ j dV , dV l o Lebesgue trờn W W nh ngha 1.1.2 Mt dũng bc p hay cú chiu (n - p ) trờn m Wè Ă n l dng tuyn tớnh liờn tc T : D (n - p ) ( W) đ Ê Nu a l dng D (n - p ) ( W) , giỏ tr ca T ti a , kớ hiu bi T ( a ) hay T , a Bõy gi gi s p, q = 0,1, , n Ta kớ hiu Ê ( p,q) l cỏc dng phc song bc ( p, q) h s hng trờn Ê n Khi ú nu w ẻ Ê ( p,q) thỡ cú th biu din: w= ' wJK dzJ dz K , J = p, K = q ú wJK ẻ Ê , dzJ = dz j dz j , dz K = dz k dz k tng ly theo p q cỏc b a ch s J = ( j1, , j p ), K = (k1, , kq ) vi Ê j1 < < j p Ê n , &hler chớnh tc trờn Ê n cho bi: Ê k1 < < kq Ê n Dng K a& T tớnh liờn tc ca u v v trờn W\ G suy {u Ê v}\ G l úng ca W iu ny kộo theo ũ (dd cu )q T {u Ê v }\ G ũ lim kđ + Ơ (dd cu k )q T {u Ê v }\ G Nh vy ũ (dd cu )q T {u < v } ũ (dd cu )q T {u Ê v }\ G lim kđ + Ơ ũ (dd cu k )q T {u Ê v }\ G ổ ỗ lim ỗỗ ũ (dd cu k )q T kđ + Ơ ỗ ỗố{uk < v } lim kđ + Ơ ũ ữ ữ ( dd u ) T ữ ũ k ữ ữ ữ G ứ c q (dd cu k )q T - e || v ||qƠ {u k < v } Do ú ũ (dd cv )q T Ê {u < v } ũ (dd cu )q T + 3e || v ||qƠ {u Ê v } Cho e đ ta thu c ũ {u < v } (dd cv )q T Ê ũ (dd cu )q T {u Ê v } Vỡ {u + r < v} - {u + v} v {u + r Ê v} - {u < v} r ] nờn ta cú bt ng thc cn chng minh bng cỏch thay u bi u + r 33 nh ngha 2.3.8 S LelongDemailly ca T i vi hm a iu hũa di j l gii hn n(T , j ) = lim n(T , j , t ) , ú tđ - Ơ n(T , j , t ) = ũT Bj (dd cj )q, t < (t ) Kt qu sau õy ó c chng minh [7], tỏc gi ó s dng cụng thc Stokes , ú phi cú iu kin chớnh quy trờn j nh lý 2.3.9 Cho j ẻ F T (W) : e j liờn tc trờn W Khi ú vi mi s, t > ta cú s qCT (B j (- t , - s ), W) Ê n(T , j , - t ) Ê (s + t )qCT (B j (- t ), W) (2.6) Núi riờng n(T , j ) = ũ T (dd cj )q = lim t qC T (B j (- t ), W) tđ +Ơ {j = - Ơ } Chng minh Cho t , s > v v ẻ PSH (W,[ - 1, 0]) Vi e > , t v e = max(v, j +t+ e ) Theo nh lý 2.3.7 ta cú s ũ ũ T (dd cv )q = Bj (- t - s - e ) T (dd cv e )q Bj (- t - s - e ) ũ Ê T (dd cv e )q {j < - t + sv - e } Ê Ê sq ũ T (dd cj )q {j < - t + sv - e } sq ũ T (dd cj )q Bj (- t ) Bng cỏch ly supremum trờn tt c cỏc v ẻ PSH (W,[ - 1, 0]) , ta nhn c ỏnh giỏ sau 34 s qCT (B j (- s, - t - e), W) Ê n(T , j , - t ) Cho e đ , ta nhn c v trỏi ca bt ng thc (2.6) s qCT (B j (- t , - s ), W) Ê n(T , j , - t ) i vi v phi ca bt ng thc, ta chỳ ý rng hm s y = m ax( j , - 1) s+t l hm a iu hũa di v tha - Ê y Ê trờn W , ú theo H qu 2.2.3 v y > - gn ả B j (- t ) nờn ta nhn c n(T , j , - t ) = ũ T (dd cj )q = (s + t )q Bj (- t ) ũ T (dd c y )q Bj (- t ) Ê (s + t )qCT (B j (- t ), W) Theo v phi ca bt ng thc (2.6), ta cú n(T , j ) = lim n(T , j , - t ) Ê tđ +Ơ (s + t )q q Ê lim t C T (B j (- t ), W) = lim t qC T (B j (- t ), W) q tđ +Ơ tđ +Ơ t Nu ly a > v s = a t v trỏi ca bt ng thc (2.6), ta c n(T , j ) = lim n(T , j , - t ) tđ +Ơ aq lim (1 + a )q t qC T (B j (- (1 + a )t ), W) q t đ + Ơ (1 + a ) q ổ a ữ ữ = ỗỗ lim t qC T (B j (- t ), W) ữ ỗố1 + a ữ ứ tđ +Ơ 35 Cho a đ + Ơ Ta c iu phi chng minh Chỳ ý 2.3.10 Nu j ẻ F pT (W) , ú e j liờn tc trờn W, thỡ da vo Mnh 2.3.5 v nh lý 2.3.9, ta cú n(T , j ) = 2.4 Nguyờn lý so sỏnh cỏc lp F pT (W) v EpT (W) Mc ớch chớnh ca phn ny l chng minh kt qu sau õy: nh lý 2.4.1 Cho u ẻ F T (W) v v ẻ ET (W) Khi ú ũ (dd cv )q T Ê {u < v } ũ (dd cu )q T {u < v } ẩ {u = v = - Ơ } Trc chng minh, ta trỡnh by mt vi h qu H qu 2.4.2 Cho u, v ẻ F pT (W) cho e u liờn tc trờn W Khi ú ũ (dd cv )q T Ê {u < v } ũ (dd cu )q T {u < v } Chng minh Theo nguyờn lý so sỏnh, ta cú: ũ (dd cv )q T Ê {u < v } ũ (dd cu )q T Ê {u < v } ẩ {u = v = - Ơ } ũ (dd cu )q T + n(T , u ) {u < v } Vỡ u ẻ F pT (W) , nờn n(T , u ) = T ú suy iu phi chng minh H qu 2.4.3 Gi s u ẻ F T (W) v v ẻ F pT (W) cho e v liờn tc trờn W v (dd cu )q T Ê (dd cv )q T Khi ú C T ({u < v }, W) = Chng minh Gi s C T ({u < v }, W) > Khi ú tn ti y ẻ PSH (W,[0,1]) cho 36 ũ (dd c y )q T > {u < v } Vi e > bộ, ta cú v + ey ẻ F T (W) Do ú theo nguyờn lý so sỏnh, ta cú ũ (dd c (v + ey ))q T Ê {u < v + ey } ũ (dd cu )q T ũ (dd cv )q T {u < v + ey }ẩ {u = v = - Ơ } Ê {u < v + ey } ẩ {u = v = - Ơ } ũ Ê (dd cv )q T + n(T , v ) {u < v + ey } T ú eq ũ ũ (dd c y )q T + {u < v } (dd cv )q T Ê {u < v + ey } ũ (dd cv )q T {u < v + ey } iu ny l vụ lý chng minh kt qu chớnh, ta s dng bt ng thc tng t ca Xing (xem [12,13] bit chi tit hn), tng quỏt húa cho lp ET (W) Ta bt u bng vic nhc li b sau: B 2.4.4 (xem [8]) Cho S l mt dũng dng úng song chiu (1,1) trờn Wv u, v ẻ PSH (Wầ LƠ (W) Gi s u Ê v trờn W v lim [u(z ) - r (z )] = zđ ảW Khi ú ũ (v - u )k dd c w S Ê k ũ (1 - w)(v - u )k - 1dd cu S W W vi mi k v w ẻ PSH (W,[0,1]) 37 B 2.4.5 Gi s u , v ẻ PSH (W) ầ LƠ (W) cho u Ê v trờn W v lim [u(z ) - v(z )] = Khi ú ta cú zđ ảW (v - u )q dd c w1 dd c wq T + ũ q! W Ê ũ (r - ũ (r - w1)(dd cv )q T Ê W w1 )(dd cu )q T W vi mi r v w1, , wq ẻ PSH (W,[0,1]) Chng minh Gi s K é W v u = v trờn W\ K S dng B 2.4.4 ta thu c ũ (v - u )q dd c w1 dd c wq T Ê W Ê q ũ (v - u )q - 1dd c w1 dd c wq - dd cu T W Ê q ! ũ (v - u )dd c w1 (dd cu )q - T W ổq- ữ Ê q ! ũ ( w1 - r )dd c (v - u ) ỗỗỗồ (dd cu )i (dd cv )q - i - ữ T ữ ữ ỗ ối= ứ W ổq- ữ = q ! ũ (r - w1 )dd (u - v ) ỗỗỗồ (dd cu )i (dd cv )q- i - ữ T ữ ữ ỗố i = ứ c W = q ! ũ (r - w1 )((dd cu )q - (dd cv )q T W T ú suy iu phi chng minh 38 Trong trng hp tng quỏt, vi mi e > ta t v e = max(u, v - e) Khi ú v e Z v trờn W v tha v e = u trờn W\ K vi K é W Do ú (v e - u )q dd c w1 dd c wq T + ũ q! W Ê ũ (r - ũ (r - w1)(dd cv )q T Ê W w1 )(dd cu )q T W Vỡ v e - u Z v - u , h cỏc o (dd cve )q T hi t yu ti (dd cv )q T e ] v hm r - w1 l na liờn tc di, nờn cho e ] ta thu c bt ng thc cn chng minh Mnh 2.4.6 Cho r v w ẻ PSH (W,[0,1]) Khi ú (a ) Vi mi u, v ẻ F T (W) cho u Ê v trờn W ta cú (v - u )q (dd c w)q T + ũ q! W ũ (r - w)(dd cv )q T Ê W ũ (r - w)(dd u ) c q T (2.7) W (b) Bt ng thc (2.7) xy vi u , v ẻ ET (W) cho u Ê v trờn W v u = v trờn W\ K vi K é W no ú Chng minh (a ) Gi s u, v ẻ F T (W) v um , v j ẻ E0T (W) theo th t gim dn ti u v v nh nh ngha 2.2.1 Thay v j bi max(u j , v j ) ta cú th gi s u j Ê v j vi j Theo B 2.4.5, vi m j , ta cú (v j - um )q (dd c w)q T + ũ (r - w)(dd cv j )q T Ê ũ (r - w)(dd cu m )q T ũ q! W W W Bng cỏch xp x w bi mt dóy hm a iu hũa di liờn tc trit tiờu trờn ảW (xem [3]) v s dng Mnh 2.2.4, m đ + Ơ , ta thu c 39 (v j - u )q (dd c w)q T + ũ (r - w)(dd cv j )q T Ê ũ q! W W Vỡ r - w l na liờn tc di nờn lim jđ + Ơ ũ (r - w)(dd cv j )q T W ũ (r - ũ (r - w)(dd cu )q T W w)(dd cv )q T W Do ú cho j đ + Ơ ta thu c kt qu cn chng minh (b) Cho G v W l m ca W cho K é G é W é W Khi ú tn ti v%ẻ F T (W) cho v% v trờn W v v%= v trờn W Ly u%sao cho u%= u trờn G v u%= v%trờn W\ G Vỡ u = v = v%trờn W \ K , nờn ta cú u%ẻ PSH - (W) iu ny kộo theo u%ẻ F T (W), u%Ê v%v u%= u trờn W S dng (a) ta nhn c (v%- u%)q (dd c w)q T + ũ q! W ũ (r - w)(dd cv%)q T Ê W ũ (r - w)(dd cu%)q T W Khi v%= u% trờn W\ G ta cú (v%- u%)q (dd c w)q T + ũ q! W ũ (r - w)(dd cv%)q T Ê W ũ (r - w)(dd cu%)q T W Bõy gi vỡ u%= u, v%= v v u = v trờn W\ K nờn ta nhn c (v - u )q (dd c w)q T + ũ q! W ũ (r - w)(dd cv )q T Ê W ũ (r - w)(dd cu )q T W Chỳ ý 2.4.7 Nu ly w = v r = Mnh 2.4.6, ta nhn c chng minh khỏc ca Mnh 2.2.4 nh lý 2.4.8 Cho u, w1, , wq- ẻ F T (W) , v ẻ PSH - (W) v S = dd c w1 dd c wq- Khi ú dd c max(u, v ) T S {u > v } = dd cu T S {u > v } 40 Chng minh Ta chng minh nh lý theo hai bc, u tiờn ta gi s v a < Theo B 2.2.5, tn ti u j , wkj ẻ E0T (W) ầ C(W) cho (u j ) j gim dn ti u v ( wkj ) j gim dn ti wk vi mi Ê k Ê q - Vỡ {u j > a} l m, nờn ta cú dd c max(u j , a ) T S |{j u > a } = dd cu j T S |{j u > a } j j ú S j = dd c w1, j dd c wq- 1, j Vỡ {u > a} è {u j > a} nờn ta thu c dd c max(u j , a ) T S |{j u > a } = dd cu j T S |{j u > a } T ú suy (theo [8]) max(u - a, 0)dd c max(u j , a ) T S j đ max(u - a, 0)dd c max(u, a) T S jđ + Ơ max(u - a, 0)dd cu j T S j đ max(u - a, 0)dd cu T S jđ + Ơ Do ú max(u - a, 0)[dd c max(u, a ) T S - dd cu T S ] = Suy dd c max(u , a ) T S = dd c T S trờn {u > a } Bõy gi gi s v ẻ PSH - (W) Vỡ {u > v} = ẩa ẻ Q {u > a > v} , nờn ta ch cn chng minh dd c max(u, v ) T S = dd cu T S trờn {u > a > v} vi mi a ẻ Q - Tht vy, vỡ max(u, v ) ẻ F T (W) nờn theo bc th nht ta cú: 41 dd c max(u, v ) T S |{ max(u,v )> a } = dd c max(max(u, v), a) T S |{ max(u,v )> a } = dd c max(u, v, a) T S |{max(u,v )> a } dd cu T S |{u > a } = dd c max(u, a ) T S |{v > a } Mt khỏc max(u, v, a ) = max(u, a ) trờn m {a > v} nờn suy dd c max(u, v, a ) T S |{a > v } = dd c max(u, a ) T S |{a> v } Vỡ {u > a > v} cha cỏc {u > a} , { max(u, v ) > v} v {a > v} , nờn kt hp cỏc ng thc cui ta thu c dd c max(u, v) T S |{u > a > v } = dd c max(u, a ) T S |{u > a > v } Bõy gi ta cú th chng minh mt bt ng thc tng t vi bt ng thc Demailly ó c trỡnh by [10] Mnh 2.4.9 a ) Gi s u, v ẻ F T (W) cho (dd cu )q T ({u = v = - Ơ }) = Khi ú (dd c max(u, v))q T 1{u > v }(dd cu )q T + 1{u < v }(dd cv)q T b) Gi s m l o dng trit tiờu trờn cỏc a cc ca W v u , v ẻ ET (W) cho (dd cu )q T m v (dd cv )q T m Khi ú (dd c max(u, v ))q T m Chng minh t Ae = {u = v - e}\ {u = v = - Ơ }, e > Vỡ A e ầ Ad = ặ vi e d nờn tn ti ej ] cho (dd cu )q T (Ae j ) = vi j Mt 42 khỏc, (dd cu )q T ({u = v = - Ơ }) = vỡ nờn ta cú (dd cu )q T ({u = v - ej }) = vi j Theo nh lý 2.4.8 ta cú (dd c max(u, v - ej ))q (dd c w)q T (dd c max(u, v - ej ))q T |{u v - e } ) + (dd c max(u, v - ej ))q T j = (dd cu )q T = |{u v - e j } + (dd cv )q T (dd cu )q T + {u v } |{u < v - e j } (dd cv )q T {u < v - e j } {u v - e j } |{u < v - e j } (dd cu )q T + {u < v - e j } (dd cv )q T Cho j đ + Ơ v theo nh lý 2.1.6, ta nhn c (dd c max(u, v))q T 1{u v }(dd cu )q T + 1{u < v }(dd cu )q T vỡ max {u, v - ej } Z max(u, v) v {u < v - e j } Z 1{u < v } j đ + Ơ b) Chng minh tng t nh a) Mnh 2.4.10 Gi s u ẻ F T (W), v ẻ ET (W) Khi ú (v - u )q (dd c w)q T + ũ q ! {u < v } Ê ũ ũ {u < v } (r - w)(dd cu )q T { u < v } ẩ {u = v = - Ơ } vi w ẻ PSH (W,[0,1]) v mi r 43 (r - w)(dd cv )q T Chng minh Ly e > v t v%= max(u, v - e) Theo bt ng thc (2.7) Mnh 2.4.6 ta cú (v%- u )q (dd c w)q T + ũ q! W ũ (r - w)(dd cv%)q T Ê W ũ (r - w)(dd cu )q T W Vỡ {u < v%} = {u < v - e} nờn theo nh lý 2.4.8 ta cú (v - e - u )q (dd c w)q T + ũ q ! {u < v - e } ũ Ê ũ (r - w)(dd cv )q T {u Ê v - e } (r - w)(dd cu )q T {u Ê v - e } Vỡ {u Ê v - e} è {u < v} ẩ {u = v = - Ơ } nờn (v - e - u )q (dd c w)q T + ũ q ! {u < v - e } ũ Ê ũ (r - w)(dd cv )q T {u Ê v - e } (r - w)(dd cu )q T { u Ê v } ẩ {u = v = - Ơ } Cho e đ ta nhn c (v - u )q (dd c w)q T + ũ q ! {u < v } Ê ũ ũ (r - w)(dd cv )q T {u < v } (r - w)(dd cu )q T {u Ê v } ẩ {u = v = - Ơ } kt thỳc chng minh kt qu chớnh, ta ch cn ly w = v r = mnh trờn 44 KT LUN Lun ó trỡnh by: + Tng quan v h thng cỏc kt qu v dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, toỏn t MongeAmpốre, tớnh ta liờn tc ca hm a iu ho di, nguyờn lý so sỏnh Bedford-Taylor v cỏc lp nng lng Cegrell + Mt s tớnh cht ca cỏc lp F pT (W) v EpT (W) + Tớnh C T - ta liờn tc cỏc lp F pT (W) v EpT (W) + Nguyờn lớ so sỏnh cỏc lp F pT (W) v EpT (W) : Kt qu chớnh l nh lý 2.4.1 c chng minh thụng qua cỏc B 2.4.4, 2.4.5, Cỏc Mnh 2.4.6, 2.4.9 v 2.4.10 v nh lý 2.4.8 45 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi (2009), C s lý thuyt a th v , Nxb i hc s phm H Ni TING ANH [2] Bedford E and Taylor B A (1982), A new capacity for plurisubharmonic funtions, Acta Math 149, no.1-2, pp - 40 [3] Cegrell U (1998), Pluricomplex energy, Acta Math 180, pp 187 - 217 [4] Cegrell U (2004), The general definition of the complex MongeAmpere operator, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp 159 - 179 [5] Dabbek K and Elkhadhra F (2006), Capacite assosiee un courant positif ferme, Documenta Math 11, pp 469 - 486 [6] Demailly J.P., Complex analytic and diffirential geometry, Open book available at http:// www Fourier Ujf-grenoble Fr/demailly/book Html [7] Elkhadhra F (2013), Lelong-Demailly numbers in terms of capacity and weak convergence for closed positive current, Acta Math Scientia 33B (6), pp 1652 - 1666 [8] Hai L.M and Dung N.T (2009), Local T-pluripolarity of a subset and some Cegrells pluricomplex energy classes associated to a positive closed current, Vietnam J of Math 37: 2&3, pp 1-9 [9] Hbil J, Zaway M and Ghiloufi N (2014), Pluricomplex energy classes asociated to a positive closed current, arXiv: 1403.0375vl [Math.CV] Mar 2014 [10] Khue N.V and Pham H.H (2009), A comparison principle for the complex Monge-Ampere operator in Cegrells classes and applications , Tran Amer Math Soc 361, pp 5539 - 5554 46 [11] Kolodziej S (2005), The complex Monge-Ampốre equation and pluripotential theory Mem Amer Math Soc 178, No 840, pp 1-64 [12] Xing Y (1996), Continuity of the complex Monge-Ampere operator, Proc Am Math Soc.,124, pp 457 - 467 [13] Xing Y (2000), Complex Monge Ampốre measures of plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary, Canad J Math 52, pp 1085 1100 47