Nguyên lý hasse cho nhóm đại số trên trường toàn cục (tt)

VIN HN LM KHOA HC V CễNG NGH VIT NAM VIN TON HC NGễ TH NGOAN NGUYấN Lí HASSE CHO NHểM I S TRấN TRNG TON CC Chuyờn ngnh: i s v Lý thuyt s Mó s: 62 46 01 04 TểM TT LUN N TIN S TON HC H NI-2017 Lun ỏn c hon thnh ti: Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Ngi hng dn khoa hc: GS TS Nguyn Quc Thng Phn bin 1: Phn bin 2: Phn bin 3: Lun ỏn s c bo v trc hi ng chm Lun ỏn cp Vin hp ti Vin Toỏn hc - Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam vo hi gi ngy thỏng .nm 2017 Cú th tỡm lun ỏn ti: - Th vin Quc gia H ni - Th vin Vin Toỏn hc M u Mt nhng kt qu quan trng ca Lý thuyt S l nh lý Hasse-Minkowski, c phỏt biu nh sau: "Cho V l tt c cỏc chn trờn trng s hu t Q, f l mt dng ton phng n bin trờn Q Vi mi v V , Qv ký hiu cho trng y ca Q ti v Khi ú, f biu din khụng tm thng trờn Q v ch f biu din khụng tm thng a phng khp ni (trờn mi bao y Qv )" nh lý ny sau cú cỏc tờn gi khỏc l nguyờn lý Hasse mnh hay nguyờn lý a phng-ton cc mnh cho dng ton phng Nh mt h qu, ngi ta chng minh c rng, nu f, g l hai dng ton phng trờn Q, tng ng khp ni trờn mi bao y Qv thỡ chỳng cng tng ng trờn Q nh lý ny cũn c gi l nguyờn lý Hasse yu cho cỏc dng ton phng Nguyờn lý Hasse (mnh, yu) ó úng vai trũ thc s quan trng Lý thuyt S, c bit l lý thuyt s hc ca cỏc dng (ton phng, dng hecmit v phn hecmit) Chuyn sang ngụn ng hỡnh hc, nh lý Hasse-Minkovski núi rng mt siờu mt x nh xỏc nh bi mt dng ton phng hng cú im hu t trờn Q v ch nú cú im hu t trờn tt c cỏc bao y ca Q Núi cỏch khỏc, nguyờn lý Hasse (nguyờn lý a phng-ton cc) l ỳng cho cỏc siờu mt x nh bc hai trờn Q Mt cỏch tng quỏt, mt a i s X xỏc nh trờn mt trng ton cc k Ta núi rng nguyờn lý Hasse c tha cho X nu nh X(k) = v ch X(kv ) = vi mi chn v ca k Tng quỏt hn, cho i tng X xỏc nh trờn k v P l mt tớnh cht ca X Ta núi rng nguyờn lý a phng-ton cc c tha trờn X i vi tớnh cht P nu nh X cú tớnh cht P trờn k v ch X cú tớnh cht P trờn kv vi mi chn v ca k Khng nh tng t cho nhúm Brauer lý thuyt cỏc i s n tõm ó c chng minh bi Brauer-Hasse-Noether v tr thnh kt qu quan trng ca Lý thuyt S hin i Mt nhng lý ca tớnh hiu qu ca nguyờn lý a phng ton cc l trờn cỏc trng a phng, ta cú th s dng nhiu cụng c khỏc (i s, hỡnh hc, tụ pụ, gii tớch) nghiờn cu cỏc i tng ng thi, nhiu trng hp vic tỡm li gii cho bi toỏn trờn trng a phng thun li hn nhiu so vi vic tỡm li gii ca chỳng trờn trng ton cc Vỡ th vic nghiờn cu tớnh ỳng n ca nguyờn lý a phng-ton cc s hc ca cỏc a i s núi chung v nhúm i s núi riờng l rt quan trng Vic nghiờn cu cỏc m rng i s vụ hn ca trng a phng hay ton cc úng vai trũ quan trng Chng hn nh vic nghiờn cu m rng khụng r nhỏnh cc i ca mt trng a phng ó cho, hay m rng abel cc i ca mt trng ton cc ó cho ú l cỏc m rng i s vụ hn ca cỏc trng tng ng Núi chung, s hc ca cỏc m rng i s vụ hn ca cỏc trng a phng v ton cc cú nhng him (theo cỏch núi ca Tsfasman v Vladuts) v rt c quan tõm nghiờn cu Mt nhng nguyờn lý a phng-ton cc ni ting v l mt nhng kt qu quan trng Lý thuyt S l nh lý Hasse-Minkowski Vic nghiờn cu kt qu tng t ca nh lý Hasse-Minkowski cho dng ton phng trờn m rng cỏc i s vụ hn ca trng ton cc ó c cp n ln u cụng trỡnh ca K Koziol v M Kula Lun ỏn t mc tiờu kho sỏt mt s nguyờn lý a phng-ton cc liờn quan n tớnh cht phõn ró ca nhúm i s trờn trng ton cc, liờn quan n khụng gian thun nht x nh ca chỳng ng thi, lun ỏn cng t mc tiờu kho sỏt nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc dng (ton phng, hecmit, phn hecmit) xỏc nh trờn cỏc trng ton cc vụ hn Mt nhng tớnh cht quan trng ca nhúm i s G l tớnh cht phõn ró (hoc ta phõn ró) ca G T lõu, tớnh cht phõn ró ó c nh ngha cho nhúm i s tuyn tớnh gii c Sau ú, tớnh cht phõn ró v ta phõn ró c nh ngha cho nhúm liờn thụng reductive Trong lun ỏn ny, chỳng tụi a khỏi nim v tớnh cht phõn ró v ta phõn ró cho nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng bt kỡ, chỳng k tha v kt hp c cỏc khỏi nim v tớnh cht (ta-)phõn ró ca hai lp nhúm trờn Tớnh cht phõn ró v ta phõn ró ca nhúm i s th hin tớnh n gin nht cú th v mt cu trỳc ca chỳng Do ú, mt c t l kho sỏt cỏc tớnh cht ny thụng qua cỏch tip cn a phng-ton cc Vic nghiờn cu tớnh cht (ta-)phõn ró ca cỏc nhúm cng cú liờn quan mt thit vi vic nghiờn cu tớnh cht s hc v nguyờn lý Hasse ca mt s i tng hỡnh hc (c th õy l cỏc khụng gian thun nht ca nhúm i s) Trong lý thuyt nhúm i s, cỏc nhúm kinh in (nhúm t ng cu ca cỏc dng ton phng, hecmit, phn hecmit) úng vai trũ rt quan trng nghiờn cu s hc ca cỏc nhúm ú, thỡ vic nghiờn cu s hc ca cỏc dng tng ng l mt iu bt buc Ngi ta ó bit tng t ca nh lý Hasse-Minkovski cho cỏc dng hecmit hoc phn hecmit (nh lý Landherr, nh lý Kneser) Tip ni vic nghiờn cu v cỏc nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc nhúm i s, chỳng tụi nghiờn cu cỏc nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc dng xỏc nh trờn cỏc trng ton cc vụ hn Lun ỏn c chia lm chng Trong Chng 1, chỳng tụi nhc li mt s kin thc c bn ó bit s c s dng lun ỏn nh: Dng ton phng, dng hecmit trờn trng a phng v trng ton cc, cỏc kt qu kinh in v cỏc nguyờn lý a phng-ton cc, kin thc c s v nhúm i s trờn mt trng v s phõn loi nhúm n Cỏc kt qu mi ca chỳng tụi c trỡnh by cỏc Chng 2, Chng v Chng Trong Chng chỳng tụi chng minh cỏc nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s cho cỏc trng hp riờng: xuyn i s, nhúm gii c, nhúm reductive V sau ú chỳng tụi chng minh kt qu tng quỏt l nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró, tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng xỏc nh trờn mt trng ton cc k C th, chỳng tụi ó chng minh c: nh lý 2.3.1 Cho k l trng hm ton cc, G l mt nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng xỏc nh trờn k Khi ú G phõn ró trờn k nu v ch nu G phõn ró trờn kv , vi mi v V nh lý 2.4.1 Cho k l trng ton cc, G l nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng xỏc nh trờn k Nu G l ta phõn ró trờn kv vi mi v thỡ G l ta phõn ró trờn k Chng nghiờn cu v nguyờn lý Hasse mnh cho khụng gian thun nht ca nhúm reductive liờn thụng trờn trng ton cc v mt s ng dng; nguyờn lý Hasse cho tớnh cht nõng lp i ng iu Mt kt qu chớnh ca chng l nh lý sau õy nh lý 3.1.4 Cho X l mt khụng gian thun nht x nh ca mt nhúm na n G, X v G cựng xỏc nh cựng xỏc nh trờn mt trng hm ton cc k Khi ú nguyờn lý Hasse l ỳng cho X Trong Chng chỳng tụi m rng vic nghiờn cu nguyờn lý Hasse kinh in cho trng hp cỏc m rng i s tựy ý ca cỏc trng ton cc v thit lp mt s nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc dng hecmit kiu A, kiu C, cỏc dng phn hecmit kiu D trờn cỏc trng ú Chng hn kt qu cho cỏc dng kiu A l nh lý sau nh lý 4.4.1 (Nguyờn lý Hasse mnh) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, Vk l tt c cỏc chn ca k Gi h l dng hecmit khụng suy bin ng vi phộp i hp J loi hai trờn mt i s chia c D tõm K = k( a), k = K J Khi ú, h biu din trờn k nu v ch nu nú biu din a phng khp ni Chng Mt s kin thc chun b Trong Chng ny chỳng tụi nhc li mt s kin thc c s v mt s kt qu ó bit cn s dng lun ỏn Mc 1.1 nhc li mt s khỏi nim tng quỏt v dng ton phng Mc 1.2 trỡnh by li s phõn loi cỏc dng ton phng trờn trng a phng v trng ton cc, ú cú nh lý Hasse-Minkowski v nh lý a phng-ton cc dng yu Mc 1.3 v 1.4 chỳng tụi nờu li mt s khỏi nim v phộp i hp, i s n tõm, i s quaternion v dng (phn-)hecmit trờn mt th D tõm K ng vi phộp i hp J; nhng kt qu v s phõn loi a phng v ton cc cho dng hecmit kiu A, C, cho dng phn hecmit kiu D Mc 1.5 v 1.6 chỳng tụi trỡnh by li mt s khỏi nim tt v nhúm i s trờn mt trng, mt s khỏi nim v ch dn ca Tits v mt s khỏi nim liờn quan Mc 1.7 trỡnh by mt s kớ hiu v kt qu v i ng iu Galois Chng Mt s tớnh cht phõn ró v nguyờn lý a phng-ton cc Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by nhng nghiờn cu v nguyờn lý a phngton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc Nghiờn cu c bt u t nhng trng hp c bit l: nhúm tuyn tớnh liờn thụng gii c (xuyn i s, nhúm ly n); nhúm ly n liờn thụng; tng quỏt n tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng v m rng hn n tớnh cht ta phõn ró Trong c chng ny ta luụn ký hiu k l mt trng ton cc, V = Vk l cỏc chn ca k 2.1 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm gii c Lp nhúm u tiờn ta xột l nhúm gii c Theo kt qu ca Conrad, vi mt k-nhúm liờn thụng gii c G, tn ti nht mt nhúm chun tc liờn thụng cc i phõn ró trờn k Nu kớ hiu nhúm ny l Gsplit thỡ G l phõn ró trờn k nu v ch nu G = Gsplit Chỳng tụi cú kt qu sau nh lý 2.1.1 Cho k l mt trng ton cc v G l mt k-nhúm liờn thụng gii c Khi ú G l phõn ró trờn k nu v ch nu G phõn ró trờn kv vi mi v V Chng minh nh lý ny dựng mt s kt qu ca Tits, Conrad, Oesterlộ 2.2 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm reductive Chỳng ta cú nguyờn lý a phng-ton cc sau õy cho tớnh phõn ró ca nhúm liờn thụng reductive nh lý 2.2.1 Cho k l trng ton cc, G l k-nhúm reductive liờn thụng Khi ú G l phõn ró trờn k nu v ch nu G cng phõn ró trờn kv , vi mi v V Chng minh c a õy s dng mt s tớnh cht v s hc v i ng iu ca trng ton cc Ta a v cỏc trng hp xuyn (ó cú mc 2,1) v nhúm hu n tuyt i (xột riờng tng trng hp bng cỏch s dng s Dynkin ca G theo kớ hiu v phõn loi ca Tits) Trong chng minh cn s dng n cỏc kt qu ca Harder v b sau B 2.2.5 Cho k l mt trng s, G l mt k-nhúm hu n dng c bit E6 , E7 , E8 Nu G l phõn ró trờn kv vi mi v thỡ G l nhúm ng hng trờn k 2.3 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng Cho G l mt nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng xỏc nh trờn mt trng ton cc k Ta núi rng G c l phõn ró trờn k (hay k-phõn ró), nu cn ly n Ru (G) xỏc nh v phõn ró trờn k v nhúm reductive G/Ru (G) xỏc nh v phõn ró trờn k Khỏi nim v s phõn ró ca G m chỳng tụi a ra, c kt hp t khỏi nim phõn ró ca nhúm gii c v nhúm reductive Vi nh ngha ú, nguyờn lý Hasse cho tớnh cht phõn ró cng c tha trờn lp nhúm ny nh lý 2.3.1 Cho k l mt trng ton cc v G l mt k-nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng Gi s G phõn ró trờn kv vi mi chn v ca k Khi ú G cng phõn ró trờn k 2.4 Nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng Tip ni vic nghiờn cu nguyờn lý a phng - ton cc cho tớnh phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng, chỳng tụi kho sỏt nguyờn lý a phng - ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng Nhc li rng, mt k-nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng G l ta phõn ró trờn k nu Ru (G) xỏc nh trờn k v nhúm reductive G/Ru (G) cú mt nhúm Borel xỏc nh trờn k Mt cõu hi t nhiờn c t ra: Vi nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng G l ta phõn ró trờn kv vi mi v, liu rng G cú ta phõn ró trờn k? Chỳng tụi cú cõu tr li nh lý sau õy nh lý 2.4.1 Cho k l trng ton cc, G l nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng xỏc nh trờn k Nu G l ta phõn ró trờn kv vi mi v thỡ G l ta phõn ró trờn k chng minh nh lý ny, chỳng tụi a v chng minh cho trng hp G l knhúm hu n tuyt i v s dng cỏc kt qu ca J.Tits (1966), G.Harder (1967) v N.Q.Thng (2008) Chng Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht trờn trng ton cc 3.1 Nguyờn lý Hasse cho khụng gian thun nht x nh Chng minh th nht Trong mc ny chỳng tụi chng minh kt qu sau õy nh lý 3.1.4 Cho X l mt khụng gian thun nht x nh ca mt nhúm na n G, X v G cựng xỏc nh trờn mt trng hm ton cc k Khi ú nguyờn lý Hasse c tha trờn X Kt hp mt nh lý ca Harder vi nh lý 3.1.3 trờn ta c kt qu sau nh lý 3.1.5 Cho k l mt trng ton cc, G l mt nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng, gi s G l reductive nu char.k > v X l mt khụng gian thun nht x nh ca G Khi ú nguyờn lý Hasse c tha trờn X Chng minh ca nh lý 3.1.5 c a v chng minh kt qu sau Mnh 3.1.6 Cho G l mt nhúm hu n xỏc nh trờn mt trng ton cc k Nu G cú mt kv -nhúm parabolic Pv kiu = i1 is vi mi chn v ca k, thỡ G cng cú mt k-nhúm parabolic P kiu = i1 is Chỳ ý (1) Chng minh ca nh lý 3.1.5 trờn cho trng hp trng s l mt chng minh mi ca kt qu c in ca Harder (2) nh lý 3.1.5 ó c chng minh bi Colliot-Thộlốne, Gille v Parimala cho nhng trng k cú kiu hỡnh hc 3.2 Chng minh th hai ca nh lý 3.1.5 Trong mc ny chỳng tụi a mt chng minh khỏc cho nh lý 3.1.4, cho trng ton cc vi c s bt k (khụng s dng phõn loi ca Tits) Nú da trờn cỏc kt qu v lut thun nghch i vi i ng iu bc mt H1 v lý thuyt ca Kottwitz (1984, 1986) Trc ht, chỳng ta nhc li v lut thun nghch Kớ hiu Br(.) l nhúm Brauer ca (.) nh lý ni ting Albert - Hasse - Brauer - Noether núi rng cú dóy khp invv j Br(k) Br(kv ) Q/Z 0, v ú invv ký hiu ỏnh x bt bin Hasse vi mi v Tớnh khp ti Br(k) (tc l tớnh n ỏnh ca j) ó c bit nh nguyờn lý Hasse i vi cỏc nhúm Brauer V tớnh khp ti v Br(kv ) c bit n nh "lut thun nghch" i vi i s n tõm trờn k Ta cng cú th vit dóy khp trờn thnh H2f lat (k, Gm ) H2f lat (kv , Gm ) Q/Z v Mt cõu hi c t l cú hay khụng lut thun nghch cho Hn i vi nhúm i s tuyn tớnh xỏc nh trờn trng ton cc Chớnh xỏc hn cõu hi c t l, nu G l mt nhúm i s tuyn tớnh giao hoỏn xỏc nh trờn mt trng ton cc k, vi s nguyờn n cho trc, cú tn ti hay khụng mt dóy khp cỏc nhúm giao hoỏn Xn (G) Hnflat (k, G) v Hnflat (kv , G) AG , vi AG l mt nhúm giao hoỏn ph thuc hm t vo G Trong trng hp G khụng giao hoỏn, cõu hi t l cú tn ti hay khụng mt dóy khp cỏc im X1 (G) Hnflat (k, G) v Hnflat (kv , G) AG , vi im AG ph thuc hm t vo G Kottwitz ó a cõu tr li cho cõu hi trờn C th, vi mi nhúm liờn thụng reductive G xỏc nh trờn mt trng a phng hoc trng ton cc, Kottwitz ó a mt nhúm, c ký hiu A(G) v ụng ó thit lp lut thun nghch 10 cho H1f lat (k, G) tng ng vi A(G) trng hp trng s (1986), (v trng hp trng hm ton cc kt qu ny c thit lp bi N.Q.Thng (2011)), v ng thi cỏc tỏc gi cng chng minh rng ta cú ng cu chớnh tc A(G) = P ic(G)D = Hom(P ic(G), Q/Z), (nhúm i ngu theo Pontragin ca P ic(G)) Chng minh th hai ca nh lý 3.1.4 c a v chng minh mnh tng ng sau q nhúm ph hp na n ta phõn ró xỏc nh trờn k, P Mnh 3.2.1 Cho G q Gi s mt phn t x H1 (k, G q ) cú a l mt k-nhúm parabolic ca G f lat phng húa ti v thuc vo nh ca ỏnh x t nhiờn q) H1f lat (kv , P ) H1f lat (kv , G q ) vi mi v V Khi ú x thuc vo nh ca H1f lat (k, P ) H1f lat (k, G chng minh Mnh 3.2.1, ta s dng cỏc b sau B 3.2.2 Cho G l mt nhúm na n xỏc nh trờn k, S l mt k-xuyn phõn ró Khi ú (1) Nu P l mt k-nhúm parabolic ca G vi mt k-nhúm Levi ZG (S), thỡ H1f lat (k, P ) H1f lat (k, G) l n ỏnh (2) Nu k l mt trng ton cc v G tha nguyờn lý Hasse v i ng iu, thỡ P v ZG (S) cng vy B 3.2.3 Cho G l mt k-nhúm na n, P l mt k-nhúm parabolic ca G, P = M.Ru (P ) l mt phõn tớch Levi ca P xỏc nh trờn k Khi ú cỏc ỏnh x t nhiờn M P , P G v M G cm sinh cỏc n ỏnh A(M ) A(P ), A(P ) A(G) v A(M ) A(G) B 3.2.4 (R.E Kottwit (1986), N.Q.Thang(2011) Cho k l mt trng ton cc, G l mt nhúm liờn thụng reductive xỏc nh trờn k Khi ú tn ti mt dóy khp X1 (G) H1f lat (k, G) v H1f lat (kv , G) G A(G), cú tớnh hm t G 3.3 Mt s ỏp dng ca nh lý 3.1.5 Tip theo l mt s ỏp dng ca nguyờn lý a phng-ton cc liờn quan n hng tng i (chiu ca xuyn phõn ró cc i) ca mt nhúm liờn thụng reductive G xỏc nh trờn trng ton cc k 11 Gi T l mt k-xuyn cc i ca G, Ts l mt xuyn cc i k-phõn ró ca T , ú T = Ta Ts l tớch hu trc tip ca mt k-xuyn khụng ng hng Ta ca T vi Ts t s := dim(Ts ), a := dim(Ta ) v r := rankk (G) l k-hng ca G, ú n := s + a = dim(T ) l hng ca G v ta núi rng T cú dng (a, s) Rừ rng l r s Vi mi chn v ca k, ký hiu rv := rankkv (G) thỡ ta cú rv r vi mi v Ta cú nhng cõu hi liờn quan n rv : (a) Liu rng vi s nguyờn khụng õm c v vi mi v, ta cú rv = c, cú suy c r = c? (b) Nu cú rv > vi mi v cú suy r > 0? (c) Nu k l mt trng ton cc v nu G cú kv -xuyn cc i dng (a, s) ti mi chn v ca k, G cú k-xuyn cc i dng (a, s)? (d) Cú th xy ng thc minv rv = r khụng? Chỳ ý 3.3.1 Cú th núi rng nhng cõu hi ny liờn quan mt thit n nhng kt qu mc trc Chng hn, nu G cú mt xuyn cc i T dng (0, n) trờn trng k, thỡ G phõn ró trờn k Do ú ta cú cõu tr li khng nh trng hp ny nh lý 3.3.2 Cho k l mt trng ton cc, G l mt k-nhúm hu n tuyt i, c l mt s nguyờn khụng õm (i) Nu rv = c vi mi v, thỡ r = c (ii) Cho G cú s Dynkin khỏc vi An , hoc E6 (v k l mt trng s thc) Vi mi chn v ca k, ký hiu rv := rankkv (G) Nu rv > vi mi v thỡ r > (iii) Tn ti trng ton cc k v nhng k-nhúm hu n dng An hoc E6 m khụng tha nguyờn lý a phng-ton cc i vi tớnh ng hng trờn k 3.4 Nguyờn lý Hasse cho cỏc khụng gian thun nht chớnh Xột mt cu x G H gia cỏc k-nhúm i s Khi ú ta cú ỏnh x H1 (k, G) H1 (k, H) Ta núi mt lp ng cu ca khụng gian thun nht [P ] H1 (k, H) c nõng lờn thnh lp ng cu ca khụng gian thun nht [Q] H1 (k, G) nu [P ] = ([Q]) Khi ú ta cũn núi lp i ng iu [P ] H1 (k, H) c nõng lờn ti H1 (k, G) Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by kt qu v nguyờn lý a phng- ton cc cho tớnh cht nõng cỏc khụng gian thun nht chớnh Ta kớ hiu Hiab l nhúm i ng iu aben bc i ca G 12 nh ngha 3.4.1 Nu vi mi nhúm G liờn thụng reductive ta u cú l ton ỏnh, thỡ k c gi (theo C.D Gonzỏlez-Avilộs) l trng (kiu) Douai Chỳ ý 3.4.2 Tt c cỏc trng a phng v trng ton cc u l trng kiu Douai nh lý 3.4.3 Cho k l mt trng kiu Douai cú chiu i ng iu Galois tha H1f lat (k, H) = vi mi k-nhúm n liờn na n liờn thụng H Gi s G1 G2 G3 l mt dóy khp cỏc k-nhúm liờn thụng reductive Khi ú mt lp i ng iu p H1f lat (k, G3 ) cú th nõng lờn ti H1f lat (k, G2 ) nu v ch nu ab1G3 (p) H1ab (k, G3 ) cú th nõng lờn ti H1ab (k, G2 ) c bit, ỏnh x H1f lat (k, G2 ) H1f lat (k, G3 ) l ton ỏnh nu v ch nu ỏnh x H1ab (k, G2 )) H1ab (k, G3 )) l ton ỏnh H qu 3.4.4 Vi gi thit nh nh lý trờn, nu ta gi s thờm rng 1 H2f lat (k, Gtor ) = thỡ ỏnh x Hf lat (k, G2 ) Hf lat (k, G3 ) l ton ỏnh nh lý sau õy l nguyờn lý a phng- ton cc cho tớnh cht nõng cỏc lp i ng iu, v õy l mt m rng ca kt qu ca Borovoi (1993) cho trng s sang trng hp trng hm ton cc nh lý 3.4.5 Cho k l mt trng hm ton cc, V l tt c cỏc chn ca k Gi s G1 G2 G3 l mt dóy khp cỏc k-nhúm liờn thụng reductive Gi s rng X2 (Gtor ) = Khi ú mi lp i ng iu p Hf lat (k, G3 ) nõng a phng khp ni (tc l c nõng ti mt lp thuc H1f lat (kv , G2 )) vi mi v V , cng c nõng ton cc T ú ta cú h qu sau õy H qu 3.4.6 Cho k l mt trng hm ton cc, V l tt c cỏc chn ca k Gi s G1 G2 G3 l mt dóy khp cỏc k-nhúm liờn thụng reductive Gi s dim(Gtor ) 1) Khi ú mi lp i ng iu p Hf lat (k, G3 ) nõng a phng khp ni (tc l c nõng ti mt lp thuc H1f lat (kv , G2 )) vi mi v V , cng c nõng ton cc 13 Chng Nguyờn lý Hasse trờn trng ton cc vụ hn cho cỏc dng Mc tiờu ca chng ny l nghiờn cu nguyờn lý Hasse (kinh in) trờn cỏc m rng i s vụ hn ca trng ton cc C th chỳng ta s m rng mt s nguyờn lý Hasse kinh in cho trng hp m rng i s vụ hn ca trng ton cc Ta cn chỳ ý rng cỏc kt qu s hc nhn c cú th rt khỏc ph thuc vo trng m ta xem xột Chng hn, nu k l bao úng i s ca mt trng ton cc thỡ phn ln cỏc kt qu v nguyờn lý a phng- ton cc l hin nhiờn Chỳ ý rng, mi quan h ton cc cỏc bao y bi toỏn kinh in õy c thay bi mi quan h ton cc cỏc a phng húa õy, vi mt chn v ca mt m rng i s vụ hn k ca mt trng ton cc L, trng a phng húa tng ng vi v l mt trng k(v) cha bao y kv ca k ti v (xem nh ngha di) phõn bit hai cỏch tip cn, nguyờn lý th hin mi quan h ton cc cỏc bao y c gi l nguyờn lý Hasse kinh in, cũn nguyờn lý th hin qua mi quan h ton cc cỏc a phng húa ta s gi n gin l nguyờn lý Hasse Kt qu chớnh ca chng ny l thit lp mt s nguyờn lý a phng-ton cc cho cỏc dng hecmit (phn hecmit) trờn cỏc m rng i s vụ hn ca trng ton cc 4.1 Dng ton phng trờn trng a phng húa v ton cc vụ hn Trng a phng húa Cho F l mt trng ton cc Ta gi mt m rng i s vụ hn k ca F l mt 14 trng ton cc vụ hn Vi cp k, F nh vy, cho v l mt nh giỏ ca k v kv l trng y ca k ti v Cú khỏ nhiu kt qu v s hc ca trng ton cc khụng cũn ỳng trờn cỏc m rng i s vụ hn Mt nhng tr ngi chớnh l vi m rng hu hn L ca F cha k, vi mt chn w trờn trng L cú th cú vụ hn m rng ti k Cỏc hn ch ca v lờn cỏc m rng trung gian hu hn L ca F (F L k) sinh cỏc bao y Lv cha bao y kv v ký hiu C l tt c cỏc Lv nh vy Ta núi rng (theo Neukirch) mt trng k gi l mt a phng húa ca k ti v, nu k l gii hn thun ca tt c cỏc m rng thuc C v ký hiu nú bi k(v) Ta gi cỏc trng nh vy l cỏc trng a phng húa Ta cú th mụ t k(v) b sau B 4.1.1 t k = n Ln , l hp ca mt dóy tng nhng m rng hu hn ca F, tt c u cha k F = L0 L1 ã ã ã Ln ã ã ã k, v v l mt chn ca k C nh mt phộp nhỳng k kv v t = v|Ln l hn ch ca v n Ln Khi ú k(v) l hp ca mt dóy tng cỏc m rng hu hn trờn Fv Fv = L0,v0 L1,v1 ã ã ã Ln,vn ã ã ã kv c bit, nu v l chn thc (tng ng phc), thỡ k(v) = kv R (tng ng k(v) = kv C) Phõn loi a phng ca cỏc dng ton phng trờn cỏc trng a phng (vụ hn) hoc ta hu hn Cho k l mt m rng i s vụ hn ca mt trng hu hn (hoc a phng) F cú c s khỏc 2, f l mt dng ton phng chớnh quy trờn k vi chiu n (tc l s bin l n) Da vo kt qu ó bit ca Springer, chỳng tụi cú kt qu sau õy nh lý 4.1.4 (a) Cho F l m rng i s trờn mt trng hu hn cú c s khỏc Khi ú, mi dng ton phng cú hng n u l ng hng trờn F Vỡ vy, hai dng ton phng trờn F l tng ng trờn F nu chỳng cú cựng chiu v cựng nh thc (b) Cho k l mt trng a phng húa ng vi mt nh giỏ phi Acsimet ca mt trng ton cc vụ hn, l trng thng d ca k cú c s = Khi ú mi dng ton phng cú hng n u l ng hng trờn k 15 4.2 nh lý Hasse v chun v nh lý Hasse-Brauer-Noether Cho k l mt trng ton cc vụ hn, Vk l tt c cỏc chn ca k õy chỳng tụi kho sỏt hai nguyờn lý a phng-ton cc kinh in ca Lý thuyt S trờn cỏc trng ton cc, gi l nh lý Hasse v chun v nh lý Brauer-Hasse-Noether Chỳng ta cú m rng sau õy ca nh lý Hasse v chun (cho dng ton phng) Mnh 4.2.1 Cho k l mt trng ton cc vụ hn (1) t K = k( a) l mt m rng bc hai ca k Khi ú mt phn t b k l chun ca mt phn t thuc K nu v ch nu a phng khp ni b cng vy (2) Cho D = (a, b/k) l mt i s quaternion trờn k Khi ú D l tm thng nu v ch nu nú l tm thng a phng khp ni nh lý Brauer-Hasse-Noether l mt nhng kt qu ni ting ca lý thuyt trng lp ton cc Mt cỏc phỏt biu nh sau nh lý 4.2.5 Cho k l mt trng ton cc (1) Nu A l mt i s n tõm chiu n trờn tõm k ca nú thỡ vi hu ht chn v Vk , Av l tm thng, tc l Av Mn (kv ) (2) Ta cú dóy khp sau Br(k) v Br(kv ) Q/Z õy chỳng tụi s chng minh mt phn m rng ca nh lý ny cho trng hp trng ton cc vụ hn Chỳng tụi chng minh nh lý bng cỏch ỏp dng B ca Kăonig nh lý 4.2.6 (Nguyờn lý Hasse cho nhúm Brauer) Cho k l mt trng ton cc vụ hn Khi ú ng cu chớnh tc Br(k) v Br(k(v)) l n ỏnh Tip theo ta xột cỏc i s n tõm vi phộp i hp trờn cỏc trng a phng hoc ton cc vụ hn T cỏc kt qu ó chng minh ta suy kt qu sau Mnh 4.2.8 Cho k l mt trng a phng hoc ton cc vụ hn Nu A l mt k-i s n tõm vi phộp i hp khụng tm thng loi thỡ hoc l A vi D l mt i s quaternion chia c, hoc A l tm thng trờn k Nhn xột 4.2.9 16 Mn (D), (1) S rt thỳ v nu cỏc kt qu tng t cho i s n tõm trờn cỏc trng a phng v ton cc ỳng trờn cỏc trng a phng v ton cc vụ hn Tuy nhiờn, cú nhng kt qu khụng cũn ỳng, v cú l cn cú mt nghiờn cu h thng v ny (2) Nu char.k > 0, v vi mt trng ton cc L k m m rng k/L l thun tỳy khụng tỏch thỡ ta bit rng mi chn v VL cú nht mt m rng ti k, vy mi k-i s n tõm l tm thng tr mt s hu hn cỏc chn Tuy vy, ta cú kt qu sau Mnh 4.2.10 Khụng phi mi i s n tõm trờn mt trng ton cc vụ hn l hu ht tm thng a phng khp ni (trờn k(v)) (ngha l tm thng tr mt s hu hn chn) 4.3 Lý thuyt a phng ca cỏc dng hecmit v phn hecmit Gi K l mt trng hensel vi nh giỏ ri rc v, R vnh nguyờn ca K (i vi v) vi phn t n tr húa , ideal cc i p = () v trng thng d F := R/p Gi V l mt khụng gian vect trỏi hu hn chiu trờn mt i s chia c D tõm K v h l mt dng hecmit i vi phộp i hp J ca D t D := {x D | xJ = x} Ta ký hiu v l m rng (duy nht) ca nh giỏ v ti D, v ký hiu RD (tng := RD /pD l i ng pD ) l vnh nguyờn (tng ng iờan cc i) ca D Gi D s thng d tng ng Cho f l mt dng (phn-) hecmit khụng suy bin i vi phộp i hp J trờn D t K0 l cỏc phn t J-c nh ca K Vi mi phn t J-i xng (tng ng J-phn i xng) d D , ta t Jd : x dxJ d1 Khi ú Jd cng l mt phộp i hp trờn D Nu J l loi mt (hoc tng ng loi hai), thỡ K = K0 (tng ng K/K0 l mt m rng bc hai tỏch c) v J cm sinh Ta cú hai trng hp ngoi l: mt phộp i hp J trờn D 1) K/K0 l mt m rng bc hai r nhỏnh, J l phộp i hp loi hai v D = K; 2) D = (a, /K) l mt i s quaternion, a l n v, K = K0 , J l phộp i hp loi mt v dim(D+ ) = Sau õy chỳng tụi trỡnh by s phõn loi cho cỏc dng trờn cỏc trng a phng húa 17 I Lý thuyt a phng cho cỏc dng kiu A Chỳng tụi bt u vi nh lý phõn loi cho cỏc dng kiu A trờn cỏc trng a phng, m rng kt qu M Kneser ti trng hp cỏc m rng vụ hn ca cỏc trng a phng, chỳng tụi cú kt qu sau nh lý 4.3.4 Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet vi trng thng d cú c s khỏc 2, D l mt k-i s chia c tõm K v phộp i hp J loi hai khụng tm thng trờn K (k = K J ) v h l mt dng hecmit khụng suy bin hng n ng vi phộp i hp J v giỏ tr D Khi ú D = K, vỡ vy h l tng ng Morita vi mt dng ton phng chiu 2n trờn k H qu 4.3.5 Vi gi thit nh nh lý 4.3.4, mi dng hecmit h chiu n l ng hng trờn k II Lý thuyt a phng cho cỏc dng kiu C Cho D l mt i s chia c tõm k, f l mt dng J-hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D, ú J l phộp i hp loi mt ca D gi s rng J cú kiu i xng, tc l khụng gian D+ cỏc phn t J-i xng ca D cú chiu d(d 1)/2, vi d = deg(D) Bõy gi ta gi s k l mt trng a phng húa phi Acsimet ca mt trng ton cc vụ hn vi trng thng d cú c s khỏc Cho f l mt dng hecmit khụng suy bin cú chiu n nhn giỏ tr mt i s chia c xỏc nh trờn k Khi ú, ta bit rng f, D, c xỏc nh trờn mt trng a phng phi Acsimet (hu hn) L Ký hiu d l nh thc ca f , tc l nh k /k ca nh thc ca ma trn biu din f Chỳng ta cú kt qu sau Mnh 4.3.6 Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet ca mt trng ton cc vụ hn vi trng thng d cú c s khỏc 2, f l mt dng hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr mt i s quaternion chia c D vi phộp i hp chun J trờn k Khi ú, nu dim(f ) 2, thỡ f l ng hng III Lý thuyt a phng cho cỏc dng kiu D Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet ca mt trng ton cc vụ hn vi trng thng d cú c s khỏc D l mt i s chia c tõm L, f l mt dng phn hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D ng vi phộp i hp loi mt J ca D Gi s rng J l dng trc giao, (tc l khụng gian D+ cỏc phn t Ji xng ca D cú chiu d(d 1)/2, vi d = deg(D)) Vỡ D cú phộp i hp loi 18 mt, v cú cp nhúm Brauer Br(k), nờn ch s ca D trựng vi cp ca nú (theo Mnh 4.2), vy D l mt i s quaternion trờn k Gi s rng J l phộp i hp chun ca D Khi ú ta cú cỏc kt qu sau õy tng t kt qu ca Tsukamoto nh lý 4.3.7 Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet vi trng thng d cú c s khỏc 2, h l mt dng phn hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr mt i s quaternion chia c D = (a, b/k) vi phộp i hp chun J trờn k Khi ú nu dim(h) 4, thỡ h l ng hng nh lý 4.3.8 Cho k l mt trng a phng húa phi Acsimet cú c s khỏc 2, D l mt i s quaternion chia c vi phộp i hp chun J trờn k, h l mt dng phn hecmit khụng suy bin chiu n nhn giỏ tr D ng vi J Gi s thờm rng trng thng d cú c s khỏc Khi ú ta cú cỏc khng nh sau (1) Vi mi d k , d 1(mod.k ) luụn tn ti mt dng phn hecmit cú nh thc l d Nu n = dim(h) > 1, vi mi d k cú mt dng chiu n cú nh thc d k (2) Nu n = 1, lp ng c ca h c xỏc nh bi nh thc det(h) Nu n = 2, h l ng hng nu v ch nu det(h) = 1(mod.k ) (3) Cỏc dng phn hecmit khụng suy bin l ng c nu v ch nu chỳng cú cựng chiu v cựng nh thc (4) Nu n = 3, h l khụng ng hng nu v ch nu det(h) = 1(mod.k ) 4.4 Nguyờn lý Hasse v phõn loi ton cc Trong mc ny chỳng tụi chng minh mt s nguyờn lý Hasse mnh cho cỏc dng trờn trng ton cc vụ hn Dng kiu A nh lý 4.4.1 (Nguyờn lý Hasse mnh) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, Vk l tt c cỏc chn ca k Gi h l dng hecmit khụng suy bin ng vi phộp i hp J loi hai trờn mt i s chia c D tõm K = k( a), k = K J Khi ú, h biu din trờn k nu v ch nu nú biu din a phng khp ni Chng minh nh lý da vo kt qu sau õy B 4.4.2 Cho k l mt trng ton cc cú c s khỏc 2, D l mt i s chia 19 c tõm K = k( a) v mt phộp i hp J loi 2, ú k = K J Cho h l dng J-(phn) hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D Nu dim(h) 3, thỡ tn ti mt hu hn S nhng chn ca k, cho h l ng hng trờn kv vi mi v S Dng kiu C Mnh 4.4.3 (Nguyờn lý Hasse mnh) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, D l mt i s chia c trờn k ng vi phộp i hp J loi Gi s f l mt dng hecmit kiu Ckhụng suy bin chiu n nhn giỏ tr D Nu f biu din a phng khp ni thỡ f cng biu din trờn k Cỏc dng kiu D Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin cú kiu D nhn giỏ tr mt i s chia c D Ta bit rng D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J Trờn cỏc trng ton cc, Kneser ó chng minh nguyờn lý Hasse mnh cho dng h vi s chiu Ta cú kt qu tng t nh nh lý trờn k l trng ton cc vụ hn nh lý 4.4.4 (Nguyờn lý Hasse mnh cho dng phn hecmit) Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J, h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin cú kiu D nhn giỏ tr D Khi ú, nu dim(h) thỡ h tha nguyờn lý Hasse mnh Cú hai chng minh c in ca nh lý ca Kneser trng hp trng ton cc (hu hn), mt chng minh Kneser v chng minh khỏc Springer a C hai chng minh ny u di v phc Theo nh ngha v tớnh cht a phng-ton cc mi, chỳng tụi a chng minh th nht bng cỏch s dng cỏc lp lun ó cú trng hp cỏc dng ton phng v mt s lp lun ó c s dng chng minh ca Springer Chng minh th hai cú th lm gn nh chng minh ó c a bi Kneser Chng minh th nht da vo b sau B 4.4.5 Gi s k l mt trng ton cc cú c s khỏc 2, D l mt i s quaternion chia c tõm k v phộp i hp chun J Cho h l mt dng J-phn hecmit khụng suy bin nhn giỏ tr D Nu dim(h) 3, thỡ tn ti hu hn S cỏc chn ca k, h l ng hng trờn kv vi mi v S 20 4.5 Nguyờn lý Hasse yu Cng ging nh trng hp trng ton cc, nguyờn lý Hasse yu cũn ỳng cho cỏc dng hecmit kiu A v C trờn trng ton cc vụ hn, c th ta cú kt qu sau õy: nh lý 4.5.1 Cho k l mt trng ton cc vụ hn cú c s khỏc 2, Vk l cỏc chn ca k v cho g, h hecmit khụng suy bin chiu n v cú cựng kiu khỏc vi kiu B, D trờn mt i s chia c D ng vi phộp i hp J (tõm K, k = K J , nu cỏc dng cú kiu A) Khi ú g v h tng ng trờn k nu v ch nu chỳng tng ng a phng khp ni Ta bit rng trng hp n = 2, nguyờn lý Hasse mnh (v yu) cú th khụng ỳng cho cỏc dng phn hecmit trờn cỏc trng ton cc C th l, nu D l mt i s quaternion chia c trờn trng ton cc k, J l phộp i hp chun v D khụng phõn ró ti ỳng s chn ca k, thỡ vi mi phn t J-chộo (phn xng) D , tn ti ỳng 2s2 phn t k /k cho xJ x y J y biu din trờn kv a phng khp ni, nhng khụng biu din trờn k Tng t, nguyờn lý Hasse mnh (hoc yu) cng cú th khụng ỳng cho dng phn hecmit kiu D trng hp trng ton cc vụ hn C th l ta cú mnh sau Mnh 4.5.2 (1) Tn ti mt trng ton cc vụ hn k cú c s khỏc 2, mt i s quaternion chia c D = (a, b/k) vi phộp i hp chun J trờn k cho D c xỏc nh trờn mt trng ton cc L (tc l, a, b L), ú D Kv khụng tm thng ti s (s 4) chn v ca K vi mi m rng hu hn L K k (2) Vi mi trng k v i s quaternion chia c D nh vy, vi mi s t nhiờn n, tn ti cỏc cỏc dng phn hecmit g v h chiu n nhn giỏ tr D ng vi J, cho g v h ng cu a phng khp ni trờn k(v) nhng khụng ng cu trờn k 21 KT LUN CA LUN N Lun ỏn nghiờn cu nguyờn lý Hasse cho nhúm i s v cỏc dng ton phng, hecmit v phn hecmit trờn trng ton cc v cỏc m rng i s vụ hn ca chỳng Cỏc kt qu chớnh l: - Chng minh nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc - Chng minh nguyờn lý a phng-ton cc cho tớnh cht ta phõn ró ca nhúm i s tuyn tớnh liờn thụng trờn trng ton cc - Chng minh nguyờn lý Hasse mnh cho khụng gian thun nht ca nhúm reductive liờn thụng trờn trng hm ton cc, (m rng mt kt qu ó bit ca Harder) - Chng minh nguyờn lý Hasse cho tớnh ng hng cho mt lp rng cỏc nhúm hu n v a phn vớ d cho lp nhúm hu n cũn li - Chng minh mt s nguyờn lý Hasse mnh (theo ngha mi) cho cỏc dng (phn) hecmit trờn trng ton cc vụ hn c s khỏc v a phn vớ d i vi mt s dng hecmit 22 CC CễNG TRèNH LIấN QUAN N LUN N N.T Ngoan and N Q Thang(2014), On some Hasse principle for algebraic groups over global fields, Proc Jap Acad Ser A, v 90, No.5 (2014), 73 - 78 N.T Ngoan and N Q Thang(2014), On some Hasse principle for algebraic groups over global fields, II, Proc Jap Acad Ser A, v 90, No.8 (2014), 107 112 N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principle for Homogeneous Space of Algebraic Groups over Global Fields of Positive Characteristic, Proc of the Steklov Ins Math, v 292, 171-184 N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principles for algebraic groups over global fields, preprint N.T Ngoan and N Q Thang(2016), On some Hasse principle for algebraic groups over infinite algebraic extensions of global fields, preprint Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo v tho lun ti: - Hi ngh i s-Tụ pụ-Hỡnh hc Ton quc thỏng 12/2014 - Hi ngh khoa hc cỏc th h nghiờn cu sinh Vin Toỏn hc thỏng 10/2015 - Xờ mi na liờn phũng i s Lý thuyt S ti Vin Toỏn hc - Cỏc hi ngh ỏnh giỏ Nghiờn cu sinh ca Vin Toỏn hc, thỏng 10/2011, thỏng 10/2012, thỏng 10/2013, thỏng 10/2014, thỏng 10/2015 - Hi ngh i s-Hỡnh hc-Tụ pụ Ton quc thỏng 11/2016 - Xờ mi na ti khoa Toỏn-Tin, trng i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn 23 ... nâng toàn cục 13 Chương Nguyên lý Hasse trường toàn cục vô hạn cho dạng Mục tiêu chương nghiên cứu nguyên lý Hasse (kinh điển) mở rộng đại số vô hạn trường toàn cục Cụ thể mở rộng số nguyên lý Hasse. .. ) 4.4 Nguyên lý Hasse phân loại toàn cục Trong mục chứng minh số nguyên lý Hasse mạnh cho dạng trường toàn cục vô hạn Dạng kiểu A Định lý 4.4.1 (Nguyên lý Hasse mạnh) Cho k trường toàn cục vô... 4.5 Nguyên lý Hasse yếu Cũng giống trường hợp trường toàn cục, nguyên lý Hasse yếu cho dạng hecmit kiểu A C trường toàn cục vô hạn, cụ thể ta có kết sau đây: Định lý 4.5.1 Cho k trường toàn cục