Tính chất số học trong vành số nguyên đại số của trường q (√ 3)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG   PHÚ THỌ - 2014 3  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận “Lý thuyết số với tư cách sở lí thuyết toán học, địa hạt đầy ắp quen biết đầy ắp bóng tối, nơi dễ phơi bày thách đố trí tuệ loài người Đặc biệt thập kỉ qua, người ta tìm ứng dụng to lớn lí thuyết số khoa học cơng nghệ.”  4 Người ta chứng minh   3  trường tập hợp số dạng a  b 3 , với a, b   , vành số nguyên đại số trường    3 “Mọi số nguyên lớn phân tích thành tích thừa số ngun tố, phân tích ta không kể đến thứ tự thừa số”, thường gọi định lí Số học Tuy nhiên, dễ thấy Số học số dạng a  b 3 , với a, b   khơng có định lí phân tích thành tích thừa số nguyên tố    Chẳng hạn, ta có phân tích:  2.2   3  3 Điều dẫn đến cần thiết phải nghiên cứu tính chất số học vành số dạng a  b 3 Xuất phát từ vấn đề tơi mạnh dạn chọn đề tài “Tính chất số học vành số nguyên đại số trường   3  ” cho khóa luận tốt nghiệp đại học Mục tiêu khóa luận Ứng dụng lý thuyết số đại số nghiên cứu số tính chất số học vành số nguyên đại số trường toàn phương   3  Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức phần tử nguyên vành, phần tử đại số trường Dùng lý thuyết số đại số làm rõ tính chất vành số nguyên đại số trường   3  Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng lý thuyết số vành số nguyên đại số trường   3  phân hóa, hệ thống hóa kiến thức  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: Các số nguyên đại số trường   3   Phạm vi: Dùng lý thuyết số đại số để nghiên cứu tính chia hết, số nguyên tố vành số nguyên đại số trường   3  Ý nghĩa khoa học Khóa luận hồn thành tài liệu tham khảo tốt cho giảng viên sinh viên Toán, đặc biệt sinh viên năm thứ hai thứ ba trường đại học cao đẳng Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số đại số 1.2 Liên hợp biệt thức 1.3 Số nguyên đại số 1.4 Cơ sở nguyên 1.5 Chuẩn vết 1.6 Số nguyên đại số trường tồn phương Chương Tính chất số học vành số nguyên đại số trường ( 3 ) 2.1 Trường ( 3 ) Vành số nguyên đại số trường ( 3 ) 2.2 Tính chia hết vành số nguyên đại số A 2.3 Số nguyên tố vành số nguyên đại số A CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số đại số Định nghĩa 1.1.1 Số phức  gọi đại số  nghiệm đa thức khác không với hệ số  Nhận xét: Có thể coi đa thức định nghĩa 1.1.1 với hệ số thuộc  sai khác nhân tử bội chung nhỏ hệ số hữu tỉ đa thức ban đầu Định lý 1.1.2 Tập số đại số A trường trường số phức  Chứng minh:   Ta có  đại số   :   hữu hạn   Giả sử  ,  số đại số Khi đó,           ,  :      ,  :      :          Lại  đại số  , nên  đại số   Vậy            ,  :    ,   :   hữu hạn, nên    ,  :   hữu hạn Mặt       khác,    ,    ,  ,       thuộc  ,   , nên số thuộc A Vậy A trường, nên A trường trường    Định lý 1.1.3 Nếu K trường số K    , với  số đại số Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp, ta cần chứng minh     K  K1  ,  K  K  (với K trường K ) Gọi p q hai đa thức tối tiểu  ,  , giả sử phân tích nhân tử  là:             p t  t   t   t   n q t  t  1 t   t  n không giảm tính tổng qt giả sử:    1;   1 Do p q bất khả quy nên  i ,  j phân biệt Vì, với i k  tồn phần tử x  K cho:  i  x k    x  Do có hữu hạn đẳng thức trên, nên tồn c  0, c  K , cho:  i  x k    c  với  i  n,  k  m Đặt:     c         Ta chứng minh K1  ,   K1  Rõ ràng K1   K1  ,  , mặt       khác với   K1      c  Do đó, p   c   p        Xét đa thức r t  p   ct  K  t  , với  nghiệm đa   thức q t , r t     K1  Giả sử, đa thức khác không, cho   q   r    số 1,  2, , m ,   c   số 1,  2, ,  n Ta chọn c cho    Gọi h t đa       thức tối tiểu  K  Khi h t | q t h t | r t Vì q r có nghiệm chung  , nên bậc h  , vậy:  h t t       với   K  Vậy,  h      nên      K    Chú ý: Nếu mở rộng trường K   , nói chung mở rộng       không nhất,           1.2 Liên hợp biệt thức Định nghĩa 1.2.1 Giả sử L L ' hai trường chứa trường K 1) Nếu có đẳng cấu  : L  L ' cho (a )  a với a  K  gọi K - đẳng cấu; thêm L L ' đại số K ta bảo trường liên hợp K 2) Hai phần tử x  L x '  L ' gọi liên hợp K có K đẳng cấu  : K (x )  K (x ') cho (x )  x ' (lúc  nhất) Như x x ' liên hợp K x x ' liên hợp K , đại số K , có đa thức tối tiểu   Định lý 1.2.2 Cho K    mở rộng trường bậc n  Khi đó, có    n đồng cấu phân biệt  i : K    i  1, , n     i   i nghiệm phân biệt đa thức tối tiểu   Chứng minh: Giả sử 1,  2, , n nghiệm đa thức tối tiểu p  Với i có đa thức tối tiểu p (là ước p , p bất khả quy) dó     có đồng cấu trường  i :     i       cho  i   i Thật vậy,       r  với r   t  bậc r < bậc n , ta có:  i    r i  Ngược lại,  : K   đồng cấu  đồng  Do đó, ta có:       p    p       cho   i ,   i  Ví dụ: Giả sử K   i ta có hai đồng cấu:  1(x  iy )  x  iy  (x  iy )  x  iy với x, y   Chú ý: Các K – liên hợp  không thiết phải thuộc K Hơn nữa, i không thiết phải thuộc K   Ví dụ: giả sử  bậc thực Khi đó,   trường  K – liên hợp  là:  ,  ,  , với     1  3i Rõ ràng,  ,  không số thực, nên khơng thuộc        Định nghĩa 1.2.3 K    có bậc n , giả sử 1;  ; ;  n cở K (coi K  – không gian vectơ) Ta định nghĩa biệt thức sở là:      1;  ; ;  n   det  i  j      Nếu ta chọn sở khác 1;  ; ; n k  n c i 1 ik  i cik    , với k  1, , n det cik   Do công thức định thức tích ma trận,  i đồng cấu (đồng  ), nên:      ; ; ;   1;  ; ; n   det cik 2 n    Định lý 1.2.4 Biệt thức sở K    số hữu tỉ khác không Hơn nữa, tất K – liên hợp  thực biệt thức dương Chứng minh:   Trước hết, ta chọn sở 1,  , ,  n 1 Nếu liên hợp  1 ; ; n thì:     1,  , ,  n 1   det ij     xác định Chú ý định thức Vandermonde D  det tij công thức D   t 1i  j n i   tj Do đó, xem tất phần tử thuộc  t1, , tn  , cho ti  t j   D triệt tiêu Vì D có ước ti  t j Để tránh lặp lại nhân tử hai lần, ta giả sử i  j Dễ dàng so sánh bậc ta thấy D khơng có nhân tử khác số khác; so sánh nhân tử t1t22 tnn từ công thức D Ta có:  1,  , ,   n 1          i j  1i  j n    Lại do, D phản đối xứng với ti , nên D đối xứng Do đó,  số thực Vì i phân biệt nên     Giả sử 1;  ; ; n sở bất kỳ, thì:      1;  ; ; n   det cik    với số thực cik , det cik  nên   1;  ; ; n   , số thực Rõ ràng, tất i thực  số thực   Định nghĩa 1.2.5 Với   K    , ta định nghĩa đa thức trường  K xác định bởi:  n    f t   t   i  i 1 1.3 Số nguyên đại số Định nghĩa 1.3.1 Một số phức  gọi số nguyên đại số có đa thức đơn vị p(t ) với hệ số nguyên nhận  nghiệm Tức là:  n  an 1 n 1   a  , với  , i  1, n Gọi B tập tất số nguyên đại số Ví dụ:   2i số nguyên đại số,    ;   số nguyên đại số      Nhưng     1  22 khơng số ngun đại số Bổ đề 1.3.2 Một số phức  số nguyên đại số nhóm cộng sinh tất phần tử 1,  ,  hữu hạn sinh Chứng minh: Nếu  số nguyên đại số, tồn số n cho:  n  an 1 n 1   a0  , với  , i  1, n (*) 10 Mệnh đề 2.3.6 Giả sử   A hợp số  ước với chuẩn nhỏ   lớn  , chuẩn  không vượt N  Chứng minh:     Giả sử   A ,  \  với  N   N   \  Khi ta có  số nguyên tố     Nếu giả sử     N   N  Từ     N       N  N  hay   N    N    N   N  Hệ 2.3.7 Nếu    A số nguyên có chuẩn lớn khơng có   N   số nguyên tố ước nguyên tố với chuẩn vượt Mệnh đề 2.3.8 Nếu    A có chuẩn số nguyên tố hữu tỉ  số nguyên tố Chứng minh:   Giả sử    A cho N    N     Hơn nữa, giả sử số nguyên tố hữu tỉ Có         với    A     N   N  N  Nên suy N   N   , tức  U A  U A Điều chứng tỏ  số nguyên tố   Ví dụ:     số nguyên tố N     Mệnh đề 2.3.9 Các số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k  k  , k  số nguyên tố thuộc A Chứng minh: 34 Giả sử trái lại p  3k  số nguyên tố hữu tỉ số    nguyên tố  A thuộc Khi đó,   N p 1  N p  a  b  c  d  với a, b, c, d       N a  b   1, N c  d         Từ ta N p  N a  b  N c  d     p  a  ab  b c  cd  d Vì p số nguyên tố hữu tỉ, a  ab  b  1, c  cd  d  nên suy a  ab  b  p, c  cd  d  p Tức a  ab  b  (mod ) c  cd  d  (mod ) Điều khơng thể xảy  , ta ln có số nguyên có dạng x  xy  y chia cho có số dư Mâu thuẫn chứng tỏ p  3k  phải số nguyên tố thuộc A   Mệnh đề 2.3.10 Các số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k  k  , k  ln phân tích thành tích hai nhân tử nguyên tố thuộc A Chứng minh: Giả sử p số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k   3       Ta có         p   p  p   1  p 3 Nếu p  4k          p  3 p  3   1     p    Do                p   p  p      35  1  p 3 Nếu p  4k     1       p  3 p  3   1        Do                p   p  p   p     3  Vậy    với p  3k   p  Từ suy phương trình x  3 (mod p ) với p  3k  có nghiệm Giả sử x   nghiệm phương trình Khi đó, ta có:  x 02   mod p  x 02     x      mod p       x     mod p  1 Giả sử p số nguyên tố thuộc A từ (1) suy     p \ x    p \ x    Nghĩa hoặc x0     A p p x0     A p p Suy  A hay p \ Mâu thuẫn với giả thiết p số nguyên tố p hữu tỷ dạng 3k  Do p khơng phải số ngun tố thuộc A Mệnh đề 2.3.11 Số nguyên tố hữu tỉ liên kết với bình phương số nguyên tố thuộc A Chứng minh: 36  Ta có        nên suy liên kết với       A số nguyên tố Mệnh đề 2.3.12 Nếu   A số nguyên tố    Hoặc N   p , p  p số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k     Hoặc N   p , p số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k  với k  , k  Chứng minh: Giả sử   A số nguyên tố   Nếu N   p số nguyên tố hữu tỉ p  p  3k  Thật vậy, giả sử ngược lại p có dạng 3k  , theo mệnh đề 2.3.9 suy p số nguyên tố thuộc A   Mặt khác, ta có p  N      ,   A số nguyên tố Mâu thuẫn chứng tỏ p  p  3k    Nếu N    không số nguyên tố hữu tỉ, ta có N       phân tích N  thành tích nhân tử nguyên tố A Do tính   phân tích thành tích nhân tử nguyên tố A N      phải có dạng nên N  p.q p, q số nguyên tố hữu tỉ đồng thời phải số nguyên tố thuộc A Từ đẳng thức    p.q suy  \ p  \ q 37 Giả sử  \ p Vì  p hai số nguyên tố thuộc A nên   p.  U    p.  p. A Từ ta có pq     p p  p 2   p suy p  q   Nói cách khác N   p với p số nguyên tố hữu tỉ Hiển nhiên p số nguyên tố hữu tỉ có dạng 3k  p số nguyên tố thuộc A     Như vậy, N  không số nguyên hữu tỉ N   p với p  3k      Nhận xét N         với  U A   Thật vậy, giả sử   x  y   A, N    x  xy  y   y  3y  x    3    3y y  y  Vì  x    nên    Với y  2 ta có x  2x   suy x  1   1    Với y  ta có x  2x   suy x       Với y  1 ta có x  x   suy x  x  2        2   38  Với y  ta có x  2x   suy x  1 x    1         Với y  ta có x  vơ lý x     Vậy      với  U A Định lý 2.3.13   A số nguyên tố    Hoặc       Hoặc   p. với p số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k     Hoặc   a  b   với a  ab  b số nguyên tố hữu tỉ dạng 3k   U A, k  , k  Bảng số nguyên tố vành A Các kết số nguyên tố vành A cho phép ta sử dụng phương pháp sàng Ơratosten để tìm số ngun tố thuộc A có chuẩn khơng vượt q số tự nhiên lớn cho trước Ví dụ: Tìm tất số ngun tố thuộc A có chuẩn khơng vượt q 100 Để tìm tất số ngun tố thuộc A có chuẩn khơng vượt 100   ta lập bảng số nguyên tố   A cho N   100 không kể đến liên kết chúng   Trước hết ta tìm tất số nguyên   A cho N   100 không kể đến liên kết chúng 39 Không làm tính tổng quát ta xét số   a  b   A cho a, b  a  b Trong trường hợp hai số nguyên có hai hệ số   không âm liên kết với a  b  b  a  b    Ta chọn a  b  bỏ qua liên kết b  a  b  Với cách chọn ta có bảng tất số nguyên   A mà   N   100 không kể đến liên kết chúng sau: 40 12 13 21 31 43 57 73 22 12 19 28 39 52 67 32 7 13 19 27 37 49 63 42 13 12 13 16 21 28 37 48 61 52 21 19 19 21 25 31 39 49 61 62 31 28 27 28 31 36 43 52 63 72 43 39 37 37 39 43 49 57 67 82 57 52 49 48 49 52 57 64 73 92 73 67 63 61 61 63 67 73 81 10 102 91 84 79 76 75 76 79 84 91 97 93 91 91 93 97 a b 11 Các tổng a  ab  b có giá trị từ đến 100 , với a, b hai số nguyên hữu tỉ không âm 41 a b 1 3 7 16 13 12 13 25 21 19 19 21 36 31 28 27 28 31 49 43 39 37 37 39 43 64 57 52 49 48 49 52 57 81 73 67 63 61 61 63 67 73 10 100 91 84 79 76 75 76 79 84 97 93 91 91 93 97 11 Bảng tất số ngun thuộc A có chuẩn khơng vượt q 100 (Không kể liên kết chúng) 42 91 Sắp xếp số bảng theo thứ tự chuẩn tăng dần từ nhỏ đến lớn ta bảng sau: 1  2  3  3  4  4  4  5  5  5  5  6  6  6  6  6  7  7  7  7  7  7  8  8  8  8  8  8  8  9  9  9  9  9  9  9  9  10   10   10   10   10    10   10   10   10   11  11  11  11  11  11 Trước hết ta gạch bỏ số số nguyên tố Số chưa bị gạch   , số nguyên tố   khơng có số ngun thuộc A nên   khơng có ước ngồi Ta giữ lại số   gạch bảng tất số bội khác     Thấy bội   phải có chuẩn chia hết   cho N    , thử tiếp điều kiện chia hết cho   , ta có bội   gồm: 3,   ,   ,   ,   , 6,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,  10  , 9,  10  ,  10  ,  11 ,  11 Số có chuẩn lớn chuẩn   chưa bị gạch , số nguyên tố Thật vậy, khơng phải số ngun tố phải có ước nguyên tố có chuẩn nhỏ chuẩn ,   nghĩa là bội   khác   bị gạch Ta giữ lại gạch bảng 43 tất số bội khác , số ,   ,   ,   ,   , 8,  10  ,  10  , 10  Số dầu tiên có chuẩn lớn N  chưa bị gạch     hai số phải số nguyên tố khơng bội   Ta giữ lại   gạch bảng tất số bội khác       , số phải có chuẩn chia hết cho N    , tiếp điều kiện chia hết ta có số khác khác   chia hết cho   ,   ,  10  ,  11 Tương tự, ta giữ lại   gạch bảng bội của   số   ,  10  ,  11   Mọi hợp số   A mà N   100 Khi  có ước nguyên tố   A cho N    100 Cho nên  phải số số nguyên tố   ,   ,    bị gạch với tư cách bội  Vậy số nguyên tố A có chuẩn khơng vượt q 100 (khơng kể liên kết chúng)   , ,   ,   ,   ,   ,  5 ,  5 ,  6 ,  6 ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,  10  ,  10  ,  11 ,  11 44 KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, khóa luận “Ứng dụng lý thuyết đại số nghiên cứu tính chất số học vành số nguyên đại số trường   3  ” hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề Cụ thể là: Thứ nhất, khóa luận hệ thống cách tương đối kiến thức số đại số, trường số đại số; số nguyên đại số, vành số nguyên đại số trường số đại số; liên hợp biệt thức; sở nguyên; chuẩn vết; số nguyên đại số trường toàn phương Từ làm sở để nghiên cứu tính chất số học vành số nguyên đại số Thứ hai, bên cạnh việc hệ thống kiến thức khóa luận làm rõ trường ( 3 ) vành số nguyên đại số trường ( 3 ) Tính chia hết số nguyên tố vành số ngun đại số khóa luận trình bày cách cụ thể 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Ngọc (chủ biên) (1993), Nhập môn lí thuyết tập hợp logic, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Hồng Xn Sính (chủ biên) (1994), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (chủ biên) (2001), Số đại số (tập 1), Nhà xuất ĐH Sư phạm Hà Nội [4] Dương Quốc Việt (chủ biên) (2008), Cơ sở lí thuyết số đa thức, Đại học Sư phạm Hà Nội 46 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài khóa luận 2 Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học Bố cục khóa luận CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số đại số 1.2 Liên hợp biệt thức 1.3 Số nguyên đại số 1.4 Cơ sở nguyên 15 1.5 Chuẩn vết 18 1.6 Số nguyên đại số trường toàn phương 20 CHƯƠNG TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI  3  24 2.1 Trường   3  Vành số nguyên đại số trường   3  24 SỐ CỦA TRƯỜNG  2.1.1 Chuẩn   a  b   A 27 2.1.2 Nhóm đơn vị A 27 2.2 Tính chia hết vành số nguyên đại số A 29 2.3 Số nguyên tố vành số nguyên đại số A 32 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 47 48