Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Sáng kiến kinh nghiệm: Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ được nghiên cứu nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, và cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lại các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sử dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán. Đây còn là một tài liệu tham khảo cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.

Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Phan Tấn Phú Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích đề tài 1.3 Phạm vi đề tài 1.4 Điểm đề tài Một số kiến thức lý thyết 2.1 Các kiến thức tam giác đường tròn 2.1.1 Định lý Thales 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp 2.1.3 Hệ thức lượng tam giác vuông 2.1.4 Định lí cosin 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến 2.1.6 Định lí sin 2.1.7 Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung 2.2 Các kiến thức phương pháp toạ độ mặt phẳng 2.2.1 Toạ độ điểm toạ độ toạ độ vectơ 2.2.2 Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng 2.2.3 Phương trình đường thẳng 10 2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 11 2.2.5 Góc 11 2.2.6 Phương trình đường trịn 12 2.2.7 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 12 Các toán 13 3.1 Sử dụng định lý Thales tính tỉ số đoạn thẳng 13 3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước tỉ số cho trước 13 3.1.2 Tìm toạ độ điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước 13 3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác 15 3.3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng góc cho sẵn 17 Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Phan Tấn Phú 3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ điểm cho sẵn 19 3.4.1 Sử dụng đường thẳng qua hai điểm cho sẵn 19 3.4.2 Tìm điểm cách hai điểm cho sẵn khoảng cách biết 20 3.5 Góc tạo tiếp tuyến đường trịn dây cung 22 3.6 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng, diện tích tam giác vuông 24 3.7 Sử dụng điểm thuộc đường tròn 26 3.8 Kĩ thuật tổng hợp 27 3.9 Bài tập 28 Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Phan Tấn Phú Chương Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Đề thi đại học năm gần thường có tốn hình học toạ độ mặt phẳng Kì thi quốc gia năm 2015 đến có tốn Ở chương hình học lớp 10, học sinh học phương pháp toạ độ mặt phẳng Tuy nhiên, toán mà học sinh gặp lớp 10 dừng lại việc sử dụng toạ độ toạ độ điểm, vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường trịn, góc, khoảng cách Bài tốn đề thi khác hẳn, tốn tổng hợp đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm cấp (trung học sở) Nhiều tốn địi hỏi phải vận dụng linh hoạt tính chất hình học để đến lời giải nhanh hơn, sử dụng tuý toạ độ thường lời giải dài dịng, có khơng thể giải Đây khó khăn thực học sinh việc ôn thi kì thi quốc gia năm 2015 tới Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập cho kiểu tốn này, giáo viên có tài liệu tham khảo, viết chuyên đề “sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ” 1.2 Mục đích đề tài Chuyên đề nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, tập luyện tập cho học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên Khi đọc tài liệu này, học sinh nhắc lại kiến thức hình học phẳng cấp tam giác, đường tròn mà em quên, sử dụng cách hợp lí tính chất để giải tốn Đây cịn tài liệu tham khảo cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân chia dạng tốn hình học toạ độ mặt phẳng 1.3 Phạm vi đề tài Mảng kiến thức liên quan trực tiếp đề tài chương hình học lớp 10: phương pháp toạ độ mặt phẳng Tuy nhiên, đề tài liên quan đến kiến thức hình học phẳng cấp như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng, định lý Thales, tiếp tuyến đường trịn, góc nội tiếp, Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Phan Tấn Phú 1.4 Điểm đề tài Chúng ta thường thấy toán toạ độ mặt phẳng đề thi đại học năm trước, để thi thử đại học trường Tuy nhiên toán riêng lẻ đề thi tổng hợp Tài liệu hệ thống hoá dạng bài, phương pháp giải Điểm chuyên đề cố gắng phân loại (chỉ tương đối) toán Một điểm trước giải toán, chúng tơi phân tích tính chất hình học để định hướng việc tìm lời giải Việc theo chúng tơi nghĩ cần thiết, việc phân tích giúp cho học sinh biết ta lại giải vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng loại giả thiết tính chất hình học giải tốn khác Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Chương Một số kiến thức lý thyết Phần nhắc lại cho học sinh số kiến thức lí thuyết hình phẳng cấp kiến thức phương pháp phương pháp toạ độ mặt phẳng hình học lớp 10 2.1 Các kiến thức tam giác đường tròn 2.1.1 Định lý Thales A N M B C Định lý thuận Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Cụ thể, cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC tam giác ABC M N Khi ta có tỉ số sau AM AN MN = = AB AC BC tỉ số tương ứng khác Định lý đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác Cụ thể, cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt cạnh AB, AC tam giác ABC AM AN M, N Nếu = (hoặc tỉ số khác tương ứng) MN BC AB AC 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Trọng tâm: Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ A N P G B C M • Đường trung tuyến tam giác đường thẳng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện • Giao điểm đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác • Cho tam giác ABC có trung tuyến AM trọng tâm G −→ −→ AG = AM Trực tâm: A H B C • Đường cao tam giác đường thẳng qua đỉnh vng góc với cạnh đối diện • Giao điểm đường cao gọi trực tâm tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp: A M I B C • Đường trung trực đoạn thẳng AB đường thẳng qua trung điểm M AB vng góc với AB Mọi điểm I thuộc trung trực AB có IA = IB • Gọi I giao điểm đường trung trực tam giác ABC ta có IA = IB = IC, điểm I gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua đỉnh tam giác Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Tâm đường tròn nội tiếp: A H3 H1 K B H2 C • Mọi điểm K thuộc đường phân góc ABC cách BA BC Nghĩa gọi H1 , H2 hình chiếu vng góc K lên BA, BC ta có KH1 = KH2 • Nếu gọi K giao điểm đường phân giác tam giác ABC khoảng cách từ K đến cạnh tam giác Khi K tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác đường trịn tiếp xúc với cạnh tam giác 2.1.3 Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH A B C H • Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 • Nếu biết cạnh góc vng tính đường cao AH cơng thức: 1 = + AH AB2 AC2 • Tích cạnh góc vng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng: AB.AC = BC.AH • Nếu biết cạnh góc vng cạnh huyền tính hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền nhờ công thức: AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ 2.1.4 Định lí cosin Cho tam giác ABC, ta có BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC cos A Hệ AB2 + AC2 − BC2 cos A = 2.AB.AC Hoán vị đỉnh A, B,C ta có cơng thức cho góc cịn lại 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến A B C M Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, ta có: AM = 2.AB2 + 2.AC2 − BC2 2.1.6 Định lí sin Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính R, ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC Trong a = BC, b = CA, c = AB Tỉ số cạnh sin góc đối diện lần bán kính đường trịn ngoại tiếp 2.1.7 Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tiếp tuyến dây cung A x I B C Cho đường tròn tâm I dây cung AB, C điểm đường tròn Ax tiếp tuyến đường trịn A cho xAB góc nhọn Khi đó: Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ • Góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn cung đó, nghĩa ACB = AIB • Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó, nghĩa xAB = ACB 2.2 Các kiến thức phương pháp toạ độ mặt phẳng 2.2.1 Toạ độ điểm toạ độ toạ độ vectơ → − − Hai vectơ nhau: Cho vectơ → a = (a1 ; a2 ) b = (b1 ; b2 → − → − a = b ⇔ a1 = b1 a2 = b2 Hai vectơ phương, ba điểm thẳng hàng: • Hai vectơ gọi phương giá chúng hai đường thẳng song song trùng → − → − → − − • Hai vectơ → a b (với b = ) phương tồn số k cho → − → − a =kb • Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B,C thẳng hàng tồn số thực k cho − → − → AB = kAC Trung điểm đoạn thẳng: Cho A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) Trung điểm đoạn thẳng AB xA + xB yA + yB ; 2 M Trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có A(xA ; yA ), B(xB ; yB ), C(xC ; yC ) Trung tâm tam giác ABC G xA + xB + xC yA + yB + yC ; 3 2.2.2 Tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng B → − b → − a O A Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ → − − → − − Góc hai vectơ: Cho hai vectơ → a b Gọi O điểm tuỳ ý, vẽ OA = → a − → − → − −→ → → − → − OB = b Khi góc AOB gọi góc hai vectơ a b kí hiệu a ; b → − − Nhận xét 0◦ ≤ → a ; b ≤ 180◦ Định nghĩa tích vơ hướng: → − → − → − − − → − a; b a b cos → a.b = → Biểu thức toạ độ tích vơ hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho → − → − − − vectơ → a = (a ; a ), b = (b ; b ) Tích vơ hướng → a b tính 2 → − → − a b = a1 b1 + a2 b2 − Độ dài vectơ → a = (a1 ; a2 ) → − a = a21 + a22 Cho hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) − → • Toạ độ vectơ AB = (xB − xA ; yB − yA ) • Độ dài đoạn thẳng AB − → AB = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 2.2.3 Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng → − − qua điểm M(x ; y ), có vectơ phương → u = (a; b) = 0 x = x0 + at y = y0 + bt Phương trình tắc đường thẳng: Khi a b đồng thời khác đường thẳng có phương trình tắc x − x0 y − y0 = a b Phương trình tổng quát đường thẳng: Phương trình tổng đường thẳng → − − qua điểm M(x ; y ), có vectơ pháp tuyến → n = (A; B) = 0 10 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ viết phương trình đường thẳng BC qua điểm tìm toạ độ E F Điểm B hình chiếu vng góc H lên BC nên tìm toạ độ B Muốn tìm toạ độ D phải tìm toạ độ I giao điểm hai đường chéo hình bình hành Muốn tìm I cần tìm A mà M trung điểm AB nên tìm A Lời giải Gọi E giao điểm MH BC Xét MAH AMH = BME (đối đỉnh); MAH = MBE (so le trong) Suy MBE có: MA = MB; MAH = MBE (góc - cạnh - góc) Suy MH = ME hay M trung điểm HE Từ ta có E(−6; 1) Gọi F giao điểm GH BC Vì G trọng tâm tam giác BCD nên GC = CI Mà 1 CI = AC nên CG = AC = AC Suy GA = 2GC 3 −→ −→ −→ AGH CGF nên GH = 2GF Từ HG = 2FG Ta có HG = ( 34 ; 4) Gọi F(xF ; yF ) ta có: = 2(xF − 43 ) = 2(yF − 3) ⇔ xF = yF = Suy F(2; 5) −→ Đường thẳng BC qua E(−6; 1) có vectơ phương EF = (8; 4) nên có vectơ pháp tuyến (1; −2) Phương trình BC BC : x − 2y + = Đường thẳng d qua H vng góc với BC có phương trình d : 2x + y + = B(x; y) giao điểm BC d nên ta có hệ x − 2y + = 2x + y + = ⇔ x = −2 y=3 Suy B(−2; 3) − → −→ −→ Vì M trung điểm AB nên A(−4; −3) AG = (− 16 ; −6) Gọi I(xI ; yI ) Vì GI = GA nên: xI − 43 = 14 (− 16 3) yI − = 41 (−6) ⇔ xI = yI = Suy I(0; 23 ) Vì I trung điểm BD nên tìm D(2; 0) Vậy B(−2; 3) D(2; 0) 3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thông thường sử dụng góc Cách thường thu phương trình phức tạp, giải nhiều nghiệm phải tìm cách loại nghiệm Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng sau: 15 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ y N A H t M x Cho At đường phân góc xAy Cho M điểm Ax, gọi N điểm đối xứng với M qua At Khi N thuộc tia Ay Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa đường phân giác góc BAC d : x − y − = Tìm toạ độ đỉnh C A N G(1; 1) E H C M B(−4; 1) d : x−y−1 = −→ −→ Phân tích Gọi N trung điểm AC Vì BG = 2GN nên tìm toạ độ điểm N Gọi E điểm đối xứng với B qua d Ta có E thuộc AC tìm toạ độ E Ta lập phương trình đường thẳng AC đường thẳng qua điểm N, E Vì A giao điểm d AC nên −→ −−→ tìm toạ độ A Gọi M trung điểm BC, từ AG = 2GM tìm M Vì G trọng tâm tam giác ABC, áp dụng cơng thức toạ độ trọng tâm ta tìm toạ độ điểm C −→ −→ −→ Lời giải BG = (5; 0) Gọi N(xN ; yN ) trung điểm AC Vì BG = 2GN nên = 2(xN − 1) = 2(yN − 1) ⇔ xN = yN = Suy N( 72 ; 1) Gọi E điểm đối xứng với B qua d Ta có E thuộc AC Gọi ∆ đường thẳng qua B vng góc với d, ta có ∆ : x + y + = Gọi H(x; y) giao điểm ∆ với d, ta có: x−y−1 = x+y+4 = 16 ⇔ x = − 32 y = − 52 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Suy H(− 32 ; − 52 ) Vì H trung điểm BE nên E(1; −6) Đường AC qua E(1; −6) nhận −→ − EN = ( 52 ; 7) làm vectơ phương, hay có vectơ pháp tuyến → n = (14; −5) Từ phương trình AC AC : 14x − 5y − 44 = Vì A giao điểm d : x − y − = 30 AC : 14x − 5y − 44 = nên tìm A( 39 ; ) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên C(xC ; yC ) thoả 39 30 − + xC = + + yC = ⇔ xC = yC = − 43 Vậy C( 38 ; − 43 ) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A H( 17 ; − ), chân đường phân giác góc A D(5; 3) trung điểm cạnh AB M(0; 1) Tìm toạ độ đỉnh C (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7b) A N M(0; 1) B K D(5; 3) H( 17 ;−5) C Phân tích Đường thẳng AH qua H vng góc với HD nên ta viết phương trình AH Tam giác ABH vng H có M trung điểm cạnh huyền AB nên MA = MH Kết hợp A thuộc đường thẳng DH MA = MH tìm toạ độ điểm A Ta viết phương trình đường phân giác AD Gọi N điểm đối xứng với M qua phân giác AD ta tìm toạ độ N Ta viết phương trình đường thẳng AC qua điểm A N Đường thẳng BC qua hai điểm D H nên viết phương trình BC Vì C giao điểm hai đường thẳng AC BC nên tìm toạ độ C Lời giải Dành cho độc giả 3.3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng góc cho sẵn Bài Cho đường thẳng d : 3x − 2y + = điểm A(2; 4) Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ qua A tạo với d góc 45◦ 17 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ A ∆ 45◦ d Phân tích Dựa vào hình vẽ ta dự đốn có đáp số đường thẳng ∆ cần tìm − Lời giải Gọi → n = (a; b) vectơ pháp tuyến ∆ (với a2 + b2 = 0) Phương trình − đường thẳng ∆ qua A(2; 4) nhận → n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến có dạng: a(x − 2) + b(y − 4) = ⇔ax + by − 2a − 4b = (1) Vì góc d ∆ 45◦ nên |3a − 2b| cos 45◦ = √ √ 13 a2 + b2 √ ⇔ 2|3a − 2b| = 13(a2 + b2 ) ⇔2(9a2 − 12ab + 4b2 ) = 13(a2 + b2 ) ⇔5a2 − 24ab − 5b2 = (2) − Nếu b = a = → n = (0; 0) vectơ pháp tuyến Do b = Chia vế phương trình (2) cho b2 ta ⇔ a b a b a b =5 − 24 a −5 = b = − 51 • Trường hợp ab = hay a = 5b thay vào (1) ta phương trình ∆ 5bx + by − 10b − 4b = ⇔5x + y − 14 = • Trường hợp ba = − 51 hay a = − 15 b thay vào (1) ta phương trình ∆ − bx + by + b − 4b = 5 ⇔ − x + 5y − 18 = Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm 5x + y − 14 = −x + 5y − 18 = 18 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ 3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ điểm cho sẵn 3.4.1 Sử dụng đường thẳng qua hai điểm cho sẵn Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2), N(2; −1) (Đề thi đại học khối A năm 2014) Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng góc có sẵn F E α C D N(2; −1) A B M(1; 2) Phân tích Có sẵn toạ độ điểm M, N nên đường thẳng MN cố định Nếu gọi E giao ME điểm hai đường thẳng MN CD ta tính tỉ số Từ tìm MN toạ độ điểm E Đề yêu cầu lập phương trình đường thẳng CD mà CD qua điểm E biết Dùng kiến thức hình học tổng hợp tính cosin góc hai đường thẳng CD MN (tính cos α) Viết phương trình đường thẳng qua E tạo với MN góc α có, phương trình đường thẳng CD cần tìm NC NE −− → −−→ = = Suy ME = MN Mà ME MN AM nên NM NA 3 −−→ −−→ hướng nên ta có ME = MN Gọi E(xE ; yE ) ta có: Lời giải Vì EC xE − = 43 (2 − 1) yE − = 43 (−1 − 2) ⇔ xE = yE = −2 Từ ta có E( 73 ; −2) Ta tính góc hai đường thẳng MN CD Gọi F giao điểm đường thẳng MN r EC FC đường thẳng BC Đặt cạnh hình vng ABCD r Ta có EC = AM = Từ = = MB FB 19 Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Phan Tấn Phú √ √ r r 10 suy FC = BC = Tam giác FCE vuông C nên EF = FC2 + EC2 = 2 EC Đặt α = FEC cos α = =√ EF 10 − Gọi → n = (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng CD (với a2 + b2 = 0) Vì CD qua E nên phương trình CD có dạng + b(y + 2) = ⇔ax + by − a + 2b = (1) a x− → − −−→ MN = (1; −3) nên vectơ pháp tuyến đường thẳng MN n = (3; 1) Vì hai đường thẳng CD MN tạo với góc α có cos α = √ nên 10 |3a + b| √ =√ √ 10 10 a2 + b2 ⇔|3a + b| = a2 + b2 ⇔9a2 + 6ab + b2 = a2 + b2 ⇔8a2 + 6ab = ⇔ a=0 a = − 3b • Trường hợp a = b = vào (1) ta có phương trình CD by + 2b = ⇔ y + = • Trường hợp a = − 3b b = vào (1) ta có phương trình CD − 3b 7b x + by + + 2b = ⇔ −3x + 4y + 15 = 4 Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm y + = −3x + 4y + 15 = 3.4.2 Tìm điểm cách hai điểm cho sẵn khoảng cách biết Cách Khai thác toạ độ hai điểm cho sẵn để tìm thêm điểm đường thẳng CD 20 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ D I E C N(2; −1) A M(1; 2) B Phân tích Muốn viết phương trình đường thẳng CD bắt buộc phải tìm toạ độ điểm đường thẳng CD Điểm C D, “khôn ngoan” trung điểm I CD Trong đáp án thức Bộ Giáo dục người ta tìm toạ độ điểm I Ta tìm điểm I tìm I CD đường thẳng qua I vng góc với IM Muốn tìm toạ độ điểm I ta cần biết khoảng cách từ I đến điểm mà đề cho sẵn toạ độ M N, nghĩa tính IM IM Sau đặt ẩn cho toạ độ điểm I giải hệ phương trình Tuy nhiên, cần biết cạnh hình vng tính IM IN Việc tính cạnh hình vng buộc phải dùng đến độ dài cho sẵn MN Ta đưa đoạn MN vào tam giác áp dụng định lý cosin để tính cạnh hình vng Tam giác chọn (hoặc IMN AMN được) √ Lời giải Gọi I trung điểm CD.√Ta có MN = 10 Đặt cạnh hình vng r Tam giác r IMN có IM = r, IN = BD = , MIN = 45◦ Áp dụng định lý cosin tam giác 4 IMN ta có MN = IM + IN − 2.IM.IN cos 45◦ √ √ r 2 r ⇔10 = r2 + − 2.r 2 5r ⇔10 = ⇔r = 21 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Từ ta có IM = 4, IN = √ Gọi I(x0 ; y0 ) ta có IM = 16 IN = (x0 − 1)2 + (y0 − 2)2 = 16 ⇔ (x0 − 2)2 + (y0 + 1)2 = ⇔ x02 + y20 − 2x0 − 4y0 = 11 ⇔ x02 + y20 − 2x0 − 4y0 = 11 x02 + y20 − 4x0 + 2y0 = −3 2x0 − 6y0 = 14 ⇔ (7 + 3y0 )2 + y20 − 2(7 + 3y0 ) − 4y0 = 11 ⇔ 10y20 + 32y0 + 24 = x0 = + 3y0 x0 = − 3y0    ⇔   x0 = y0 = −2 x0 = 17 y0 = − 65 − → • Trường hợp x0 = 1; y0 = −2 ta có I(1; −2) IM = (0; 4) Đường thẳng CD qua I − → nhận IM làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y + = − → 12 16 17 • Trường hợp x0 = 17 ; y0 = − ta có I( ; − ) IM = (− ; ) Đường thẳng CD − → qua I nhận IM làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x − 4y − 15 = Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm y + = 3x − 4y − 15 = 3.5 Góc tạo tiếp tuyến đường trịn dây cung Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC (Đề thi đại học khối D năm 2014) 22 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ A ∆ d H E B D(1; −1) C Phân tích Đặt d : x + 2y − = tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A giao điểm đường thẳng AB : 3x + 2y − = d nên tìm toạ độ điểm A Ta biết đường thẳng BC qua D(1; −1) Muốn viết phương trình đường thẳng BC cần tìm thêm toạ độ điểm (khác D) đường thẳng BC Để sử dụng giả thiết đề cho phương trình hai đường thẳng AB d ta nên tìm điểm B giao điểm E d với BC; khơng nên tìm toạ độ điểm C khơng có thêm giả thiết liên quan đến C Còn giả thiết D(1; −1) chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC chưa dùng Khi sử dụng tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung kết hợp với giả thiết phân giác ta chứng minh tam giác ADE cân E Suy E thuộc đường trung trực ∆ AD Vì viết phương trình ∆ nên tìm E giao điểm d ∆ Vậy BC đường thẳng qua hai điểm D E Lời giải Đặt d : x + 2y − = tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì A giao điểm đường thẳng AB : 3x + 2y − = d nên A(x; y) thoả mãn: x + 2y − = 3x + 2y − = ⇔ x=1 y=3 Suy A(1; 3) Ta có EAB = ACB (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) Ta lại có BAD = CAD (AD phân giác kẻ từ A tam giác ABC) Suy ADE = CAD + ACB (góc ngồi tam giác ACD) = EAB + BAD = EAD Suy tam giác ADE cân E Suy E thuộc trung trực ∆ AD Gọi H trung điểm −→ AD ta có H(1; 1) Đường thẳng ∆ qua H nhận AD = (0; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có 23 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ phương trình ∆ : y − = Vì E giao điểm d ∆ nên E(x; y) thoả mãn: x + 2y − = y−1 = ⇔ x=5 y=1 −→ − Suy E(5; 1) DE = (4; 2) Đường thẳng BC qua D(1; −1), nhận → n = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình BC : x − 2y − = Vậy BC : x − 2y − = 3.6 Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, diện tích tam giác vng Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 2x Tam giác ABC vuông A có AC tiếp tuyến (C) A tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A H(2; 0) Tìm toạ độ đỉnh B tam giác ABC biết B có tung độ dương diện tích tam giác ABC √ (Đề thi thử lần năm 2015 tạp chí Tốn học tuổi trẻ) A C I(1; 0) H(2; 0) B Phân tích Đường trịn (C) có tâm I(1; 0) bán kính R = Trước tiên ta chứng minh AB đường kính (C) Để tìm toạ độ điểm B ta tính khoảng cách từ B đến điểm cho sẵn I H Thứ nhất, IB = R = Thứ hai, để tính BH phải sử dụng giả thiết diện tích tam giác ABC hệ thức lượng tam giác vuông ABC với đường cao AH Có diện tích tam giác ABC có AB = 2R = nên tính AC Dùng hệ thức lượng AB2 = BH.BC, BC tính nhờ định lý Pitago nên ta tính BH Đặt ẩn cho toạ độ điểm H dùng độ dài đoạn thẳng IB, HB biết có hệ phương trình để giải tìm toạ độ điểm B Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1; 0), bán kính R = Tam giác ABC vng A AC tiếp tuyến vng góc với bán kính AI nên điểm A, I, B thẳng hàng (1) Nhận xét H ∈ (C) Vì H chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC nên AHB = 90◦ (2) Từ (1) 24 Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Phan Tấn Phú (2) suy AB đường kính (C) Ta có IB = (3) AB = 2, diện tích tam giác ABC √ nên: 2 AB.AC = √ ⇒ AC = √ 3 Áp dụng định lý Pitago tam giác ABC, ta có: BC = AB2 + AC2 = √ Tam giác ABC vuông A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có √ AB2 = = (4) √ BC √ Gọi H(x0 ; y0 ) Từ (3) (4): IB = HB = nên ta có: AB2 = BH.BC ⇒ BH = IB2 = HB2 = (x0 − 1)2 + y20 = ⇔ (x0 − 2)2 + y20 = x02 + y20 − 2x0 = ⇔ x02 + y20 − 4x0 = −1 x0 = ⇔ y20 =    ⇔   Vì B có tung độ dương nên B( 12 ; √ y0 = 23 x0 = 12 √ y0 = − 23 x0 = √ ) Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = Đường trịn √ √ (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A, B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C) (Đề thi đại học khối A năm 2013, câu 7b) 25 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ M ∆ : x−y = B H I A Phân tích Gọi M giao điểm tiếp tuyến A B (C), gọi H giao điểm AB AB IM Vì M thuộc Oy nên M(0;t) Đề cho AB nên tính HA = Theo đề √ R = IA = 10 Ta tìm điểm M cách tính khoảng cách từ điểm M đến ∆ Dùng hệ thức lượng tam giác vng MAI tính MH Dùng khoảng cách từ M đến ∆ MH vừa tính ta tìm toạ độ M H hình chiếu vng góc M lên ∆ HI nên ta tìm toạ độ H Vì tính tỉ số nên tìm toạ độ điểm I, từ ta viết MH phương trình đường trịn (C) Lời giải Dành cho độc giả 3.7 Sử dụng điểm thuộc đường tròn Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh huyền Cách phát biểu tương đương là: “Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền tam giác đó” Sử dụng tính chất ta chứng minh điểm thuộc đường tròn Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4; 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm toạ độ điểm B C biết N(5; 4) (Đề thi đại học khối A năm 2013, câu 7a) A(−4; 8) D N(5; −4) I B C 26 M Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Phân tích Vì C thuộc d : 2x + y + = nên gọi C(t; −2t − 5) Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Vì I trung điểm AC nên ta tính toạ độ I theo t Vì N thuộc đường trịn đường kính BD (cũng đường trịn đường kính AC) nên IA = IN Giải phương trình IA = IN ta tìm t, từ có toạ độ I C Dự đoán B điểm đối xứng với N qua đường thẳng AC Khi chứng minh dự đốn ta tìm toạ độ điểm C Lời giải Dành cho độc giả 3.8 Kĩ thuật tổng hợp Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y − = tam giác ABD có trực tâm H(−3; 2) Tìm toạ độ đỉnh C D (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7a) C B I H(−3; 2) D A Phân tích Gọi I giao điểm AC BD Ta chứng minh tam giác IBC HBC vuông cân nên suy I trung điểm HC Do C điểm đối dứng I I nên tìm toạ độ điểm C Vì D thuộc đường thẳng BC nên để tìm toạ độ điểm C ta cần tính BC IB thêm khoảng cách từ C đến điểm biết đó, chẳng hạn tính ID Vì = = AD IC có IB nên tính ID Từ đặt ẩn giải phương trình ta tìm toạ độ điểm D (2 đáp số) Lời giải Dành cho độc giả Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(− 29 ; 23 ) trung điểm cạnh AB, điểm H(−2; 4) điểm I(−1; 1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ điểm C (Đề thi đại học khối D năm 2013, câu 7a) 27 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ B M(− 29 ; 32 ) I(−1; 1) A H(−2; 4) C Phân tích Ta viết phương trình đường thẳng AB qua M vng góc với IM −→ −→ Tham số hoá toạ độ điểm A theo t Tính toạ độ điểm B theo t Từ HA.HB = ta giải phươngt trình tìm nghiệm t Ta viết phương trình đường thẳng AC qua A H Tham số toạ toạ độ điểm C dùng IC = IA tìm toạ độ C (loại kết C trùng A) Lời giải Dành cho độc giả 3.9 Bài tập Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = đường thẳng ∆ : y − = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc ∆, đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm toạ độ điểm P (Đề thi đại học khối D năm 2013, câu 7b) Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B có BC = 2BA Điểm M(2; −2) trung điểm cạnh AC Gọi N điểm cạnh BC cho BN = BC, điểm H( 54 ; 85 ) giao điểm AN BM Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm N nằm đường thẳng x + 2y − = Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = 26, điểm G(1; 38 ) trọng tâm tam giác M(7; 2) nằm đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng BC, M khác A Tìmt toạ độ đỉnh tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn tung độ điểm C Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(1; 3) diện tích 30 Gọi E điểm nằm cạnh BC cho EC = 2EB, điểm H( 52 ; 25 ) hình chiếu vng góc đỉnh B đường thẳng DE Biết C có tung độ âm, tìm toạ đ6ọ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD 28 Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ Phan Tấn Phú Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(−7; 0) Một điểm P nằm hình bình hành cho PAB = PCB Phương trình đường thẳng chứa PB PC d1 : x + y − = d2 : 2x − y − = Tìm toạ độ đỉnh A, biết đỉnh A thuộc đường thẳng y = 3x A có hồnh độ ngun Bài 18 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có góc nhọn, có đỉnh A(−1; 4), trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M, đường thẳng CH cắt cạnh AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I(2; 0), đường thẳng BC qua điểm P(1; −2) Tìm toạ độ đỉnh B,C tam giác ABC biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x + 2y − = (Đề thi thử năm 2015 lần trường THPT Minh Châu, Hưng Yên) Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ACD = α với −→ −→ cos α = √15 , điểm H thoả mãn điều kiện HB = −2HC, K giao điểm hai đường thẳng AH BD Cho biết H( 13 ; − 43 ), K(1; 0) điểm B có hồnh độ dương Tìm toạ độ điểm A, B,C, D Kết luận Trên đây, chúng tơi trình bày tốn toạ độ mặt phẳng, dạng toán thường xuất đề thi đại học năm gần có đề thi quốc gia năm 2015 tới Việc giải tốn kiểu địi hỏi phải vận dụng kết hợp tư hình học phẳng phương pháp toạ độ Chúng thực cố gắng phân loại (một cách tương đối) dạng toán kiểu Hy vọng tài liệu học tập quý giá cho học sinh trong; tài liệu tham khảo cho giáo viên việc biên soạn hệ thống tập Tài liệu [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành Trần Đức Huyên, Hình học 10, Nhà xuất giáo dục, 2006 [2] Cao Hải Vân, Khai thác tính chất hình học để giải toán toạ độ mặt phẳng, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, tháng năm 2009 [3] Bộ giáo dục đào tạo, Đề thi đại học năm 2009 - 2014 29 ... Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ 3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ điểm cho sẵn 3.4.1 Sử dụng đường thẳng qua hai điểm cho sẵn Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng... cấp kinh nghiệm sử dụng loại giả thiết tính chất hình học giải tốn khác Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học toán toạ độ Chương Một số kiến thức lý thyết Phần nhắc lại cho học sinh số kiến. .. tìm toạ độ E Gọi F giao FG điểm GH BC tính tỉ số Từ tìm toạ độ F Ta FH 14 Phan Tấn Phú Sử dụng tính chất hình học tốn toạ độ viết phương trình đường thẳng BC qua điểm tìm toạ độ E F Điểm B hình