Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em học sinh có thêm một công cụ hữu hiệu giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng trong toàn quốc.
1 MỞ ĐẦU - Lý chọn đề tài: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn phổ thông thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức đề cập nhiều tài liệu tham khảo với nhiều phương pháp giải đa dạng phong phú Trong trình học tập giảng dạy, ta bắt gặp nhiều tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức mà việc giải chúng không đơn giản, buộc ta phải sử dụng phương pháp đặc biệt Vì vậy, phạm vi viết này, với mong muốn giúp em học sinh có thêm cơng cụ hữu hiệu giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học, cao đẳng tồn quốc nên tơi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức” - Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 12 trường THPT Lê Lai - Kiến thức sử dụng tính đơn điệu hàm số, sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Nội dung đề tài trình bày thành ba phần chính, phần tác giả trình bày theo trình tự: Kiến thức sở, số ví dụ có lời giải cụ thể tập đề nghị Đề tài nghiên cứu, thử nghiệm phạm vi lớp 12C1; 12C2 trường THPT Lê Lai, vào tiết tự chọn thuộc chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức - Phương pháp nghiên cứu: a) Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 - Tài liệu tham khảo b) Điều tra: - Thực dạy kết kiểm tra: Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi tiến hành thực dạy lớp 12C1; 12C2; 12C4 +Năm học 2015-2016: Lớp 12C1,12C2: thực nghiệm - Dự giờ: Thường xuyên dự để biết mức độ hiểu biết khả giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Trao đổi với em học sinh toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức để biết cách tìm hướng giải tốn em, từ có cách dạy tốt c)Giả thuyết khoa học: Nếu học sinh tìm cách giải tốn em cảm thấy hăng say, tích cực, tự tin kết kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm cao 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: - Thơng qua q trình dạy học tơi tìm tịi góp nhặt, nghiên cứu dạng tốn liên quan - Trong thực tiễn tơi vận dụng tốt nội dung chuyên đề Từ hình thành sở nghiên cứu chun đề 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: a) Thực trạng việc dạy giáo viên: Có số giáo viên vận dụng phương pháp hàm số để giải tốn Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức cịn mức độ chung chung b) Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp toán lúng túng việc lựa chọn cách giải phù hợp Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2014-2015: Lớp Số lượng Đạt yêu cầu Số lượng % Không đạt yêu cầu Số lượng % 12C1 38 17 44,7 21 55,3 12C2 43 15 35 28 65 c)Sự cần thiết đề tài: Qua phân tích thực trạng việc học học sinh việc dạy giáo viên, nhận thấy đề tài cần thiết giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu kinh nghiệm phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu dạy học tích cực cho học sinh lớp 12 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: a)Vấn đề đặt ra: Hiện cách dạy phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh học tập rèn luyện Để phát huy điều đó, cần phải đưa phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú học tập, để đem lại kết học tập tốt hơn, hiệu giảng dạy cao b)Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hồn thành đề tài, tơi tiến hành bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương lập kế hoạch; Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài c)Nội dung đề tài - Nội đề tài nghiên cứu sở lí thuyết tập mà em học chương trình THPT - Đề tài cho em thấy dạng tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức Giúp cho học sinh tự phát lĩnh hội kiến thức từ biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn I Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Kiến thức sở - Nếu hàm số f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) D +) Phương trình f ( x ) = k có khơng q nghiệm D +) Với x, y ∈ D, f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y - Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến hàm số y = g ( x ) nghịch biến D phương trình f ( x ) = g ( x ) có khơng q nghiệm D - Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) lồi (lõm) khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = k có khơng q hai nghiệm khoảng ( a; b ) Một số ví dụ tập đề nghị Ví dụ Giải phương trình 3x = − x Giải - Tập xác định ¡ - Ta có 3x = − x ⇔ 3x + x − = x - Xét hàm số f ( x ) = + x − Tập xác định ¡ f ' ( x ) = 3x ln + > ∀x ∈ ¡ Do đó, hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Mặt khác f ( 1) = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập đề nghị Giải phương trình log x = 11 − x 2 Giải phương trình x − (13 − x ).3x − 9x2 + 36 = x2 + x + log Ví dụ Giải phương trình ÷ = x + 3x + 2 x + x + Giải - Tập xác định ¡ - Ta có, x2 + x + log = x + 3x + ÷ 2x + 4x + ⇔ log ( x + x + 3) + ( x + x + 3) = log (2 x2 + x + 5) + (2 x2 + x + 5) ( *) - Xét hàm số f ( t ) = log3 t + t Tập xác định ( 0; +∞ ) f '( t ) = + > ∀t > t ln Suy ra, hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) 2 2 - Do đó, ( *) ⇔ f ( x + x + 3) = f (2x + 4x + 5) ⇔ x + x + = 2x + 4x + x = −1 ⇔ x + 3x + = ⇔ x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = −1, x = −2 Bài tập đề nghị x − y = y − 3x Giải hệ phương trình 2 2x − y = x + y = y + 3x Giải hệ phương trình 2 3x + y = Ví dụ Giải phương trình 3x = x + Giải - Tập xác định ¡ - Ta có, 3x = x + ⇔ 3x − x − = ( *) x - Xét hàm số f ( t ) = − x − Tập xác định ¡ f ' ( x ) = 3x ln − ∀x ∈ ¡ f '' ( x ) = 3x ln > ∀x ∈ ¡ - Mặt khác, x = x = hai nghiệm phương trình ( *) - Vậy phương trình có nghiệm x = , x = Bài tập đề nghị Giải phương trình 2011x + 2012 x = 4019 x + Giải phương trình 3x = + x + log (1 + 2x) Giải phương trình ( + cos x ) ( + 4cos x ) = 3.4cos x Ví dụ Giải hệ phương trình x = y + y + y − ( 1) y = z + z + z − ( 2) z = x + x + x − ( 3) Giải Xét hàm số f ( t ) = t + t + t − Tập xác định ¡ f ' ( t ) = 3t + 2t + ∀x ∈ ¡ Do đó, hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Giả sử x = max { x; y; z} , suy x = f ( y ) ≥ f ( z ) = y x = f ( y ) ≥ f ( x ) = z Từ ta có y ≥ z y ≥ x , suy f ( y ) ≥ f ( z ) hay z ≥ x Do x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z Với y = x, vào phương trình ( 1) ta có, x + x − = ⇔ x = Vậy x = y = z = Ví dụ Giải hệ phương trình x + x − x + = y −1 + ( 1) y + y − y + = 3x −1 + ( ) ( x, y ∈ ¡ ) Giải - Từ hệ phương trình ta có x + x − x + + 3x −1 = y + y − y + + y −1 ( *) - Xét hàm số f ( t ) = t + t − 2t + + 3t −1 , +) Txđ: ¡ +) f ' ( t ) = + t −1 t − 2t + 2 + 3t −1 ln = t − 2t + + t − t − 2t + 2 + 3t −1 ln > ∀t ∈ ¡ Do đó, ( *) ⇔ x = y - Với x = y vào phương trình ( 1) hệ ta có, x + x − x + = 3x −1 + ⇔ x − + x − x + = 3x −1 ( ) ( ) x −1 - Từ phương trình ( 3) suy x − − x − x + = −1 ( ) x −1 1− x x −1 1− x - Từ ( 3) ( ) suy ra: − x + = x − + ⇔ − − ( x − 1) = ( ) x −1 1− x - Xét hàm số f ( x ) = − − ( x − 1) = +) Txđ: ¡ x −1 1− x x −1 1− x +) f ' ( x ) = ln + ln − = ln ( + ) − ≥ ( ln − 1) > ∀x ∈ ¡ +) f ( 1) = Do đó, x = nghiệm phương trình ( ) Với x = ⇒ y = Thử lại, ta có x = y = nghiệm hệ cho Bài tập đề nghị x + 3x − + ln( x − x + 1) = y Giải hệ phương trình y + y − + ln( y − y + 1) = z z + 3z − + ln( z − z + 1) = x 2x3 + 2x2 − 18 = y + y 3 Giải hệ phương trình 2 y + y − 18 = z + z 2z3 + 3z2 − 18 = x3 + x Ví dụ Giải bất phương trình x + − − x ≥ Giải Tập xác định D = [ −6;7 ] Xét hàm số f ( x ) = x + − − x Tập xác định D = [ −6;7 ] f’(x) = f ( x ) = 1 + > ∀x ∈ ( −6;7 ) x+6 7−x Vậy hàm số f ( x ) đồng biến đoạn [ −6;7 ] Mặt khác f ( 3) = 1, x + − − x ≥ ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm [ 3;7 ] Bài tập đề nghị Giải bất phương trình x + 3x2 + 6x + 16 < + − x Giải bất phương trình + < 3− x 2− x II Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục đoạn [ a; b] Kiến thức sở - Phương trình f ( x ) = m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ) [ a ;b ] [ a ;b ] - Bất phương trình f ( x ) ≥ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] max f ( x ) ≥ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] f ( x ) ≤ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b] f ( x ) ≥ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b] max f ( x ) ≤ m [ a ;b] Một số ví dụ tập đề nghị Ví dụ Tìm m để phương trình sau x − + 21 − x − x = m a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) Có hai nghiệm phân biệt Giải Tập xác định D = [ −7;3] Xét hàm số f ( x ) = x − + 21 − x − x Hàm số liên tục D = [ −7;3] f '( x ) = − 3(2 + x) 21 − x − x = ∀x ∈ ( −7;3) f ' ( x ) = ⇔ 21 − x − x = 3(2 + x) x ≥ −2 ⇔ 2 16 ( 21 − x − x ) = ( + x ) x ≥ −2 ⇔ x = −6 x = ⇔ x = ∈ ( −7;3) Ta có bảng biến thiên hàm số f(x) x -7 f '( x) + 15 10 f ( x) 10 -30 Từ bảng biến thiên ta có, a) Phương trình có nghiệm −30 ≤ m ≤ 15 b) Phương trình có nghiệm −30 ≤ m < 10 m = 15 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 10 ≤ m < 15 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x + 4x − m − x − 4x − + m + = ( m tham số thực) Giải Điều kiện: −3 ≤ x ≤ −1, đặt − x − x − = t Ta có, t ∈ [ 0;1] phương trình x + 4x − m − x − 4x − + m + = ( 1) trở thành: t + mt − m + = ⇔ t + = m ( −t + 1) ⇔ t2 +1 = m ( 2) −t + ( t = khơng nghiệm phương trình với tham số thực m ) Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Xét hàm số f ( t ) = t2 +1 nửa khoảng [ 0;1) −t + +) Hàm số liên tục nửa khoảng [ 0;1) f ( t ) = +∞ +) xlim →1 − +) f ' ( t ) = 2t ( −t + 1) + ( t + 1) ( −t + 1) = −t + 2t + ( −t + 1) > 0∀t ∈ ( 0;1) +) Bảng biến thiên x f '( x) + +∞ 10 f ( x) Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm ∀m ∈ [ 1; +∞ ) Bài tập đề nghị Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x − + m x + = x2 − Tìm m để phương trình sau có nghiệm 91+ 1− x − ( m + 2)31+ 1− x + 2m + = Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( sin x + cos x ) + ( − 2m ) cos x + − 3m 10 sin x + cos x + cos 4x = m Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x+2 + + x − x − 14 − m = 4− x x − x + m.( x − 4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực + x − x − 3x = m ( ) x + + 3− x Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực m ( ) 1+ x − 1− x − = 1− x + 1+ x − 1− x 2 2 Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ≥ − x + 3mx − < −13 ( *) x Giải Ta có − x + 3mx − < −13 ⇔ 3mx < x − 13 + ⇔ 3m < x − 14 + x x x x Xét hàm số f ( x ) = x − 14 + , x x nửa khoảng [ 1; +∞ ) Hàm số liên tục nửa khoảng [ 1; +∞ ) f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 x x x Suy f ( x) − = −2 >0 ÷ x2 x2 ∀ x ≠ đồng biến khoảng (1; + ∞) Do f ( x ) > 3m ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f ( 1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 Bài tập đề nghị Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với giá trị x ∈ 2; + x (4 − x ) + m( x − 4x + + 2) ≤ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [ −4,6] ( + x) ( − x) ≤ x − 2x + m Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [ −3,6] + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( − x + − x ) có nghiệm Giải 11 Chú ý: Nếu tính f ′ ( x) xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn Thủ thuật: Đặt g ( x ) = x x + x + 12 > ⇒ g ′ ( x ) = x + >0 2 x + 12 h ( x ) = − x + − x > ⇒ h′ ( x ) = −1 − tăng; h ( x ) > giảm hay h ( x ) Do f ( x) = g ( x) h ( x) tăng Suy f ( x) = m >0 tăng có nghiệm m ∈ f ( x ) ;max f ( x ) = [ f ( ) ; f ( ) ] = ( 15 − 12 ) ;12 [ 0;4] [ 0;4] Bài tập đề nghị Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx + ≤ x − + 2m Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Ví dụ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x + 3x − ≤ m ( x − x − ) x + + y + = x y x + 13 + y + 13 = 15m − 10 x y Giải - Đặt u = x + ;v = y + x y - Ta có, ( x + 13 = x + x x ) ( ) − 3x ×1 x + = u − 3u; x x u = x + = x + ≥ x = 2; x x x v = y + ≥ y = y y - Khi hệ trở thành -) u, v u + v = u + v = ⇔ 3 uv = − m u + v − ( u + v ) = 15m − 10 có nghiệm phương trình f ( t ) = t − 5t + = m - Do đó, hệ có nghiệm phương trình t1 , t thỏa mãn f ( t) = m có nghiệm t1 ≥ 2; t ≥ - Bảng biến thiên hàm số f ( t ) với t ≥2 12 T −∞ –2 f ′( t) – – 5/2 +∞ + +∞ +∞ 22 f ( t) Nhìn bảng biến thiên ta có 7/4 ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 Bài tập đề nghị Chứng minh rằngvới số thực dương m hệ phương trình sau có nghiệm y − x = m ( m tham số thực) x y e − e = ln(1 + x ) − ln(1 + y ) x + y = Tìm m để hệ x + + y + ≤ m ( x; y ) ( m tham số thực) có nghiệm thỏa mãn điều kiện x ≥ III Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để chứng minh bất đẳng thức Kiến thức sở - Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến đoạn [ a; b] 1) f ( a ) < f ( x ) < f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) 2) f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] - Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến đoạn [ a; b] 1) f ( a ) > f ( x ) > f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) 2) f ( a ) ≥ f ( x ) ≥ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] Một số ví dụ tập đề nghị π sin x Ví dụ Chứng minh cos x < với x ∈ 0; ÷ 2 x Giải Xét hàm số f ( x ) = sin x − x , khoảng nửa khoảng cos x π 0; ÷ 13 π +) f ( x ) liên tục khoảng nửa khoảng 0; ÷ 2 π + cos2 x − cos x cos x (1 − cos x ) > > ∀ x ∈ 0; ÷ +) f '( x ) = 2 cos x cos x cos x cos x π Do hàm số f ( x ) đồng biến khoảng 0; ÷ Từ f(x) > f(0) ⇔ f ( x ) > f ( ) ⇔ sin x π > x ∀x ∈ 0; ÷ (đpcm) cos x 2 Bài tập đề nghị Chứng minh x2 a) - < cos x ∀x ≠ 2! b) x − x3 < sin x ∀x > 3! c) cos x < − x2 x4 ∀x ≠ + 2! 4! d) sin x < x − x3 x5 ∀x > + 3! 5! e) e x ≥ + x ∀x ∈ ¡ f) ln x < g) x ∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} e x ln x ∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} < x2 − π sin x h) ÷ > cos x ∀x ∈ 0; ÷ x Chứng minh π a) sin x + tan x > x ∀x ∈(0; ) b) π tan x + sin x > x ∀x ∈ 0; ÷ 2 c) x (2 + cos x ) > 3sin x ∀x > d) sin x ≥ π x ∀x ∈ 0; π 2 e) π x(1 − x ) < sin x ≤ x(1 − x ) ∀x ∈ ( 0;1) 14 Chứng minh rằng: ∀x > a) e x < + xe x b) e x − − x < x e x ∀x > x c) x.e < e x − ∀x > d) e x < (1 + x )1+ x ∀x > Chứng minh ) ( x a) ln + + x < + ln x ∀x > b) ln ( + x ) < x 1+ x ∀x > c) ( − x ) ≥ x ln x ∀x > x2 d) ln ( + cos x ) < ln − ∀x ∈ ( 0; π ) Chứng minh rằng: π a) sin ( tan x ) ≥ x ∀x ∈ 0; 4 π b) tan ( sin x ) ≥ x ∀x ∈ 0; 4 Ví dụ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 12x2 − 6mx + m − + 12 = ( 1) m2 Tìm m để A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Giải - Phương trình 12x2 − 6mx + m − + 12 = ( 1) , có hai nghiệm phân biệt m2 12 ∆ = 9m − 12 m − + ÷ ≥ m −2 ≤ m ≤ −2 3m + 48m − 144 ≥ ⇔ ⇔ ≤ m ≤ m ≠ Theo định thức Viét ta có A = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 3 12 m m = ÷ − m2 − + ÷ m 2 12 15 1 3 = m− ÷ 2 m Xét hàm số f ( m ) = m − f '( m) = 1+ D = −2 3; −2 ∪ 2; m ( ) ( ) > ∀m ∈ −2 3; −2 ∪ 2; m2 Bảng biến thiên m −2 −2 f '( m) + - f ( m) - 3 4 3 Dựa vào bảng biến thiên ta max A = 3 đạt m = A = − 3 đạt m = −2 Bài tập đề nghị 1 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + ax + = Tìm m để a P = x14 + x24 đạt giá trị nhỏ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − ( a + 1) x + a = Tìm giá 1 trị nhỏ P = x + x × x2 y2 x y f ( x ; y ) = Ví dụ Tìm giá trị nhỏ y + x ÷ − y + x ÷ ( x, y ≠ ) Giải x y Đặt t = y + x × Ta có, 16 +) t = x y x y + = + ≥ y x y x +) Hàm số cho trở thành f ( t ) = ( t − ) − 8t ⇒ f ( t ) = 3t − 8t − t ∈ ( −∞; 2] ∪ [ 2; +∞ ) f ( t ) liên tục tập ( −∞; 2] , [ 2; +∞ ) f ' ( t ) = 6t − ∀t ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) ∉ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) f '( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên −∞ t -2 f '( t ) + +∞ 3 - +∞ +∞ f ( t) 22 20 Bài tập đề nghị Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = sin x + 2sin x + × sin x + 3sin x + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = 2sin x + 21+cos x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn x4 y4 x2 y x y P = + ÷ − + ÷ + + ÷ ( x; y ≠ ) x x y x y y Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = cos2 x + 1 + cos x + −4 cos x cos x Ví dụ 4: Cho số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị y + xy − × nhỏ biểu thức P = xy − x + Giải Nếu x = từ giả thiết x + y = ta có y = , suy P = 2 Nếu x ≠ đặt y = tx ( t ≥ ) Từ giả thiết ta có x2 + y = ⇔ x2 + t x2 = ⇔ x2 = + t2 17 Ta có, P = 4t x + 2tx − 3t + 2t − = 2tx − x + 3t + 2t + Xét hàm số f ( t ) = 3t + 2t − nửa khoảng [ 0; +∞ ) 3t + 2t + f '( t ) = 12t + 4t ∀t ∈ ( 0; +∞ ) (3t + 2t + 1) t = ∈ ( 0; +∞ ) f '( t ) = ⇔ t = − ∉ ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên t +∞ f '( t ) + f ( t) -1 Từ bảng biến thiên ta có, P = −1 đạt t = ⇔ x = y = max P = đạt t = ⇔ x = y = Bài tập đề nghị Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị 2( x + 6xy ) lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = + 2xy + y 2 Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − x2 y3 + × y2 x3 Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = trị nhỏ biểu thức A = x − xy + y Giải x − xy + y × x + xy + y Nếu y = x = ±1 A = Ta có, A = x − xy + y = x x y ÷ y ữ+ ì Nếu y ≠ A = x x y ÷ + y ÷+ 18 x t − t +1 × Đặt t = y , ta A = f ( t ) = f '( t ) = t + t +1 ( t − 1) (t + t + 1) ∀t ∈ ¡ , f ' ( t ) = ⇔ t = ±1 Bảng biến thiên t −∞ f '( t ) f ( t) -1 +∞ 1 1 Từ bảng biến thiên ta có, max A = đạt t = −1 hay ( x; y ) = ( 1; −1) , ( −1;1) 1 ; ;− P = −1 đạt t = hay ( x; y ) = ÷, − ÷ 3 3 Bài tập đề nghị Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x + y − x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ 1 2 biểu thức P = x + x + y + y × Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, 2 giá trị nhỏ biểu thức P = ( 4x + y ) ( y + 3x) + 25xy Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x + y ) + 4xy ≥ Tìm giá trị 4 2 2 nhỏ biểu thức A = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đây mảng kiến thức đòi hỏi tư cao, nên nội dung đề tài tác giả thực nghiệm sư phạm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Kết cho thấy: - Sau giảng dạy chuyên đề học sinh nắm sâu kiến thức hàm số như: tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, tính liên tục, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… - Cách phân dạng tập giúp học sinh dể hiểu, định hướng vấn đề, giải vấn đề cách lôgic Học sinh vận dụng làm tốt số đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi phần KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận: Các toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức loại tốn khó, địi hỏi tư cao Vì vậy, trình giảng dạy, giáo viên cần phải phân dạng tập cách có hệ thống trình bày rõ ràng Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân Rất mong đóng góp đồng nghiệp - Kiến nghị: Trong khuôn khổ đề tài, tác giả dừng lại mức phân dạng đưa ví dụ, tập đề nghị cụ thể Xét thấy, phạm vi đề tài mở rộng, phát triển cách phân tích ví dụ, tập để đưa tập tương tự tập mức độ cao Ví dụ, vận dụng toán Chứng minh cos x < π sin x x ∈ với 0; ÷, giáo viên định hướng 2 x2 cho học sinh đến toán Cho tam giác ABC nhọn với góc tương ứng A, B, C Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A sin B sin C + + × A2 B2 C2 20 ... dạng toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức Giúp cho học sinh tự phát lĩnh hội kiến thức từ biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn I Sử dụng tính đơn điệu hàm. .. giải tốn Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức mức độ chung chung b) Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh biết giải tập tương tự với mà giải rồi, bế tắc gặp toán. .. khả giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức cách giải vấn đề đồng nghiệp, từ để đánh giá xác kết phương pháp - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh