Dựa vào phương pháp tọa độ do chính phát minh Descartes đã sáng lập ra môn Hình học giải tích. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu Hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ Hình học. Tham khảo sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ giải một số bài toán sơ cấp thường gặp dưới đây để hiểu hơn về vấn đề này.
Sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VÀ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP Giáo Viên: Ngô Minh Tuấn BÌNH XUYÊN, THÁNG 11 NĂM 2010 A ĐẶT VẤN ĐỀ: Dựa vào phương pháp toạ độ phát minh Descartes sáng lập môn hình học giải tích Qua cho phép nghiên cứu hình học ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc giúp ta bỏ thói quen tư cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao khái quát hoá trừu tượng toán học nhiều lónh vực khác Trong dạy học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải toán việc làm cần thiết, chọn công cụ thích hợp tất nhiên lời giải tốt Sau xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ toạ độ” để giải số toán sơ cấp ơ’ phổ thông Trang Sáng kiến kinh nghiệm B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: LÝ THUYẾT I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG Định nghóa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy chọn véc tơ đơn vị e1 , e2 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy Toạ độ điểm véc tơ: Cho điểm M mp Oxy Hạ MH vuông góc x’Ox MK vuông góc y’Oy Theo qui tắc hình bình hành, ta coù: OM OH OK xe1 ye2 Bộ hai (x, y) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x, y) Cho a hệ trục Khi tồn điểm M cho OM a Gọi (x,y) toạ độ điểm M Khi hai (x,y) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxy ký hiệu a = (x,y) Các phép tính véc tơ : Cho hai véc tơ a (a1 , a2 ) ; b (b1 , b2 ) k số thực Các phép tính véc tơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với véctơ, tích vô hướng hai véc tơ xác định sau: a b (a1 b1 , a2 b2 ) a b (a1 b1 , a2 b2 ) k a (ka1 , ka1 ) a.b a1b1 a2b2 Các công thức lượng : Cho hai véc tơ a (a1; a2 ) ; b (b1; b2 ) gọi góc tạo hai véctơ a.b a b a b hai véctơ hướng cos a1.b1 a2 b2 a.b ab a1 a2 b12 b2 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = laø : d (M , D) Axo Byo C A2 B2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình đường thẳng, đường tròn * Phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(x0, y0) nhận véctơ n ( A, B) làm véc tơ pháp tuyến laø: A(x – x0) + B(y – y0) = * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với đôi Trên Ox, Oy, Oz chọn véc tơ đơn vị e1 , e2 , e3 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz Toạ độ điểm véc tơ Cho điểm M kh ông gian Oxyz Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy ML vuông góc z’Oz Theo qui tắc hình hộp, ta có : OM OH OK OL xe1 ye2 ze3 Boä ba (x,y,z) hoàn toàn xác định điểm M gọi toạ độ điểm M, ký hiệu M(x,y,z) Cho a Khi tồn điểm M cho OM a Gọi (x, y z) toạ độ điểm M Khi ba (x, y, z) gọi toạ độ véc tơ a hệ trục Oxyz ký hiệu a = (x,y,z) Các phép tính véc tơ : Cho hai véc tơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) k số thực Các phép tính vectơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ xác định sau: a b (a1 b2 , a2 b2 ) a b (a1 b1 , a2 b2 ) k.a (ka1 , ka1 ) a.b a1b1 a2b2 a a a a aa a.b ( , , ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 Các công thức lượng : Cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) gọi góc tạo hai vectơ a.b a b ch ỉ a b hai vectơ hướng Trang Sáng kiến kinh nghieäm cos a1.b1 a2 b2 a3.b3 a.b ab a12 a2 a32 b12 b2 b32 Cho (D) đường thẳng qua A có vectơ phương a (a1, a2 , a3 ) điểm M Giả sử ta tính AM (b1,b2 , b3 ) Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) tính : a2 a3 d ( M , D) 2 aa aa b2 b3 b3 b1 b1 b2 a12 a22 a32 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng mặt cầu a Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x0,y0,z0) có cặp vectơ phương a (a1, a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) laø : a2 a3 a a aa ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 b Phương trình tham số đường thẳng (D) qua điểm M(x0,y0,z0) v nhận vectơ a (a1 , a2 , a3 ) làm vectơ phương là: x x0 a1t y y0 a2t z z a t (t laø tham số) c Phương trình mặt cầu t âm I (a, b,c) có bán kính R : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN I CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho số thực x1, x2, x3, x4 chứng minh (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Giải: Trên mặt phẳng toạ độ xét vectơ : a ( x1, y1 ); b ( x2 , y2 ) Ta coù a b a.b a b (a.b)2 vaäy (x12 +y12) (x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm đẳng thức xãy a // b x1 y2 x2 y1 Bài 2: Chứng minh x, y, z > x xy y x xz z y yz z Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z y z 3 ( x )2 ( y) ( x )2 ( z ) ( )2 ( y z ) (1) 2 2 2 2 Xét điểm A( x y , 3 y z z ) ; B(0, y z ) ; C ( ,0) 2 2 2 (1) AB + AC > BC Ta có AB AC BC với điểm A, B, C y y) AB ( x , 2 AC ( x z , z ) 2 Hai véctơ ngược hướng (vì hoành độ âm) xãy đẳng thức AB + AC > BC Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Bài Giải bất phương trình: x x 2( x 3) x 2(1) Giải Điều kiện x Xét mặt phẳng toạ độ Oxy vectơ: u ( x 3, x 1) v (1,1) u ( x 3) x v u.v x x Suy bất phương trình (1) tương đương u.v u v Trang Sáng kiến kinh nghiệm u v x x 1 x2 x x 1 x x x 10 x x x x x5 Vậy x=5 nghiệm Bài Chứng minh rằng: cos x sin x cos x , x R Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vectơ: a (cos x,1) a b (cos x,0) b (sin x ,1) Khi đó, từ a b a b cos x sin x cos x (dpcm) Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: y f ( x) cos x 2cos x cos x 4cos x Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét véctơ: a (1 cos x,2) b (2 cos x,2) a (1 cos x) 22 cos x 2cos x 2 Khi : b (2 cos x) cos x 4cos x a b 32 42 Trang Sáng kiến kinh nghiệm a b ab từ y Dấu “=” xảy (chẳng hạn) x 2 Vậy miny=5 Bài : T ìm giá trị nhỏ biểu thức y x px p x 2qx 2q ( p q) Gi aûi Ta c où y ( x p)2 p ( x q) q Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q) Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ Xét hai trường hợp: - Nếu pq 0 A, B nằm phía O (đồng thời nằm phía Ox) Lấy A’ đối xứ ng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : MA MB MA ' MB A ' B Đẳng thức xãy A’, M, B thẳng hàng x p k (q p ) A' M k A' B p k (q p ) p k p q x pq pq ymin A ' B ( p q)2 ( p q)2 2( p q ) đạt x = 2pq/(p+q) Bài Giải phương trình: x x x 12 x 25 x 12 x 29 Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét vectơ: u ( x 1,1) u v (3x 2,5) v (2 x 3, 4) Trang Sáng kiến kinh nghieäm u x2 x v x 12 x 25 u v x 12 x 29 Suy phương trình (1) tương đương: uv u v u kv(k 0) x k (2 x 3) 1 k k x (2 x 3) k 4 x x k x Vậy phương trình (1) có nghiệm x Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x (3 x)(6 x) m Giải Đặt u x ; v x Phương trình cho trở thành u v 10 2m (1) u v uv m 2 u v (2) u v u 0, v u 0, v (3) - Phương trình (1) biểu thị đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn đường tròn có tâm góc toạ độ bán kính = Hệ có nghiệm đường thẳng (1) đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3) Trang Sáng kiến kinh nghiệm Vậy Pt có nghiệm 10 2m 9 m3 Bài 9: Chứng minh rằng: a a a a 2, a R (Hướng dẫn) Xét hai vectơ 3 x a , 2 3 y a , 2 2cos2 x 2sin x m Baøi 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số : y f ( x) cos x 6cos x 13 cos x 2cos x 2004 , 2006 (Hướng dẫn) Xét hai vectơ a (3 cos x, 2) b (1 cos x,1) CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC : Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh góc vuông bvà c, M điểm cạnh BC cho góc BAM = Chứng minh rằng: AM = bc c.cos b sin Giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Từ định nghóa: x = AM cos , y = AM sin Neân M(AM cos , AM sin ) Do M thuoäc BC CM phương v ới CB AM cos AM sin 0 b c AM (c cos b sin ) bc bc AM c cos b sin Trang Sáng kiến kinh nghiệm Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp ma, mb, mc, R Chứng minh: ma mb mc 9R (Đại học y dược TPHCM năm2000) Giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta coù: (OA OB OC ) OA2 OB OC 2(OA.OB OB.OC OC.OA) 3R R (cos A cos B cos 2C ) 2(3 2sin A 2sin B 2sin C ) Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: sin A sin B sin C ma mb mc 3(ma2 mb2 mc2 ) (a b c ) 9(sin A sin B sin C ).R 9 .R R R Dấu”=” xảy tam giác ABC ma mb mc Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm Bài 3: (SGK HH 10) Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC, D hình chiếu H AC , M trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc BD Giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y) DH AC ( x, y )(c, a) Ta coù : AD cung phuong AC x y a c a 0 a 2c x cx ay a2 c2 ax cy ac y c a a2 c2 a 2c c2 a , ) , M trung điểm HD nên: Vậy D( a c2 a2 c2 a 2c c2 a M( , ) 2(a c ) 2(a c ) 2a 2c c3 c2 a a 2c -c2 a 2a3 BD AM ( 2 , 2 )( 2 , ) a c a c 2(a c ) 2(a c ) 2a 4c a 2c -c4 a 2a 4c 0 2(a c ) 2(a c ) Vậy BD Vuông góc AM (đpcm) Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm Bài (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979) Điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M Giải Gọi I,R tâm bán kính đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác ABC Dựng hệ trục 3R R 3R R , ); C ( , ); I ( R,0) 2 2 M ( x, y) (C ) MI R MI R x y 2Rx 3R R 2 4 2 MA MB MC ( x y ) ( x ) ( y ) 2 hình vẽ, ta có A(0,0); B( Ta coù 3R R 2 ( x )2 ( y ) 2 (2 Rx)2 (3R Rx R y) (3R Rx R y) R x R y 18R 12 R x R ( x y ) 18R 12 R x R 2 Rx 18R 12 R x 18R Vậy giá trị MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí M B ài (Đ ề thi v ô đ ịch Anh - n ăm 1981) Cho tam giác ABC cân A D trung điểm cạnh AB, I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vuông góc CD Gi ải Chọn hệ trục hình vẽ (O trung điểm BC) Khi : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Gọi I(x, y) Giả thiết suy c a DI BA ( x , y ).(c, a) 2 OI BC ( x, y ).(2c, o) x a2 c2 y 2a V aäy I (0, a2 c2 ) 2a Trang 12 Sáng kiến kinh nghiệm c c 3c a c c IE.DC ( , )( , ) 2a 2 4 IE DC (dpcm) II CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÁC BÀI ĐẠI SỐ: Bài 1:Giải hệ phương trình x y z 1 2 x y z 1 3 x y z 1 Giải Xét hai véc tơ u ( x0 , y0 , z0 ) ; v ( x0 , y0 , z0 ) u ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) hệ cho Ta có u.v x03 y03 z03 Ngoài tính u ; v 2( x02 y02 y02 z02 z02 x02 Vậy u v u.v Do u.v u v x0 y0 y z 1 0 Dấu xaõy z0 x0 x y z 1 0 x0 x0 x0 Từ suy y0 ; y0 ; y0 z z z 1 Thử lại ta hệ cho có nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Bài : Giải bất phương trình: x x 50 3x 12 Giải Điều kiện: x 1 3 50 x x 2 50 x Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm Trong mặt phẳng Oxy xét vectô: u (1,1,1) v ( x 1, x 3, 50 x ) u u x x 50 x 48 u.v x x 50 x Suy ra(1) u.v u v Đẳng thức Vậy nghiệm bất phương trình cho Bài 3 50 x a2 x y z 3 Giải hệ: x2 y z 3(1) x3 y3 z3 3 Giải Xét Không gian Oxyz vectơ: u ( x, y , z ) v (1,1,1) u x2 y z u u.v x y z u.v u v u v x y z 0 1 x y z 1 (Thoaû (1) Vậy: x=y=z=1 nghiệm hệ (1) Bài : Cho a, b hai số thực tuỳ ý Chứng minh Trang 14 Sáng kiến kinh nghiệm (a b)(1 ab) (1 a )(1 b2 ) Giải Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - vuông góc Oxyz, đặt u (1, a,0) v (1, b,0) ab cos(u, v) a b2 ab sin( u , v ) a b2 2(1 ab)(a b) 1 (1 a )(1 b2 ) (a b)(1 ab) (1 a )(1 b2 ) ta coù sin 2(u, v) 2sin(u, v).cos(u, v) CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài Cho tam diện oxyz A, B, C điểm di động ox, oy, oz cho: 1 1 OA OB OC 2005 Chứng minh rằng: (ABC)luôn qua điểm cố định Giải Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c) Khi phương trình mặt phẳng (ABC) là: Trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm x y z 1 a b c Hơn nữa: 1 1 (Do giả thiết) a b c 2005 M (2005,2005,2005) mp( ABC ) =>mp(ABC)luôn qua điểm cố định M(2005,2005,2005) Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c a/ Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M N trung điểm AB BC Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c Giải a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, trục có phương trùng với AB ; AD ; AA ' Khi : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c) AC (a, b,0); AD ' (0, b, c);[ AC , AD] (bc, ca, ab) S [ AC , AD] ACD ' b c c a a 2b 2 b/ Dễ dàng tính S 3ab DMN abc V S DD ' DMN Bài 3:Cho hai nửa mp (P) (Q) vuông góc với theo giao tuyến (d) Trên (d) lấy AB = a (a độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) (Q) lấy điểm N cho BN = a2 b2 a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b b/ Tính MN theo a , b Với giá trị b MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu Giải a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ (0,a,0); a2 N có toạ độ ( , a, ) Ta có b Trang 16 Sáng kiến kinh nghieäm BM (0, a, b) a2 BN ( ,0,0) b b a b a b , [ BM , BN ] ( , ) (0, a , a ) a a 0 0 b b a (0,1, 1) Do mp(BMN) qua B(0,a,0) có VTPT v (0,1, 1) Phương trình mặt phẳng laø: (y – a).1 – (z – 0) = hay y–z -a=0 Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng : a a 11 a2 a4 a b2 b/ Ta coù MN ( , a, b) MN b b4 MN a2 2a2 (bất đẳng thức Côsi) a4 a b2 b a MN có độ dài cực tiểu b MinMN a b a Bài 4: Cho góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz Lấy Ox, Oy,Oz điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C trung điểm PQ, QR, RP Chứng minh góc nhị diện cạnh OA tứ` diện OABC góc nhị diện vuông hai góc B C tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = Giải Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c) Khi đó: A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Pháp véc tơ mặt phẳng (OAB) (OAC) là: n1 (bc, ac, ab) n2 (bc, ac, ab) Góc nhị diện cạnh OA vuông chæ khi: n1.n2 b2c a 2c a 2b2 Trong tam giaùc ABC ta có: Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm b c a c a 2b a2 b c a c a 2b tgC b2 b2c a 2c a 2b 2a 2b tgB tgC 2 2(dpcm) Vaäy a 2b ab tgB Baøi 5: Cho tam giác vuông goc A.tìm quỹ tích điểm M không gian thoả mãn : MB MC MA2 Giải Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Với AB =b>0,AC=c>0) Khi M(x, y, z) thoả : MB MC MA2 ( x b) y z ( y c ) z x y z ( x b) ( y c ) z x b y c z M (b, c, 0) Vậy quỹ tích cần tìm có điểm M(b,c,0) Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm C KẾT LUẬN Trên số toán đại số hình học mặt phẳng không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ toạ độ chuyển thành toán đại số giải tích tìm lời giải ngắn gọn, phần làm sáng tỏ vấn đề mà đưa Trong trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên không tránh khỏi nhiều thiếu sót, mong thầy cô góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn Bình Xuyên, tháng 11 năm 2010 Người viết Ngơ Minh Tuấn Trang 19 ... 18 Sáng kiến kinh nghiệm C KẾT LUẬN Trên số toán đại số hình học mặt phẳng không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ toạ độ chuyển thành toán đại số giải. .. Trang 12 Sáng kiến kinh nghiệm c c 3c a c c IE.DC ( , )( , ) 2a 2 4 IE DC (dpcm) II CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÁC BÀI ĐẠI SỐ: Bài 1 :Giải hệ phương trình... CÁC BÀI TOÁN I CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho số thực x1, x2, x3, x4 chứng minh (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Giải: Trên mặt phẳng toạ độ