Lý thuyết Nevanlynna đối với toán tử sai phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ SỸ MINH LÝ THUYẾT NEVANLINNA ĐỐI VỚI TỐN TỬ SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN – NĂM 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ SỸ MINH LÝ THUYẾT NEVANLINNA ĐỐI VỚI TỐN TỬ SAI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa hoc: PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUN – NĂM 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2. Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển 4 1.1. Cơng thức Poisson -Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 10 1.5. Định lý 5 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân 18 2.1. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Quan hệ số khuyết và định lý Picard . . . . . . . . . . . 27 2.4. Các hàm chung các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Áp dụng cho các phương trình sai phân . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mở đầu 0.1. Mục đích và lý do chọn luận văn Một số ước lượng liên quan đến đạo hàm f → f  của một hàm phân hình đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna cổ điển. Mục đích của nghiên cứu này là mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân f → ∆ c f = f (z + c) − f(z). Năm 2006, R. G. Halburd và R. J. Korhonen đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân. Về sau, hướng nghiên cứu này đã thu hút được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước. Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này tơi đã chọn luận văn: "Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân". Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết bài báo "Nevanlinna theory for the difference operator" của R. G. Halburd và R. J. Korhonen đã đăng trên "Annales Academie Sientiarum Fennice, Methematica, Số 31 năm 2006". 0.2. Nội dung nghiên cứu Luận văn nghiên cứu sự mở rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân f → ∆ c f = f (z + c) − f (z). 0.3. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu cơ bản: Đọc bài báo của tác giả theo hướng nghiên cứu, từ đó tìm ra những ý tưởng mới để nghiên cứu. Luận văn giải quyết các vấn đề trọng tâm: Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Chương này tập trung trình bày về những kiến thức cơ sở của Lý thuyết Nevanlinna cổ điển: Cơng thức Poisson – Jensen, các hàm Nevan- Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 linna, các định lý cơ bản, Quan hệ số khuyết, định lý Picard và định lý 5 điểm Nevanlinna. Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả mở rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho tốn tử sai phân. Một trong những kết quả chính là mơ hình hóa định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Hệ quả của định lý bao gồm các mơ hình hóa của quan hệ số khuyết, định lý Picard, định lý năm điểm Nevanlinna. Nghiên cứu ứng dụng cho phương trình sai phân và đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả đã trình bày. Trong q trình học tập và thực hiện luận văn, tơi đã nhận được sự dạy bảo tận tình của các thầy cơ giáo ở trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Ngun, Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Viện Tốn Học. Đặc biệt là sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, cơ giáo đã giúp đỡ tơi trong suốt thời gian qua. Xin cảm ơn gia đình và các bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tơi hồn thành bản luận văn này. Thái Ngun, ngày 07 tháng 7 năm 2013 Tác giả Vũ Sỹ Minh Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Lý thuyết Nevanlinna cổ điển Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở của Lý thuyết Nevanlinna cổ điển. 1.1. Cơng thức Poisson -Jensen Điểm z = a được gọi là điểm bất thường cơ lập của hàm f (z) nếu hàm f(z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó. Điểm bất thường cơ lập z = a của hàm f(z) được gọi là cực điểm của hàm f(z) nếu lim z→a f (z) = ∞ Điểm z = a được gọi là cực điểm cấp m > 0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của a, hàm f (z) = 1 (z − a) m .h (z) trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của a và h (a) = 0 Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong miền D nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số bất thường là cực điểm. Định lý 1.1.1. (Cơng thức Poisson -Jensen) Cho f (z) là hàm phân hình trong hình tròn {|z| ≤ R} ; 0 < R < +∞ và f (z) ≡ 0. Giả sử a µ (µ = 1, 2, , M) là các khơng điểm, mỗi khơng điểm được kể một số lần bằng bội của nó, b v (v = 1, 2, , N) là các cực điểm của f trong hình tròn đó, mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu z = r.e iθ , (0 < r < R) , f (z) = 0, f (z) = ∞ thì: log |f (z)| = 1 2π 2π  0 log   f  Re iθ    R 2 − r 2 R 2 − 2Rrcos (φ − θ) + r 2 dθ + M  µ=1 log     R (z − a µ ) R 2 − a µ z     − N  v=1 log     R (z − b v ) R 2 − a v z     , (1.1) Cơng thức (1.1) chỉ ra rằng nếu biết giá trị của mơđun f(z) trên biên, các cực điểm và khơng điểm của f(z) trong |z| < R thì ta có thể Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 tìm được giá trị của mơđun f(z) bên trong đĩa |z| < R. Trường hợp đặc biệt tại z = 0 cơng thức (1.1) có dạng: log |f (0)| = 1 2π 2π  0 log   f  Re iθ    dθ + M  µ=1 log |a µ | R − N  v=1 log |b v | R , (1.2) với giả thiết f(0) = 0; f(0) = ∞. 1.2. Các hàm Nevanlinna Ta định nghĩa: log + (x) = Max {log x; 0} . Cho f là hàm phân hình trên đĩa D (r) = {z ∈ C : |z| < r}, với 0 < r ≤ ∞. Ta kí hiệu n(r, f) là số cực điểm của f trong đĩa đóng D(r). Hàm đếm tại cực điểm của f , ký hiệu N(r, f) và được xác định như sau N (r, f ) = r  0 n (t, f) − n (0, f) t dt + n (0, f) log r, trong đó n (0, f) = lim t→0 inf n (t, f). Hàm xấp xỉ của hàm f được kí hiệu m(r, f) và được xác định bởi: m (r, f ) = 1 2π 2π  0 log +   f  re iθ    dθ. Hàm đặc trưng Nevanlinna của f, ký hiệu là T (r, f ) và được xác định bởi T (r, f) = m (r, f ) + N (r, f ) . Với mỗi a ∈ C, ký hiệu n(r; 1 f − a ) là số các a− điểm của f kể cả bội trong đĩa đóng D(r). Hàm đếm tại các a− điểm của f, ký hiệu là N(r; 1 f − a ), được xác Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 định bởi N(r, 1 f − a ) = r  0 n(t, 1 f − a ) − n(0, 1 f − a ) t dt + n  0, 1 f − a  log r. Hàm xấp xỉ tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu m(r, 1 f − a ), được xác định bởi m(r, 1 f − a ) = 1 2π 2π  0 log + 1 |f (re iθ ) − a| dθ. Hàm đặc trưng Nevanlinna tại các a− điểm của hàm f, được ký hiệu T (r, 1 f − a ), được xác định bởi: T (r, 1 f − a ) = m(r, 1 f − a ) + N(r, 1 f − a ). Với x > 0 thì log x = log + x − log +  1 x  , suy ra 1 2π 2π  0 log   f  re iθ    dθ = 1 2π 2π  0 log +   f  re iθ    dθ− 1 2π 2π  0 log +  1 |f (re iθ )|  dθ. Cơng thức (1.2) có dạng log |f (0)| = 1 2π 2π  0 log +   f  re iθ    dθ + N  v=1 log r |b v | −   1 2π 2π  0 log + 1 |f (re iθ )| dθ + M  µ=1 log r |a µ |   Suy ra log |f (0)| = m (r, f) + N (r, f) −  m  r, 1 f  + N  r, 1 f  . Vậy log |f (0)| = T (r, f) − T  r, 1 f  . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Hay T  r, 1 f  = T (r, f ) − log |f (0)| . (1.3) Một số tính chất của các hàm Nevanlinna 1. m(r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 m(r, f k ) + log n; 2. m(r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 m (r, f k ); 3. N (r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 N(r, f k ); 4. N (r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 N (r, f k ); 5. T (r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 T (r, f k ) + log n; 6. T (r, n  k=1 f k ) ≤ n  k=1 T (r, f k ). Trong trường hợp đặc biệt với n = 2, f 1 (z) = f(z), f 2 (z) = −a (a là hằng số) ta có T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + T (r, a) + log 2, suy ra T (r, f − a) ≤ T (r, f ) + log + |a| + log 2. Vậy T (r, f) − T (r, f − a) ≥ −  log + |a| + log 2  . (1.4) Với f 1 (z) = f (z) − a, f 2 (z) = a ta có T (r, f) = T (r, f − a + a) ≤ T (r, f − a) + T (r, a) Suy ra T (r, f) ≤ T (r, f − a) + log + |a| + log 2. Vậy T (r, f) − T (r, f − a) ≤ log + |a| + log 2. (1.5) Từ (1.4) và (1.5) ta được |T (r, f) − T (r, f − a)| ≤ log + |a| + log 2, ∀a ∈ C. (1.6) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 1.3. Các định lý cơ bản Định lý 1.3.1. (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên đĩa đóng D(r) = {z ∈ C : |z| ≤ r}. Khi đó ta có: T (r, 1 f − a ) = T (r, f) − log |f (0) − a| + ε (r, a) , (1.7) trong đó |ε (r, a)| ≤ log + |a| + log 2. Hay T  r, 1 f − a  = T (r, f ) + O (1) , (1.8) trong đó O(1) là đại lượng bị chặn. Chứng minh. Theo (1.3) ta có T  r, 1 f − a  = T (r, f − a) − log |f (0) − a| . Theo (1.6) ta có T (r, f − a) = T (r, f) + ε (r, a) , trong đó |ε (r, a)| ≤ log + |a| + log 2. Do đó T  r, 1 f − a  = T (r, f ) − log |f (0) − a| + ε (r, a) . Suy ra T  r, 1 f − a  = T (r, f ) + O (1) . Định lý được chứng minh. Định lý 1.3.2. (Bất đẳng thức cơ bản) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên đĩa đóng D(r). Giả sử a 1 , a 2 , , a q là các số phức phân biệt, δ > 0 và |a µ − a v | ≥ δ; 1 ≤ µ < v ≤ q. Khi đó m (r, f ) + q  j=1 m  r, 1 f − a j  ≤ 2T (r, f) − N 1 (r, f ) + S (r, f ) , (1.9) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... số 5 trong định lý 1.5.1 bằng số 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 Chương 2 Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân Cho f là hàm phân hình trên C Khi đó ta định nghĩa: Bậc của f , ký hiệu là ρ(f ) và được xác định bởi ρ (f ) = lim sup r→∞ log T (r, f ) log r Nếu ρ(f ) < +∞ thì ta nói hàm f có bậc hữu hạn Hàm f được gọi là tuần hồn với chu kỳ c ∈ C nếu với mọi z ∈ C ta... tới hàm phân hình f Định lý 2.2.2 Cho c ∈ C và f là hàm phân hình cấp hữu hạn thỏa mãn ∆c f ≡ 0 Cho q ≥ 2 và a1 (z), , aq (z) là các hàm tuần hồn phân hình phân biệt với chu kì c sao cho ak ∈ S(f ) với mọi k = 1, , q Khi đó q (q − 1)T (r, f ) ≤ Nc (r, f ) + Nc (r, k=1 1 ) + S(r, f ) f − ak (2.10) đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn Chứng minh Theo Định lý 2.2.1 và định lý cơ... gọi là tuần hồn với chu kỳ c ∈ C nếu với mọi z ∈ C ta có f (z + c) = f (z) Tốn tử sai phân của hàm f , ký hiệu là ∆c f , được xác định bởi ∆c f = f (z + c) − f (z) Trước khi đi vào chi tiết sự phân bố giá trị của sai phân chính xác, đầu tiên chúng ta phải trả lời chính xác cho câu hỏi: Cái gì là mơ hình sai phân của một điểm với bội số cao? Do hình thức rời rạc của đạo hàm f (z), chúng ta thu được f (z... Định lý cơ bản thứ hai với Định lý 2.1.1 thu được kết quả là một dạng khác của Định lý cơ bản thứ hai, trong đó thay vì số hạng phân nhánh thơng thường có một số nhất định các số hạng của các điểm lặp của hàm f đang xét Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 Định lý 2.2.1 Cho c ∈ C và f là một hàm phân hình cấp hữu hạn thỏa mãn ∆c f ≡ 0, cho q ≥ 2 và a1 (z), , aq (z) là các hàm phân. .. (r, a3 ) = 0 Suy ra Θ(a1 ) = Θ(a2 ) = Θ(a3 ) = 1 Nên Θ (a) ≥ 3 a∈C∪{∞} Điều này là mâu thuẫn với quan hệ số khuyết Định lý được chứng minh 1.5 Định lý 5 điểm Nevanlinna Định lý 1.5.1 Giả sử f (z), g(z) là hai hàm phân hình trên C và tồn tại 5 giá trị phân biệt aj với j = 1, , 5 sao cho f −1 (aj ) = g −1 (aj ) với j = 1, , 5 Khi đó f ≡ g hoặc f, g là hàm hằng Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... Định lý được chứng minh Chúng ta xét một số ý nghĩa của định lý 2.2.2 Tương tự như lý thuyết Nevanlinna cổ điển, hàm đếm Nc (r, a) thỏa mãn Nc (r, a) = T (r, f ) + S(r, f ) ngoại trừ hầu hết các giá trị đếm được Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 27 a Tuy nhiên khơng giống như N (r, a), hàm đếm Nc (r, a) với một số giá trị a có thể âm với mọi r đủ lớn Do định lý 2.2.2 các hàm phân. .. và định lý Picard Định lý cơ bản thứ hai Nevanlinna là sự khái qt sâu sắc của định lý Picard Nó có nhiều hệ quả quan trọng trong việc phân bố giá trị của các hàm phân hình Mơ hình hóa sai phân của chỉ số bội θ(a, f ) được định nghĩa sau: Chỉ số của a− điểm lặp chu kỳ c được ký hiệu πc (a, f ) và được xác định như sau: Nc (r, a) πc (a, f ) := lim inf r→∞ T (r, f ) trong đó a là hàm tuần hồn với chu... mãn a ∈ S(f ) và (δ(a, f ) + πc (a, f )) ≤ a Πc (a, f ) ≤ 2 (2.16) a Theo định lý cơ bản thứ hai kéo theo Θ(a, f ) = 0 ngoại trừ nhiều nhất đếm được các giá trị a Sự khác biệt nhất giữa lý thuyết Nevanlinna cổ điển và hệ mơ hình hóa sai phân đó là Mặc dù bất đẳng thức 0 ≤ Θ(a, f ) ≤ 1 thỏa mãn với mọi hàm phân hình f và với mọi a trên mặt phẳng phức mở rộng Tuy nhiên, tổng khuyết tối đa πc (a, f )... trong năm giá trị aj với j = 1, , 5, giả sử 4 giá trị đó là aj với j = 1, , 4 Ta có: 1 N (r, ) = 0; j = 1, , 4 f − aj Vì f −1 (aj ) = g −1 (aj ) với j = 1 , 4 nên N (r, 1 ) = 0; j = 1, , 4 g − aj tức là g(z) khơng nhận 4 giá trị phân biệt aj với j = 1, , 4, theo định lý Picard g(z) phải là hàm hằng Trường hợp 2: Giả sử f, g khác hàm hằng và f ≡ g Khi đó áp dụng định lý cơ bản thứ hai... S(r, f ), đúng với r đủ lớn nằm ngồi một tập có độ đo logarit hữu hạn Theo kết quả của Valiron và Mohon’ko [4] ta có Bổ đề 2.1.4 Nếu R(z, f ) là một hàm hữu tỷ với f và có các hệ số phân hình nhỏ Khi đó T (r, R(z, f )) = degf (R)T (r, f ) + S(r, f ) 2.2 (2.7) Định lý cơ bản thứ hai Bổ đề về đạo hàm logarit là một trong những phần chính trong chứng minh của Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna . lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân f → ∆ c f = f (z + c) − f(z). Năm 2006, R. G. Halburd và R. J. Korhonen đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna đối với. rộng Lý thuyết Nevanlinna cổ điển tới lý thuyết Nevanlinna cho tốn tử sai phân. Một trong những kết quả chính là mơ hình hóa định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna. Hệ quả của định lý. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 linna, các định lý cơ bản, Quan hệ số khuyết, định lý Picard và định lý 5 điểm Nevanlinna. Chương 2. Lý thuyết Nevanlinna đối với tốn tử sai phân Trong chương này, chúng tơi