Nguyên Lý So Sánh Đối Với Toán Tử Monge-Ampère Phức Trong Các Lớp F (W) Và E (W)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - LƯU THỊ THANH HUYỀN NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT ( W) VÀ EpT ( W) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - LƯU THỊ THANH HUYỀN NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT ( W) VÀ EpT ( W) Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Lưu Thị Thanh Huyền i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2017 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị 1.2 Hàm đa điều hịa 1.3 Tốn tử Monge-Ampère phức 1.4 Tính tựa liên tục hàm đa điều hòa 10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12 1.6 Các lớp lượng Cegrell 16 Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGEAMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT (W) VÀ EpT (W) 17 2.1 Các lớp F pT (W) EpT (W) 17 2.2 Các Định lý so sánh 25 2.3 Tính C T - tựa liên tục 28 2.4 Nguyên lý so sánh lớp F pT (W) EpT (W) 36 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho W tập bị chặn £ n PSH (W) tập hợp hàm đa điều hòa W Năm 1982, E Berfod B.A Taylor [2] xây dựng toán tử Monge-Ampere phức (dd c )n cho lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, khái niệm đóng vai trị quan trọng trung tâm lý thuyết đa vị Các tác giả tốn tử hồn tồn xác định lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương có ảnh lớp độ đo khơng âm, đồng thời thiết lập ngun lí so sánh để nghiên cứu toán Dirichle PSH (W) ầ LƠ (W) Nm 1984, Kiselman ó ch khơng thể mở rộng tốn tử (dd c )n tới lớp hàm đa điều hòa mà có ảnh lớp độ đo khơng âm Bài tốn mở rộng miền xác định toán tử Monge-Ampere nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Năm 1998, Cegrell [3] định nghĩa lớp lượng E0(W), F p (W), Ep (W) tốn tử Monge-Ampere phức hồn tồn xác định Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa lớp E(W), F (W) lớp E(W) lớp hàm định nghĩa tự nhiên tốn tử Monge-Ampere phức Đó lớp hàm lớn tốn tử Monge – Ampère xác định, liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa Nghiên cứu lớp dẫn đến nhiều kết nguyên lý so sánh, giải toán Dirichlet, hội tụ theo dung lượng… Năm 2006, Dabbek Elkhadhra [5] mở rộng miền xác định toán tử (dd c )q ÙT trường hợp hàm đa điều hòa bị chặn, T dịng dương đóng song chiều (q, q) W với £ q £ n Năm 2014, Hbil, Jaway Ghiloufi [9] mở rộng miền xác định toán tử Monge-Ampere tới vài lớp hàm đa điều hịa khơng bị chặn Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh toán tử Monge-Ampere phức lớp F pT (W) EpT (W) ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại kết Hbil, Jaway Ghiloufi [9] mở rộng miền xác định (dd c )q ÙT lớp hàm đa điều hịa khơng thiết bị chặn với T dịng dương đóng song chiều (q, q) tập mở WÌ £ n Giới thiệu hai lớp F pT (W) EpT (W) [8] chúng thuộc miền xác định toán tử (dd c )q ÙT Đồng thời chứng minh tất hàm số thuộc lớp C T - tựa liên tục nguyên lí so sánh có hiệu lực lớp 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dịng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, lớp lượng Cegrell Nghiên cứu số tính chất lớp F pT (W) EpT (W) Tính C T - tựa liên tục lớp F pT (W) EpT (W) Nghiên cứu nguyên lí so sánh lớp F pT (W) EpT (W) Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 47 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết sở lý thuyết đa vị, dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère, tính tựa liên tục hàm đa điều hịa dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, lớp lượng Cegrell Các nội dung chương tham khảo tài liệu tham khảo [1] Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu gần Hbil, Jaway Ghiloufi [9] mở rộng miền xác định (dd c )q ÙT lớp hàm đa điều hòa không thiết bị chặn với T dịng dương đóng song chiều (q, q) tập mở WÌ £ n Một số tính chất lớp F pT (W) EpT (W) [8] Chứng minh tính C T - tựa liên tục hàm số thuộc lớp F pT (W) EpT (W) ngun lí so sánh lớp Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị Giả sử ¡ n không gian vector n chiều với sở tắc e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ở vị trí thứ j Giả sử với £ j £ n kí hiệu n ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi u j hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j Một ánh xạ f : ¡14444 p p - tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định Một ánh xạ p - tuyến tính cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 £ j < n gọi ánh xạ p - tuyến tính thay dấu Tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu n ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu từ ¡14444 Ùp ( ¡ n ,£) p Định nghĩa 1.1.1 Giả sử WÌ ¡ ánh xạ a :U ® Ùp ( ¡ n n tập mở Một p - dạng vi phân W ,£) Nếu đặt dx k (x ) = u k , £ k £ n , x Ỵ W ta viết p - dạng vi phân a W dạng a (x ) = å ' a I (x )dx I , I I = (i1, , ip ) , £ i1 < < ip £ n , dx I = dx i Ù Ù dx i , a I (x ) hàm W Giả sử a = å ' a I dx I p - dạng b = I p å ' bJ (x )dx J q - dạng, J £ i1 < < i p £ n £ j1 < < jq £ n tích ngồi a Ù b ( p + q) - dạng cho công thức a Ù b = å g Ldx L , g Ldx L = L ik = j l với £ k £ p,1 £ l £ q g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù Ù dx l 1 £ l1 < < lp+ q £ n với s j1 < j < < jq , p+ q hoán vị dãy i1 < i2 < < i p {1, , n } tập hợp để tạo thành dãy tăng £ l1 < < lp+ q £ n Nếu f hàm f Ù a = f a ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) Cho a p - dạng lớp C Vi phân a ( p + 1) - dạng cho da = å 'd a I Ù dx I Giả sử a = j dx Ù Ù dx n , j Ỵ L1(W) Khi I ò a = ò j dx W Ù Ù dx n = W ò j dV , dV độ đo Lebesgue W W Định nghĩa 1.1.2 Một dịng bậc p hay có chiều (n - p ) tập mở WÌ ¡ n dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ Nếu a dạng D (n - p ) ( W) , giá trị T a , kí hiệu T ( a ) hay T , a Bây giả sử p, q = 0,1, , n Ta kí hiệu £ ( p,q) tập dạng phức song bậc ( p, q) hệ số £ n Khi w Ỵ £ ( p,q) biểu diễn: w= å ' wJK dzJ Ù dz K , J = p, K = q wJK Ỵ £ , dzJ = dz j Ù Ù dz j , dz K = dz k Ù Ù dz k tổng lấy theo p q đa số J = ( j1, , j p ), K = (k1, , kq ) với £ j1 < < j p £ n , &hler tắc £ n cho bởi: £ k1 < < kq £ n Dạng K a& Từ tính liên tục u v W\ G suy {u £ v}\ G tập đóng W Điều kéo theo ò (dd cu )q ÙT ³ {u £ v }\ G ũ lim kđ + Ơ (dd cu k )q ÙT {u £ v }\ G Như ò (dd cu )q ÙT ³ {u < v } ò (dd cu )q ÙT {u £ v }\ G lim kđ + Ơ ũ (dd cu k )q T {u Ê v }\ G ổ ỗ lim ỗỗ ũ (dd cu k )q T kđ + Ơ ỗ ỗố{uk < v } lim kđ + ¥ ị ÷ ÷ ( dd u ) Ù T ÷ ị k ÷ ÷ ÷ G ø c q (dd cu k )q ÙT - e || v ||q¥ {u k < v } Do ị (dd cv )q ÙT £ {u < v } ò (dd cu )q ÙT + 3e || v ||q¥ {u £ v } Cho e ® ta thu ò {u < v } (dd cv )q ÙT £ ò (dd cu )q ÙT {u £ v } Vì {u + r < v} - {u + v} {u + r £ v} - {u < v} r ] nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh cách thay u u + r 33  Định nghĩa 2.3.8 Số Lelong–Demailly T hàm đa điều hòa j giới hạn n(T , j ) = lim n(T , j , t ) , ú tđ - Ơ n(T , j , t ) = òT Bj Ù (dd cj )q, t < (t ) Kết sau chứng minh [7], tác giả sử dụng cơng thức Stokes , phải có điều kiện quy j Định lý 2.3.9 Cho j Ỵ F T (W) : e j liên tục W Khi với s, t > ta có s qCT (B j (- t , - s ), W) £ n(T , j , - t ) £ (s + t )qCT (B j (- t ), W) (2.6) Nói riêng n(T , j ) = ò T Ù (dd cj )q = lim t qC T (B j (- t ), W) t® +¥ {j = - ¥ } Chứng minh Cho t , s > v Ỵ PSH (W,[ - 1, 0]) Với e > , đặt v e = max(v, j +t+ e ) Theo Định lý 2.3.7 ta có s ị ị T Ù (dd cv )q = Bj (- t - s - e ) T Ù (dd cv e )q Bj (- t - s - e ) ò £ T Ù (dd cv e )q {j < - t + sv - e } £ £ sq ò T Ù (dd cj )q {j < - t + sv - e } sq ò T Ù (dd cj )q Bj (- t ) Bằng cách lấy supremum tất v Ỵ PSH (W,[ - 1, 0]) , ta nhận đánh giá sau 34 s qCT (B j (- s, - t - e), W) £ n(T , j , - t ) Cho e ® , ta nhận vế trái bất đẳng thức (2.6) s qCT (B j (- t , - s ), W) £ n(T , j , - t ) Đối với vế phải bất đẳng thức, ta ý hàm số y = m ax( j , - 1) s+t hàm đa điều hòa thỏa mãn - £ y £ W , theo Hệ 2.2.3 y > - gần ¶ B j (- t ) nên ta nhận n(T , j , - t ) = ò T Ù (dd cj )q = (s + t )q Bj (- t ) ò T Ù (dd c y )q Bj (- t ) £ (s + t )qCT (B j (- t ), W) Theo vế phải bất đẳng thức (2.6), ta có n(T , j ) = lim n(T , j , - t ) Ê tđ +Ơ (s + t )q q Ê lim t C T (B j (- t ), W) = lim t qC T (B j (- t ), W) q tđ +Ơ tđ +Ơ t Nu ly a > s = a t vế trái bất đẳng thức (2.6), ta n(T , j ) = lim n(T , j , - t ) tđ +Ơ aq lim (1 + a )q t qC T (B j (- (1 + a )t ), W) q t đ + Ơ (1 + a ) q ổ a ữ ữ = ỗỗ lim t qC T (B j (- t ), W) ữ ỗố1 + a ữ ứ tđ +Ơ 35 Cho a đ + Ơ Ta c iu phi chng minh  Chú ý 2.3.10 Nếu j Ỵ F pT (W) , e j liên tục W, dựa vào Mệnh đề 2.3.5 Định lý 2.3.9, ta có n(T , j ) = 2.4 Nguyên lý so sánh lớp F pT (W) EpT (W) Mục đích phần chứng minh kết sau đây: Định lý 2.4.1 Cho u Î F T (W) v Î ET (W) Khi ị (dd cv )q ÙT £ {u < v } ò (dd cu )q ÙT {u < v } È {u = v = - ¥ } Trước chứng minh, ta trình bày vài hệ Hệ 2.4.2 Cho u, v Ỵ F pT (W) cho e u liên tục W Khi ị (dd cv )q ÙT £ {u < v } ò (dd cu )q ÙT {u < v } Chứng minh Theo ngun lý so sánh, ta có: ị (dd cv )q ÙT £ {u < v } ò (dd cu )q ÙT £ {u < v } È {u = v = - ¥ } ị (dd cu )q ÙT + n(T , u ) {u < v } Vì u Ỵ F pT (W) , nên n(T , u ) = Từ suy điều phải chứng minh Hệ 2.4.3 Giả sử u Î F T (W) v Î F pT (W) cho e v liên tục W (dd cu )q ÙT £ (dd cv )q ÙT Khi C T ({u < v }, W) = Chứng minh Giả sử C T ({u < v }, W) > Khi tồn y Î PSH (W,[0,1]) cho 36 ò (dd c y )q ÙT > {u < v } Với e > đủ bé, ta có v + ey Î F T (W) Do theo nguyên lý so sánh, ta có ị (dd c (v + ey ))q ÙT £ {u < v + ey } ò (dd cu )q ÙT ò (dd cv )q ÙT {u < v + ey }È {u = v = - ¥ } £ {u < v + ey } È {u = v = - ¥ } ị £ (dd cv )q ÙT + n(T , v ) {u < v + ey } Từ eq ị ị (dd c y )q ÙT + {u < v } (dd cv )q ÙT £ {u < v + ey } ò (dd cv )q ÙT {u < v + ey } Điều vô lý  Để chứng minh kết chính, ta sử dụng bất đẳng thức tương tự Xing (xem [12,13] để biết chi tiết hơn), tổng quát hóa cho lớp ET (W) Ta bắt đầu việc nhắc lại bổ đề sau: Bổ đề 2.4.4 (xem [8]) Cho S dòng dương đóng song chiều (1,1) Wvà u, v Ỵ PSH (Wầ LƠ (W) Gi s u Ê v W lim [u(z ) - r (z )] = zđ ảW Khi ú ũ (v - u )k dd c w Ù S £ k ò (1 - w)(v - u )k - 1dd cu Ù S W W với k ³ w Î PSH (W,[0,1]) 37 Bổ đề 2.4.5 Giả sử u , v ẻ PSH (W) ầ LƠ (W) cho u £ v W lim [u(z ) - v(z )] = Khi ta có z® ¶W (v - u )q dd c w1 Ù Ù dd c wq ÙT + ò q! W £ ò (r - ò (r - w1)(dd cv )q ÙT £ W w1 )(dd cu )q ÙT W với r ³ w1, , wq Ỵ PSH (W,[0,1]) Chứng minh Giả sử K Ð W u = v W\ K Sử dụng Bổ đề 2.4.4 ta thu ò (v - u )q dd c w1 Ù Ùdd c wq ÙT £ W £ q ò (v - u )q - 1dd c w1 Ù Ù dd c wq - Ù dd cu ÙT W … £ q ! ò (v - u )dd c w1 Ù (dd cu )q - ÙT W ỉq- ÷ £ q ! ò ( w1 - r )dd c (v - u ) ỗỗỗồ (dd cu )i (dd cv )q - i - ữ T ữ ữ ỗ èi= ø W ỉq- ÷ = q ! ò (r - w1 )dd (u - v ) ỗỗỗồ (dd cu )i (dd cv )q- i - ữ T ữ ữ ỗố i = ø c W = q ! ò (r - w1 )((dd cu )q - (dd cv )q ÙT W Từ suy điều phải chứng minh 38 Trong trường hợp tổng quát, với e > ta đặt v e = max(u, v - e) Khi v e Z v W thỏa mãn v e = u W\ K với K Ð W Do (v e - u )q dd c w1 Ù Ù dd c wq ÙT + ò q! W £ ò (r - ò (r - w1)(dd cv )q ÙT £ W w1 )(dd cu )q ÙT W Vì v e - u Z v - u , họ độ đo (dd cve )q ÙT hội tụ yếu tới (dd cv )q ÙT e ] hàm r - w1 nửa liên tục dưới, nên cho e ] ta thu bất  đẳng thức cần chứng minh Mệnh đề 2.4.6 Cho r ³ w Ỵ PSH (W,[0,1]) Khi (a ) Với u, v Ỵ F T (W) cho u £ v W ta có (v - u )q (dd c w)q ÙT + ò q! W ò (r - w)(dd cv )q ÙT £ W ò (r - w)(dd u ) c q ÙT (2.7) W (b) Bất đẳng thức (2.7) xảy với u , v Ỵ ET (W) cho u £ v W u = v W\ K với K Ð W Chứng minh (a ) Giả sử u, v Ỵ F T (W) um , v j Ỵ E0T (W) theo thứ tự giảm dần tới u v Định nghĩa 2.2.1 Thay v j max(u j , v j ) ta giả sử u j £ v j với j ³ Theo Bổ đề 2.4.5, với m ³ j ³ , ta có (v j - um )q Ù (dd c w)q ÙT + ò (r - w)(dd cv j )q ÙT £ ò (r - w)(dd cu m )q ÙT ò q! W W W Bằng cách xấp xỉ w dãy hàm đa điều hòa liên tục triệt tiêu ¶W (xem [3]) sử dụng Mệnh 2.2.4, m đ + Ơ , ta thu 39 (v j - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò (r - w)(dd cv j )q ÙT £ ị q! W W Vì r - w nửa liên tục nên lim j® + ¥ ò (r - w)(dd cv j )q ÙT ³ W ò (r - ò (r - w)(dd cu )q ÙT W w)(dd cv )q ÙT W Do ú cho j đ + Ơ ta thu c kt cần chứng minh (b) Cho G W tập mở W cho K Ð G Ð W Ð W Khi tồn v%Ỵ F T (W) cho v%³ v W v%= v W Lấy u%sao cho u%= u G u%= v%trên W\ G Vì u = v = v%trên W \ K , nên ta có u%Ỵ PSH - (W) Điều kéo theo u%Ỵ F T (W), u%£ v%và u%= u W Sử dụng (a) ta nhận (v%- u%)q Ù (dd c w)q ÙT + ò q! W ò (r - w)(dd cv%)q ÙT £ W ò (r - w)(dd cu%)q ÙT W Khi v%= u% W\ G ta có (v%- u%)q Ù (dd c w)q ÙT + ò q! W ò (r - w)(dd cv%)q ÙT £ W ò (r - w)(dd cu%)q ÙT W Bây u%= u, v%= v u = v W\ K nên ta nhận (v - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q! W ò (r - w)(dd cv )q ÙT £ W ò (r - w)(dd cu )q ÙT W Chú ý 2.4.7 Nếu lấy w = r = Mệnh đề 2.4.6, ta nhận chứng minh khác Mệnh đề 2.2.4 Định lý 2.4.8 Cho u, w1, , wq- Ỵ F T (W) , v Ỵ PSH - (W) S = dd c w1 Ù Ù dd c wq- Khi dd c max(u, v ) ÙT Ù S {u > v } = dd cu ÙT Ù S {u > v } 40 Chứng minh Ta chứng minh định lý theo hai bước, ta giả sử v º a < Theo Bổ đề 2.2.5, tn ti u j , wkj ẻ E0T (W) ầ C(W) cho (u j ) j giảm dần tới u ( wkj ) j giảm dần tới wk với £ k £ q - Vì {u j > a} mở, nên ta có dd c max(u j , a ) ÙT Ù S |{j u > a } = dd cu j ÙT Ù S |{j u > a } j j S j = dd c w1, j Ù Ù dd c wq- 1, j Vì {u > a} Ì {u j > a} nên ta thu dd c max(u j , a ) ÙT Ù S |{j u > a } = dd cu j ÙT Ù S |{j u > a } Từ suy (theo [8]) max(u - a, 0)dd c max(u j , a ) ÙT Ù S j ® max(u - a, 0)dd c max(u, a) ÙT Ù S j® + ¥ max(u - a, 0)dd cu j ÙT Ù S j ® max(u - a, 0)dd cu ÙT Ù S jđ + Ơ Do ú max(u - a, 0)[dd c max(u, a ) ÙT Ù S - dd cu ÙT Ù S ] = Suy dd c max(u , a ) ÙT Ù S = dd c ÙT Ù S {u > a } Bây giả sử v Ỵ PSH - (W) Vì {u > v} = Èa Ỵ Q {u > a > v} , nên ta cần chứng minh dd c max(u, v ) ÙT Ù S = dd cu ÙT Ù S {u > a > v} với a Ỵ Q - Thật vậy, max(u, v ) Ỵ F T (W) nên theo bước thứ ta có: 41 dd c max(u, v ) ÙT Ù S |{ max(u,v )> a } = dd c max(max(u, v), a) ÙT Ù S |{ max(u,v )> a } = dd c max(u, v, a) ÙT Ù S |{max(u,v )> a } dd cu ÙT Ù S |{u > a } = dd c max(u, a ) ÙT Ù S |{v > a } Mặt khác max(u, v, a ) = max(u, a ) tập mở {a > v} nên suy dd c max(u, v, a ) ÙT Ù S |{a > v } = dd c max(u, a ) ÙT Ù S |{a> v } Vì {u > a > v} chứa tập {u > a} , { max(u, v ) > v} {a > v} , nên kết hợp đẳng thức cuối ta thu dd c max(u, v) ÙT Ù S |{u > a > v } = dd c max(u, a ) ÙT Ù S |{u > a > v }  Bây ta chứng minh bất đẳng thức tương tự với bất đẳng thức Demailly trình bày [10] Mệnh đề 2.4.9 a ) Giả sử u, v Ỵ F T (W) cho (dd cu )q ÙT ({u = v = - ¥ }) = Khi (dd c max(u, v))q ÙT ³ 1{u > v }(dd cu )q ÙT + 1{u < v }(dd cv)q ÙT b) Giả sử m độ đo dương triệt tiêu tập đa cực W u , v Ỵ ET (W) cho (dd cu )q ÙT ³ m (dd cv )q ÙT ³ m Khi (dd c max(u, v ))q ÙT ³ m Chứng minh Đặt Ae = {u = v - e}\ {u = v = - ¥ }, e > Vỡ A e ầ Ad = ặ với e ¹ d nên tồn ej ] cho (dd cu )q ÙT (Ae j ) = với j ³ Mặt 42 khác, (dd cu )q ÙT ({u = v = - ¥ }) = nên ta có (dd cu )q ÙT ({u = v - ej }) = với j ³ Theo Định lý 2.4.8 ta có (dd c max(u, v - ej ))q Ù (dd c w)q ÙT ³ ³ (dd c max(u, v - ej ))q ÙT |{u ³ v - e } ) + (dd c max(u, v - ej ))q ÙT j = (dd cu )q ÙT = |{u ³ v - e j } + (dd cv )q ÙT (dd cu )q ÙT + {u ³ v } |{u < v - e j } (dd cv )q ÙT {u < v - e j } {u ³ v - e j } ³ |{u < v - e j } (dd cu )q ÙT + {u < v - e j } (dd cv )q ÙT Cho j ® + ¥ theo Định lý 2.1.6, ta nhận (dd c max(u, v))q ÙT ³ 1{u ³ v }(dd cu )q ÙT + 1{u < v }(dd cu )q ÙT max {u, v - ej } Z max(u, v) {u < v - e j } Z 1{u < v } j đ + Ơ b) Chứng minh tương tự a)  Mệnh đề 2.4.10 Giả sử u Ỵ F T (W), v Î ET (W) Khi (v - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q ! {u < v } £ ò ò {u < v } (r - w)(dd cu )q ÙT { u < v } È {u = v = - ¥ } với w Ỵ PSH (W,[0,1]) r ³ 43 (r - w)(dd cv )q ÙT Chứng minh Lấy e > đặt v%= max(u, v - e) Theo bất đẳng thức (2.7) Mệnh đề 2.4.6 ta có (v%- u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q! W ò (r - w)(dd cv%)q ÙT £ W ò (r - w)(dd cu )q ÙT W Vì {u < v%} = {u < v - e} nên theo Định lý 2.4.8 ta có (v - e - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q ! {u < v - e } ò £ ò (r - w)(dd cv )q ÙT {u £ v - e } (r - w)(dd cu )q ÙT {u £ v - e } Vì {u £ v - e} Ì {u < v} È {u = v = - ¥ } nên (v - e - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q ! {u < v - e } ò £ ò (r - w)(dd cv )q ÙT {u £ v - e } (r - w)(dd cu )q ÙT { u £ v } È {u = v = - Ơ } Cho e đ ta nhận (v - u )q Ù (dd c w)q ÙT + ò q ! {u < v } £ ò ò (r - w)(dd cv )q ÙT {u < v } (r - w)(dd cu )q ÙT  {u £ v } È {u = v = - ¥ } Để kết thúc chứng minh kết chính, ta cần lấy w = r = mệnh đề 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hồ dưới, tốn tử MongeAmpère, tính tựa liên tục hàm đa điều hoà dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor lớp lượng Cegrell + Một số tính chất lớp F pT (W) EpT (W) + Tính C T - tựa liên tục lớp F pT (W) EpT (W) + Nguyên lí so sánh lớp F pT (W) EpT (W) : Kết Định lý 2.4.1 chứng minh thông qua Bổ đề 2.4.4, 2.4.5, Các Mệnh đề 2.4.6, 2.4.9 2.4.10 Định lý 2.4.8 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị , Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Bedford E and Taylor B A (1982), “A new capacity for plurisubharmonic funtions”, Acta Math 149, no.1-2, pp - 40 [3] Cegrell U (1998), “ Pluricomplex energy”, Acta Math 180, pp 187 - 217 [4] Cegrell U (2004), “The general definition of the complex MongeAmpere operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp 159 - 179 [5] Dabbek K and Elkhadhra F (2006), “ Capacite assosiee un courant positif ferme“, Documenta Math 11, pp 469 - 486 [6] Demailly J.P., Complex analytic and diffirential geometry, Open book available at http:// www Fourier Ujf-grenoble Fr/demailly/book Html [7] Elkhadhra F (2013), “Lelong-Demailly numbers in terms of capacity and weak convergence for closed positive current”, Acta Math Scientia 33B (6), pp 1652 - 1666 [8] Hai L.M and Dung N.T (2009), “Local T-pluripolarity of a subset and some Cegrell’s pluricomplex energy classes associated to a positive closed current“, Vietnam J of Math 37: 2&3, pp 1-9 [9] Hbil J, Zaway M and Ghiloufi N (2014), “Pluricomplex energy classes asociated to a positive closed current”, arXiv: 1403.0375vl [Math.CV] Mar 2014 [10] Khue N.V and Pham H.H (2009), “A comparison principle for the complex Monge-Ampere operator in Cegrell’s classes and applications ”, Tran Amer Math Soc 361, pp 5539 - 5554 46 [11] Kolodziej S (2005), “The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory” Mem Amer Math Soc 178, No 840, pp 1-64 [12] Xing Y (1996), “Continuity of the complex Monge-Ampere operator”, Proc Am Math Soc.,124, pp 457 - 467” [13] Xing Y (2000), “Complex Monge – Ampère measures of plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary”, Canad J Math 52, pp 1085 – 1100 47 ... Monge-Ampère phức 1.4 Tính tựa liên tục hàm đa điều hòa 10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12 1.6 Các lớp lượng Cegrell 16 Chương NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGEAMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP F. .. Cegrell [3] định nghĩa lớp lượng E 0(W), F p (W), Ep (W) tốn tử Monge-Ampere phức hoàn toàn xác định Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa lớp E( W), F (W) lớp E( W) lớp hàm định nghĩa tự nhiên tốn tử. .. Lí SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP F pT (W) VÀ EpT (W) 2.1 Các lớp F pT (W) EpT (W) Cho W miền siêu lồi £ n , tức tập mở, liên thông, bị chặn, tồn h Ỵ PSH - (W) cho với