Nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức minimax và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN THỊ THẢO NGUYÊN LÝ KKM SUY RỘNG, BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN THỊ THẢO NGUYÊN LÝ KKM SUY RỘNG, BẤT ĐẲNG THỨC MINIMAX VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN QUỐC BÌNH Hà Nội - 2017 Lời cám ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quốc Bình, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Tốn giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để tơi hồn thành luận văn này, Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phan Thị Thảo i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, luận văn chun ngành Tốn giải tích với đề tài: "Nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng" hoàn thành bới nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phan Thị Thảo ii Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM bất đẳng thức Ky Fan 1.3 Các định lí điểm bất động Một số mở rộng nguyên lý KKM 12 2.1 Ánh xạ KKM suy rộng 12 2.2 Ánh xạ đóng hữu hạn 14 2.3 Ánh xạ đóng dịch chuyển 15 2.4 Sử dụng định lý chọn Michael 17 Nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng 21 3.1 Lời giới thiệu 21 3.2 Ký hiệu định nghĩa 22 3.3 Nguyên lý KKM suy rộng 25 3.4 Tổng quát bất đẳng thức Minimax Ky Fan 30 3.5 Sự tồn phần tử cực đại 32 iii 3.6 Vấn đề cân giá toán bù 34 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 40 iv Mở đầu Lí chọn đề tài Nguyên lý KKM cổ điển đóng vài trò quan trọng Giải tích lồi phi tuyến, lý thuyết tối ưu, Và người ta chứng minh tương đương với loạt kết kinh điển khác định lý điểm bất động Brouwer, bất đẳng thức Ky Fan, vv Trong luận văn, tơi trình bày số mở rộng ngun lý KKM cổ điển tính đóng ánh xạ xét đến thay tính đóng dịch chuyển; đóng hữu hạn; ánh xạ KKM thay ánh xạ KKM suy rộng Vì hấp dẫn vấn đề, định chọn đề tài "Nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng" cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày kết nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng - Nghiên cứu bất đẳng thức Minimax ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn nguyên lý KKM, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận, tài liệu chuyên khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Đây tổng quan, có hệ thống số vấn đề giải nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tuyến tính, tập hợp S X gọi n− đơn hình S = co {u0 , u1 , , un } với u0 , u1 , , un ∈ X vectơ u1 − u0 , un − u0 độc lập tuyến tính Các điểm ui đỉnh, bao lồi k + đỉnh gọi k−diện S Phép tam giác phân đơn hình S phép phân chia S thành n−đơn hình S i , i = 1, 2, , m cho hợp chúng S hai đơn hình giao phải diện chung hai đơn hình Đối với tam giác phân S , Sperner {1928) đưa phép gán cho đỉnh đơn hình số 0, 1, , n theo quy tắc sau đây: co {ui0 , , uik } diện nhỏ S chứa v v gán số i0 , , ik ( Như đỉnh ui phải gán số i ) Ta gọi phép gán số Sperner Sau gán số, đơn hình có đỉnh gán đủ số 0, 1, , n gọi đơn hình "tốt" Bổ đề 1.1.2 (Sperner, 1928) Với phép gán số Sperner, phép tam giác phân đơn hình ln có số lẻ đơn hình tốt Bổ đề 1.1.3 (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, 1929) Cho đơn hình S = co {u0 , u1 , , un } Rn tập đóng F0 , F1 , , Fn S thỏa mãn điều kiện sau: với tập hợp I ⊂ {0, 1, , n} ta có: co {ui : i ∈ I} ⊂ Fi (KKM) i∈I n Fi = Khi i=0 Mệnh đề 1.1.4 Giả sử M tập hợp khơng gian tơpơ có tính chất sau: ánh xạ liên tục T : M → M có điểm bất động Nếu M đồng phơi với M M có tính chất Định lý 1.1.5 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng Rn vào có điểm bất động (kí hiệu R đường thẳng thực) Chứng minh Vì hình cầu đơn vị đóng Rn đồng phơi với n−đơn hình S nên ta cần chứng minh ánh xạ liên tục T : S → S có điểm bất động S Với x ∈ S ta có x = {x0 , x1 , , xn } y = T y = (y0 , y1 , , yn ) Với i = 0, 1, , n ta đặt Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi } Do T liên tục nên Fi đóng Ta chưng minh Fi thỏa mãn kiện (KKM) Lấy I ⊂ {0, 1, , n} x ∈ co {ui : i ∈ I} Vậy x = {x0 , x1 , , xn } với xi = i ∈ / I xi > i ∈ I y = {y0 , y1 , , yn } với yi > 0, n yi = Để chứng minh x ∈ i=1 Fi ta cần chứng minh tồn i0 ∈ I để i∈I cho x ∈ Fi0 , tức xi0 ≥ yi0 Giả sử ngược lại xi < yi với i0 ∈ I Khi ta gặp mâu thuẫn: n 1= n xi = i=0 yi ≤ xi < i∈I i∈I yi = i=0 Vậy điều kiện (KKM) thỏa mãn Theo bổ đề KKM, tồn x∗ ∈ n Fi i=0 Khi ta có x∗i ≥ yi∗ với i = 0, 1, , n, yi∗ tọa độ trọng Ở đây, cách làm yếu tính đóng, mở rộng Định lý 3.3.3 tới kết sau Định lý 3.3.4 Trong không gian Banach tách được, cho Y tập hợp lồi compact, giả sử ∅ = X ⊂ Y Cho D(Y ) tập hợp tất tập hợp khơng rỗng Y mà có số chiều hữu hạn đóng có điểm Giả sử F : X → 2Y ánh xạ cho : (a) Ánh xạ U : Y → 2X , định nghĩa U (y) = {x ∈ X : y ∈ / F (x)} = X\F −1 (y) , l.s.c Y ; (b) F F S _lồi X Khi đó, x∈X F (x) không rỗng compact Chứng minh Định nghĩa ánh xạ G : Y → 2Y G (x) = x∈Y x ∈ X , Y trái lại F (x) = ∅ G(x) = Khi đó, F (x) x∈X G(x) = ∅ compact Đầu tiên chúng tơi Do đó, ta cần x∈Y lưu ý G rõ ràng F S _lồi Xét ánh xạ P : Y → 2Y định nghĩa P (y) = {x ∈ Y : y ∈ / G (x)} = Y \G−1 (y) Khi đó, P (y) = U (y) với y ∈ Y Thật vậy, hiển nhiên U (y) ⊂ P (y), nên ta cần P (y) ⊂ U (y) với y ∈ Y Giả sử x ∈ P (y) Khi đó, x ∈ Y y ∈ / G(x) Do đó, định nghĩa G(x), ta có x ∈ X , y ∈ / F (x) Nên y ∈ U (y) Vì thế, P (y) = U (y), với y ∈ Y , 26 P l.s.c Bởi {y ∈ Y : P (y) = ∅} = G(x) x∈Y nên việc chứng minh G(x) = ∅ x∈Y tương đương với chứng minh {x : P (x) = ∅} = ∅ Bây giờ, ta P SS _lồi Y , nghĩa là, y ∈ / coP (y) với y ∈ Y Thật vậy, giả sử, phản chứng y0 ∈ / coP (y0 ) Khi đó, tồn m y1 , y2 , , ym λi ≥ 0, i = 1, , m, với m λ i yi λi = 1, cho y0 = i=1 i=1 yi ∈ P (y0 ) với i Thế thì, yi ∈ / G−1 (y0 ), yi ∈ / G(y0 ) ,với i, điều mâu thuẫn với việc G F S _lồi Bây giờ, giả sử, với y ∈ Y , P (y) = ∅ Khi đó, ánh xạ Ψ : Y → 2Y , định nghĩa Ψ (x) = coP (x) với y ∈ Y , khơng rỗng có giá trị lồi Từ P l.s.c Y , Bổ đề 3.3.1, coP l.s.c Y Vì thế, Bổ đề 3.3.2, tồn hàm liên tục f : Y → Y cho f (x) ∈ Ψ (x) với x ∈ Y Do đó, định lý điểm bất động Brouwer, có điểm x∗ ∈ Y cho x∗ ∈ f (x∗ ) Khi đó, x∗ = f (x∗ ) ∈ ψ(x∗ ) = coP (x∗ ), mâu thuẫn Vậy, coP (x∗ ) = ∅, G(x) = ∅ x∈X 27 G(x) = ∅ compact Từ Cuối cùng, ta x∈X G(x) = {y ∈ Y : P (y) = ∅} x∈Y G(x) đóng, đủ {y ∈ Y : P (y) ∩ Y = ∅} mở để x∈X Nhưng điều xuất phát từ kiện {y ∈ Y : P (y) = ∅} = {y ∈ Y : P (y) ∩ Y = ∅} mở Y , P l.s.c Do đó, G(x) đóng compact x∈X tính compact Y Chú ý 3.3.5 Nhận xét rằng, trường hợp F (x) đóng Y , P có nghịch ảnh mở, P nửa liên tục Mệnh đề 4.1 Yannelis Prabhakar [2] Thực vậy, họ cung cấp ví dụ Chú ý 4.1 thấy tính nửa liên tục P yếu thực điều kiện nghịch ảnh mở P Do đó, Định lý 3.3.4 mở rộng Định lý 3.3.3 cách sử dụng điều kiện yếu Nhưng mặt khác, cần đòi hỏi khơng gian vectơ tơpơ Định lý 3.3.4 không gian Banach tách được, điều kiện mạnh so với Định lý 3.3.3 Đây giá người ta phải trả để có điều kiện tơpơ yếu Tuy vậy, nhiều toán xét đến lý thuyết kinh tế học tối ưu, yêu cầu hợp lý Chú ý 3.3.6 Trong Tian [17-18], Định lý 3.3.3 mở rộng cách làm yếu tính đóng giá trị F thành tích đóng dịch chuyển giá trị F mà nói chung khơng có mối liên hệ với tính nửa liên tục P Sau đây, chúng tơi tổng qt hố Định lý 3.3.4 cách làm yếu tính compact Y Bởi F khơng thiết có giá trị đóng - giá trị đóng dịch chuyển, chúng tơi khơng thể, cách tiếp cận Fan [7] Tian [18], dùng tính chất giao hữu hạn để suy tính khác rỗng 28 Thay vào đó, chúng tơi giả sử Y σ _compact Để dễ hiễu, giả thiết không gian tôpô hữu hạn chiều Định lý 3.3.7 Cho Y tập lồi σ _compact Rm , giả sử ∅ = X ⊂ Y Giả sử F : X → 2Y ánh xạ cho (a) Ánh xạ U : Y → 2X , định nghĩa U (y) = x ∈ X : y ∈ / F (x), l.s.c Y ; (b) F F S _lồi X ; (c) Có tập compact không rỗng X0 X cho, y ∈ Y \ X0 , có x ∈ X0 cho y ∈ / F (x) F (x) khơng rỗng compact Khi đó, x∈X Chứng minh Một lần nữa, định nghĩa ánh xạ P : Y → 2Y P (y) = {x ∈ Y : y ∈ / G(x)} Do đó, để chứng minh F (x) = ∅ x∈X đủ để P (y ∗ ) = ∅, với y ∗ ∈ Y Bởi Y σ _compact, tồn dãy Yn tập compact Y thoả mãn ∞ Y = Yn n=1 Cho n Yi ∪ X0 } Kn = co{ i=1 Khi đó, Kn dãy tăng tập lồi compact chứa X0 với ∞ Kn = Y ; n=1 29 (xem Boder [3, trang 10]) Bằng Định lý 3.3.4, Kn , từ điều kiện (a) (b) suy có điểm yn ∈ Kn cho P (yn ) = ∅ Từ X0 ⊂ Km , điều kiện (c) suy yn ∈ X0 Bởi X0 compact, ta tách dãy hội tụ yn → y ∗ ∈ X0 Giả sử P (yn ) = ∅ Cho x ∈ P (y ∗ ) Bởi P l.s.c mội lân cận N (x) bất kỳ, tồn N (y ∗ ) y ∗ thỏa mãn N (x) ∩ P (y) = ∅,với y ∈ N (y ∗ ) Thế thì, x ∈ P (y), với y ∈ N (y ∗ ) Do đó, với n đủ lớn, ta có yn ∈ N (y ∗ ) x ∈ Kn Vì thế, x ∈ P (y) ∩ Kn , mâu thuẫn với P (yn ) ∩ Kn = ∅ Vì vậy, P (y ∗ ) = ∅ F (x) = ∅ x∈X Tương tự, {y ∈ Y : P (y) = ∅} = {y ∈ Y : P (y) ∩ Y = ∅} mở Y tính liên tục P , G(x) = {y ∈ Y : P (y) = ∅} x∈Y đóng compact, chứa tập compact X0 3.4 Tổng quát bất đẳng thức Minimax Ky Fan Trong phần này, chúng sử dụng kết đạt mục cuối để mở rộng bất đẳng thức minimax Fan [5], Allen [23], Zhou Chen [12] cách làm yếu tính lồi tập tính nửa liên tục trái hàm số Định lý 3.4.1 Cho Y tập lồi σ _compact Rm ; cho ∅ = X ⊂ Y ; cho γ ∈ R , cho φ : X × Y → R ∪ {±∞} hàm thỏa mãn : (i) Ánh xạ P : Y → 2X , định nghĩa 30 P (y) = {x ∈ X : φ(x, y) > γ}, l.s.c; (ii) Là γ -đường chéo tựa lõm theo x; (iii) Tồn tập compact không rỗng C ⊂ X thỏa mãn, với y ∈ Y \C , tồn x ∈ C với φ(x, y) > γ Khi đó, tồn điểm y ∗ ∈ X ≤ γ cho φ(x, y ∗ ) ≤ γ với x ∈ X Chứng minh Với x ∈ X , cho F (x) = {y ∈ Y : φ (x, y) ≤ γ} Khi đó, theo điều kiện (i) – (iii) định lý A.1, F (x) thỏa mãn điều kiện F (x) = ∅ X (a) –(c) định lý 3.3.7 Vì vậy, định lý 3.3.7, x∈X Do đó, có điểm y ∗ ∈ X cho φ(x, y ∗ ) ≤ γ , với x ∈ X Chú ý 3.4.2 Chú ý điều kiện (i) định lý 3.4.1 thoả mãn φ(x, y) nửa liên tục theo y ; điều kiện (iii) thỏa mãn X = Y Y compact Hệ 3.4.3 (Nguyên lý bất đẳng thức Minimax Ky Fan) Giả thiết điều kiện định lý 3.4.1 cho γ = supx∈X φ(x, x) Khi đó, tồn điểm y ∗ ∈ X cho φ(x, y ∗ ) ≤ supx∈X φ(x, x), với x ∈ X Chú ý 3.4.4 Định lý 3.4.1 Hệ 3.4.3 tổng quát hoá bất đẳng thức minimax Fan [5] cách làm yếu tính tựa lõm tính nửa liên tục φ tính lồi tính compact X ; Allen [23] làm yếu tính tựa lõm tính nửa liên tục φ tính lồi X ; Zhou Chen [12] làm yếu tính nửa liên tục φ tính 31 lồi X Các khẳng định sau nói định lý 3.3.7 suy từ định lý 3.4.1 Khẳng định Định lý 3.4.1 => Định lý 3.3.7 Chứng minh Định nghĩa G = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}, định nghĩa φ (x, y) = γ (x, y) ∈ X , ∞ trái lại γ ∈ R Khi đó, {y ∈ Y : φ(x, y) ≤ γ} = {y ∈ Y : y ∈ F (x)} Do đó, điều kiện (i) – (iii) định lý 3.4.1 thỏa mãn điều kiện (a)-(c) định lý 3.3.7 Từ định lý 3.4.1, tồn điểm y ∗ ∈ X cho φ(x, y) ≤ γ với x ∈ X Đó là, y ∗ ∈ F (x), với x ∈ X Vì vậy, F (x) = ∅, X x∈X Như vậy, Định lý 3.3.7 Định lý 3.4.1 tương đương 3.5 Sự tồn phần tử cực đại Trong phần này, sử dụng Định lý 3.3 để chứng minh định lý sau đây, tạo điều kiện đủ cho tồn phần tử cực đại quan hệ ưu tiên tập hợp chọn không compact không lồi Lưu ý ánh xạ tương ứng khơng có nghịch ảnh mở 32 Định lý 3.5.1 Cho Y tập lồi σ _compact Rm , ∅ = B ⊂ Y , quan hệ hai Y cho: ˆs : Y → 2B , định nghĩa (a) U Uˆs (y) = {x ∈ B : x y}, với y ∈ Y , l.s.c Y ; (b) có tính SS _lồi suy rộng B ; (c) tồn tập compact không rỗng C ⊂ Y cho, với y ∈ Y \C , tồn x ∈ C với x y Khi đó, có phần tử cực đại B ; i.e., tồn số x∗ ∈ B ˆs (x∗ ) = ∅ cho U Chứng minh Cho ˆ s (y)} F (X) = {y ∈ Y : x ∈ /U Khi đó, {x ∈ B : Uˆs (x) = ∅} = F (x), x∈B điều kiện (a) – (c) định lý 5.1 suy điều kiện (a) – (c) định lý 3.3.7 Nên, ta cần F F S−lồi B Bằng cách phủ định, giả sử tồn điểm x0 ∈ co(x1 , x2 , , xm ) Y mà không nằm F (xj ) = {y ∈ Y : x ∈ / Uˆs (y)} = Y \Uˆs−1 (x), với j ˆs (x0 ) với j , mâu thuẫn với tính SS _lồi Khi đó, xj > x0 , nên xj ∈ U ˆs (x0 ) Do đó, theo định lý 3.3.7 U F (x) = ∅ x∈B ˆs (x∗ ) = ∅ Vậy, tồn điểm x∗ ∈ B cho U 33 Chú ý 3.5.2 Định lý 3.5.1 tổng quát hoá kết Sonnenschein [1] Yannelis Prabhakar [2] làm yếu tính mở nghịch ảnh ánh xạ tương ứng tính compact tính lồi tập chọn Lưu ý định lý 3.5.1 định lý Tian [18] cho hai cách tổng quát hoá kết Sonnenschein [1] Yannelis Prabhakar [2] Có thể nhận thấy định lý 3.5.1 tương đương với Định lý 3.3.7 Như vậy, Định lý 3.3.7, Định lý 3.4.1 Định lý 3.5.1 tương đương với 3.6 Vấn đề cân giá toán bù Trong phần sau, nghiên cứu tồn toán cân giá cách sử dụng định lý 3.4.1 Bài toán cân giá để tìm vectơ giá p mà làm thị trường với hàng hoá [cầu nhiều cung cho giá cân xếp đặt tự do] giả định luật Walras Ở mục này, phát biểu định lý tồn cân giá việc làm yếu tính nửa liên tục hàm nhu cầu dư thừa không gian Ơclid Rn+1 Định lý 3.6.1 Cho ∆n n đơn hình tiêu chuẩn đóng, cho f : ∆n → Rn+1 hàm nhu cầu dư thừa cho: (i) Ánh xạ P : ∆n → 2∆n , xác định P (q) = {p ∈ ∆n : p.f (q) > 0}, nửa liên tục theo q; (ii) với p ∈ ∆n , p.f (q) ≤ (theo luật Walras) Khi đó, tồn q ∗ ∈ ∆n cho f (q ∗ ) ≤ Chứng minh Cho φ(p, q) = p.f (q) Khi đó, φ thỏa mãn điều kiện định lý 3.4.1 với γ = 0, nhận xét ∆n compact, nên điều kiện (iii) định lý 3.4.1 thỏa mãn Do đó, tồn số q ∗ ∈ ∆n cho φ(p, q ∗ ) = p.f (q ∗ ) ≤ 0, với p ∈ ∆n 34 Vì vậy, f (q ∗ ) ≤ Chú ý 3.6.2 Lưu ý điều kiện (i) định lý 3.6.1 thỏa mãn f nửa liên tục Bây giờ, ta xem xét vấn đề tốn học tổng qt hơn, coi toán bù phi tuyến Cho X hình nón lồi khơng gian véc tơ tôpô E , cho f : X → E ∗ (đối ngẫu E) Vấn đề tìm p cho f (p) ∈ X ∗ ⊂ E ∗ (nghĩa nón cực) p, f (p) = Cụ thể, X = Rn+1 + , điều kiện f (p) ∈ X ∗ trở thành f (p) ≤ Sau đây, đưa định lý tồn toán bù mở rộng kết Allen [23, Hệ 2] Một lần để đơn giản, ta giả định E không gian Ơclid Rn+1 Định lý 3.6.3 Cho X nón lồi σ _compact Rn+1 , cho f : X → Rn+1 hàm cho: (i) Ánh xạ P : X → 2X , định nghĩa P (y) = {x ∈ X : x − y, f (y) > 0}, nửa liên tục dưới; (ii) tồn tập compact không rỗng C ⊂ X cho, với y ∈ X\C , tồn x ∈ C với x − y, f (y) > Khi đó, tồn y ∗ ∈ X cho f (y ∗ ) ≤ y ∗ , f (y ∗ ) = Chứng minh Với (x, y) ∈ X ×X , ta định nghĩa hàm φ : X ×X → R với φ(x, y) = x − y, f (y) Bởi φ tuyến tính theo p, thỏa mãn điều kiện (ii) định lý 3.4.1 Điều kiện (i) (iii) định lý rõ ràng thoả mãn Sau đó, áp dụng định lý 3.4.1 cho φ(x, y) với γ = 0, ta có tồn y ∗ ∈ X cho 35 φ(x, y ∗ ) ≤ 0, với x ∈ X Vậy là, x − y ∗ , f (y ∗ ) ≤ 0, với x ∈ X Từ bổ đề Allen [23], ta có y ∗ , f (y ∗ ) = Nên f (q ∗ ) ≤ 36 Kết luận Trong luận văn này, chủ yếu dịch lại báo Guoqiang Tian nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Một số mở rộng nguyên lý KKM • Chương 3: Nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Mặc dù cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cơ giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phan Thị Thảo 37 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Anh [1] Sonnenschein, H (1971), Demand Theory without Transitive Preferences, with Application to the Theory of Competitive Equilibrium, Preferences, Utility, and Demand, Edited by J S Chipman, L Hurwicz, M K Richter, and H Sonnenschein, Harcourt Brace Jovanovich, New York, New York [2] Yannelis, N C., and Prabhakar, N D (1983), Existence of Maximal, Elements and Equilibria in Linear Topoligical Space, Journal of Mathematical Economics, Vol 12, pp 233-245 [3] Border, K C (1985), Fixed-Point, Theorems with Application to Economic and Game Theory, Cambridge University Press, Cambridge, England [4] Knaster, B., Kuratowski, C., and Mazurkiewicz, S (1929), Ein Bewei des Fixpunktsatze n-Demensionale Simpliexe, Fundamental Mathematica, Vol 14, pp 132-137 [5] Fan, K (1953), Minimax Theorem, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol 39, pp 42-47 [6] Fan, K (1962), Generalization of Tychonoff’s Fixed-Point Theorem, Mathematicche Annalen, Vol 142, pp 305-310 [7] Fan, K (1984), Some Properties of Convex Sets Related to FixedPoints Theorems, Mathematicche Annalen, Vol 266, pp 519-537 38 [8] Aubin, J P (1979), Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland, Amsterdam, Holland [9] Yen, C L (1981), Minimax Inequality and Its Application to Variational Inequalities, Pacific Journal of Mathematics, Vol 132, pp 477481 [10] Aubin, J P., and Ekeland, I (1984), Applied Nonlinear Analysic, John Wiley and Sons, New York, New York [11] Takahashi (1976), Nonlinear Variational Inequalities and Fixed-Point Theorems, Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol 28, pp 477-481 [12] Zhou, J., and Chen, G (1988), Diagonal Convexity Conditions for Problems in Comvex Analysis and Quasi-Variational Inequalities, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 132, pp 213225 [13] Bardaro, C., and Ceppitelli, R (1989), Applications of the Generalized Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz Theorem to Variational Inquelities, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 137, pp 4658 [14] Bardaro, C., and Ceppitelli, R (1988), Some Further Generalizations of the Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz Theorem to Minimax Inquelities, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 132, pp 484-490 [15] Shih, M H., and Tan, K K (1985), Generalized Quasi-Variational Inequalities in Locally Convex Topological Vecto Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 108, pp 333-343 39 [16] Shih, M H., and Tan, K K (1985), Browder-Hartman-Stampacchia Variational Inequalities for Multivalued Monotone Operator, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 108, pp 333-343 [17] Tian, G (1992), Generalizations of the KKM Theorem and the Ky Fan Minimax Inequality, with Applications to Maximal Element, Price Equilibrium, and Complementarity, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 170, pp 457-471 [18] Tian, G (1993), Necessary and Sufficient Conditions for Maximization of a Class of Preference Relations, Review of Economic Studies, Vol 60, pp 949-958 [19] Tian, G (1993), Generalized Quasi-Variational-Like Inequality, Mathematic of Operations Research, Vol 18, pp 752-764 [20] Tian, G., and Zhou, J (1992), Quasi-Variational Inequalities without Concavity Assumptions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 172, pp 289-299 [21] Michael, E (1956), Continuous Selections, I, Annals of Mathematic, Vol 63, pp 361-382 [22] Shafer, W., and Sonnenschein, H (1975), Equilibrium in Abstract Economies without Ordered Preferences, Journal of Mathematical Economics, Vol 2, pp 345-348 [23] Allen, G (1977), Variational Inequalities, Complementarity Problem and Duality Theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 58, pp 1-10 [B] Tài liệu Tiếng Việt [24] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội 40 ... Nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng - Nghiên cứu bất đẳng thức Minimax ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn nguyên lý KKM, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Phương... rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng" cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày kết nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Nhiệm... kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Đây tổng quan, có hệ thống số vấn đề giải nguyên lý KKM suy rộng, bất đẳng thức Minimax ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nguyên lý