Nguyên lý không chắc chắn đối với biểu diễn Wigner - cửa sổ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ HƯƠNG GIANG NGUYÊN LÝ KHÔNG CHẮC CHẮN ĐỐI VỚI BIỂU DIỄN WIGNER - CỬA SỔ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn: TS Bùi Kiên Cường LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến TS Bùi Kiên Cường, người thầy tận tình hướng dẫn động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo tổ mơn Tốn Giải tích, khoa Tốn, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến anh chị bạn lớp cao học giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln động viên chia sẻ khó khăn tơi suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Ngô Thị Hương Giang Lời cam đoan Luận văn tốt nghiệp "Nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ" hồn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Học viên Ngô Thị Hương Giang Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt vi Mở đầu vii Lý chọn đề tài vii Mục đích nghiên cứu viii Nhiệm vụ nghiên cứu viii Đối tượng phạm vi nghiên cứu viii Phương pháp nghiên cứu viii Dự kiến đóng góp đề tài Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) 1.1.3 Một số không gian hàm thử đối ngẫu Biến đổi Fourier 1.2.1 Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược 1.2.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) 1.3 Một số biểu diễn thời gian - tần số 1.4 Lớp phân bố Cohen 17 1.5 Nguyên lý không chắn 23 1.2 Một số không gian hàm ix iv v Nguyên lý không chắn Biểu diễn Wigner cửa sổ 28 2.1 Một số tính chất biểu diễn Wigner - cửa sổ 28 2.2 Nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ 35 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R∗+ Tập số thực dương C Tập số phức K Tập số thực phức S1 Đường tròn đơn vị với tâm gốc tọa độ Rn Không gian Euclide n - chiều Lp (Rn ) Khơng gian hàm có lũy thừa bậc p khả tích Rn C ∞ (Ω) Khơng gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞ (Ω) Khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω α Là đa số, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ N |α| Cấp α, |α| = n αj j=1 Kết thúc chứng minh W igψ (f ) Biểu diễn Wigner với hàm cửa sổ ψ (τ ) W ig( f, g) τ − biểu diễn Wigner Spφ1 ,φ2 (f, g)Ảnh phổ tổng quát hai cửa sổ φ1 , φ2 S(Rn ) Không gian Schwartz S (Rn ) Không gian hàm suy rộng tăng chậm I Mở đầu Lý chọn đề tài Đối với biểu diễn thời gian tần số thuộc lớp Cohen, việc nghiên cứu nhân Cohen biểu diễn phụ thuộc vào biến thời gian hay biến tần số đem lại kết lý thuyết lý thú với ứng dụng thú vị xử lý hình ảnh Gần đây, số nhóm tác giả cơng bố kết nghiên cứu (xem [2], [3], [5]) Cụ thể lớp biểu diễn có dạng e−2πitω ψ(t)f W igψ (f, g)(x, ω) = Rn x+ t t g x− dt 2 W igψ∗ (f, g)(x, ω) = t t e2πitx ψ(t)fˆ ω + gˆ ω − dt 2 Rn Các tính chất biểu diễn thời gian - tần số, chẳng hạn tính chất lề, tính chất khơng trải, tính chất giá chứng minh chi tiết Hiện tượng giao thoa biểu diễn hình ảnh giải số tình cụ thể hàm ψ Đặc biệt nguyên lý chắn lớp biểu diễn Với mong muốn tìm hiểu sâu giải tích thời gian-tần số nguyên lý không chắn lý thuyết này, quan tâm giúp đỡ TS Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ" để nghiên cứu thực luận văn tốt nghiệp vii viii Mục đích nghiên cứu + Hệ thống hóa kiến thức giải tích thời gian - tần số + Trình bày tính chất biểu diễn Wigner - cửa sổ, đặc biệt nguyên lý không chắn lớp biểu diễn Nhiệm vụ nghiên cứu Làm báo cáo tổng quan thể đầy đủ mục đích nghiên cứu, nội dung phương pháp nghiên cứu Báo cáo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner - cửa sổ Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner - cửa sổ + Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề + Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới ix Những đóng góp đề tài Luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan biểu diễn Wigner - cửa sổ đề cập chuyên sâu nguyên lý không chắn lớp biểu diễn Chương Một số khái niệm kết ban đầu 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Không gian Banach V không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Nói cách khác, V khơng gian vectơ V trường số thực hay phức với chuẩn · thỏa mãn điều kiện dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y ) có giới hạn V 1.1.2 Khơng gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω ⊂ Rn tập mở Rn , ≤ p < ∞ Hàm f : Ω → C gọi thuộc Lp (Ω) đo Lebesgue có chuẩn  p1  f Lp (Ω) |f (x)|p dx = Ω hữu hạn Đặc biệt L1 (Ω) khơng gian hàm có tích phân hội tụ tuyệt 30 Chúng ta có W igψ (f )(x, ω)dx = e−2πitω ψ(t)f (x + t/2) f (x − t/2)dt dx = e−2πitω e2πit(η+ξ) e−2πit(η−ξ) ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η)dηdξdtdx = e−2πitω eπit(η+2ξ) e−2πixη ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η + ξ)dξdtdηdx = Fη→x e−2πitω eπit(η+2ξ) ψ(t)fˆ(ξ)fˆ(η + ξ)dξdt dx = e−2πit(ω−ξ) ψ(t)|fˆ(ξ)|2 dξdt = (ψˆ ∗ |fˆ|2 )(ω) Các công thức (b), (b’) suy trực tiếp nhờ công thức (2.4) công thức (a), (a’) Hệ 2.4 Với f ∈ S(Rn ) ψ ∈ L1 (Rn ) cho ψˆ ∈ L1 (Rn ), có W igψ (f )(x, ω)dxdω = W igψ∗ (f )(x, ω)dxdω = f L2 ψ(0) Đặc biệt, ψ(0) = 1, có cơng thức bảo tồn lượng cho W igψ W igψ∗ Sau đây, chúng tơi liệt kê tính chất khơng trải, tính chất thuộc lớp Cohen biểu diễn Wigner - cửa sổ Mệnh đề 2.5 Với f ∈ S(Rn ), ψ ∈ S (Rn ), có ˆ Πx supp(W igψ (f )) ⊂ C(supp f ), Πω supp(W igψ (f )) ⊂ supp(ψ)+C(supp fˆ), ˆ˜ Πx supp(W igψ∗ (f )) ⊂ supp(ψ)+C(supp f ), Πω supp(W igψ∗ (f )) ⊂ C(supp fˆ) CΩ bao lồi Ω Mệnh đề 2.6 Các biểu diễn Wψ (f, g) Wψ∗ (f, g) xác định ánh xạ liên tục 31 (∗) (i) (ψ, f, g) ∈ S(Rn ) × S(Rn ) × S(Rn ) → W igψ (f, g) ∈ S(R2n ) (∗) (ii) (ψ, f, g) ∈ S (Rn ) × S(Rn ) × S(Rn ) → W igψ (f, g) ∈ S (R2n ) (∗) (iii) (ψ, f, g) ∈ S(Rn ) × S (Rn ) × S (Rn ) → W igψ (f, g) ∈ S (R2n ) (∗) (iv) (ψ, f, g) ∈ L∞ (Rn ) × L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → W igψ (f, g) ∈ L2 (R2n ), (∗) W igψ (f, g) đóng vai trò W igψ (f, g) W igψ∗ (f, g) Chứng minh Liên quan đến W igψ (f, g), kết luận suy từ (2.5), tốn tử mà phân tích W igψ (f, g) liên tục khơng gian Đối với W igψ∗ (f, g), tính liên tục suy từ cơng thức (2.2) Giả sử Cb∞ (Rn ) không gian hàm khả vi vô hạn bị chặn với tất đạo hàm chúng Mệnh đề 2.7 Với < p < ∞, biểu diễn W igψ (f, g) hoàn toàn xác định ánh xạ bị chặn (ψ, f, g) ∈ L∞ (Rn ) × Lp (Rn ) × Lp (Rn ) → W igψ (f, g) ∈ L∞ (R2n ) Hơn nữa, tập giá trị ánh xạ tập không gian hàm liên tục triệt tiêu vô tận ψ ∈ Cb∞ (Rn ) Đối với W igψ∗ (f, g), tương tự mệnh đề trên, có Mệnh đề 2.8 Với < p < ∞, biểu diễn W igψ∗ (f, g) hoàn toàn xác định ánh xạ (ψ, f, g) ∈ L∞ (Rn ) × F −1 Lp (Rn ) × F −1 Lp (Rn ) → W igψ∗ (f, g) ∈ L∞ (R2n ) Hơn nữa, tập giá trị ánh xạ tập không gian hàm liên tục triệt tiêu vô tận ψ ∈ Cb∞ (Rn ) Chứng minh Kết suy trực tiếp từ đẳng thức (2.4) Mệnh đề 2.7 Nhận xét 2.9 Từ cơng thức (2.4), có W ig1∗ (f, g)(x, ω) = W ig1 (hatf, gˆ)(ω, −x) = W ig(f, g)(x, ω), 32 hàm đồng Mặt khác, ta có W ig1 (f, g) = W ig(f, g), W ig1 (f, g) = W ig1∗ (f, g) = W (f, g) (2.6) Trong trường hợp ψ = δ, viết (u, Φ) thay cho u, Φ với hàm Φ ∈ S(R2n ), u ∈ S (R2n ), có với f, g ∈ S(Rn ) Φ ∈ S(R2n ), (W igδ (f, g), Φ) = ⊗ δ, I(f ⊗ g)F2−1 Φ = = f (x)g(x) Φ(x, ω)dω dx f (x)g(x)Φ(x, ω)dxdω = (f g ⊗ 1, Φ), tức là, W igδ (f, g)(x, ω) = f (x)g(x) (2.7) với f, g ∈ S(Rn ) Nhờ (2.2), có g (ω) W igδ∗ (f, g)(x, ω) = fˆ(ω)ˆ (2.8) W igδ (f )(x, ω) = |f (x)|2 W igδ∗ (f )(x, ω) = |fˆ(ω)|2 (2.9) Đặc biệt, với f ∈ S(Rn ) Khi đó, biểu diễn W igψ W igψ∗ với ψ chạy từ đến δ tạo cầu nối từ biến đổi Wigner cổ điển tới |f (x)|2 tới |fˆ(ω)|2 tương ứng Một đường là, chẳng hạn ψ hàm Gauss phụ thuộc vào λ ∈ [0, ∞] ψλ (x) = c(λ)e−πλx , (2.10) c(λ) hàm liên tục biến λ, λ = λn/2 với λ đủ lớn, ta muốn ψλ = δ Sau đây, giả thiết f, g ∈ S(Rn ) ψ ∈ S (Rn ) 33 Mệnh đề 2.10 Các biểu diễn W igψ W igψ∗ thuộc lớp Cohen Cụ thể là, với f, g ∈ S(Rn ), ψ ∈ S (Rn ), có ˆ ∗ W ig(f, g) W igψ (f, g) = (δ ⊗ ψ) (2.11) W igψ∗ (f, g) = (ψˆ˜ ⊗ δ) ∗ W ig(f, g) (2.12) ˜ ψ(x) = ψ(−x) Chứng minh Chúng ta chứng minh kết với f, g ∈ S(Rn ); trường hợp hàm suy rộng tăng chậm suy từ nguyên lý trù mật Sử dụng (2.5) kiện W ig1 = W ig để chứng minh W igψ (f, g) viết dạng σ ∗ W ig(f, g) với σ ∈ S (Rn ) phù hợp, ta phải F2 [(1 ⊗ ψ)(T (f ⊗ g))] = σ ∗ F2 (f ⊗ g) ˆ ∗ W ig(f, g), đẳng thức Vì F2 [(1 ⊗ ψ)(T (f ⊗ g))] = (δ ⊗ ψ) ˆ (2.11) thỏa mãn Bây thỏa mãn σ = δ ⊗ ψ; xét W igψ∗ ; ký hiệu S : F ∈ S(R2n ) → S(F ) ∈ S(R2 n) ánh xạ xác định S(F )(x, ω) = F (ω, −x), mở rộng tự nhiên lên S (R2n ) Từ (2.11) (2.3), có W igψ∗ (f, g) = S(W igψ (fˆ, gˆ)) ˆ ∗ W (fˆ, gˆ) = S (δ ⊗ ψ) ˆ ∗ S −1 W (f, g) = S (δ ⊗ ψ) ˆ ∗ W ig(f, g), = S (δ ⊗ ψ) ˆ = ψ˜ˆ ⊗ δ = ψˆ˜ ⊗ δ điều chứng minh (2.12), S(δ ⊗ ψ) Mệnh đề 2.11 Các hàm suy rộng có dạng δa ⊗ v hay u ⊗ δa thuộc vào tập ảnh biến đổi Wigner bội δa ⊗ e2πbω e2πbω ⊗ δa , b ∈ Rn δa hàm suy rộng Dirac có tâm a ∈ Rn Nói rõ hơn: 34 (i) Tồn hàm suy rộng f, g ∈ S (Rn ) cho W ig(f, g)(x, ω) = u ⊗ δa tìm c ∈ C b ∈ Rn cho u = ce2πbx (ii) Tồn hàm suy rộng f, g ∈ S (Rn ) cho W ig(f, g)(x, ω) = δa ⊗ v tìm c ∈ C b ∈ Rn cho v = ce2πbω Từ Mệnh đề 2.11, thu biểu diễn (2.1) (2.2) biểu diễn dạng ảnh phổ tổng quát số trường hợp đặc biệt Nói rõ hơn, có kết sau Mệnh đề 2.12 Các biểu diễn (2.1) (2.2) viết dạng (1.13) với f, g ∈ S(Rn ) tồn c ∈ C b ∈ Rn cho ψ = cδb Trong trường hợp đó, có W igcδb (f, g) = Sp√cδ−b/2 ,√cδb/2 (f, g) = ce−2πibω f (x + b/2)g(x − b/2) (2.13) ∗ W igcδ g (x − b/2) (f, g) = Sp√ceπibt ,√ce−πibt (f, g) = ce2πibx fˆ(x + b/2)ˆ b (2.14) Chứng minh Nhắc lại với f, g ∈ S(Rn ) với φ1 , φ2 ∈ S (Rn ), có Spφ1 ,φ2 (f, g) = W ig(φ˜1 , φ˜2 ) ∗ W ig(f, g); (2.15) Khi so sánh (2.15) với (2.11) (2.12), thấy W igψ (tương úng, W igψ∗ ) ảnh phổ tổng quát tồn hàm suy rộng φ1 , φ2 ∈ S (Rn ) cho W ig(φ˜1 , φ˜2 ) = δ ⊗ ψˆ (tương ứng, W ig(φ˜ , φ˜ ) = ψˆ˜ ⊗ δ) Từ Mệnh đề 2.11, đẳng thức ψ = cδb với số c ∈ C b ∈ Rn Khi (2.14) (2.11) co thể suy trực tiếp từ định nghĩa W igψ W igψ∗ 35 2.2 Nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ Trước hết, nhắc lại 0hai dạng cổ điển nguyên lý không chắn liên quan đến giá compact hàm sau Mệnh đề 2.13 Với f ∈ L2 (Rn ), đẳng thức sau xảy ra: (a) Nếu giá f fˆ compact, f = (Định lý Paley-Wiener) (b) Nếu giá W ig(f ) compact f = Các kết luận (a) (b) Mệnh đề xem nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ Rnx × Rnω , ˆ W ig(f )(x, ω) trường hợp đặc biệt |f (x)|2 , |f (ω)| kiểu biểu diễn Tuy nhiên, chúng dường cho thấy tính chất ˆ bao hàm tự nhiên khác: Trong (a) hai biểu diễn |f (x)|2 , |f (ω)| giả sử phép chiếu tương ứng lên Rnx Rnω giá chúng có gia compact; (b) cho biểu diễn Rnx × Rnω yêu cầu tính compact giá tất biến Mệnh đề 2.14 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (a) σ ∈ S (R2n ) supp σ ˆ = R2n ; (b) Qσ = σ ∗ W ig thỏa mãn đẳng thức Moyal, tức (Qσ (f1 , g1 ), Qσ (f2 , g2 ))2 = (g1 , g2 )(f1 , f2 ) với fj , gj ∈ S(Rn ) Với f ∈ S(Rn ) từ supp Qσ f compact suy f = Mệnh đề 2.15 Với hàm ψ ∈ L∞ (Rn ), giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (a) supp ψ = Rn ; 36 (b) |ψ(t)| = với hầu khắp t ∈ Rn Với f ∈ S(Rn ) từ supp W igψ (f ) supp W igψ∗ (f ) compact suy f = Chứng minh Giả sử giả thiết (a) thỏa mãn Vì W igψ = Qσ với σ = δ ⊗ ψˆ W ig ∗ = Q với σ = ψˆ˜ ⊗ δ ψ (2.16) σ supp ψ = Rn thi hai ˜ = Rn supp σ ˆ = supp(1 ⊗ ψ) supp σ ˆ = supp(ψ ⊗ 1) = Rn Từ Mệnh đề 2.14 (a) suy kết luận mệnh đề Giả sử giả thiết (b) thỏa mãn Từ (2.16), có ˜ˆ (η, y)| = |ψ(y)| = |ˆ |σ σ (η, y)| = |ψ(y)| = với (η, y) ∈ R2n Điều tương đương với Qσ Qσ thỏa mãn đẳng thức Moyal, kết luận mệnh đề suy từ Mệnh đề 2.14 (b) Một dạng khác nguyên lý không chắn biểu thị mệnh đề sau Mệnh đề 2.16 Giả sử ψ ∈ S(Rn ), ψ(0) = (a) Giả sử điều kiện supp f = Rn supp ψ = Rn thỏa mãn Khi Πω supp W igψ (f )(x0 , ·) compact Rnω với x0 cố định suy f = (b) Giả sử điều kiện supp fˆ = Rn supp ψ = Rn thỏa mãn Khi Πx supp W igψ∗ (f )(·, ω0 ) compact Rnx với ω0 cố định suy f = 37 Chứng minh (a) Với x0 ∈ Rn cố định, từ Định lý Paley-Wiener kiện W igψ (f )(x0 , ω) = Ft→ω ψ(t)f (x0 + t/2)f (x0 − t/2) có giá compact biến ω suy ψ(t)f (x0 + t/2)f (x0 − t/2) hàm giải tích Dưới giả thiết (a), nhiện ψ(t)f (x0 + t/2)f (x0 − t/2) khơng thể có giá compact Rn , đó, đồng theo t Đặc biệt, với t = 0, ψ(0) = 0, suy |f (x0 )|2 = 0, nghĩa f = (b) Từ W igψ∗ (f )(x, ω) = W igψ (fˆ)(ω, −x) từ phần (a), suy fˆ = f = Mệnh đề công thức nguyên lý không chắn liên hệ với Mệnh đề 2.13 Mệnh đề 2.17 Giả sử ψj (j = 1, 2) hàm liên tục tăng không nhanh đa thức cho ψj (0) = giả sử f ∈ S(Rn ) Nếu Πx supp W igψ1 (f ) Πω supp W igψ∗ (f ) tập compact f = Chứng minh Từ điều kiện Πx supp W igψ1 (f ) compact, tồn M > cho với x0 ∈ Rn , |x0 | ≥ M suy e−2πiωt ψ1 (t)f (x0 + t/2)f (x0 − t/2)dt = với ω ∈ Rn Điều có nghĩa ψ1 (t)f (x0 + t/2)f (x0 − t/2) = với t ∈ Rn Vì ψ1 (0) = 0, lấy t = 0, có |f (x0 )|2 = với x0 ≥ M , nghĩa supp f compact Do theo Mệnh đề 2.13 (a) ta có f = Tương tự, từ điều kiện Πω supp W igψ∗ (f ) compact, suy tồn M > cho với ω0 ∈ Rn , |ω0 | ≥ M suy e−2πiωt ψ2 (t)fˆ(ω0 + t/2)fˆ(ω0 − t/2)dt = 38 với x ∈ Rn Điều có nghĩa ψ2 (t)fˆ(ω0 + t/2)fˆ(ω0 − t/2) = với t ∈ Rn Vì ψ2 (0) = 0, lấy t = 0, có |fˆ(ω0 )|2 = với |ω0 | ≥ M , nghĩa supp fˆ compact Do theo Mệnh đề 2.13 (a) ta có f = Định nghĩa 2.18 Cho Qσ = σ ∗ W ig biểu diễn với nhân Cohen σ ∈ S(R2n ) xác định tín hiệu thuộc S(Rn ) Giả sử S : F ∈ S(R2n ) → S(F ) ∈ S(R2n ) ánh xạ đối ngẫu xác định S(F )(x, ω) = F (ω, −x) mở rộng lên S (R2n ) Chúng ta đặt σ ∗ (x, ω) = S(σ)(x, ω) = σ(ω, −x) gọi σ ∗ nhân đối ngẫu σ Q∗σ = σ ∗ ∗ W ig biểu diễn đối ngẫu Qσ Nhận xét 2.19 Rõ ràng, δ ∗ = δ có W ig ∗ = W ig Tổng quát hơn, σ ∗∗ = σ ˜ , với σ ˜ (x, ω) = σ(−x, −ω), với σ ∈ S(Rn ), nhân σ + σ ∗ + σ ˜+σ ˜ ∗ tự đối ngẫu Hơn nữa, có Q∗σ (f, g)(x, ω) = (σ ∗ S (W ig(f, g))) (ω, −x) = σ ∗ W ig(fˆ, gˆ) (ω, −x) (2.17) = Qσ (fˆ, gˆ)(ω, −x), tổng quát hóa kiện biết W ig(f, g)(x, ω) = W ig(fˆ, gˆ)(ω, −x) ˜ xác Nhắc lại biểu diễn Rihaczek R Rihaczek liên hợp R định Định nghĩa 1.28 Khi đó, có mệnh đề Mệnh đề 2.20 Các cặp đối ngẫu xảy (i) Nếu Qσ = |f (x)|2 Q∗σ = |fˆ(ω)|2 ; (ii) Nếu Qσ = W igψ Q∗ = W igψ∗ ; (iii) Nếu Qσ = W ig (τ ) Q∗σ = W ig (1−τ ) ; 39 (iv) Nếu Qσ = Spφ,ψ Q∗σ = Spφ, ˆ ψˆ ; ˜ (v) Nếu Qσ = R Q∗σ = R Bổ đề 2.21 Qσ thỏa mãn tính chất lề biến x (tương ứng theo biến ω) Q∗σ thỏa mãn tính chất lề biến ω (tương ứng biến x) Mệnh đề 2.22 Giả sử Q1 Q2 hai biểu diễn thuộc lớp Cohen thỏa mãn tính chất lề, tức Q2 f (x, ω)dx = |fˆ(ω)|2 Q1 f (x, ω)dω = |f (x)|2 , R R Với f ∈ S(R), khẳng định sau tương đương (a) (b) x2 Q1 f (x, ω)dxdω R2 R2 1/2 R2 (x − a)2 Q1 f (x, ω)dxdω ω Q2 f (x, ω)dxdω 1/2 R2 1/2 ≥ 4π L2 f (ω − b)2 Q2 f (x, ω)dxdω 1/2 ≥ 4π f với a, b ∈ R (c) (d) R2 x2 Q1 f (x, ω) + ω Q2 f (x, ω)dxdω ≥ R2 (x 2π f L2 − a)2 Q1 f (x, ω) + (ω − b)2 Q2 f (x, ω)dxdω ≥ 2π f L2 với a, b ∈ R Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy f (x) = ce−πx với c ∈ C trường hợp (a) (c); dấu đẳng thức xảy f (x) = ce2πib(x−a) e−πk(x−a) với k > trường hợp (b) (d) Chứng minh Nguyên lý không chắn cổ điển cho (Bất đẳng thức Heisenberg-Pauli- Weyl) 1/2 1/2 ω |fˆ(ω)|2 dω 2 x |f (x)| dx R ≥ R f 4π L2 Từ giả thiết tính chất lề Q1 Q2 , bất đẳng thức bên tương đương với 1/2 1/2 2 x Q2 f (x, ω)dxdω R2 ω Q1 f (x, ω)dxdω R2 ≥ f 4π L2 L2 40 Điều chứng minh (a) Phần (b) thu từ phần (a) cách áp dụng hàm g(x) = T−a M−b f (x) = e−2πib(x+a) f (x+a) sử dụng tính chất hiệp biến với biểu diễn lớp Cohen, tức Qj g(x, ω) = Qj f (x + a, ω + b), j = 1, Các phần (c) (d) thu từ (a) (b) tương ứng, cách sử dụng bất đẳng thức α2 +β 2 ≥ αβ, với α, β ≥ Khi đó, (a) suy (b), (c) (d) Tất nhiên, (b) suy (a) (b) suy (c) Ta (c) suy (a) Với α > f ∈ S(R), chọn fα (x) = α1/2 f (αx) Khi sử dụng tính chất lề, ta có: x2 Q1 fα (x, ω)dxdω = α−2 R x2 Q1 f (x, ω)dxdω R ω Q2 fα (x, ω)dxdω = α2 R ω Q2 f (x, ω)dxdω R Áp dụng (c) fα , có α2 x2 Q1 f (x, ω) + α2 R2 ω Q2 f (x, ω)dxdω ≥ R2 f 2π L2 với f ∈ S(R) Cực tiểu hóa vế trái theo biến α > cho ta khẳng định (a) Cuối cùng, ý thấy x2 |f (x)|2 dx = R x2 Q2 f (x, ω)dxdω R ω |fˆ(ω)|2 dω = R ω Q1 f (x, ω)dxdω R suy đẳng thức thu cách xác trường hợp cổ điển, tức Q1 f (x, ω) = |f (x)|2 Q2 f (x, ω) = |fˆ(ω)|2 41 Mệnh đề hệ trực tiếp Bổ đề 2.21 Mệnh đề 2.22 Mệnh đề 2.23 Với σ ∈ S (R2 ) f ∈ S(R), giả sử R Qσ f (x, ω)dω = |f (x)|2 (hoặc tương đương Q∗ f (x, ω)dω = |fˆ(ω)|2 ) Khi R R2 σ x2 Qσ f (x, ω) + ω Q∗σ f (x, ω)dxdω ≥ f 22 2π (2.18) Dấu đẳng thức xảy f (x) = ce−πx với c ∈ C Bây giờ, ta vận dụng Mệnh đề 2.23 bất đẳng thức (2.18) vào số tình cụ thể, trước mắt τ −Wigner Mệnh đề 2.24 Với τ ∈ [0, 1] nguyên lý không chắn xảy (x2 + ω ) W ig (τ ) f (x, ω)dxdω ≥ R2 f 2π 2 (2.19) với f ∈ S(R) Chứng minh Từ W ig (τ ) ∗ = W ig (1−τ ) W ig (τ ) f = W ig (1−τ ) f , có x2 W ig (τ ) f (x, ω) + ω W ig (τ ) f (x, ω)dxdω ≥ R2 f 22 2π (2.20) Thay τ − τ , có x2 W ig (1−τ ) f (x, ω) + ω W ig (1−τ ) f (x, ω)dxdω R2 x2 W ig (τ ) f (x, ω) + ω W ig (τ ) f (x, ω)dxdω = (2.21) R2 f 22 2π Cộng (2.20) (2.21) lại với nhau, ta điều phải chứng minh ≥ Hệ 2.25 Với biểu diễn Born-Jordan Q(f, g) = [0,1] W ig (τ ) (f, g)dτ , có (x2 + ω )Qf (x, ω)dxdω ≥ R2 với f ∈ S(R) f 2π 2 (2.22) 42 Chứng minh Sử dụng đẳng thức W ig (τ ) f = W ig (1−τ ) f , phép lấy tích phân theo τ đoạn [0, 1] hai vế (2.19)và sử dụng phép đổi biến, ta có kết ˆ ψˆ ∈ L1 (R) với Mệnh đề 2.26 Giả sử φ, ψ ∈ L1 (R) thỏa mãn φ, ˆ ˆ R2 φ(ω)dω = R2 ψ(ω)dω = Khi đó, R2 x2 W igφ f (x, ω) + ω W igψ∗ f (x, ω)dxdω ≥ f 22 , 2π (2.23) vế trái độc lập với hàm cửa sổ φ ψ dấu đẳng thức xảy f (x) = ce−πx với c ∈ C Chứng minh Đây hệ trực tiếp (2.18), với kiện biểu diễn W igψ W igσ∗ thỏa mãn tính chất lề giả thiết ˆ ˆ R2 φ(ω)dω = R2 ψ(ω)dω = Dấu đẳng thức xảy f (x) = ce−πx với c ∈ C Hệ 2.27 Các biểu diễn Rihaczek Rihaczek liên hợp thỏa mãn nguyên lý không chắn cổ điển x2 Rf (x, ω) + ω R∗ f (x, ω)dxdω ≥ R2 với f ∈ S(R) f 22 , 2π (2.24) Kết luận Luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan ngun lý không chắn số biểu diễn Wigner - cửa sổ Luận văn tham khảo chủ yếu từ tài liệu số [1], [2], [3] [5], có trình bày chi tiết số phép chứng minh kết mà tài liệu tham khảo nêu Mơt số vấn đề trình bày luận văn • Mở đầu giải tích thời gian-tần số, ngun lý khơng chắn cổ điển, lớp phân bố Cohen • Khái niệm biểu diễn Wigner - cửa sổ tính chất chúng • Ngun lý khơng chắn cho số biểu diễn Wigner - cửa sổ Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn học góp ý để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham kho [1] K Grăochenig (2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [2] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2011), "Wigner representations associated with linear transformations of the time-frequency plane", Operator Theory: Advances and Applications, vol.213, PseudoDifferential Operators: Analysis, Applications and Computations, Basel, Springer, pp 275-288 [3] P Boggiatto, E Carypis, A Oliaro (2013), "Windowed-Wigner representations in the Cohen class and uncertainty principles", J Geom Anal., Volume 23, Issue 4, pp 1753-1779 [4] P Boggiatto, G De Donno, A Oliaro (2010) "Time-Frequency representation of Wigner type and Pseudo-differential Operator",Trans Amer Math Soc., 362, 9, pp 4955-4981 [5] Paolo Boggiatto, Evanthia Carypis, Alessandro Oliaro (2012), "Windowed-Wigner representations, interferences and operators", Pliska Stud Math Bulga 21, pp 97-112 [6] L Cohen (1995), Time-Frequency Analysis, Prentice Hall Signal, Proc Series, New Jersey 44 ... quan tâm lý thuyết biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner - cửa sổ Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Biểu diễn thời gian - tần số, biểu diễn Wigner - cửa sổ + Phạm... ix iv v Nguyên lý không chắn Biểu diễn Wigner cửa sổ 28 2.1 Một số tính chất biểu diễn Wigner - cửa sổ 28 2.2 Nguyên lý không chắn biểu diễn Wigner - cửa sổ 35... nguyên lý chắn lớp biểu diễn Với mong muốn tìm hiểu sâu giải tích thời gian-tần số nguyên lý không chắn lý thuyết này, quan tâm giúp đỡ TS Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắn biểu