Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Yên Bái, trường Cao đẳng Sư phạm Yên Bái, khoa Tự Nhiên. Tác giả cũng xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện cho giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp của mình. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hằng Thu LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hằng Thu. iii Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt v Mở đầu ix 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian L p , các bất đẳng thức trong không gian L p , công thức tích chập . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D  (Ω) . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) . . . . . 6 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) 7 1.1.6 Các toán tử cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L p (R n ) và S (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 15 1.3 Giải tích thời gian-tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Giải tích thời gian-tần số . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 24 1.3.4 Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 iv 1.3.5 Một số phân bố thời gian-tần số quan trọng . . . 30 1.3.6 Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.1 Một số định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân . . . . . . . 42 2 Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong L p của ảnh phổ tổng quát 51 2.1 Toán tử địa phương hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.1 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc S  R 2n  51 2.1.2 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc L p  R 2n  , với p ∈ [1, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2 Dạng và toán tử của ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . 55 2.2.1 Ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.2 Toán tử của ảnh phổ tổng quát . . . . . . . . . . 58 2.3 Công thức tích chập của ảnh phổ tổng quát và tính dương của toán tử địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Ảnh phổ tổng quát và nguyên lý không chắc chắn . . . . 67 2.5 Tính liên tục và không liên tục của toán tử địa phương hóa 74 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 84 v Bảng kí hiệu và viết tắt N : Tập hợp các số tự nhiên. N ∗ : Tập hợp các số nguyên dương. |α| : Bậc của đa chỉ số α, |α| = n  i=1 α i , α = (α 1 , , α n ) ∈ N ∗ . R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian Ơclit n chiều. C : Tập hợp các số phức. z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun của số phức z. D α f : Đạo hàm cấp α của f, D α f = (−1) |α| ∂ α f. ∂ α u : Đạo hàm riêng cấp α của u, (∂ α u)(ϕ) = (−1) |α| u(∂ α ϕ). C ∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. C ∞ 0 (Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact. C 0 (R n ) : Không gian các hàm liên tục có giá compact. D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản. S (R n ) : Không gian các hàm giảm nhanh. vi S  (R n ) : Không gian các hàm tăng chậm. T x f : Phép tịnh tiến theo x của hàm f, T x f (t) = f (t − x) . M ω f : Sự điều biến theo ω của hàm f, M ω f (t) = e 2πit·ω f (t) . f ∗ : Phép đối hợp của f, f ∗ (x) = f(−x).  f : Phép đối xứng của f, f(x) = f(−x). f ∗g : Tích chập của f và g, (f ∗g)(x) =  R n f(y)g(y − x)dy.  f, F (f) : Biến đổi Fourier của hàm f. F −1 (f) , ˇ f : Biến đổi Fourier ngược của hàm f. F, ˆ f : Liên hợp của biến đổi Fourier f. X α f(x) : Toán tử nhân, X α f (x) = x α f (x) . span{A} : Bao tuyến tính của tập A. A p : Hằng số Babenko-Beckner, A p =  p 1/p (p  ) 1/p   1/2 . V g f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, V g f (x, ω) =  R n f (t) g (t − x)e −2πit·ω dt. F 2 : Biến đổi Fourier của hàm F theo biến thứ 2, F 2 F (x, ω) =  R n F (x, t)e −2πit·ω dt. vii L p : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn L p hữu hạn. f L p (Ω) =    Ω |f(x)| p dx   1 p . H s (R n ) : Không gian Sobolev cấp s, H s (R n ) = {u ∈ S  (R n )|ξ s Fu(ξ) ∈ L 2 (R n )}. T σ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, T σ ϕ(x) = (2π) −n/2  R n e ix·ξ σ(x, ξ) ˆϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(R n ). T ∗ σ : Liên hợp hình thức của toán tử T σ . W ig (f) : Phân bố Wigner của hàm f. W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo của hàm f và g. Q σ f : Lớp phân bố Cohen. R (f) : Biểu diễn Rihaczek của hàm f R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek của hai hàm f, g. R ∗ (f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp của hai hàm f, g. SP EC g f, Sp g f : Ảnh phổ của hàm f đối với hàm cửa sổ g. q φ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát của hàm f, g đối với hàm cửa sổ φ, ψ. T σ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ. A F : Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F. W F : Toán tử Weyl với biểu trưng F. L F φ,ψ : Toán tử địa phương hoá với biểu trưng F, L F φ,ψ f(x) =  R n F (z) (f, φ z ) L 2 ψ z (x) dz, f ∈ S(R n ). viii X [a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]. ϕ a (x) : Là hàm Gauss với ϕ a (x) = e − πx 2 a . T a : Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với T a f (x, t) = f (t, t − x). T s : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với T s f (x, t) = f  x + t 2 , x − t 2  . f ⊗g : Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗g) (x, t) = f (x) g (t). B(L 2 (R n )) : Là C ∗ − đại số của tất cả những toán tử bị chặn từ L 2 (R n ) vào L 2 (R n ). . ∗ : Chuẩn trong B(L 2 (R n )). S h f : Toán tử Hilbert-Schmidt trên L 2 (R n ), (S h f)(x) =  R n h(x, y)f(y)dy, x ∈ R n , f ∈ L 2 (R n ). L p ∗ (R 2n ) : với L p ∗ (R 2n ) = {σ ∈ L p (R 2n )ˆσ ∈ L p  (R 2n )}. ix Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phép biểu diễn thời gian-tần số là một dạng toàn phương, trong đó ứng với mỗi tín hiệu f trên R n là một hàm hoặc một phân bố Qf trên mặt phẳng thời gian-tần số R n x × R n w . Hàm Qf(x, w) biểu diễn cho phân bố năng lượng của tín hiệu đối với biến thời gian x và biến tần số w, điều đó nói lên rằng tần số w nào có mặt trong tín hiệu f quanh thời điểm x. Trong trường hợp này chúng ta sẽ sử dụng các thuật ngữ khác nhau là "phép biểu diễn" hoặc là "dạng". Hàm Qf thường đòi hỏi phải được thỏa mãn vài điều kiện, cụ thể là:(thoả mãn tính dương) Qf  0 với mọi x, w; (thoả mãn tính không tràn) nếu supp f ⊆ I với khoảng I ⊆ R thì π x supp f ⊆ I (π x là phép chiếu trực giao trên mặt phẳng thời gian-tần số R n x ×R n w ) và tương tự supp ˆ f ⊂ J kéo theo π w supp Qf ⊂ J; (thoả mãn điều kiện lề của hàm phân phối)  R n Qf(x, w)dx =    ˆ f(w)    2 và  R n Qf(x, w)dw =    ˆ f(x)    2 . Ý nghĩa của những yêu cầu này có thể tìm thấy trong cuốn "Giải tích thời gian-tần số" của L. Cohen (xem [10]). Tuy nhiên, theo nguyên lý không chắc chắn, điều kiện này là không tương thích và do đó chúng chỉ có thể được thỏa mãn với một độ gần đúng nào đó. Vì thế nhiều phép biểu diễn khác nhau được định nghĩa trong lý thuyết giải tích thời gian-tần số với sự cố gắng để chúng càng gần càng tốt phép x biểu diễn lý tưởng. Ba trong số nhiều phép biểu diễn thời gian-tần số được sử dụng nhiều là ảnh phổ, phép biểu diễn Rihaczek và biểu diễn Wigner. Việc nghiên cứu các tính chất của các biểu diễn này đã được trình bày trong [9]. Tuy nhiên, dưới góc độ của những phép biến đổi, thì những tính chất của ánh xạ, chẳng hạn tính bị chặn, là chưa được đề cập tới. Mặt khác giải tích thời gian-tần số có nhiều mối liên hệ với lý thuyết toán tử giả vi phân. Ví dụ như: phép biểu diễn Wigner liên hệ với toán tử Weyl, trong khi đó toán tử địa phương hóa lại được quan tâm đến như là bộ lọc của tín hiệu. Trong các bài báo [6], [7], các tác giả đã nghiên cứu và công bố những kết quả về tính dương, tính bị chặn và tính compact của một số lớp biểu diễn thời gian tần số. Đồng thời liên hệ với các toán tử giả vi phân tương ứng để thu được các kết quả về tính bị chặn, tính compact của một số lớp toán tử giả vi phân trong L p . Trong luận văn này, tôi sẽ tập trung chủ yếu vào việc nghiên cứu các kết quả đã được công bố trong các tài liệu nêu trên. Có thể khái quát sơ lược những vấn đề nghiên cứu như sau: + Đầu tiên, các tác giả xây dựng ảnh phổ tổng quát dựa trên hai-cửa sổ φ, ψ và chỉ ra rằng, theo cách tương tự như phép biểu diễn của Wigner cho lớp các toán tử Weyl, ảnh phổ tổng quát tương ứng lớp các toán tử địa phương hóa. + Tiếp theo, các tác giả chứng minh rằng, cũng tương tự như đối với ảnh phổ, ảnh phổ tổng quát là tích chập của các biểu diễn Wigner và do đó lớp ảnh phổ tổng quát là một lớp con của lớp Cohen, chứng minh được rằng phép biểu diễn Rihaczek có thể vẫn được xem như một ảnh phổ tổng quát với hàm cửa sổ phù hợp, trong khi đó phép biểu diễn Wigner không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát. [...]... toán tử, nguyên lý không chắc chắn của ảnh phổ tổng quát, tính dương của toán tử địa phương hoá + Nghiên cứu về toán tử địa phương hóa Tính liên tục và không liên tục của một số lớp toán tử địa phương hóa trong không gian Lp 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài... ảnh phổ tổng quát" 2 Mục đích nghiên cứu Dạng và toán tử của ảnh phổ tổng quát Nguyên lý không chắc chắn của ảnh phổ tổng quát Xét tính dương của toán tử địa phương hoá bằng việc sử dụng ảnh phổ tổng quát tương ứng Toán tử địa phương hóa Tính liên tục và không liên tục của toán tử địa phương hóa trong không gian Lp xii 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của. .. dụng ảnh phổ tổng quát tương ứng, đồng thời chỉ ra tính không bị chặn của toán tử địa phương hóa trong một số trường hợp đối với p Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian-tần số, các vấn đề liên quan đến ảnh phổ tổng quát và được sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường nên trong luận văn tốt nghiệp của mình tôi lựa chọn đề tài: "Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh. .. đánh giá của Lieb với ảnh phổ tổng quát và chứng minh được sự mở rộng tự nhiên của nguyên lý không chắc chắn Lieb cho ảnh phổ tổng quát trong không gian Lp + Tập trung vào các toán tử tương ứng, như một hệ quả khác của công thức tích chập, các tác giả thu được biểu trưng dương F và cho kết quả là các toán tử địa phương hóa LF dương nếu và chỉ nếu φ,ψ φ = Cψ + Cuối cùng, xét tính bị chặn trong Lp của toán... nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến nguyên lý không chắc chắn của ảnh phổ tổng quát, tính dương và bị chặn trong Lp của toán tử địa phương hoá 5 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp phân tích, tổng hợp 6 Dự kiến kết quả nghiên cứu Giới thiệu tổng quan về giải tích thời gian-tần số và các dạng biểu diễn của các lớp thời gian-tần số Đi sâu... số ϕ (ω) với tâm ω ∗ và căn bậc hai của bán kính ∆ϕ được định nghĩa tương tự như trên +∞ 1 ω∗ = ϕ ω|ϕ (ω)|2 dω 2 −∞  +∞ ∆ϕ = 1  ϕ 1 2 (ω − ω ∗ )2 |ϕ (ω)|2 dω  −∞ 1.3.2 Nguyên lý không chắc chắn Trong toán học, theo nghĩa hẹp các nguyên lý không chắc chắn là các bất đẳng thức liên quan đến cả f và f Có rất nhiều nguyên lý không chắc chắn, chúng ta bắt đầu với nguyên lý không chắc chắn cổ điển với... số vấn đề liên quan đến ảnh phổ tổng quát 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm Nội dung của phần này được tham khảo ở [1], [2], [3], [4] 1.1.1 Không gian Lp , các bất đẳng thức trong không gian Lp , công thức tích chập Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian E và một độ đo µ trên một σ-đại số F các tập con của E Họ tất cả các hàm f có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của modun khả tích trên E,... tự liên hợp (có thể không bị chặn) trên không gian Hilbert H Khi đó: (A − a) f (B − b) f ≥ 1 | [A, B] f, f | 2 với mọi a, b ∈ R và với mọi f trong miền xác định của AB và BA Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu (A − a) f = ic (B − b) f, c ∈ R Ở đây ta kí hiệu [A, B] = AB − BA là giao hoán tử của A và B Chứng minh Bằng cách viết lại giao hoán tử và sử dụng tính chất tự 19 liên hợp của A và B, chúng ta có:... và T thực sự là giá cốt yếu của f Nếu ε = 0 thì T chính xác là giá của f 22 Định lí 1.3.2 (Nguyên lý không chắc chắn của Donoho và Stark) Giả sử rằng f ∈ L2 (Rn ) với f = 0, là εT -tập trung trên T ⊆ Rn và f là εΩ tập trung trên Ω ⊆ Rn Khi đó: |T | |Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng T và Ω có độ đo hữu hạn Đặt: PT f = XT f và QΩ f (x) = F −1 XΩ f (x)... cứu nguyên lý không chắc chắn trên không gian Rn với n > 1 Đó là nguyên lý không chắc chắn của Donoho và Stark Nhưng trước tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu định nghĩa về một hàm ε-tập trung Định nghĩa 1.3.2 Một hàm f ∈ L2 (Rn ) được gọi là ε-tập trung trên một tập đo được T ⊂ Rn , nếu: 1  2  |f (x)|2 dx ≤ ε f L2 (ở đây T ε = Rn \T ) (1.25) Tε Nếu 0 ≤ ε ≤ 1 2 thì hầu hết năng lượng tập trung trên T và . nghiệp của mình tôi lựa chọn đề tài: " ;Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong L p của ảnh phổ tổng quát& quot; 2. Mục đích nghiên cứu Dạng và toán tử của ảnh phổ tổng quát. Nguyên. chập của ảnh phổ tổng quát và tính dương của toán tử địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4 Ảnh phổ tổng quát và nguyên lý không chắc chắn . . . . 67 2.5 Tính liên tục và không. định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.2 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân . . . . . . . 42 2 Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong L p của ảnh phổ tổng quát 51 2.1