Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng

20 2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai 27 2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson.. 27 2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương t

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà TiếnNgoạn Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt chobản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tậntình để tôi hoàn thành công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòngkính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trìnhCao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoahọc Cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả antâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Tác giả

Mở đầu 2

1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 5

1.1 Nguyên lý cực đại của E Hopf 5

1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman 13

1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý 13

1.2.2 Áp dụng nguyên lý 18

1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi tuyến 20

2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai 27 2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson 27

2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình Poisson 30

2.3 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson 35

1

1 Lí do chọn đề tài

Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai,Nguyên lý cực đại là một kết quả cổ điển về tính chất định tính củanghiệm, nhưng đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu lý thuyết

và ứng dụng

Nguyên lý cực đại được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau.Cần phải tổng quan chúng cho các lớp phương trình tuyến tính và phituyến, thuần nhất và không thuần nhất

Nguyên lý cực đại được ứng dụng để chứng minh sự tồn tạinghiệm của các bài toán biên cho các phương trình đạo hàm riêng elliptictuyến tính cấp hai, đồng thời đưa ra phương pháp giải gần đúng các bàitoán này

Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài:

"Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính củaluận văn là:

Nguyên lý cực đại của E Hopf, Alexandrov và Bakelman đốivới các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính, nguyên lý cực đại đốivới lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến và đối với dạng sai phâncủa phương trình Poisson Áp dụng nguyên lý cực đại để tìm nghiệmbằng phương pháp sai phân Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đốivới phương trình Poisson

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Nguyên lý cực đại, dạng sai phân, nghiệm xấp xỉcủa phương trình elliptic cấp hai

Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên

cơ sở các tài liệu chuyên khảo

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyềnthống của Giải tích hàm: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để được một nghiên cứu tổng quan về nguyên lý cực đại đối với phươngtrình elliptic cấp hai Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệuliên quan: Giáo trình, tạp chí,

Luận văn được viết dựa trên nội dung các chương 2 và 3 của tàiliệu [3]

6 Giả thuyết khoa học

Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học cácvấn đề về nguyên lý cực đại của phương trình elliptic và các ứng dụngcủa nó Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyếttriệt để các vấn đề về nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấphai

Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai

1.1 Nguyên lý cực đại của E Hopf

Chúng ta nghiên cứu toán tử vi phân elliptic tuyến tính cấp hai sau:

trong đó các hệ số đưa ra thỏa mãn điều kiện sau:

(i) Tính đối xứng: aij(x) = aji(x) với mọi i, j và x ∈ Ω ⊂ Rn

(ii) Tính Elliptic: Tồn tại một hằng số λ > 0 với

Mục đích của chương này là chứng minh nguyên lý cực đại cho nghiệmcủa Lu = 0.

Trở lại mục đích ban đầu, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cần phải đặt thêmđiều kiện về dấu của c (x) Để minh họa, chúng ta xét một ví dụ đơngiản về bài toán Dirichlet

u”(x) + u(x) = 0 trên (0, π)

có nghiệm u(x) ≡ 0 như là một nghiệm duy nhất của nó

Trước tiên chúng ta trình bày về chứng minh nguyên lý cực đại cho hàmdưới điều hòa (subharmonic functions)

Bổ đề 1.1.1 Cho u ∈ C2(Ω) ∩ C0( ¯Ω), 4u ≥ 0 trong Ω Khi đó

Chứng minh Cũng như trong chứng minh ở Bổ đề 1.1.1, ta xét trườnghợp Lu > 0

Tại một cực đại trong x0 của u ta có:

uxi(x0) = 0 với i = 1, , d

và

(uxi x j(x0))i,j=1, ,d là nửa xác định âm

Từ điều kiên Elliptic ta có:

Hệ quả 1.1.1 Cho L như trong Định lý 1.1.1 và cho f ∈ C0(Ω), ϕ ∈

C0(∂Ω) Khi đó bài toán Dirichlet:

Lu(x) = f (x) với x ∈ Ω (1.4)

u(x) = ϕ(x) với x ∈ ∂Ω

có tối đa một nghiệm u ∈ C2(Ω) ∩ C0( ¯Ω)

Chứng minh Giả sử ta có hai nghiệm u1(x) và u2(x) của bài toán (1.4).Xét hiệu u(x) = u1(x) − u2(x) thỏa mãn:

Lu(x) = 0 trong Ω

u(x) = 0 trên ∂Ω

Từ Định lý 1.1.1 hàm số u(x) đồng nhất triệt tiêu trên Ω

Hệ quả 1.1.2 Giả sử c(x) ≤ 0 trong Ω Cho u ∈ C2(Ω) ∩ C0( ¯Ω) thỏamãn:

Bây giờ chúng ta xét đến nguyên lý cực đại mạnh của E.Hopf.

Định lí 1.1.2 Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn:

và cho x0 ∈ ∂Ω0 Hơn nữa, ta giả thiết:

(i) u liên tục tại x0,

(ii) u(x0) ≥ 0 nếu c(x) 6= 0,

(iii) u(x0) > u(x) với mọi x ∈ Ω0,

(iv) Tồn tại một hình cầu ˙B(y, R) ⊂ Ω0 với x0 ∈ ∂B(y, R)

Khi đó chúng ta có, với r := |x − y|,

∂u

∂r(x0) > 0.

Với điều kiện là đạo hàm này (theo hướng pháp tuyến ngoài của Ω0) tồntại

Chứng minh Chúng ta giả sử

∂B(y, R) ∩ ∂Ω0 = {x0}Cho 0 < ρ < R, trên miền hình vành ˙B(y, R) B(y, ρ) chúng ta xét hàmphụ:

Lv ≥ 0 trong ˙B(y, R) B(y, ρ) (1.10)

Từ (iii) và (iv),

u(x) − u(x0) < 0 với x ∈ ˙B(y, R)

Từ đó chúng ta có thể tìm ε > 0 với

u(x) − u(x0) + εv(x) ≤ 0 với x ∈ ∂B(y, ρ) (1.11)

Từ v = 0 trên ∂B(y, ρ), (1.11) tiếp tục được thỏa mãn trên ∂B(y, R).Mặt khác

Lu(x) − u(x0) + εv(x) ≥ −c(x)u(x0) ≥ 0 (1.12)

do (1.10) và (ii) và vì c(x) ≤ 0 Do đó, chúng ta cần phải sử dụng Hệquả 1.1.2 trên ˙B(y, R) B(y, ρ) và thu được

u(x) − u(x0) + εv(x) ≤ 0 với x ∈ ˙B(y, R) B(y, ρ)

với điều kiện là đạo hàm tồn tại, khi đó

u(x0) = m với một điểm x0 ∈ ∂B(y, R) nào đó

Du(x0) 6= 0

Điều này là mâu thuẫn do tại x0 ta có Du(x0) = 0 Suy ra điều phảichứng minh

1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman

1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý

Trong phần này, chúng ta xét toán tử vi phân như mục 1.1, để chođơn giản, chúng ta giả sử các hệ số c(x) và bi(x) triệt tiêu Ta có các kếtquả tương tự như trình bày ở dưới đây với bi(x) triệt tiêu và c(x) khôngdương, ở đây chúng ta chỉ trình bày những ý tưởng quan trọng trongmột trường hợp đơn giản nhất có thể

d



Z

Ω

|f (x)|ddet(aij(x))dx).





1/d

(1.15)

Trái lại với những đánh giá mà dựa trên nguyên lý cực đại của Hopf,

ở đây chúng ta chỉ có một chuẩn tích phân bên phải của hàm f , tức làchuẩn là yếu hơn so với chuẩn cận trên đúng Trong ý nghĩa này nguyên

lý cực đại của Alexandrov và Bakelman là mạnh hơn E.Hopf

Để chứng minh Định lý 1.2.1, chúng ta cần một phép xây dựng hình họcnào đó Với v ∈ C0(Ω), chúng ta định nghĩa tập tiếp xúc trên:

T+(v) := {y ∈ Ω : ∃p ∈ Rd, ∀x ∈ Ω : v(x) ≤ v(y) + p.(x − y)} (1.16)

Dấu 00.00 ở đây nghĩa là tích vô hướng Euclide của Rd p xuất hiện trongđịnh nghĩa nói chung sẽ phụ thuộc vào y, nghĩa là p = p(y) Tập T+(v)

là tập con của Ω trong đó các đồ thị của v nằm bên dưới một siêu phẳngtrong Rd+1 tiếp xúc với đồ thị của v tại (y, v(y)) Nếu v có vi phân tại

y ∈ T+(v), thì nhất thiết p(y) = Dv(y) Cuối cùng, một cách chính xác

Nếu v không khả vi tại y ∈ T+(v), thì p = p(y) không cần là duynhất nhưng có thể tồn tại một vài p thỏa mãn điều kiện trong (1.16) Tachọn ngẫu nhiên y ∈ T+(v) là tất cả các tập của p, nghĩa là, xét tập giátrị của ánh xạ:

τv(y) := {p ∈ Rd : ∀x ∈ Ω : v(x) ≤ v(y) + p.(x − y)}

Với y /∈ T+(v), ta đặt τv(v) := ∅

Ví dụ 1.2.2 Ω = ˙B(0, 1), β > 0,

v(x) = β(1 − |x|)

Đồ thị của v khi đó là một mặt nón có đỉnh là chiều cao β tại 0 và có

cơ sở là hình cầu đơn vị Chúng ta có T+(v) = ˙B(0, 1),

cụ thể là (vxi x j) là nửa xác định âm trên T+(v) Do đó Dv − εId có hạnglớn nhất với ε > 0 Từ phép biến đổi công thức tích phân bội, ta có:

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 1.2.1: Chúng ta có thểgiả sử

u ≤ 0 trên ∂Ω,bởi vì ta có thể thay thế u bởi u − max∂Ωu nếu cần thiết

Bây giờ lấy x0 ∈ Ω, u(x0) > 0 Chúng ta xét hàm κx0 trên B(x0, δ) với

δ = diam(Ω) có đồ thị là một hình nón với đỉnh thuộc chiều cao u(x0)tại x0 và cơ sở là ∂B(x0, δ) Từ định nghĩa đường kính δ = diamΩ,

Ω ⊂ B(x0, δ)

Từ giả thiết u ≤ 0 trên ∂Ω, với mỗi siêu phẳng tiếp xúc với mặt nón nàytồn tại một vài siêu phẳng song song tiếp xúc với đồ thị của u (trongthứ tự này chúng ta đơn giản di chuyển một siêu phẳng song song tới vịtrí gốc của nó từ phía trên đồ thị của u cho đến khi nó trở về vị trí banđầu Từ đồ thị của u là nhỏ nhất với chiều cao u(x0), nghĩa là, chiềucao của hình nón, và từ u ≤ 0 trên ∂Ω và ∂Ω ⊂ B(x0, δ), như vậy sựtiếp xúc ban đầu không thể xẩy ra tại một điểm biên của Ω, mà chỉ xảy

ra tại điểm trong x1 Do đó, siêu phẳng tương ứng là nằm trong τv(x1).Điều này có nghĩa là:

mà dễ dàng kiểm tra bằng cách chéo hóa các ma trận này.

Cho A = (−uxi x j), B = aij
(điều đó là có thể do Bổ đề 1.2.1 và điềukiện elliptic), chúng ta được (1.25)

Từ công thức (1.26) ta trực tiếp suy ra Định lý 1.2.1, bởi vì từ (1.13) ta

có, −P aijuxi x j ≤ −f , và phía bên trái của bất đẳng thức là không âmtrên T+(u) do Bổ đề 1.2.1

1.2.2 Áp dụng nguyên lý

Chúng ta áp dụng Định lý 1.2.1 cho một vài phương trình phi tuyến,

cụ thể là phương trình Monge-Ampere 2-chiều

Do đó, cho Ω là mở trong R2 =  x1, x2
và cho u ∈ C2(Ω) thỏa mãn

lý 1.2.1 không thể áp dụng trực tiếp Chúng ta quan sát, tuy nhiên, Bổ

đề 1.2.3 không cần giả định tính elliptic, và có hệ quả sau:

Hệ quả 1.2.1 Với giả thiết (i), (ii), một nghiệm của phương trìnhMonge-Ampere (1.27) thỏa mãn

Chứng minh Ta đặt

a11(x) = 1

2ux2x2(x)



Z

Ω

|f (x)|2det(aij(x))dx.

1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi

tuyến

Xét phương trình vi phân tổng quát có dạng

F [u] = F x, u, Du, D2u
= 0, (1.28)với F : S := Ω × R × Rd× S (d, R) → R, ở đây S (d, R) là một không giancác ma trận d × d đối xứng, giá trị thực Các phần tử của S được viết

là (x, z, p, r); ở đây p = p (p1, , pd) ∈ Rd, r = (rij)i,j=1, ,d ∈ S (d, R).Chúng ta giả sử F là vi phân đối với rij

Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân (1.28) được gọi là elliptic tại

(i) F ∈ C1(S),

(ii) F là elliptic tại tất cả các hàm tu1 + (1 − t) u0, 0 ≤ t ≤ 1,

(iii) với mỗi bộ (x, p, r), F là đơn điệu giảm trong z.

Nếu

u1 ≤ u0 trên ∂Ωvà

F [u1] ≥ F [u0] trong Ω,

khi đó ta cũng có

u1 < u0 trong Ωhoặc

Phương trình L là elliptic vì (ii) và (iii), c (x) ≤ 0 Vì vậy, có thể áp dụngĐịnh lý 2.1.2 cho v và có được kết luận của định lý.

Định lý thỏa mãn trong trường hợp đặc biệt cho các nghiệm của

F [u] = 0 Điểm mấu chốt trong chứng minh của Định lý 1.3.1 khi đó là

từ các nghiệm u0 và u1 của phương trình phi tuyến F [u] = 0 đã đượcđưa ra, chúng ta có thể giải thích số lượng phụ thuộc vào các u0 và u1

và các đạo hàm của chúng như là các hệ số của phương trình vi phântuyến tính khác

Chúng ta cũng muốn xây dựng công thức cho các kết quả duy nhất chobài toán Dirichlet F [u] = f với f đã cho

Hệ quả 1.3.1 Giả thiết các điều kiện của Định lý 1.3.1 và giả sử u0 = u1

Định lý 2.1 cho ta hệ quả sau:

Hệ quả 1.3.2 Cho u0, u1 ∈ C2(Ω) là các nghiệm của phương trình mặtcực tiểu Nếu hiệu u0 − u1 đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu tại một điểmtrong của Ω, chúng ta có

u0 − u1 ≡ conts trong Ω

Bây giờ chúng ta đến với nguyên lý cực đại tiếp theo:

Định lí 1.3.3 Cho u ∈ C2(Ω) ∩ C0 Ω
, và cho F ∈ C¯ 2(S) Giả sử với

λ > 0 nào đó, điều kiện elliptic

F [u] = 0 trong Ω,thì

ở đây c là hằng số phụ thuộc vào µ1 và đường kính diam (Ω)

Ở đây, điều kiện (1.33) là tương tự điều kiện về dấu của c (x) ≤ 0 và bịchặn của bi(x) cũng như tính bị chặn của vế phải f của phương trình

Lu = f

Chứng minh Chúng ta sẽ thực hiện một cách tương tự như trong chứngminh của Định lý 1.3.1 và sẽ rút gọn kết quả nguyên lý cực đại trongmục (1.1) cho phương trình tuyến tính Ở đây v là một hàm phụ đã đượcxác định, và ω := u − v Chúng ta xét toán tử

∂F

∂rij x, u (x) , Du (x) , D

2u (x)
dt, (1.35)

ở đây các hệ số bi(x) được định nghĩa qua phương trình:

Bây giờ chúng ta tìm một hàm phụ thích hợp v với

Mv := Xαij (x) vxi x j + F (x, u (x) , Dv (x) , 0) ≤ 0 (1.40)Bây giờ chúng ta giả sử rằng cho δ := diam (Ω), Ω là được chứa trongdải 0 < x1 < δ Chúng ta thử

Định lý 1.3.2 được quan tâm ngay cả trong trường hợp tuyến tính.Một lần nữa chúng ta xét phương trình đơn giản

f00(x) + κf (x) = 0 cho x ∈ (0, π),

f (0) = f (π) = 0,với hằng số κ Chúng ta có thể áp dụng Định lý 1.3.2 với λ = 1, µ1 = 0,

0, mà không ảnh hưởng đến kết luận trên Đặc biệt, điều này cho phépchúng ta làm yếu điều kiện dấu của c (x) ≤ 0 Kết quả có thể rõ ràngnhất ở đây là f ≡ 0 nếu κ là nhỏ hơn giá trị riêng nhỏ nhất λ1 của dxd22

trên (0, π) Tương tự tổng quát với các phương trình tuyến tính elliptickhác, ví dụ,

∆f (x) + κf (x) = 0 trong Ω,

f (y) = 0 trên Ω

Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai

2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson

Ý tưởng cơ bản của phương pháp sai phân là ở chỗ thay thế phươngtrình vi phân bằng một phương trình sai phân với bước h và cố gắng đểchỉ ra với h → 0, các nghiệm của các phương trình sai phân khác nhauhội tụ tới một nghiệm của phương trình vi phân Đây là một phươngpháp thường được áp dụng cho các tính toán bằng số các nghiệm củaphương trình vi phân Để làm rõ phương pháp này, chúng ta xét phươngtrình Laplace

với n1, , nd ∈ Z Tập hợp các đỉnh này được gọi là Rd

h, và chúng tađặt

Các đỉnh biên của ¯Ωh là những đỉnh của ¯Ωh mà không phải tất cả cácđiểm lân cận của nó được chứa trong ¯Ωh Cho Γh là tập hợp các đỉnhbiên Các đỉnh trong ¯Ωh không phải là đỉnh biên gọi là đỉnh trong Tậphợp các đỉnh trong gọi là Ωh

Chúng ta giả sử rằng Ωh là liên thông rời rạc, nghĩa là bất kỳ hai đỉnhtrong Ωh có thể được nối bởi một đường gấp khúc trong Ωh Ta xét hàm

ta viết uh, uhi, u¯iih trong vị trí của u, ui, u¯ii,

Lý do chính để xét các tỷ số sai phân, tất nhiên, là cho các hàm mà viphân ở trên có bậc thích hợp, khi h → 0, các tỷ số sai phân hội tụ tớicác đạo hàm tương ứng

∆u = 0 trong Ωbởi phương trình sai phân

∆huh = 0 trong Ωh,

uh = gh trên Γh, (2.10)

và chứng tỏ rằng các giả thiết dưới đây là thích hợp, các nghiệm uh hội

tụ khi h → 0 tới một nghiệm của bài toán Dirichlet khi

∆u = 0 trong Ω

u = g trên ∂Ω, (2.11)

ở đây gh là một xấp xỉ rời rạc của g Xét các giá trị của uh tại các đỉnhcủa Ωh như là ẩn số, (2.10) dẫn đến một hệ tuyến tính có cùng số ẩncủa phương trình

2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của

uh = max

Nếu cực đại đạt tại một điểm trong thì khi đó uh phải là hằng số

Chứng minh Cho x0 là một đỉnh trong, và cho x1, , x2d là các lân cận.Khi đó