Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng

i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa học Cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Tác giả Mục lục Mở đầu 2 1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 5 1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman . . . . . 13 1.2.1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý . . . . . . . . 13 1.2.2 Áp dụng nguyên lý . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi tuyến . . 20 2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai 27 2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson . . . . . . . . . 27 2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai, Nguyên lý cực đại là một kết quả cổ điển về tính chất định tính của nghiệm, nhưng đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng. Nguyên lý cực đại được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau. Cần phải tổng quan chúng cho các lớp phương trình tuyến tính và phi tuyến, thuần nhất và không thuần nhất. Nguyên lý cực đại được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên cho các phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, đồng thời đưa ra phương pháp giải gần đúng các bài toán này. Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: "Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng " 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai. 2 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của luận văn là: Nguyên lý cực đại của E. Hopf, Alexandrov và Bakelman đối với các phương trình elliptic cấp hai tuyến tính, nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình elliptic cấp hai phi tuyến và đối với dạng sai phân của phương trình Poisson. Áp dụng nguyên lý cực đại để tìm nghiệm bằng phương pháp sai phân. Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Nguyên lý cực đại, dạng sai phân, nghiệm xấp xỉ của phương trình elliptic cấp hai. Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên cơ sở các tài liệu chuyên khảo. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền thống của Giải tích hàm: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệu liên quan: Giáo trình, tạp chí, Luận văn được viết dựa trên nội dung các chương 2 và 3 của tài liệu [3] 4 6. Giả thuyết khoa học Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các vấn đề về nguyên lý cực đại của phương trình elliptic và các ứng dụng của nó. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết triệt để các vấn đề về nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai. Chương 1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf Chúng ta nghiên cứu toán tử vi phân elliptic tuyến tính cấp hai sau: Lu(x) = d  i,j=1 a ij (x)u x i x j (x) + d  i=1 b i (x)u x i (x) + c(x)u(x), trong đó các hệ số đưa ra thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính đối xứng: a ij (x) = a ji (x) với mọi i, j và x ∈ Ω ⊂ R n (ii) Tính Elliptic: Tồn tại một hằng số λ > 0 với λ |ξ| 2 ≤ d  i,j=1 a ij (x) ξ i ξ j với mọi x ∈ Ω, ξ ∈ R d . Do đó, ma trận  a ij (x)  i,j=1, ,d là xác định dương với mọi x, và giá trị riêng nhỏ nhất là lớn hơn hoặc bằng λ. (iii) Tính bị chặn của hệ số: Tồn tại một hằng số K với   a ij (x)   ,   b i (x)   , |c (x)| ≤ K với mọi i, j và x ∈ Ω Hiển nhiên, toán tử Laplace ∆u = d  i=1 u x i x j thỏa mãn cả ba điều kiện trên. 5 6 Mục đích của chương này là chứng minh nguyên lý cực đại cho nghiệm của Lu = 0. Trở lại mục đích ban đầu, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cần phải đặt thêm điều kiện về dấu của c (x). Để minh họa, chúng ta xét một ví dụ đơn giản về bài toán Dirichlet u”(x) + u(x) = 0 trên (0, π) u(0) = u(π) = 0. Bài toán này có họ nghiệm là u (x) = α sin (x) . Tùy thuộc vào dấu của α, các nghiệm này đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu nghiêm ngặt tại x = π/2. Trong khi đó, bài toán Dirichlet u”(x) −u(x) = 0 u(0) = 0 = u(π) có nghiệm u(x) ≡ 0 như là một nghiệm duy nhất của nó. Trước tiên chúng ta trình bày về chứng minh nguyên lý cực đại cho hàm dưới điều hòa (subharmonic functions). Bổ đề 1.1.1. Cho u ∈ C 2 (Ω) ∩C 0 ( ¯ Ω), u ≥ 0 trong Ω. Khi đó sup Ω u = max ∂Ω u. (1.1) (Do u liên tục, Ω bị chặn, ¯ Ω là tập compact, nên sup Ω u = max ¯ Ω u) Chứng minh. Đầu tiên chúng ta xét trường hợp ∆u > 0 trong Ω. Khi đó u không thể đạt cực đại tại một điểm trong x 0 ∈ Ω, bởi vì tại một cực đại như vậy ta có u x i x i ≤ 0 với i = 1, . . . , d, 7 và do đó ∆u (x 0 ) ≤ 0. Bây giờ ta xét trường hợp ∆u ≥ 0 và xét hàm phụ v(x) = e x 1 , thỏa mãn ∆v = v > 0. Với mỗi ε > 0, khi đó ∆ (u + v) > 0 trong Ω. Ta suy ra sup Ω (v + εv) = max ∂Ω (v + εv), khi đó sup Ω u + ε inf Ω v ≥ max ∂Ω u + ε max ∂Ω v và từ đó do mỗi ε > 0 là tùy ý chúng ta có điều phải chứng minh. Định lí 1.1.1. Giả sử c(x) ≡ 0 và cho u trong Ω thỏa mãn u ∈ C 2 (Ω) ∩C 0 ( ¯ Ω), Lu ≥ 0 nghĩa là d  i,j=1 a ij (x)u x i x j + d  i=1 b i (x)u x i ≥ 0. (1.2) Khi đó ta cũng có sup Ω u = max ∂Ω u. (1.3) Trong trường hợp Lu ≤ 0 ta cũng được kết quả tương ứng cho cận dưới đúng. 8 Chứng minh. Cũng như trong chứng minh ở Bổ đề 1.1.1, ta xét trường hợp Lu > 0 Tại một cực đại trong x 0 của u ta có: u x i (x 0 ) = 0 với i = 1, . . . , d và (u x i x j (x 0 )) i,j=1, ,d là nửa xác định âm Từ điều kiên Elliptic ta có: Lu(x 0 ) = d  i,j=1 a ij (x)u x i x j (x 0 ) ≤ 0 nên hàm u(x) không thể có cực đại bên trong Ω tại điểm x 0 . Ta xét trường hợp Lu ≥ 0. Ta xét hàm phụ v(x) = e αx 1 với α > 0. Khi đó Lv(x) =  α 2 a 11 (x) + αb 1 (x)  v(x) Vì Ω và các hệ số b i là bị chặn và các hệ số thỏa mãn a ii (x) ≥ 0 chúng ta có với α đủ lớn điều kiện sau được thỏa mãn Lv > λ. Áp dụng cho u + εv với ε > 0 đủ nhỏ ta có L(u + εv) > 0. Tù đó suy ra (1.3). Trường hợp Lu ≤ 0 được xét tương tự. [...]... Ω Chương 2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai 2.1 Dạng sai phân của phương trình Poisson Ý tưởng cơ bản của phương pháp sai phân là ở chỗ thay thế phương trình vi phân bằng một phương trình sai phân với bước h và cố gắng để chỉ ra với h → 0, các nghiệm của các phương trình sai phân khác nhau hội tụ tới một nghiệm của phương trình vi phân Đây là một phương pháp... kiện này được thỏa mãn đối với một số, nhưng không phải cho tất cả nghiệm u Ví dụ, với các giả thiết (i), (ii), (1.27) không là elliptic tại (-u) 20 1.3 Nguyên lý cực đại đối với lớp phương trình phi tuyến Xét phương trình vi phân tổng quát có dạng F [u] = F x, u, Du, D2 u = 0, (1.28) với F : S := Ω × R × Rd × S (d, R) → R, ở đây S (d, R) là một không gian các ma trận d × d đối xứng, giá trị thực Các... thuộc vào µ1 và đường kính diam (Ω) Ở đây, điều kiện (1.33) là tương tự điều kiện về dấu của c (x) ≤ 0 và bị chặn của bi (x) cũng như tính bị chặn của vế phải f của phương trình Lu = f Chứng minh Chúng ta sẽ thực hiện một cách tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.3.1 và sẽ rút gọn kết quả nguyên lý cực đại trong mục (1.1) cho phương trình tuyến tính Ở đây v là một hàm phụ đã được xác định, và. .. phân đối với rij Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân (1.28) được gọi là elliptic tại u ∈ C2 (Ω) nếu ∂F x, u (x) , Du (x) , D2 u (x) ∂rij là xác định dương (1.29) i,j=1, ,d Ví dụ, phương trình Monge-Ampere (1.27) là elliptic theo nghĩa này nếu các điều kiện (i), (ii) ở mục (1.2) được thỏa mãn Điều đó không hoàn toàn là rõ ràng để tổng quát nguyên lý cực đại từ phương trình tuyến tính lên các phương trình. .. kiện của Định lý 1.3.1 và giả sử u0 = u1 trên ∂Ω, và F [u0 ] = F [u1 ] trong Ω Khi đó u0 = u1 trong Ω Ví dụ 1.3.2 Xét các phương trình mặt cực tiểu Cho Ω ⊂ R2 = {(x, y)} Phương trình mặt cực tiểu khi đó là phương trình tựa tuyến tính: 1 + u2 uxx − 2ux uy uxy + 1 + u2 uyy = 0 y x (1.31) Định lý 2.1 cho ta hệ quả sau: Hệ quả 1.3.2 Cho u0 , u1 ∈ C2 (Ω) là các nghiệm của phương trình mặt cực tiểu Nếu hiệu... dương và đối xứng với mỗi x ∈ Ω Hơn nữa, cho |f (x)|d dx < ∞ det(aij (x)) (1.14) Ω Khi đó chúng ta có  sup u ≤ max u + Ω ∂Ω d |f (x)| dx). det(aij (x)) diam(Ω)  1 d dωd 1/d (1.15) Ω Trái lại với những đánh giá mà dựa trên nguyên lý cực đại của Hopf, ở đây chúng ta chỉ có một chuẩn tích phân bên phải của hàm f , tức là chuẩn là yếu hơn so với chuẩn cận trên đúng Trong ý nghĩa này nguyên lý cực đại. .. dẫn đến một hệ tuyến tính có cùng số ẩn của phương trình 2.2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình Poisson Định lí 2.2.1 Giả sử ∆h uh ≥ 0 trong Ωh ở đây Ωh luôn được giả thiết là liên thông rời rạc Khi đó max uh = max uh ¯ Ωh Γ (2.12) Nếu cực đại đạt tại một điểm trong thì khi đó uh phải là hằng số Chứng minh Cho x0 là một đỉnh trong, và cho x1 , , x2d là các lân cận Khi đó 1... cực đại hoặc đạt cực tiểu tại một điểm trong của Ω, chúng ta có u0 − u1 ≡ conts trong Ω Bây giờ chúng ta đến với nguyên lý cực đại tiếp theo: 23 ¯ Định lí 1.3.3 Cho u ∈ C2 (Ω) ∩ C0 Ω , và cho F ∈ C2 (S) Giả sử với λ > 0 nào đó, điều kiện elliptic d 2 λ |ξ| ≤ ∂F (x, z, p, r) ξ i ξ j ∂rij i,j=1 (1.32) thỏa mãn với tất cả ξ ∈ Rd , (x, z, p, r) ∈ S Hơn nữa, giả sử rằng tồn tại hằng số µ1 , µ2 sao cho với. .. dụng nguyên lý Chúng ta áp dụng Định lý 1.2.1 cho một vài phương trình phi tuyến, cụ thể là phương trình Monge-Ampere 2-chiều Do đó, cho Ω là mở trong R2 = x1 , x2 và cho u ∈ C2 (Ω) thỏa mãn ux1 x1 (x) ux2 x2 (x) − u2 1 x2 (x) = f (x) trong Ω, x (1.27) với f đã cho Phương trình (1.15) là elliptic nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Ma trận Hessian của u phải xác định dương, và do đó (ii) f (x) > 0... và chỉ khi ta có đẳng thức uh (x0 ) = uh (xα ) với mọi α ∈ {1, , 2d} (2.16) 31 Vì vậy, nếu u giả định là một cực đại trong tại một đỉnh x0 , nó cũng làm như vậy tại tất cả các lân cận của x0 , và lặp lại lập luận này, khi đó cũng tại tất cả lân cận của lân cận Từ Ωh là liên thông rời rạc do giả ¯ thiết nên uh phải là hằng số trong Ωh Đây là nguyên lý cực đại mạnh, điều đó chỉ ra nguyên lý cực đại . về lý thuyết để giải quyết triệt để các vấn đề về nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai. Chương 1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 1.1 Nguyên lý cực đại. phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng " 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và dạng sai phân của phương trình elliptic cấp hai. 2 3 3 lục Mở đầu 2 1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai 5 1.1 Nguyên lý cực đại của E. Hopf . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nguyên lý cực đại của Alexandrov và Bakelman . .