Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai và ứng dụng

i LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà Nđi dúi sn húng dan nhiắt tỡnh cna PGS.TS Hà Tien Ngoan Trong suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Thay truyen đat cho bán thân nhung kien thúc q báu ln đ®ng viên, hưóng dan t¾n tình đe tơi hồn thành cơng vi¾c Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Tốn q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin trân cám ơn Trưòng Đai hoc Sao Đó, Khoa Khoa hoc Cơ bán đong nghi¾p tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá ii LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Hà Tien Ngoan Trong trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Mnc lnc Má đau Nguyên lý cNc đai đoi vái phương trình elliptic cap hai 1.1 Nguyên lý cnc đai cna E Hopf 1.2 Nguyên lý cnc đai cna Alexandrov Bakelman 13 1.2.1 Phát bieu chúng minh nguyên lý 13 1.2.2 Áp dung nguyên lý 18 Nguyên lý cnc đai đoi vói lóp phương trình phi tuyen 20 1.3 Nguyên lý cNc đai đoi vái dang sai phân cúa phương trình elliptic cap hai 27 2.1 Dang sai phân cna phương trình Poisson .27 2.2 Nguyên lý cnc đai đoi vói dang sai phân cna phương trình Poisson 30 2.3 Nghi¾m xap xí cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình Poisson 35 Ket lu¾n 39 Tài li¾u tham kháo 40 Má đau Lí chon đe tài Trong lý thuyet Phương trình đao hàm riêng elliptic cap hai, Nguyên lý cnc đai m®t ket q co đien ve tính chat đ%nh tính cna nghi¾m, đóng vai trò quan trong nghiên cúu lý thuyet úng dung Nguyên lý cnc đai đưoc phát bieu dưói nhieu dang khác Can phái tong quan chúng cho lóp phương trình tuyen tính phi tuyen, thuan nhat khơng thuan nhat Nguyên lý cnc đai đưoc úng dung đe chúng minh sn ton tai nghi¾m cna tốn biên cho phương trình đao hàm riêng elliptic tuyen tính cap hai, đong thòi đưa phương pháp giái gan toán Trên nhung lý đe tien hành nghiên cúu đe tài: "Nguyên lý cUc đai đoi vái phương trình elliptic cap hai Úng ding " Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu m®t so nguyên lý cnc đai đoi vói phương trình elliptic cap hai dang sai phân cna phương trình elliptic cap hai Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nêu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: Ngun lý cnc đai cna E Hopf, Alexandrov Bakelman đoi vói phương trình elliptic cap hai tuyen tính, ngun lý cnc đai đoi vói lóp phương trình elliptic cap hai phi tuyen đoi vói dang sai phân cna phương trình Poisson Áp dung nguyên lý cnc đai đe tìm nghi¾m bang phương pháp sai phân Nghi¾m xap xí cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình Poisson Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong: Nguyên lý cnc đai, dang sai phân, nghi¾m xap xí cna phương trình elliptic cap hai Pham vi: Nghiên cúu lý thuyet xây dnng úng dung só tài li¾u chuyên kháo Phương pháp nghiên cNu Lu¾n văn chn yeu dùng phương pháp nghiên cúu truyen thong cna Giái tích hàm: Thu th¾p tài li¾u, đoc phân tích, tong hop đe đưoc m®t nghiên cúu tong quan ve nguyên lý cnc đai đoi vói phương trình elliptic cap hai Ngồi lu¾n văn nghiên cúu tài li¾u liên quan: Giáo trình, tap chớ, Luắn oc viet dna trờn nđi dung chương cna tài li¾u [3] Giá thuyet khoa hoc Lu¾n văn đưoc trình bày mđt cỏch cú hắ thong v khoa hoc cỏc van đe ve nguyên lý cnc đai cna phương trình elliptic úng dung cna Đây se m®t đóng góp quan ve lý thuyet đe giái quyet tri¾t đe van đe ve nguyên lý cnc đai đoi vói phương trình elliptic cap hai Chương Nguyên lý cNc đai đoi vái phương trình elliptic cap hai 1.1 Nguyên lý cNc đai cúa E Hopf Chúng ta nghiên cúu tốn tú vi phân elliptic tuyen tính cap hai sau: d Lu(x) = d ij a (x)uxixj (x) + bi(x)uxi (x) + c(x)u(x), i,j=1 i=1 h¾ so đưa thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) Tính đoi xúng: aij (x) = aji (x) vói moi i, j x ∈ Ω ⊂ Rn (ii) Tính Elliptic: Ton tai m®t hang so λ > vói d λ |ξ| ≤ Do đó, ma tr¾n aij (x) aij (x) ξ iξ j vói moi x ∈ Ω, ξ ∈ Rd i,j=1 i,j=1, ,d xác đ%nh dương vói moi x, giá tr% riêng nhó nhat lón ho¾c bang λ (iii) Tính b% ch¾n cna h¾ so: Ton tai m®t hang so K vói aij (x) , bi (x) , |c (x)| ≤ K vói moi i, j x ∈ Ω d Hien nhiên, toán tú Laplace ∆u = uxixj thóa mãn cá ba đieu ki¾n i=1 Muc đích cna chương chúng minh nguyên lý cnc đai cho nghi¾m cna Lu = Tró lai muc đích ban đau, se chí rang can phái đ¾t thêm đieu ki¾n ve dau cna c (x) Đe minh hoa, xét m®t ví du đơn gián ve toán Dirichlet u”(x) + u(x) = (0, π) u(0) = u(π) = Bài toán có ho nghi¾m u (x) = α sin (x) Tựy thuđc vo dau cna , cỏc nghiắm ny đat giá tr% cnc đai ho¾c cnc tieu nghiêm ng¾t tai x = π/2 Trong đó, tốn Dirichlet u”(x) − u(x) = u(0) = = u(π) cú nghiắm u(x) nh l mđt nghiắm nhat cna Trưóc tiên trình bày ve chúng minh nguyên lý cnc đai cho hàm dưói đieu hòa (subharmonic functions) Bo đe 1.1.1 Cho u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω¯ ), 6u ≥ Ω Khi supu = max u Ω (Do u liên tnc, Ω b% ch¾n, Ω¯ (1.1) ∂Ω t¾p compact, nên supΩ u = maxΩ¯ u) Chúng minh Đau tiên xét trưòng hop ∆u > Ω Khi u khơng the đat cnc đai tai m®t điem x0 ∈ Ω, bói tai mđt cnc nh vắy ta cú uxixi vói i = 1, , d, ∆u (x0) ≤ Bây giò ta xét trưòng hop ∆u ≥ xét hàm phu v(x) = ex , thóa mãn ∆v = v > Vói moi ε > 0, ∆ (u + sv) > Ω Ta suy sup(v + εv) = max(v + εv), ∂Ω Ω sup u + ε inf v ≥ max u + ε max v Ω Ω ∂Ω ∂Ω tù moi ε > tùy ý có đieu phái chúng minh Đ%nh lí 1.1.1 Giá sú c(x) ≡ cho u Ω thóa mãn u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω¯ ), Lu ≥ nghĩa d d ij a (x)uxixj + i,j=1 Khi ta có bi(x)uxi ≥ (1.2) i=1 supu = max u Ω (1.3) ∂Ω Trong trưòng hop Lu ≤ ta đưoc ket q tương úng cho c¾n dưói i ,x − h, x i+1 39 , , x d (2.6) Do đó, ui u¯i tý so sai phân trưóc sau phương toa đ® thú i Tương tn, đ%nh nghĩa cho tí so sai phân b¾c cao hơn, ví du như, ui¯i (x) = u¯ii (x) = (u¯i )i (x) i d d (u x , , x + h, , x − 2u x , , x = h + u x1, , xi − h, , xd ) (2.7) Neu muon nhan manh sn phu thu®c lưói có bưóc h, chúng tahviet uh, uh, v% trí cna u, ui , u¯ii , u i ¯ii Lý đe xét tý so sai phân, tat nhiên, cho hàm mà vi phân ó có b¾c thích hop, h → 0, tý so sai phân h®i tu tói đao hàm tương úng Ví dn 2.1.1 Cho u ∈ C2 (Ω), lim uh (xh) =∂ ¯ h→0 ii u(x) (2.8) (∂xi)2 neu xh ∈ Ωh dan tói x ∈ Ω h → Do xap xí phương trình Laplace ∆u = Ω bói phương trình sai phân h ∆hu := d h u = Ωh (2.9) i ¯ i=1 Chúng ta goi phương trình phương trình Laplace ròi rac Muc đích cna bây giò giái tốn Dirichlet cho phương trình Laplace ròi rac ∆huh = Ωh, uh = gh Γh, (2.10) chúng tó rang giá thiet dúi õy l thớch hop, cỏc nghiắm uh hđi tu h túi mđt nghiắm cna bi toỏn Dirichlet ∆u = Ω u = g ∂Ω, (2.11) ó gh m®t xap xí ròi rac cna g Xét giá tr% cna uh tai đính cna Ωh an so, (2.10) dan en mđt hắ tuyen tớnh cú cựng so an cna phương trình 2.2 Nguyên lý cNc đai đoi vái dang sai phân cúa phương trình Poisson ∆huh ≥ Ωh Đ%nh lí 2.2.1 Giá sú ó Ωh ln đưoc giá thiet liên thơng ròi rac Khi max uh = max uh Ω¯ h (2.12) Γ Neu cnc đai đat tai m®t điem uh phái hang so Chúng minh Cho x0 m®t đính trong, cho x1, , x2d lân c¾n Khi = ∆huh(x) h Neu ∆huh(x) ≥ 0, 2d h u (xα) − (2.13) 2duh(x0) α=1 uh(x0) ≤ 2d 2d uh(xα), (2.14) α=1 nghĩa là, uh(x0) khơng lón trung bình c®ng cna uh tai lân c¾n cna x0 Đieu chí uh(x0) max h ≥ α=1, ,2d u (xα) (2.15) chí ta có thúc uh(x0) = uh(xα) vói moi α ∈ {1, , 2d} (2.16) Vỡ vắy, neu u giỏ %nh l mđt cnc tai mđt ớnh x0, nú cng lm nh vắy tai tat cá lân c¾n cna x0, l¾p lai l¾p lu¾n này, tai tat cá lân c¾n cna lân c¾n Tù Ωh liên thơng ròi rac giá thiet nên uh phái hang so Ω¯ h Đây nguyên lý cnc đai manh, đieu chí ngun lý cnc đai yeu (2.1.12) H¾ q 2.2.1 Bài tốn Dirichlet ròi rac ∆huh = Ωh, uh = gh Γ h, chs cú nhieu nhat mđt nghiắm Chỳng minh Theo phương pháp thơng thưòng bang cách áp dung ngun lý cnc đai tính hi¾u cna hai nghi¾m Đieu ý rang trưòng hop ròi rac ket nhat đưa đen m®t ket ve sn ton tai H¾ q 2.2.2 Bài tốn Dirichlet ròi rac ∆huh = Ωh, uh = gh Γ h, cú mđt nghiắm nhat vúi moi gh : Γ → R Chúng minh Như quan sát, toỏn rũi rac thiet lắp mđt hắ huu han cna phương trình tuyen tính vói so phương trình an so Tù H¾ 2.1.1, cho du ki¾n biên thuan nhat gh = 0, nghi¾m thuan nhat uh = nghi¾m nhat, đ%nh lý bán cna đai so tuyen tính chí sn ton tai cna mđt nghiắm phớa bờn phỏi tựy ý, ngha l, vói gh tùy ý Nghi¾m cna phương trình Poisson ròi rac ∆huh = f h Ωh, (2.17) vói f h đong dang đơn gián, ó đây, khơng làm mat tính tong quát, chí xét đieu ki¾n biên thuan nhat uh = Γ h , (2.18) búi vỡ mđt ieu kiắn khụng thuan nhat cú the oc giỏi quyet bang cỏch cđng mđt nghiắm cna m®t phương trình Laplace ròi rac tương úng Đe bieu dien nghi¾m, bây giò se xây dnng hàm Green Gh(x, y) Vói muc đích đó, xột mđt f h ắc biắt (2.17), cu the là,  0 f (x) =  x ƒ= y, h x = y, h2 đoi vói y ∈ Ωh Khi Gh(x, y) đưoc đ%nh nghĩa nghi¾m cna (2.17), (2.18) cho fh Nghi¾m tương úng vói f h sau thu đưoc sau h u (x) = h Gh(x, y)f h (y) (2.19) y∈Ωh Ta thay rang nghi¾m cna phương trình Laplace ròi rac ∆huh = Ωh h → hđi tu túi mđt nghiắm cna phng trỡnh Laplace ∆u = Ω Chúng ta can ưóc lưong cho uh khơng phu thu®c vào h Đieu chí rang trưòng hop liên tuc, ưóc lưong có the thu đưoc nguyên lý cnc đai Cu the, đoi vói tý so sai phân đoi xúng ta có u¯i (x) := , , x i− , + h, xi x i+ , , xd u(x1 2h −u (x , , xi−1, xi − h, xi+1, , xd ) = (ui(x) + u¯i(x)) (2.20) Bo đe 2.2.1 Giá sú Ωh, ∆huh(x) = f h (x) (2.21) Cho x0 ∈ Ωh, giá sú rang x0 tat cá lân c¾n cúa có khống cách đen Γh lón ho¾c bang R Khi u¯h i (x ≤) h R h ma u + ma f x x R Ωh (2.22) d Chúng minh Khơng làm mat tính tong quát, ta chon i = 1, x0 = Ta := max u h h Xét hàm phu h v (x) := µ h h , M := max f |x| + x1(R − R2 x1) bói d xi + ∆h |x| = i=1 h h + xi − h dµ R + M −2 i.2 x = 2d, lai có ∆hvh(x) = −M vh(0, x2, , xd) ≥ vói moi x2, , xd, vh(x) ≥ µ vói |x| ≥ R, ≤ x1 ≤ R h h d h d Ngoài ra, cho u¯ (x) := u (x , , x ) − u (−x , x , , x ) , ∆h u¯h (x) ≤ M vói x ∈ Ωh u¯h (0, x2 , , xd ) = vói moi x2 , , xd u¯h (x) ≤ µ vói |x| ≥ R, x1 ≥ Trên B+ h cna m®t núa hình cau B+ := |x| ≤ R, x1 > , v¾y có ∆h v h ± u¯h ≤ v h ± u¯h ≥ biên ròi rac cna h B+ (đe xác, ó ta nên lay biên ròi rac tat cá đính ó bên ngồi cna B˙ + mà có nhat mđt lõn cắn B %nh lý 2.1.1) + ) Nguyên lý cnc đai (Đ + u¯h ≤ v h B h h u ¯i (0) h ≤ = (h, 0, , v (h, 0, , 0) 0) h u¯ h dµ R µ = + M + (1 − d)h R R2 h Các nghi¾m cna phương trình Laplace ròi rac ∆huh = Ωh (2.23) quy nap đưoc ưóc lưong cho tý so sai phân cao hơn, bói vỡ neu uh l mđt nghiắm, nh vắy l tat cá tý so sai phân uh h h h h i , u¯i , u¯i ui¯i , u¯i¯i Ví du, tự (2.22) chỳng ta cú oc mđt nghiắm cna (2.23) mà neu x0 đn xa tói biên Γh, h u¯ (x0 i ≤) d R h ma u ¯ x Ωh ≤ i d2 ma h d2 ma h u = u x x R Γh R2 Ω¯ h (2.24) Vỡ vắy, bang quy nap, chỳng ta rng buđc tý so sai phân cna b¾c cao hơn, ta thu đưoc đ%nh lý sau đây: Đ%nh lí 2.2.2 Neu tat cá nghi¾m uh cúa ∆huh = h l b% chắn đc lắp vúi h (nghĩa là, maxΓh u h ≤ µ), mien bat kì Ω˜ ⊂⊂ Ω, dãy cúa uh h®i tn tói m®t hàm đieu hòa h → H®i tn ó hđi tn theo ngha chuan cỳa cắn trờn ỳng, ngha lim max |un(x) − u(x)| = n→∞ x∈Ωn vói u đieu hòa Do nhung đieu đây, nhiên, tý so sai phân cúa un h®i tn tói đao hàm tương úng cúa u Chúng tơi muon trình bày ve m®t vài khía canh cna phương trình vi phân, đieu quan trong giái tích so Vì nhung lý lý thuyet, m®t nhung giỏ thiet rang biet sn ton tai cna mđt nghiắm trơn cna phương trình vi phân xét, ta muon xap xí nghi¾m bang nghi¾m cna phương trình sai phân Đe cho muc đích đó, cho L m®t tốn tú vi phân elliptic xét tốn tú ròi rac Lh đưoc áp dung đe han che cna m®t hàm u tói điem nút cna Ωh 2.3 Nghi¾m xap xí cúa tốn Dirichlet đoi vái phương trình Poisson Đ%nh nghĩa 2.3.1 Sơ đo sai phân Lh đưoc goi tương thích vói L neu lim (Lu − Lhu) = h→0 vói moi u ∈ C Ω¯ Sơ đo Lh đưoc goi h®i tn tói L neu nghi¾m u, uh cúa Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω, Lhuh = f h Ωh, ó f h han che cúa f tói Ωh, uh = ϕh Γh, ó ϕh han che tói Ωh cúa a liên tnc mó r®ng cúa ϕ, thóa mãn lim max uh(x) − u(x) = h→0 x∈Ωh Đe nh¾n thay moi liên h¾ giua sn tu tính tương thích, ta xét "sai so toàn phan" σ(x) := uh(x) − u(x) "sai so đ%a phương" s(x) := Lhu(x) − Lu(x) tính tốn vói x ∈ Ωh, Lhσ(x) = Lhuh(x) − Lhu(x) = f h (x) − Lu(x) − s(x) = −s(x), tù f h (x) = f (x) = Lu(x) Tù lim sup |σ(x)| = 0, h→0 x∈Γ toán bán Lhσ(x) = −s(x) Ωh, σ(x) = Γh Đe chúng minh sn h®i tu cna sơ đo sai phân đưoc suy tù tính tương thích cna nó, ta can chí rang neu s(x) tien tói 0, nghi¾m σ(x) −1 tien tói đeu Vì v¾y, ngh%ch phái b% chắn theo h ỏo L mđt ngha no ú Tính chat đưoc goi sn on đ%nh Ta đưa ket cna sn h®i tu đơn gián sau Đ%nh lí 2.3.1 Cho u ∈ C2 l mđt nghiắm cỳa u = f Ω u = ϕ ∂Ω Cho uh nghi¾m ∆huh = f h Ωh uh = ϕh Γh, ó fh , ϕh đưoc đ%nh nghĩa ó Khi h max u (x) − u(x) → vói h → x∈Ωh Chúng minh Cơng thúc Taylor’s chí rang tí so sai phõn bắc hai (phu thuđc vo búc lúi h) thúa mãn ∂ 2u i−1 i i i+1 d ui¯i (x) x , , x , x + δ , x , , x , (∂xi) = vói −h ≤ δ i ≤ h Tù u ∈ C2 Ω¯ , ta có x (∂xi , , xi ∂ u + δ i, ∂ u su x ) p (∂xi) d ,x − |δi|≤h 1 , , xi, ,x d → h → 0, v¾y sai so đ%a phương ó thóa mãn sup |s(x)| → h → Bây giò cho Ω chúa hình cau B(x0, R), khơng làm mat tính tong quát chon x0 = Nguyên lý cnc đai đưa ra, so vói hàm R2 − |x| , mđt nghiắm v cna hv = h, v = Γh, thóa mãn ưóc lưong |v(x)| ≤ sup |η| − |x| R2d Vì v¾y, sai so tồn phan thóa mãn sup |σ(x)| ≤ u h®i tu R2 sup s(x) | 2d | Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn m chỳng tụi ó trỡnh by: Nguyờn lý cnc đai cna E Hopf, Alexandrov Bakelman đoi vói phương trình elliptic cap hai tuyen tính ngun lý cnc đai đoi vói phương trình elliptic cap hai phi tuyen • Đưa nguyên lý cnc đai đoi vói dang sai phân cna phương trình Poisson áp dung vào vi¾c tìm nghi¾m bang vi¾c giái phương trình sai phân, nghi¾m xap xí cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình Poisson M¾c dù có nhieu co gang nghiên cúu, song thòi gian có han lnc cna bán thân han che nên q trình thnc hi¾n lu¾n văn tơi van m®t so ton tai nhat đ%nh Rat mong đưoc sn đóng góp cna q Thay, ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! 39 Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Thùa Hop (2004) Phương trình đao hàm riêng, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [2] J Jost, (2002), Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [3] D Gilbarg, N S Trudinger (2001) Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 40 ... lý 13 1.2.2 Áp dung nguyên lý 18 Nguyên lý cnc đai đoi vói lóp phương trình phi tuyen 20 1.3 Nguyên lý cNc đai đoi vái dang sai phân cúa phương trình elliptic cap hai. .. Bakelman đoi vói phương trình elliptic cap hai tuyen tính, ngun lý cnc đai đoi vói lóp phương trình elliptic cap hai phi tuyen đoi vói dang sai phân cna phương trình Poisson Áp dung nguyên lý cnc đai... đe ve nguyên lý cnc đai cna phương trình elliptic úng dung cna Đây se m®t đóng góp quan ve lý thuyet đe giái quyet tri¾t đe van đe ve nguyên lý cnc đai đoi vói phương trình elliptic cap hai Chương