2 Nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình
2.3 Nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình
phương trình Poisson
Định nghĩa 2.3.1. Sơ đồ sai phân Lh được gọi là tương thích với L nếu
lim
h→0(Lu−Lhu) = 0
với mọi u ∈ C2 Ω¯.
Sơ đồ Lh được gọi là hội tụ tới L nếu các nghiệm u, uh của
Lhuh = fh trong Ωh, ở đây fh là hạn chế của f tới Ωh,
uh = ϕh trên Γh, ở đây ϕh là hạn chế tới Ωh của a liên tục mở rộng của
ϕ, thỏa mãn lim h→0max x∈Ωh uh(x)−u(x) = 0.
Để nhận thấy mối liên hệ giữa sự hôi tụ và tính tương thích, ta xét "sai số toàn phần"
σ(x) := uh(x)−u(x) và "sai số địa phương"
s(x) := Lhu(x)−Lu(x) và tính toán với x ∈ Ωh, Lhσ(x) = Lhuh(x)−Lhu(x) = fh(x)−Lu(x)−s(x) = −s(x), từ fh(x) = f(x) = Lu(x). Từ lim h→0sup x∈Γ |σ(x)| = 0,
bài toán cơ bản là
Lhσ(x) = −s(x) trong Ωh, σ(x) = 0 trên Γh.
Để chứng minh sự hội tụ của sơ đồ sai phân được suy ra từ tính tương thích của nó, ta cần chỉ ra rằng nếu s(x) tiến tới 0, thì nghiệm σ(x) cũng tiến tới 0 và là đều. Vì vậy, nghịch đảo L−1h phải bị chặn theo một nghĩa nào đó. Tính chất này được gọi là sự ổn định.
Định lí 2.3.1. Cho u ∈ C2 Ω¯ là một nghiệm của ∆u = f trong Ω u = ϕ trên ∂Ω. Cho uh là nghiệm ∆huh = fh trong Ωh uh = ϕh trên Γh,
ở đây fh, ϕh được định nghĩa ở trên. Khi đó
max
x∈Ωh
uh(x)−u(x) → 0 với h → 0.
Chứng minh. Công thức Taylor’s chỉ ra rằng tỉ số sai phân bậc hai (phụ thuộc vào bước lưới h) thỏa mãn
ui¯i(x) = ∂ 2u (∂xi)2 x 1, . . . , xi−1, xi +δi, xi+1, . . . , xd, với −h ≤δi ≤ h. Từ u ∈ C2 Ω¯, ta có sup |δi|≤h ∂2u (∂xi)2 x 1 , . . . , xi +δi, . . . , xd− ∂ 2u (∂xi)2 x 1 , . . . , xi, . . . , xd → 0
khi h →0, và vì vậy sai số địa phương ở trên thỏa mãn sup|s(x)| → 0 khi h →0
Bây giờ cho Ω chứa trong hình cầu B(x0,R), không làm mất tính tổng quát chọn x0 = 0.
Nguyên lý cực đại khi đó đưa ra, so với hàm R2 − |x|2, một nghiệm v
của
∆hv = η trong Ωh, v = 0 trên Γh,
thỏa mãn ước lượng
|v(x)| ≤ sup|η|
2d
R2 − |x|2.
Vì vậy, sai số toàn phần thỏa mãn sup|σ(x)| ≤ R
2
2d sup|s(x)|
Nội dung chính của luận văn mà chúng tôi đã trình bày:
• Nguyên lý cực đại của E. Hopf, Alexandrov và Bakelman đối với phương trình elliptic cấp hai tuyến tính và nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic cấp hai phi tuyến.
• Đưa ra nguyên lý cực đại đối với dạng sai phân của phương trình Poisson và áp dụng vào việc tìm nghiệm bằng việc giải phương trình sai phân, nghiệm xấp xỉ của bài toán Dirichlet đối với phương trình Poisson.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, song do thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn này tôi vẫn còn một số tồn tại nhất định. Rất mong được sự đóng góp của quý Thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Thừa Hợp (2004) Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] J. Jost, (2002), Partial Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
[3] D. Gilbarg, N. S. Trudinger (2001) Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.