Nguyên Lý Maximum và ứng dụng (LV00185)

- 1 - Lời cảm ơn Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành nhờ sự hớng dẫn tỉ mỉ, chu đáo và tận tình của PGS .TS .NGƯT Nguyễn Huy Lợi, ngời thầy đã hớng dẫn và chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS .TS .NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy, cô trong Tổ Giải tích của Khoa toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trờng. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo dục thị xã Phúc Yên, Trờng THCS Đồng Xuân đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn. Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2008 Tác giả Đinh Thị Bích Vân - 2 - Lời cam đoan Trong quá trình nghiên cứu luận văn: Nguyên lý maximum và ứng dụng đã giúp tác giả tìm hiểu sâu hơn bộ môn giải tích phức đặc biệt đó là những nguyên lí cơ bản của hàm giải tích và ứng dụng của nguyên lý maximum. Qua đó cũng giúp tác giả bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cam đoan luận văn đợc hoàn thành do sự cố gắng tìm tòi, nghiên cứu của bản thân dới sự hớng dẫn chỉ bảo của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi cũng nh các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa toán Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã tham khảo và kế thừa các thành quả khoa học, nghiên cứu của các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2008 Tác giả Đinh Thị Bích Vân - 3 - Mục lục Mở đầu 5 Chơng1: nguyên lý maximum 6 1.1. Khái niệm hàm biến phức 6 1.1.1. Khái niệm về hàm biến phức 6 1.1.2. Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức 6 1.2. Hàm hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) 7 1.2.1.Đạo hàm 7 1.2.2. Hàm chỉnh hình 11 1.3 Tích phân của hàm số biến số phức 12 1.3.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản 12 1.3.2. Ví dụ 13 1.3.3. Các tính chất cơ bản 14 1.4. Tích phân Cauchy 14 1.4.1.Định lý Cauchy cho miền đơn liên 14 1.4.2.Định lý Cauchy mở rộng trên biên 17 1.4.3.Định lý Cauchy cho miền đa liên 18 1.4.4.Công thức tích phân Cauchy 19 1.5. Tích phân loại Cauchy 21 1.5.1. Nguyên hàm của hàm số biến số phức 24 1.5.2.Định lý đảo của định lý Cauchy 26 1.6. Nguyên lý maximum 27 1.6.1.Định lý giá trị trung bình 27 1.6.2.Nguyên lý maximum 28 1.6.3. Dạng mạnh của nguyên lý maximum 30 - 4 - Chơng 2: ứng dụng của nguyên lý maximum 34 2.1. ứng dụng nguyên lý maximum để giải quyết những vấn đề về lý thuyết 34 2.1.1.Đánh giá mođun trên và dới của hàm chỉnh hình 34 2.1.2. ứ ng dụng cho hàm điều hòa và điều hòa dới 48 2.2. Một số ứng dụng khác 55 2.2.1. Độ tăng của hàm nguyên 55 2.2.2. ứ ng dụng nguyên lý maximum cho phơng trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai 57 2.2.3. ứ ng dụng nguyên lý maximum cho phơng trình truyền nhiệt và cho lớp phơng trình parabolic cấp hai 59 2.2.4. ứ ng dụng đối với bài toán Dirichlet 66 2.2.5. ứ ng dụng đối với bài toán Nôiman tổng quát 68 2.2.6. Cách giải bài toán Dirichlet bằng phơng pháp sai phân hữu hạn 69 2.2.7. Cách giải phơng trình sai phân bằng phơng pháp xấp xỉ liên tiếp 73 2.2.8. Nguyên lý maximum đối với gradient 75 2.2.9. Định lý Karleman về tính duy nhất của thác triển 78 Kết luận Tài liệu tham khảo 80 81 - 5 - Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Qua quá trình học tập các môn của chuyên ngành toán giải tích, tôi thấy đề tài về nguyên lý maximum (hay nguyên lý cực đại), là một đề tài khá phù hợp đối với mình. Tìm hiểu về nguyên lý maximum chúng ta không chỉ nắm đợc kiến thức giải tích một cách hệ thống, mà chúng ta còn có thể tìm hiểu đợc những ứng dụng của nó trong giải toán, trong vật lý và một số kiến thức trong thực tiễn. Qua nghiên cứu về nguyên lý maximum tôi nhận thấy mình hiểu biết về kiến thức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu rộng hơn trớc rất nhiều. Điều này có đóng góp lớn trong công việc giảng dạy của tôi. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kiến thức về nguyên lý maximum và các ứng dụng của nó trong lý thuyết và trong thực tiễn. 3. Đối tợng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý maximum và vận dụng các kiến thức đó để giải quyết một số vấn đề về lý thuyết, vật lý và thực tiễn. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chơng, kết luận và tài liệu tham khảo. Chơng 1: Nguyên lý maximum Chơng 2: ứng dụng của nguyên lý maximum 4. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu sâu một khái niệm quan trọng của toán học, nâng nó thành đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong giải quyết các vấn đề lý thuyết, vật lý, thực tiễn và giải toán. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và ngời yêu thích toán về hệ thống các vấn đề lý thuyết và ứng dụng của nguyên lý maximum. - 6 - Chơng 1 nguyên lý maximum 1.1. Khái niệm hàm biến phức 1.1.1. Khái niệm về hàm biến phức Định nghĩa 1.1. Giả sử là một tập tùy ý cho trớc. Một hàm biến phức trên với giá trị phức là một ánh xạ :f . Hàm nh vậy đợc ký hiệu ( )w f z , z . Đặt z x iy . Khi đó, tách phần thực và phần ảo của hàm f ta đợc: ( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y trong đó ( , )u x y và ( , )x y là các hàm của hai biến thực ,x y , gọi tơng ứng là phần thực và phần ảo của hàm f . Ký hiệu Reu f , Im f 1.1.2. Sự liên tục và liên tục đều của hàm biến phức Cho hàm f xác định trên tập hợp tùy ý với giá trị trong và 0 z là điểm tụ của ( 0 z hữu hạn hay là điểm xa vô tận). Định nghĩa 1.2. Số phức a đợc gọi là giới hạn của hàm f khi 0 z z và viết 0 lim z z f z a , nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của 0 z sao cho ( )f z V với mọi z U , 0 z z . Khi 0 z là hữu hạn thì 0 lim z z f z a , có nghĩa là 0 , 0 , z , 0 0 z z thì ( )f z a . Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng hàm số w = f(z) liên tục tại điểm 0 z , nếu một trong hai điều kiện sau đây đợc thỏa mãn: i) 0 z là điểm cô lập của . ii) Nếu 0 z không là điểm cô lập của thì 0 0 lim ( ) z z f z f z . - 7 - Nếu ( )f z liên tục tại mọi điểm z thì ta nói rằng ( )f z liên tục trên tập hợp . Định nghĩa 1.4. Hàm số ( )w f z đợc gọi là liên tục đều trên , nếu với mỗi 0 , 0 sao cho với mọi cặp số phức 1 z , 2 z bất kỳ thoả mãn bất đẳng thức 1 2 z z ; 1 , z 2 , z thì 1 2 ( ) ( )f z f z . 1.2. Hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) 1.2.1. Đạo hàm Định nghĩa 1.5. Cho hàm số )(zf xác định trong miền D , )(zf đợc gọi là khả vi tại Dz 0 , nếu tồn tại giới hạn z zfzzf z )( lim 00 0 (1.1) và ta nói rằng hàm f có đạo hàm tại 0 z , kí hiệu: z zfzzf zf z 00 0 0 lim)( (1.2) là đạo hàm của f tại điểm 0 z . Hàm f đợc gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm Dz . Ví dụ 1.1. 1) Hàm )(zf = 2 z khả vi tại mọi z C . Thật vậy, lấy điểm z C bất kì. Xét z 0 f z z f(z) lim z = 2 2 0 ( ) lim 2 z z z z z z Vậy ' ( ) 2f z z 2) Hàm )(zf = zz chỉ khả vi tại điểm 0 0 z . Thật vậy, ta lập tỉ số 0 0 ( ) ( )f z z f z z = - 8 - = 0 0 0 0 z z z z z z z z z z z z Tại 0 0 z , ta có z zfzzf z )( lim 00 0 =0= ' (0). f Bây giờ, giả sử 0 0 z , vì 0 0 0 lim( ) z z z z , còn 0 z z z không có giới hạn khi 0 z nên hàm f không khả vi tại bất kỳ điểm 0 0 z nào. Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm 0 z thì liên tục tại điểm đó . Do định nghĩa đạo hàm 1.5 hoàn toàn tơng tự với f(z), g(z) hàm số biến số thực nên ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau: Định lý 1.1.Nếu các hàm )(zf và )(zg khả vi theo nghĩa phức tại điểm z thì các hàm )0)((, )( )( ,)().(,)()( zg zg zf zgzfzgzf cũng khả vi tại z và i) )()()()( zgzfzgzf ii) )()()()())().(( zgzfzgzfzgzf iii) 2 )( )().()().( )( )( zg zfzgzgzf zg zf Nếu hàm )(zf khả vi tại 0 z và )(zg khả vi tại 0 0 ( )w f z thì hàm )(zfg khả vi tại 0 z và iv) 00 )( zfgzfg . Ta đã biết rằng hàm số biến số phức và hàm số biến số thực có liên hệ với nhau. Tuy nhiên khi xét về tính khả vi thì sự liên hệ đó đợc hiểu nh thế nào ? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó. Định lý 1.2.(Cauchy- Riemann). Cho hàm số ( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y xác định trong lân cận của điểm 0 0 0 z x iy . Giả sử ,u khả vi theo nghĩa thực tại điểm 0 z , khi đó điều kiện cần và đủ để hàm f khả vi tại điểm 0 z là - 9 - 0 z u x y u y x (Điều kiện Cauchy-Rieman) Chứng minh. Cần. Vì f khả vi tại 0 z nên tồn tại giới hạn 0 0 0 ( ) lim z f z z f z z = ' 0 ( )f z Rõ ràng giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào hớng dần về 0 của z . Chọn z = x ( y =0), ta có: ' 0 ( )f z = 0 0 0 ( ) lim x f z x f z x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim x u x y i x y u x x y i x x y x x = 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x u x x y u x y x 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x x x y x y i x 0 0 0 0 ( , ) ( , ) u x y i x y x y (1.3) Tơng tự, chọn z =i y ( x =0), ta có: ' 0 ( )f z = 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y u x y y u x y i y + 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y x y y x y i i y 0 0 0 0 ( , ) ( , ) u i x y i x y x y (1.4) Từ (1.3) và (1.4), ta suy ra: - 10 - 0 z u x y u y x                     §ñ. Theo gi¶ thiÕt hµm ,u  kh¶ vi t¹i   0 0 ,x y nªn ta cã: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( )                u u u x x y y u x y x y z x y  0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( )x x y y x y x y z x y                     trong ®ã 0 ( ) lim     z z z  = 0 ( ) lim     z z z  = 0 . XÐt 0 0 ( ) ( ) f z z f z u i         ( ) ( )( ). u u u x y i x y i z x y y y                       Do ,u  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann, nªn 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). u f z z f z i x i y i z x x                   Chia hai vÕ cho z ta ®îc: 0 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) i z u f z z f z i x x z                 v×   2 2 0 0 ( ) lim lim           z z i z z z         0 lim( ) 0          z z z z z   . [...]... trên biên vì f ( z ) 1 , với mọi z thuộc biên 1.6.3 Dạng mạnh của nguyên lý maximum Dạng mạnh của nguyên lý maximum được nêu trong 4 định lý sau (Hopf(2), Zhiro(2)) I Nếu Mu 0 trong F và hàm u đạt được maximum của nó trong điểm bên trong thì u không đổi(cố định) II Nếu a 0 , Lu 0 và hàm u đạt maximum của nó tại điểm nằm trong u và cực đại này dương thì u không đổi III Cho Mu 0 , còn hàm u có giá... tại điểm trong của maximum tất cả các đạo hàm cấp một đều bằng không Kí hiệu là tập hợp các điểm của miền G, trong đó u Ta chỉ chứng minh tập hợp đó mở Vì hàm số u liên tục, nên đóng, và vì miền G liên thông, nên từ đó suy ra là = G và u - 33 - Tiếp theo, như đã chứng minh định lý I, hiển nhiên giả thiết bổ sung để chứng minh định lý III có thể bỏ qua Để chứng minh định lý II, giả thiết rằng... x , và do định lý III, hoặc du ( x) / dN 0 , hoặc u tại các điểm trong nào đó lân cận của điểm x Trong trường hợp cuối cùng u cần phải không đổi theo định lý II Định lý 1.5 (Nguyên lý maximum dạng tổng quát) Cho là nghiệm của phương trình eliptic đều: A11 xx 2 A12 xy A22 yy 0 (1.47) Khi đó các đạo hàm x , y hoặc là hằng số hoặc là không có điểm maximum bên trong (sự khẳng định tương ứng. .. C1 và nghiệm ở lớp C3 bởi vì khi đó x và y tự thỏa mãn phương trình eliptic (ví dụ để nhận được phương trình đối với x , nên chia (1.47)) ra A22 và vi phân của nó theo x) Trong trường hợp tổng quát sự khẳng định này suy ra từ định lý về biểu diễn mà theo biểu dễn đó w x i y f ( ( z )) , trong đó f là hàm chỉnh hình, ( z ) là ánh xạ tô pô - 34 - Chương 2 ứng dụng của NGUYÊN Lí maximum 2.1 ứng. .. Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý I Ta giả thiết maximum của hàm u đạt được tại điểm trong x0 và giả sử 0 đủ nhỏ, sao cho hình cầu x x0 2 nằm ở trong G Ta chứng minh u ( x) khi x x0 Thật vậy, giả sử u ( x1 ) , x1 x0 Khi đó tồn tại số , 0 , sao cho u trong hình cầu x1 x và u tại điểm biên nào đó x của hình cầu này ( x x1 ) Do phần đã chứng minh của định lý III, đạo hàm... dụng của NGUYÊN Lí maximum 2.1 ứng dụng nguyên lý maximum để giải quyết những vấn đề về lý thuyết 2.1.1 Đánh giá mô đun trên và dưới của hàm chỉnh hình Bổ đề 2.1 (Bổ đề Schwartz) Cho hàm f ( z ) giải tích trong hình tròn đơn vị U z C / z 1 và liên tục trên U z C / z 1 Nếu hàm f ( z ) thoả mãn: f (0) 0; f ( z ) 1 , với z 1 , thì f ( z ) z , với mọi z 1 và f ' (0) 1 Nếu tồn tại z0 U ,... 27 - giải tích trong D Chứng minh Đặt z F ( z ) z f ( ) d 0 với z0 , z D Theo định lý trên, hàm F ( z ) giải tích trên D và F ' ( z ) f ( z ) Từ hệ quả của tích phân loại Cauchy, suy ra f (z ) là hàm giải tích trên D 1.6 Nguyên lý maximum 1.6.1 Định lý giá trị trung bình Giả sử f (z ) giải tích trên miền D và hình tròn B R z C \ z z0 R D Khi đó giá trị f ( z0 ) bằng trung bình cộng các... là vi phân cung Chứng minh Theo công thức tích phân Cauchy, ta có; f ( z0 ) 1 f ( ) z0 d 2 i CR (1.42) vì CR , nên ta có thể viết: z0 Rei , 0, 2 do đó d Rei d Thế vào (1.42) ta được: 1 f ( ) 1 2 f ( z0 Rei ) i 1 f ( z0 ) iR d z d 2 i i 2 i CR 2 Re 0 0 2 0 f ( )d - 28 - Hơn nữa ds Rd , nên: f ( z0 ) 1 2 R CR f ( )ds 1.6.2 .Nguyên lý maximum (hay nguyên lý cực đại) Giả sử... từng khúc không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong đó Thật vậy, giả sử 1 và 2 là hai đường cong Jordan trơn từng khúc bất kì cùng có điểm đầu là a và điểm cuối là b Ta chứng minh rằng : f ( z )dz f ( z )dz (1.28) 2 1 Đường cong 1 2 hiển nhiên là một đường cong Jordan trơn từng khúc kín Do đó theo định lý Cauchy f ( z ) dz 1 ... z0 và C ( z 0 ) (1.39) Từ hai đẳng thức này ta suy ra công thức Newton-Lepnit z f (t ) dt ( z ) ( z0 ) (1.40) z0 trong đó (z ) là nguyên hàm bất kỳ của f (z ) 1.5.2 Định lý đảo của định lý Cauchy (định lý Moera) Nếu hàm f (z ) liên tục trong miền đơn liên D và tích phân f ( z ) dz dọc theo đường cong Jordan, trơn, kín chứa trong D đều bằng 0 thì hàm f (z ) - 27 - giải tích trong D Chứng . 1.6. Nguyên lý maximum 27 1.6.1.Định lý giá trị trung bình 27 1.6.2 .Nguyên lý maximum 28 1.6.3. Dạng mạnh của nguyên lý maximum 30 - 4 - Chơng 2: ứng dụng của nguyên lý maximum. luận văn: Nguyên lý maximum và ứng dụng đã giúp tác giả tìm hiểu sâu hơn bộ môn giải tích phức đặc biệt đó là những nguyên lí cơ bản của hàm giải tích và ứng dụng của nguyên lý maximum. Qua. các kiến thức về nguyên lý maximum và các ứng dụng của nó trong lý thuyết và trong thực tiễn. 3. Đối tợng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý maximum và vận dụng các kiến thức